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Solitoni nell'equazione di Gross-Pitaevskii: teoria e confronto con gli esperimenti

Martino Calzavara

Published Sep 1, 2017• 0 citations
OpenAlex

Abstract

Studiamo i solitoni come forma della funzione d'onda macroscopica per un condensato di Bose-Einstein (BEC) costituito da un gas diluito ultrafreddo di atomi alcalini. La peculiarita dei solitoni e quella di propagarsi senza che la loro forma sia alterata da effetti dispersivi, in quanto questi sono bilanciati dall'interazione non-lineare fra gli atomi del condensato. Dimostriamo che essi sono soluzioni analitiche dell'equazione di Gross-Pitaevskii, che deriveremo con un approccio variazionale nel caso libero e nel caso di confinamento armonico trasversale. Studiamo sia il bright soliton, ossia di un massimo nella densita di probabilita, che il dark soliton, che invece costituisce un minimo; l'interazione sara attrattiva nel primo caso e repulsiva nel secondo. Consideriamo infine quattro esperimenti in cui sono stati generati dei solitoni e verifichiamo che le proprieta trovate sperimentalmente combacino con quelle dedotte.

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Studiamo i solitoni come forma della funzione d'onda macroscopica per un condensato di Bose-Einstein (BEC) costituito da un gas diluito ultrafreddo di atomi alcalini.
La peculiarita dei solitoni e quella di propagarsi senza che la loro forma sia alterata da effetti dispersivi, in quanto questi sono bilanciati dall'interazione non-lineare fra gli atomi
del condensato.
Dimostriamo che essi sono soluzioni analitiche dell'equazione di Gross-Pitaevskii, che deriveremo con un approccio variazionale nel caso libero e nel caso di confinamento armonico
trasversale. Studiamo sia il bright soliton, ossia di un massimo nella densita di probabilita, che il dark soliton, che invece costituisce un minimo; l'interazione sara attrattiva nel primo
caso e repulsiva nel secondo. Consideriamo infine quattro esperimenti in cui sono stati generati dei solitoni e verifichiamo che le proprieta trovate sperimentalmente combacino con quelle dedotte.
Nella trattazione che segue si discuteranno le dinamiche di un condensato di Bose-Einstein sotto effetto di un potenziale a doppia buca. Si tratteranno sia il caso conservativo che il caso dissipativo, e si confronteranno i risultati con alcune evidenze sperimentali. Nel capitolo 1 verra introdotto brevemente la fisica degli atomi ultrafreddi e dei condensati di Bose-Einstein, ed in particolare la possibilita di descrivere le dinamiche dei condensati con l'utilizzo dell'equazione di Gross-Pitaevskii. Nel capitolo 2 si analizzeranno analiticamente le dinamiche di un condensato di Bose-Einstein, ottenendo le equazioni Josephson dall'equazione di Gross-Pitaevskii, per poi analizzarle numericamente, utilizzando il metodo di Runge-kutta del quarto ordine. Nel capitolo 3 verra affrontato il problema dissipativo, sia analiticamente che numericamente, considerando una equazione di Gross-Pitaevskii modificata. Il capitolo 4 sara un piccolo confronto tra i nostri risultati ed alcuni storici esperimenti.
Abbiamo trattato diverse proprieta dei vortici quantizzati nei superfluidi bosonici. Partendo dalle equazioni di Hartree e di Gross-Pitaevskii stazionaria (GPE), abbiamo sottolineato come esse siano adatte a descrivere sistemi quali i gas diluiti ultrafreddi. Poi si e passati allo studio della forma dei vortici quantizzati sia in assenza di potenziale esterno sia in presenza di un potenziale armonico: per quest'ultimo problema abbiamo proposto due approssimazioni delle soluzioni della GPE.
La condensazione di Bose-Einstein e un e etto sico che si veri ca in gas di particelle bosoniche, con momento di spin intero, quando viene portato a temperature dell'ordine del K. In tale condizione un gruppo di particelle ha energia cinetica nulla e percio si presenta all'osservatore come fase condensata dello stesso gas. La scoperta teorica di questo fenomeno fu il risultato del lavoro di A. Einstein e S.N. Bose, nel biennio 1924-25, ma non era possibile veri care praticamente la correttezza delle loro previsioni a causa dell'inesistenza di opportuni apparati sperimentali. Verso l'ultimo ventennio del secolo scorso, dopo essere stata accantonata per diversi anni, la BEC venne ripresa in considerazione. Grazie alla recente tecnologia dei laser e stata allora possibile nel 1995 l'osservazione in laboratorio di una frazione di gas bosonico condensato. La tesi costituisce un percorso cronologico dei passaggi chiave che hanno portato questo e etto tipico della meccanica statistica a diventare da una semplice ipotesi teorica un evento reale riproducibile in laboratorio.
Recentemente la condensazione di Bose-Einstein e stata ottenuta con atomi diluiti ed ultrafreddi in condizioni di microgravita su un razzo [Nature, 562, 391 (2018)]. Si pensa ora di studiare il condensato di Bose-Einstein in trappole a bolla che, in assenza di gravita, confinano gli atomi in maniera uniforme su un sottile guscio sferico. Lo studente, dopo una fase iniziale di studio della letteratura, utilizzando il formalismo della meccanica statistica quantistica, calcolera la temperatura critica di condensazione di Bose-Einstein e la frazione condensata di un gas di bosoni non interagenti che si muovono sulla superficie di una sfera. Solo nel limite del raggio della sfera che tende an infinito, corrispondente ad un sistema bidimensionale piatto, ci si aspetta di ottenere una temperatura critica di condensazione uguale a zero, in accordo con il teorema di Mermin-Wagner.
In questa tesi si esamina un gas diluito di bosoni, confinati da un potenziale a tripla buca unidimensionale e da un potenziale armonico lungo le direzioni trasverse. Allo scopo di analizzare il tunneling fra le tre buche, si introduce una funzione d’onda macroscopica, soluzione dell’equazione di Gross-Pitaevskii. Tramite l’approssimazione a tre modi si ottengono le equazioni differenziali per gli sbilanciamenti di popolazione atomica e le differenze di fase. Si mostra che tali equazioni possono essere ricondotte a quelle che descrivono una giunzione di Josephson atomica. / In this thesis we examine a dilute Bose gas, trapped by a one-dimensional triple-well potential and a harmonic potential along the transverse directions. With the aim of analyzing the tunneling between the wells, we introduce a macroscopic wave-function, which is a solution of the Gross-Pitaevskii equation. Through the three-mode approximation, we obtain the differential equations for the atomic population imbalance and the phase differences. We also show that these equations can be traced back to the ones describing an atomic Josephson junction.
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