6 p.) -РОЗКЛАД ДЛЯ РIВНЯННЯ ШРЕДИНҐЕРА З МАСОЮ, ЗАЛЕЖНОЮ ВIД КООРДИНАТ Д. О. Кулiков 1 , В. М. Шаповал 2 1 Днiпропетровський нацiональний унiверситет iм.Олеся Гончара, кафедра теоретичної фiзики, пр.Гагарiна, 72, Днiпропетровськ, 49010, Україна, 2 Iнститут теоретичної фiзики iм.М.М.Боголюбова НАНУ, вул.Метрологiчна, 14-б, Київ, 03680, Україна (Отримано 18 жовтня 2010 р.; в остаточному виглядi 14 листопада 2011 р.) Представлено рекурентну технiку отримування асимптотичних розкладiв для власних значень енерґiї зв'язаних станiв радiального рiвняння Шрединґера з масою, залежною вiд координат.Як приклад її застосування розраховано власнi значення енерґiї для кулонiвського потенцiалу за наявностi залежної вiд координат маси та виведено нерiвностi, що реґулюють змiщення енерґетичних рiвнiв вiдносно їх положення за сталої маси.
6 p.) -РОЗКЛАД ДЛЯ РIВНЯННЯ ШРЕДИНҐЕРА З МАСОЮ, ЗАЛЕЖНОЮ ВIД КООРДИНАТ Д. О. Кулiков 1 , В. М. Шаповал 2 1 Днiпропетровський нацiональний унiверситет iм.Олеся Гончара, кафедра теоретичної фiзики, пр.Гагарiна, 72, Днiпропетровськ, 49010, Україна, 2 Iнститут теоретичної фiзики iм.М.М.Боголюбова НАНУ, вул.Метрологiчна, 14-б, Київ, 03680, Україна (Отримано 18 жовтня 2010 р.; в остаточному виглядi 14 листопада 2011 р.) Представлено рекурентну технiку отримування асимптотичних розкладiв для власних значень енерґiї зв'язаних станiв радiального рiвняння Шрединґера з масою, залежною вiд координат.Як приклад її застосування розраховано власнi значення енерґiї для кулонiвського потенцiалу за наявностi залежної вiд координат маси та виведено нерiвностi, що реґулюють змiщення енерґетичних рiвнiв вiдносно їх положення за сталої маси.
РIВНЯННЯ ДИНАМIКИ ЦIНИ ОПЦIОНУ ТА МОДЕЛI КВАНТОВОЇ МЕХАНIКИ В. С. Янiшевський Нацiональний унiверситет "Львiвська полiтехнiка", вул.Степана Бандери 12, Львiв, 79013, Україна (Отримано 10 лютого 2014 р.; в остаточному виглядi 05 травня 2014 р.) Проаналiзовано частковi випадки рiвняння Мертона-Ґармана динамiки цiни опцiону на основi модельних задач квантової механiки.Показано, що модель Гестона еквiвалентна задачi одновимiрного радiального осцилятора квантової механiки, отримано формулу цiни опцiону на основi ядра оператора еволюцiї (пропагатора) радiального осцилятора.Iз використанням аналогiї з одновимiрним рiвнянням Шрединґера для частинки в зовнiшньому полi продемонстровано складнiсть iнших часткових випадкiв рiвняння Мертона-Ґармана, установлено значення параметрiв, для яких є точнi розв'язки.
Пошук розв'язків рівняння Шредінгера (SE) з моделями фізично мотивованих потенціалів призвів до відкриття нових фізичних і хімічних явищ. Наприклад, потенціал псевдогармонічного осцилятора (PHOP) має дуже цікаву історію: він часто використовується для обчислення нормалізації зв'язаних станів і енергетичних рівнів деяких двохатомних молекул. Це дослідження було розділене на дві частини. По-перше, ми перетворили механічні властивості, пов'язані з постійною силою, довжиною рівноважного зв'язку, ортонормованою хвильовою функцією та власними значеннями енергії, на відповідні атомні властивості, які включають енергію дисоціації, та рівноважне міжмолекулярне розділення з метою застосування до гомоядерних двохатомних молекул, таких як O2, N2 та H2, і гетероядерних двохатомних молекул, таких як CH і ScH. По-друге, ми дослідили деякі аспекти модифікованого 2D-PHOP (2DMPHOP) в некомутативній 2D реальній просторовій фазі (NC: 2D-RSP) через узагальнений метод зсуву Боппа в рамках параметрів, обумовлених (просторово-фазовою) некомутативністю (θ, θ), за допомогою розв'язку 2D-деформованого SE (2D-DSE). Ми реконструювали глобальний оператор Гамільтона для 2DMPHOP з трьома фундаментальними частинами: перша – звичайний оператор Гамільтона, в комутативній квантовій механіці (CQM); друга частина – спін-орбітальний оператор Hso-ph (r, θ, θ) , а третя – модифікований зеєманівський оператор Hz-ph (r, χ, σ) і відповідні власні значення енергії за допомогою методу збурень. Крім того, ми показали, що глобальна квантова група (GQG) симетрій (NC: 2D-RSP) була автоматично розбита і замінена підгрупою (NC: 2D-RS) при взаємодіях молекул 2D-MPHOP. Ми знайшли енергетичні рівні досліджуваних гомоядерних і гетероядерних двохатомних молекул у CQM як особливий випадок, коли одночасно використовуємо два обмеження (θ, θ) → (0, 0) .
