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Dinamica Quantistica Nonlineare dei Superfluidi

Paolo Barigelli

Published Nov 26, 2018• 0 citations
OpenAlex

Abstract

L'intento principale di questo elaborato e quello di anlazziare le condizioni per le quali e possibile realizzare la propagazione di un'onda sonora in un condensato di Bose-Einstein puro. Inizialmente si studiano le proprieta generali di un sitema di particelle identiche, ricavando le equazioni che regolano l'evoluzione temporale della funzione d'onda di particella singola con un potenziale di interazione qualsiasi. Queste equazioni vengono poi riscritte utilizzando le variabili di Madelung, parametrizzazzione della funzione d'onda tramite la quale si scrive la dinamica del sistema in funzione della sua densita. Utilizzando un'approsimazione lineare si determina il moto di una piccola perturbazione del sistema, calcolando esattamente la legge di dispersione. Infine si studia analiticamente e graficamente lo sviluppo della legge di dispersione, calcolando le relazione tra i vari parametri che permettono di ottenere il moto stazionario. The main intent of this thesis is to study the conditions for which the propagation of a sound wave in a pure Bose-Einstein condensate can be interpreted. First of all, the general properties of a system of identical particles are studied, identifying the equations that regulate the temporal evolution of the particle wave function with a generic interacting potential. These equations are then reconsidered using the Madelung variables, parametrization of the wave function by which the dynamics of the system are written according to its density.Thanks to a linear approximation, the motion of a small perturbation of the system is determined, calculating precisely the law of dispersion. Finally, the development of the dispersion law is studied analitically and graphically, computing the relationships between the various parameters that let the stationary motion possible. The main intent of this thesis is to study the conditions for which the propagation of a sound wave in a pure Bose-Einstein condensate can be interpreted. First of all, the general properties of a system of identical particles are studied, identifying the equations that regulate the temporal evolution of the particle wave function with a generic interacting potential. These equations are then reconsidered using the Madelung variables, parametrization of the wave function by which the dynamics of the system are written according to its density.Thanks to a linear approximation, the motion of a small perturbation of the system is determined, calculating precisely the law of dispersion. Finally, the development of the dispersion law is studied analitically and graphically, computing the relationships between the various parameters that let the stationary motion possible.

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Recentemente la condensazione di Bose-Einstein e stata ottenuta con atomi diluiti ed ultrafreddi in condizioni di microgravita su un razzo [Nature, 562, 391 (2018)]. Si pensa ora di studiare il condensato di Bose-Einstein in trappole a bolla che, in assenza di gravita, confinano gli atomi in maniera uniforme su un sottile guscio sferico. Lo studente, dopo una fase iniziale di studio della letteratura, utilizzando il formalismo della meccanica statistica quantistica, calcolera la temperatura critica di condensazione di Bose-Einstein e la frazione condensata di un gas di bosoni non interagenti che si muovono sulla superficie di una sfera. Solo nel limite del raggio della sfera che tende an infinito, corrispondente ad un sistema bidimensionale piatto, ci si aspetta di ottenere una temperatura critica di condensazione uguale a zero, in accordo con il teorema di Mermin-Wagner.

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Il dibattito sui fondamenti e sulla filosofia della meccanica quantistica si è arricchito negli ultimi decenni di nuove riflessioni e nuove idee, che difficilmente trovano posto però nei testi divulgativi e nei manuali. Questo volume si propone di colmare tale lacuna, accompagnando il lettore lungo un percorso che parte dai concetti di base della teoria (vettore di stato, funzione d’onda, dinamica e proprietà dei sistemi) e arriva alla spiegazione dei fenomeni quantistici più importanti (dualismo onda-corpuscolo, principio di sovrapposizione, entanglement), per approdare infine all’analisi delle sfide interpretative più complesse, come il problema della misura, il carattere statistico e il rapporto tra formalismo e ontologia. Ampio spazio è dedicato al significato del principio di indeterminazione, alla descrizione di alcuni apparenti paradossi (gatto di Schrödinger, scatola di Einstein) e alla teoria della decoerenza, che descrive il passaggio dalla meccanica quantistica alla meccanica classica. Il testo è corredato di riquadri di approfondimento in cui vengono esaminati temi più avanzati e tracciati collegamenti fra i diversi argomenti. Il volume si inserisce, dunque, nella discussione attuale sui fondamenti, offrendo al lettore una chiave di lettura chiara e rigorosa dell’interpretazione standard della meccanica quantistica.

