Challenges
Datasets
Workspaces
Papers
Discussions
Leaderboard
Log inSign up
Challenges
Datasets
Workspaces
Papers
Discussions
Leaderboard
Blog
Job Board
Q3AS

© 2026 Aqora Quantum S.A.S.

TermsPrivacyLegal Notice

Теоретическая и математическая физика

Точечные частицы как спиновые цепочки

Viacheslav Aleksandrovich Krivorol

Published May 31, 2026• 0 citations
Publisher

Abstract

Представлен обзор недавно разработанного подхода к изучению свободных точечных частиц на римановых многообразиях, основанного на методе орбит Кириллова, геометрическом квантовании и геометрии лагранжевых подмногообразий. Показано, что если заданы лагранжево подмногообразие $\mathcal{M}$, вложенное в произведение коприсоединенных орбит, и гамильтониан $H$, достигающий своего минимума на этом подмногообразии, то такие данные естественным образом индуцируют динамику свободной точечной частицы на подмногообразии $\mathcal{M}$. Метрика, управляющая этой динамикой, определяется квадратичным разложением $H$ в окрестности ее минимума. При квантовании это соответствие устанавливает связь между пространством $L^2(\mathcal{M})$ и соответствующим гильбертовым пространством спиновой цепочки, а также спектральную эквивалентность между оператором Лапласа-Бельтрами на $L^2(\mathcal{M})$ и спиновым гамильтонианом. Явные примеры этой конструкции приводятся для частиц на комплексной плоскости, двумерной сфере, многообразиях флагов и гиперболической плоскости.

DOI
10.4213/tmf11152

Related papers

Представление Лагранжа квантовой эволюции материальных полей

Alexey Yur'evich Samarin, Александр Моисеевич Штеренберг, Alexandr Moiseevich Shterenberg

Показано, что квантовый интеграл по путям может быть представлен в виде функционала единственного пути, удовлетворяющего принципу наименьшего действия (ввиду несовпадения оригинального английского понятия path и русского понятия «траектория» будет употребляться понятие «путь», которое подразумевает параметрическую зависимость координат точки от времени $x(t)$, $y(t)$, $z(t)$). На этом основании материальные поля, совокупность которых при данном подходе отождествляется с квантовой частицей, представляются в виде непрерывных множеств индивидуальных частиц, механическое движение которых определяет поля физических величин, атрибутов этих индивидуальных частиц в каждый момент времени. Волновая функция стационарного состояния при таком подходе является полем комплексной плотности индивидуальных точек. Модуль комплексной плотности представляет собой нормированную тем или иным образом плотность материи в данной точке пространства, фазовый множитель определяет результат суперпозиции материальных полей. Это позволило преобразовать интегральное уравнение квантовой эволюции к представлению Лагранжа. На примере описания квантового гармонического осциллятора продемонстрирована состоятельность такого подхода.

Вестник Самарского государственного технического университета Серия Физико-математические науки•Jan 1, 2023•0 citations

Оптимальная эволюция для псевдоэрмитовых гамильтонианов

Wenhua Wang, Zhengli Chen, Yun S. Song +1 more

Если заданы начальное состояние $|\psi_{\scriptscriptstyle\mathrm I}\rangle$ и конечное состояние $|\psi_{\scriptscriptstyle\mathrm{F}}\rangle$, то существует множество гамильтонианов, под действием которых $|\psi_{\scriptscriptstyle\mathrm I}\rangle$ эволюционирует в $|\psi_{\scriptscriptstyle\mathrm F}\rangle$. При этом большой интерес представляет проблема перехода $|\psi_{\scriptscriptstyle\mathrm I}\rangle$ в $|\psi_{\scriptscriptstyle \mathrm F}\rangle$ за наименьшее время. Ранее для эрмитова гамильтониана было показано, что если состояния $|\psi_{\scriptscriptstyle\mathrm I}\rangle$ и $|\psi_{\scriptscriptstyle\mathrm F}\rangle$ ортогональны, то существует оптимальное время эволюции. Однако для $PT$-симметричного гамильтониана это время может быть произвольно малым, что кажется удивительным. Обсуждается оптимальная временна́я эволюция для псевдоэрмитовых гамильтонианов. При условии ограниченности гамильтониана получена нижняя граница времени эволюции. Оптимальное время эволюции может быть достигнуто в том случае, когда два квантовых состояния ортогональны относительно некоторого скалярного произведения. Результаты для эрмитовых и для псевдоэрмитовых случаев совпадают, если эволюция унитарна относительно некоторого корректно определенного скалярного произведения. Также проанализированы два ранее известных примера и обнаружено, что они согласуются с представленной теорией. Кроме того, на двух примерах даны некоторые пояснения полученных результатов.

