In questa tesi si esamina un gas diluito di bosoni, confinati da un potenziale a tripla buca unidimensionale e da un potenziale armonico lungo le direzioni trasverse. Allo scopo di analizzare il tunneling fra le tre buche, si introduce una funzione d’onda macroscopica, soluzione dell’equazione di Gross-Pitaevskii. Tramite l’approssimazione a tre modi si ottengono le equazioni differenziali per gli sbilanciamenti di popolazione atomica e le differenze di fase. Si mostra che tali equazioni possono essere ricondotte a quelle che descrivono una giunzione di Josephson atomica. /
In this thesis we examine a dilute Bose gas, trapped by a one-dimensional triple-well potential and a harmonic potential along the transverse directions. With the aim of analyzing the tunneling between the wells, we introduce a macroscopic wave-function, which is a solution of the Gross-Pitaevskii equation. Through the three-mode approximation, we obtain the differential equations for the atomic population imbalance and the phase differences. We also show that these equations can be traced back to the ones describing an atomic Josephson junction.
In questa tesi si esamina un gas diluito di bosoni, confinati da un potenziale a tripla buca unidimensionale e da un potenziale armonico lungo le direzioni trasverse. Allo scopo di analizzare il tunneling fra le tre buche, si introduce una funzione d’onda macroscopica, soluzione dell’equazione di Gross-Pitaevskii. Tramite l’approssimazione a tre modi si ottengono le equazioni differenziali per gli sbilanciamenti di popolazione atomica e le differenze di fase. Si mostra che tali equazioni possono essere ricondotte a quelle che descrivono una giunzione di Josephson atomica. /
In this thesis we examine a dilute Bose gas, trapped by a one-dimensional triple-well potential and a harmonic potential along the transverse directions. With the aim of analyzing the tunneling between the wells, we introduce a macroscopic wave-function, which is a solution of the Gross-Pitaevskii equation. Through the three-mode approximation, we obtain the differential equations for the atomic population imbalance and the phase differences. We also show that these equations can be traced back to the ones describing an atomic Josephson junction.
Nella trattazione che segue si discuteranno le dinamiche di un condensato di Bose-Einstein sotto effetto di un potenziale a doppia buca.
Si tratteranno sia il caso conservativo che il caso dissipativo, e si confronteranno i risultati con alcune evidenze sperimentali.
Nel capitolo 1 verra introdotto brevemente la fisica degli atomi ultrafreddi e dei condensati di Bose-Einstein, ed in particolare la possibilita di descrivere le dinamiche dei condensati con l'utilizzo dell'equazione di Gross-Pitaevskii.
Nel capitolo 2 si analizzeranno analiticamente le dinamiche di un condensato di Bose-Einstein, ottenendo le equazioni Josephson dall'equazione di Gross-Pitaevskii, per poi analizzarle numericamente, utilizzando il metodo di Runge-kutta del quarto ordine.
Nel capitolo 3 verra affrontato il problema dissipativo, sia analiticamente che numericamente, considerando una equazione di Gross-Pitaevskii modificata.
Il capitolo 4 sara un piccolo confronto tra i nostri risultati ed alcuni storici esperimenti.
Studiamo i solitoni come forma della funzione d'onda macroscopica per un condensato di Bose-Einstein (BEC) costituito da un gas diluito ultrafreddo di atomi alcalini.
La peculiarita dei solitoni e quella di propagarsi senza che la loro forma sia alterata da effetti dispersivi, in quanto questi sono bilanciati dall'interazione non-lineare fra gli atomi
del condensato.
Dimostriamo che essi sono soluzioni analitiche dell'equazione di Gross-Pitaevskii, che deriveremo con un approccio variazionale nel caso libero e nel caso di confinamento armonico
trasversale. Studiamo sia il bright soliton, ossia di un massimo nella densita di probabilita, che il dark soliton, che invece costituisce un minimo; l'interazione sara attrattiva nel primo
caso e repulsiva nel secondo. Consideriamo infine quattro esperimenti in cui sono stati generati dei solitoni e verifichiamo che le proprieta trovate sperimentalmente combacino con quelle dedotte.
Si analizza un gas diluito di atomi bosonici ultrafreddi, posti all'interno di una cavita ottica Fabry-Perot, e soggetti a un potenziale di confinamento armonico in due dimensioni e a tripla buca in una dimensione, generato da una trappola ottica di dipolo. L'hamiltoniano che descrive il sistema a molti corpi si basa su quello di Jaynes-Cummings, modificato con l'introduzione del potenziale di intrappolamento e dallo pseudo-potenziale di interazione di contatto. A partire dalle equazioni di Heisenberg relative agli operatori di seconda quantizzazione di atomi e fotoni, si ricavano, in prima approsimazione semiclassica, le equazioni che regolano la loro dinamica.