•Sep 1, 2024•0 citations

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•Jan 1, 2013•1 citation

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•Sep 10, 2020•4 citations
L'intento principale di questo elaborato e quello di anlazziare le condizioni per le quali e possibile realizzare la propagazione di un'onda sonora in un condensato di Bose-Einstein puro. Inizialmente si studiano le proprieta generali di un sitema di particelle identiche, ricavando le equazioni che regolano l'evoluzione temporale della funzione d'onda di particella singola con un potenziale di interazione qualsiasi. Queste equazioni vengono poi riscritte utilizzando le variabili di Madelung, parametrizzazzione della funzione d'onda tramite la quale si scrive la dinamica del sistema in funzione della sua densita. Utilizzando un'approsimazione lineare si determina il moto di una piccola perturbazione del sistema, calcolando esattamente la legge di dispersione. Infine si studia analiticamente e graficamente lo sviluppo della legge di dispersione, calcolando le relazione tra i vari parametri che permettono di ottenere il moto stazionario.
The main intent of this thesis is to study the conditions for which the propagation of a sound wave in a pure Bose-Einstein condensate can be interpreted. First of all, the general properties of a system of identical particles are studied, identifying the equations that regulate the temporal evolution of the particle wave function with a generic interacting potential. These equations are then reconsidered using the Madelung variables, parametrization of the wave function by which the dynamics of the system are written according to its density.Thanks to a linear approximation, the motion of a small perturbation of the system is determined, calculating precisely the law of dispersion. Finally, the development of the dispersion law is studied analitically and graphically, computing the relationships between the various parameters that let the stationary motion possible.
The main intent of this thesis is to study the conditions for which the propagation of a sound wave in a pure Bose-Einstein condensate can be interpreted. First of all, the general properties of a system of identical particles are studied, identifying the equations that regulate the temporal evolution of the particle wave function with a generic interacting potential. These equations are then reconsidered using the Madelung variables, parametrization of the wave function by which the dynamics of the system are written according to its density.Thanks to a linear approximation, the motion of a small perturbation of the system is determined, calculating precisely the law of dispersion. Finally, the development of the dispersion law is studied analitically and graphically, computing the relationships between the various parameters that let the stationary motion possible.
È stato studiato un problema di scattering tra due particelle che interagiscono tramite un potenziale puntuale in tre dimensioni nel limite in cui una particella ha massa molto minore dell’altra. I risultati ottenuti hanno permesso di stimare gli effetti di decoerenza dinamicamente indotta su uno stato entangled della particella “pesante” che si ottengono quando la particella “leggera” viene utilizzata come misuratore per la posizione della particella “pesante”. Utilizzando la teoria delle estensioni autoaggiunte è stato modellizzato un sistema in cui una particella quantistica (senza spin) interagisce con uno spin posto in un punto fissato dello spazio mediante un potenziale singolare dipendente dallo spin. È stata discussa la caratterizzazione di tutte le possibili hamiltoniane di interazione ottenibili come perturbazioni puntuali dell’hamiltoniana libera. In alcuni casi particolari è stato possibile ottenere espressioni esplicite per il propagatore. La conoscenza della dinamica esatta del sistema ha permesso di valutare esplicitamente l’attenuazione dei termini di interferenza quantistica in uno stato entangled dello spin, dovuta all’interazione con la particella. È stato studiato un problema di interazione in una dimensione di un numero finito e infinito di sorgenti con il campo acustico. Lo scopo era quello di dimostrare che, in assenza di meccanismi di riflessione delle onde acustiche, il moto delle sorgenti risulta smorzato a causa dell’interazione con il proprio campo. Utilizzando la teoria delle estensioni autoaggiunte di operatori simmetrici è stata realizzata una formulazione del tutto nuova di tale problema. Tale formulazione ha permesso di ottenere risultati molto generali sullo smorzamento delle oscillazioni delle sorgenti.
Nella trattazione che segue si discuteranno le dinamiche di un condensato di Bose-Einstein sotto effetto di un potenziale a doppia buca. Si tratteranno sia il caso conservativo che il caso dissipativo, e si confronteranno i risultati con alcune evidenze sperimentali. Nel capitolo 1 verra introdotto brevemente la fisica degli atomi ultrafreddi e dei condensati di Bose-Einstein, ed in particolare la possibilita di descrivere le dinamiche dei condensati con l'utilizzo dell'equazione di Gross-Pitaevskii. Nel capitolo 2 si analizzeranno analiticamente le dinamiche di un condensato di Bose-Einstein, ottenendo le equazioni Josephson dall'equazione di Gross-Pitaevskii, per poi analizzarle numericamente, utilizzando il metodo di Runge-kutta del quarto ordine. Nel capitolo 3 verra affrontato il problema dissipativo, sia analiticamente che numericamente, considerando una equazione di Gross-Pitaevskii modificata. Il capitolo 4 sara un piccolo confronto tra i nostri risultati ed alcuni storici esperimenti.
