Построение собственных функций системы квантовых миноров матрицы монодромии
SL(n,C)-инвариантной спиновой цепочки
Рассмотрена задача поиска собственных векторов коммутирующего семейства квантовых миноров матрицы монодромии
SL(n,C)-инвариантной неоднородной спиновой цепочки. Генераторы алгебры и элементы
L-оператора в каждом узле цепочки реализованы как линейные дифференциальные операторы на пространстве функций
n(n−1)/2 переменных; представление алгебры
sln(C) в каждом узле в общем случае является бесконечномерным и принадлежит к основной унитарной серии. Задача решена при помощи рекуррентной процедуры по рангу алгебры
n. Получены явные выражения для собственных значений и собственных векторов коммутирующего семейства. Подробно разобраны частные случаи
n=2 и
n=3, а также предельный случай цепочки, состоящей из одного узла.
Представлен обзор недавно разработанного подхода к изучению свободных точечных частиц на римановых многообразиях, основанного на методе орбит Кириллова, геометрическом квантовании и геометрии лагранжевых подмногообразий. Показано, что если заданы лагранжево подмногообразие
M, вложенное в произведение коприсоединенных орбит, и гамильтониан
H, достигающий своего минимума на этом подмногообразии, то такие данные естественным образом индуцируют динамику свободной точечной частицы на подмногообразии
M. Метрика, управляющая этой динамикой, определяется квадратичным разложением
H в окрестности ее минимума. При квантовании это соответствие устанавливает связь между пространством
L2(M) и соответствующим гильбертовым пространством спиновой цепочки, а также спектральную эквивалентность между оператором Лапласа-Бельтрами на
L2(M) и спиновым гамильтонианом. Явные примеры этой конструкции приводятся для частиц на комплексной плоскости, двумерной сфере, многообразиях флагов и гиперболической плоскости.
ЖОРДАНОВА ДЕФОРМАЦИЯ ОТКРЫТОЙ sℓ(2)-МОДЕЛИ ГОДЕНА Получена деформированная sℓ(2)-модель Годена с граничными условиями, сохраняющими интегрируемость.На основании жордановой деформации SL(2)-инвариантной R-матрицы Янга и общих решений ассоциированного уравнения отражения и дуального уравнения отражения получена соответствующая неоднородная XXX-цепочка спина 1/2.Квазиклассическое разложение трансферматрицы приводит к деформированным sℓ(2)-гамильтонианам Годена с граничными членами.
Сформулирован и доказан набор тождеств для
GLM эллиптической
R-матрицы (в фундаментальном представлении). В скалярном случае (
M=1) эти тождества на эллиптические функции были получены Руйсенарсом как необходимые и достаточные условия для его тождества на интегральное ядро, лежащее в основе построения интегральных решений квантовой бесспиновой модели Руйсенарса-Шнайдера. В этом отношении результат настоящей работы можно рассматривать как первый шаг к построению решений квантовой задачи на собственные значения для анизотропной спиновой модели Руйсенарса.
СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ τ (2) (t q )-МОДЕЛИ БАКСТЕРА-БАЖАНОВА-СТРОГАНОВА С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ ФИКСИРОВАННЫХ СПИНОВНайдены явные формулы для собственных векторов трансфер-матрицы модели Бакстера-Бажанова-Строганова (спиновой модели, в которой спины принимают N значений) с граничными условиями фиксированных спиновых состояний.Эти формулы получены в результате предельного перехода из формул для собственных векторов периодической модели Бакстера-Бажанова-Строганова.Последние были выведены в рамках метода разделения переменных Склянина.В случае, когда значения спинов на границе фиксированы, соответствующие T -Q уравнения Бакстера на функции разделенных переменных удается решить явно.В качестве частного случая получены собственные векторы для гамильтониана изингоподобной модели квантовой ZN -цепочки.
ЖОРДАНОВА ДЕФОРМАЦИЯ ОТКРЫТОЙ XXX-СПИНОВОЙ ЦЕПОЧКИ Найдено общее решение уравнения отражения, связанного с жордановой деформацией SL(2)-инвариантной R-матрицы Янга.Та же K-матрица получена посредством специального скейлинговского предела XXZ-модели с общими граничными условиями.Гамильтониан с граничными членами получен явно, следуя формализму Склянина.Обсуждается также структура спектра деформированной XXX-модели и ее зависимость от граничных условий.