КВАНТОВОМЕХАНIЧНА АНАЛОГIЯ ПОШИРЕННЯ СВIТЛА В ПЛАНАРНОМУ ХВИЛЕВОДI Г. П. Лаба 1 , В. М. Ткачук 2 1 Нацiональний унiверситет "Львiвська полiтехнiка", кафедра телекомунiкацiй, вул.С. Бандери, 12, Львiв, 79013, Україна 2 Львiвський нацiональний унiверстет iменi Iвана Франка, кафедра теоретичної фiзики, вул.Драгоманова 12, Львiв, 79005, Україна (Отримано 08 квiтня 2013 р.; в остаточному виглядi 13 травня 2013 р.) Ми встановили точну аналогiю мiж рiвняннями, якi описують поширення ТЕ-i ТМ-мод у планарному хвилеводi з довiльною неперервною залежнiстю показника заломлення вiд координат, i стацiонарним рiвнянням Шрединґера.Ефективнi потенцiальнi енергiї, якi входять у рiвняння Шрединґера та вiдповiдають ТЕ-i ТМ-модам, вiдрiзняються мiж собою, хоча в наближеннi слабкої залежностi показника заломлення вiд координат збiгаються.Для довiльної залежностi показника заломлення вiд координат на прикладах показано суттєву вiдмiннiсть мiж ефективними потенцiальними енерґiями для ТЕ-i ТМ-мод.
ПОВНА МАТРИЦЯ ГУСТИНИ ДВОКОМПОНЕНТНОЇ БОЗЕ-РIДИНИ В НАБЛИЖЕННI ПАРНИХ КОРЕЛЯЦIЙ I. О. Вакарчук, В. С. Пастухов Кафедра теоретичної фiзики Львiвського нацiонального унiверситету iменi Iвана Франка, вул.Драгоманова, 12, Львiв, 79005, Україна (Отримано 25 травня 2007 р.; в остаточному виглядi 10 вересня 2007 р.)Знайдено повну матрицю густини двокомпонентної бозе-рiдини в наближеннi парних кореляцiй, у якiй явно видiленi точнi вирази матриць густини iдеальних пiдсистем.У такий спосiб ефективно враховується внесок вiд вищих кореляцiй.Показано узгодженiсть отриманого виразу для межi низьких температур i переходу до теорiї класичних неiдеальних систем ( → 0).У наступнiй статтi ми плануємо розрахувати s-частинковi матрицi густини й дослiдити термодинамiчнi властивостi двокомпонентної бозе-рiдини, особливо дiлянку фазового розшарування, та вплив домiшки на явище Бозе-Айнштайнiвської конденсацiї.
Рiшенням Вченої ради IФКС НАН України вiд 16 травня 2011 р. звання Doctor honoris causa присвоєно Iвановi Вакарчуковi (Львiвський нацiональний унiверситет iменi Iвана Франка) за розробку мiкроскопiчної теорiї бозе-рiдини, статистичної теорiї невпорядкованих систем, розвиток математичних методiв теоретичної фiзики
РIВНЯННЯ ПАУЛI З МАСОЮ, ЗАЛЕЖНОЮ ВIД КООРДИНАТ В. М. Ткачук, С. I. Вакарчук Кафедра теоретичної фiзики, Львiвський нацiональний унiверситет iменi Iвана Франка, вул.Драгоманова, 12, Львiв, 79005, Україна (Отримано 12 травня 2006 р.; в остаточному виглядi 8 серпня 2006 р.)Дослiджено рух електрона з масою, залежною вiд координат, у магнетному полi.У тривимiрному випадку зi сферично симетричною залежнiстю маси вiд координат i магнетним полем певної симетрiї щодо iнверсiї координат, як i для постiйної маси, наявна суперсиметрiя з двома трьома й чотирма суперзарядами.У двовимiрному випадку при русi частинки у площинi з перпендикулярним до неї магнетним полем суперсиметрiя з двома суперзарядами iснує для довiльної координатно залежної маси й довiльного магнетного поля.В останньому випадку для цилiндрично симетричної залежности маси вiд координат знайдено точний вираз для хвильових функцiй основного стану з нульовою енерґiєю.Знайдено кiлькiсть нульових мод електрона з масою залежною вiд координат у магнетному полi, що узагальнює теорему Аронова-Кашера, отриману ранiше для постiйної маси.