L'intento principale di questo elaborato e quello di anlazziare le condizioni per le quali e possibile realizzare la propagazione di un'onda sonora in un condensato di Bose-Einstein puro. Inizialmente si studiano le proprieta generali di un sitema di particelle identiche, ricavando le equazioni che regolano l'evoluzione temporale della funzione d'onda di particella singola con un potenziale di interazione qualsiasi. Queste equazioni vengono poi riscritte utilizzando le variabili di Madelung, parametrizzazzione della funzione d'onda tramite la quale si scrive la dinamica del sistema in funzione della sua densita. Utilizzando un'approsimazione lineare si determina il moto di una piccola perturbazione del sistema, calcolando esattamente la legge di dispersione. Infine si studia analiticamente e graficamente lo sviluppo della legge di dispersione, calcolando le relazione tra i vari parametri che permettono di ottenere il moto stazionario.
The main intent of this thesis is to study the conditions for which the propagation of a sound wave in a pure Bose-Einstein condensate can be interpreted. First of all, the general properties of a system of identical particles are studied, identifying the equations that regulate the temporal evolution of the particle wave function with a generic interacting potential. These equations are then reconsidered using the Madelung variables, parametrization of the wave function by which the dynamics of the system are written according to its density.Thanks to a linear approximation, the motion of a small perturbation of the system is determined, calculating precisely the law of dispersion. Finally, the development of the dispersion law is studied analitically and graphically, computing the relationships between the various parameters that let the stationary motion possible.
The main intent of this thesis is to study the conditions for which the propagation of a sound wave in a pure Bose-Einstein condensate can be interpreted. First of all, the general properties of a system of identical particles are studied, identifying the equations that regulate the temporal evolution of the particle wave function with a generic interacting potential. These equations are then reconsidered using the Madelung variables, parametrization of the wave function by which the dynamics of the system are written according to its density.Thanks to a linear approximation, the motion of a small perturbation of the system is determined, calculating precisely the law of dispersion. Finally, the development of the dispersion law is studied analitically and graphically, computing the relationships between the various parameters that let the stationary motion possible.
Recentemente la condensazione di Bose-Einstein e stata ottenuta con atomi diluiti ed ultrafreddi in condizioni di microgravita su un razzo [Nature, 562, 391 (2018)]. Si pensa ora di studiare il condensato di Bose-Einstein in trappole a bolla che, in assenza di gravita, confinano gli atomi in maniera uniforme su un sottile guscio sferico. Lo studente, dopo una fase iniziale di studio della letteratura, utilizzando il formalismo della meccanica statistica quantistica, calcolera la temperatura critica di condensazione di Bose-Einstein e la frazione condensata di un gas di bosoni non interagenti che si muovono sulla superficie di una sfera. Solo nel limite del raggio della sfera che tende an infinito, corrispondente ad un sistema bidimensionale piatto, ci si aspetta di ottenere una temperatura critica di condensazione uguale a zero, in accordo con il teorema di Mermin-Wagner.
Abstract: Si investigano le proprieta statiche e dinamiche, prima, per un sistema di N particelle bosoniche, soggette a tunneling tra due siti, adoperando il modello di Bose-Hubbard e, poi, per un sistema analogo nel quale si sostituiscono le particelle bosoniche con anyons. Usando gli stati coerenti di Glauber si ricavano, sotto approssimazione di campo medio, le equazioni della dinamica della giunzione Josephson bosonica. Operando, in seguito, una trasformazione di Jordan-Wigner frazionaria tra bosoni ed anyons, si estende la hamiltoniana del modello di Bose-Hubbard al caso anyonico. Applicando, nuovamente, il metodo con gli stati coerenti, si studia la dinamica del sistema Anyon-Hubbard. In particolare, se ne studia, al variare del parametro statistico anyonico, il comportamento in prossimita degli equilibri e dei regimi di auto-intrappolamento e di rottura della simmetria dello stato fondamentale. Per validare i risultati analitici e per ottenerne di piu generali, si eseguono simulazioni numeriche esatte della dinamica quantistica.
Abstract: It is investigated the static and dynamical properties, first, for a system of N bosonic particles, which are tunneling between two site, using the Bose-Hubbard model and, then, for a similar system in which the bosonic particles are substituted with anyons. Using the Glauber coherent states it is obtained, in mean-field approximation, the dynamical’s equations for the bosonic Josephson junction. Operating, afterwards, a fractional Jordan-Wigner transform between bosons and anyons, the Bose-Hubbard model’s hamiltonian is extended to the anyons’ case. Applying the coherent states method, it is studied the dynamical of the Anyon-Hubbard system. In particular, it is studied, for variation of the anyonic statistic parameter, the behaviour in proximity of the equilibrium points and the regimes of macroscopic quantum self-trapping and symmetry breaking of the ground state. To validate the analytical results and to obtain more general informations, it is performed exact numerical simulations of the quantum dynamics.