Recentemente la condensazione di Bose-Einstein e stata ottenuta con atomi diluiti ed ultrafreddi in condizioni di microgravita su un razzo [Nature, 562, 391 (2018)]. Si pensa ora di studiare il condensato di Bose-Einstein in trappole a bolla che, in assenza di gravita, confinano gli atomi in maniera uniforme su un sottile guscio sferico. Lo studente, dopo una fase iniziale di studio della letteratura, utilizzando il formalismo della meccanica statistica quantistica, calcolera la temperatura critica di condensazione di Bose-Einstein e la frazione condensata di un gas di bosoni non interagenti che si muovono sulla superficie di una sfera. Solo nel limite del raggio della sfera che tende an infinito, corrispondente ad un sistema bidimensionale piatto, ci si aspetta di ottenere una temperatura critica di condensazione uguale a zero, in accordo con il teorema di Mermin-Wagner.
Il dibattito sui fondamenti e sulla filosofia della meccanica quantistica si è arricchito negli ultimi decenni di nuove riflessioni e nuove idee, che difficilmente trovano posto però nei testi divulgativi e nei manuali. Questo volume si propone di colmare tale lacuna, accompagnando il lettore lungo un percorso che parte dai concetti di base della teoria (vettore di stato, funzione d’onda, dinamica e proprietà dei sistemi) e arriva alla spiegazione dei fenomeni quantistici più importanti (dualismo onda-corpuscolo, principio di sovrapposizione, entanglement), per approdare infine all’analisi delle sfide interpretative più complesse, come il problema della misura, il carattere statistico e il rapporto tra formalismo e ontologia. Ampio spazio è dedicato al significato del principio di indeterminazione, alla descrizione di alcuni apparenti paradossi (gatto di Schrödinger, scatola di Einstein) e alla teoria della decoerenza, che descrive il passaggio dalla meccanica quantistica alla meccanica classica. Il testo è corredato di riquadri di approfondimento in cui vengono esaminati temi più avanzati e tracciati collegamenti fra i diversi argomenti. Il volume si inserisce, dunque, nella discussione attuale sui fondamenti, offrendo al lettore una chiave di lettura chiara e rigorosa dell’interpretazione standard della meccanica quantistica.
Cette thèse est dédiée à l'étude de l'analogue du rayonnement de Hawking dans les condensats de Bose-Einstein. Le premier chapitre présente de nouvelles configurations d'intérêt expérimental permettant de réaliser l'équivalent acoustique d'un trou noir gravitationnel dans l'écoulement d'un condensat atomique unidimensionnel. Nous donnons dans chaque cas une description analytique du profil de l'écoulement, des fluctuations quantiques associées et du spectre du rayonnement de Hawking. L'analyse des corrélations à deux corps de la densité dans l'espace des positions et des impulsions met en évidence l'émergence de signaux révélant l'effet Hawking dans nos systèmes. En démontrant une règle de somme vérifiée par la matrice densité à deux corps connexe, on montre que les corrélations à longue portée de la densité doivent être associées aux modifications diagonales de la matrice densité à deux corps lorsque l'écoulement du condensat présente un horizon acoustique. Motivés par des études expérimentales récentes de profils d'onde générés dans des condensats de polaritons en microcavité semi-conductrice, nous analysons dans un second chapitre les caractéristiques superfluides et dissipatives de l'écoulement autour d'un obstacle localisé d'un condensat de polaritons unidimensionnel obtenu par pompage incohérent. Nous examinons la réponse du condensat dans la limite des faibles perturbations et au moyen de la théorie de Whitham dans le régime non-linéaire. On identifie un régime dépendant du temps séparant deux types d'écoulement stationnaire et dissipatif : un principalement visqueux à faible vitesse et un autre caractérisé par un rayonnement de Cherenkov d'ondes de densité à grande vitesse. Nous présentons enfin des effets de polarisation obtenus en incluant le spin des polaritons dans la description du condensat et montrons dans le troisième chapitre que des effets similaires en présence d'un horizon acoustique pourraient être utilisés pour démontrer expérimentalement le rayonnement de Hawking dans les condensats de polaritons.
Cette thèse est dédiée à l’étude des phénomènes non-linéaires dans deux fluides quantiques qui partagent de nombreuses similitudes : les condensats de Bose-Einstein et les “fluides de lumière”. Dans une première partie, nous étudions les analogues soniques des trous noirs. Il est possible de créer une configuration stationnaire d’un condensat de Bose-Einstein en écoulement d’une région subsonique vers une région supersonique. Ce fluide transsonique joue alors le rôle d’un trou noir puisque les ondes sonores ne peuvent s’échapper de la région supersonique. En outre, en quantifiant le champ sonore, il est possible de montrer qu’un rayonnement de Hawking analogue émerge des fluctuations quantiques du vide. Dans cette thèse, nous montrons que la prise en compte des “modes zéros” – omis jusqu’alors dans le contexte de la gravité analogue – est essentielle pour obtenir une description précise du processus de Hawking, menant alors à un excellent accord avec les résultats expérimentaux. Enfin, nous étudions l’intrication entre les différentes excitations quantiques et montrons que notre système crée de l’intrication tripartite. Dans un second temps, nous étudions la propagation des fluides non-linéaires grâce à une approche hydrodynamique et à des méthodes mathématiques développées par Riemann et Whitham. Nous étudions la structure oscillante et la dynamique des ondes de chocs dispersives qui se forment à la suite d’un déferlement. Notre approche permet de trouver des expressions analytiques simples qui décrivent les propriétés asymptotiques du choc. Cela donne accès à des paramètres d’intérêt expérimental, comme le temps de déferlement, la vitesse de l’onde de choc ou encore le contraste de ses franges.