Теоретическая и математическая физика•Aug 1, 2020•0 citations

Ограничения на параметры и точные решения уравнения Шредингера для заряженной частицы в зависящем от времени электрическом поле: подход, основанный на унитарных преобразованиях

Rachid Ahmim, Nabil Baouche, Askri Souhaila

Предложено точное аналитическое решение для квантовой динамики заряженной частицы под воздействием зависящего от времени электрического поля и статического магнитного поля, ориентированного вдоль направления оси $z$. С помощью систематического подхода, основанного на последовательном применении унитарных преобразований, изначально трехмерная задача сведена к двумерной системе несвязанных зависящих от времени гармонических осцилляторов. Данный метод порождает свободные параметры, что позволяет налагать ограничения для вывода точного решения уравнения Шредингера с зависящим от времени гамильтонианом, используя вывод квантового пропагатора в явном виде, и показать эквивалентность нашего подхода и ранее разработанного для таких систем метода функционального интеграла. Развитый аппарат позволяет по-новому посмотреть на квантовые системы с зависящими от времени электромагнитными полями, а также предлагает аналитические решения.

Теоретическая и математическая физика•Aug 1, 2025•0 citations

Отображение между зависящими и не зависящими от времени многочастичными квантовыми гамильтонианами

Oleksandr Gamayun, Oleg Valentinovich Lychkovskiy

Для любого не зависящего от времени гамильтониана $\widetilde H$ можно построить зависящий от времени гамильтониан $H_t$ при помощи калибровочного преобразования $H_t=U_t\kern 1pt \widetilde H \kern 1pt U^\dagger _t-i\kern 1pt U_t\kern 1pt \partial _t U_t^\dagger $. Унитарное преобразование $U_t$ связывает между собой решения соответствующих уравнений Шрeдингера. В многочастичном случае интерес представляют прежде всего гамильтонианы со взаимодействиями, в которых участвует ограниченное число частиц (чаще всего с двухчастичными взаимодействиями). Назовем такие гамильтонианы физическими. В настоящей работе формулируются достаточные условия на $U_t$, обеспечивающие физичность $H_t$ при условии физичности $\widetilde H$ (и наоборот). Таким образом, получается общий метод для поиска пар физических гамильтонианов $H_t,\widetilde H$ таких, что многочастичная динамика под действием внешних зависящих от времени параметров, описываемая гамильтонианом $H_t$, сводится к динамике после квенча, описываемой не зависящим от времени гамильтонианом $\widetilde H$. Этот метод применяется для ряда многочастичных систем. Сначала рассматривается сведение спиновой системы с изотропным гейзенберговским взаимодействием и произвольным зависящим от времени магнитным полем к не зависящей от времени системе без магнитного поля; этот результат был ранее получен Яном, Янгом и Ли (Phys. Lett. A. 1999. V. 251. P. 289-293; V. 259. P. 207-211). Далее показывается, что с помощью аналогичного калибровочного преобразования можно устранить произвольное зависящее от времени магнитное поле из системы взаимодействующих фермионов. Затем данный метод применяется к квантовой модели Изинга и к модели спина, взаимодействующего с бозонным окружением. Также обсуждается более общий случай, когда $\widetilde H = \widetilde H_t$ зависит от времени, но является динамически интегрируемым.

Труды Математического института им Стеклова•Jun 1, 2021•0 citations

Выявление непертурбативных эффектов в модели Сачдева-Йе-Китаева

I. Ya. Aref’eva, Igor Vasil'evich Volovich, Mikhail Alexandrovich Khramtsov

В пределе больших $N$ исследованы седловые точки двух цепочек Сачдева-Йе-Китаева с нелокальным в евклидовом времени взаимодействием. Аналитически изучена свободная модель с порядком фермионного взаимодействия $q=2$, а также проведено численное исследование модели со взаимодействием в случае $q=4$. Показано, что в обоих случаях имеется нетривиальная фазовая структура с бесконечным числом фаз. Каждая фаза соответствует седловой точке модели Сачдева-Йе-Китаева с двумя невзаимодействующими репликами. Когда взаимодействие между репликами выключено, в нетривиальных седловых точках значение реплика-недиагонального коррелятора отлично от нуля в смысле квазисредних. Таким образом, нелокальное взаимодействие между репликами дает протокол, который позволяет превращать непертурбативные сублидирующие эффекты в SYK в неравновесные конфигурации, которые доминируют при больших $N$. Для сравнения также исследованы две цепочки Сачдева-Йе-Китаева с локальным взаимодействием при $q=2$ и $q=4$. Показано, что в модели с $q=2$ имеется аналогичная фазовая структура, тогда как в модели с $q=4$, дуальной проходимой кротовой норе, фазовая структура отличается.

Теоретическая и математическая физика•Oct 29, 2019•0 citations

Квантовое исчисление делителей Фибоначчи и фермионно-бозонная запутанность для бесконечной иерархии $N=2$ суперсимметричных золотых осцилляторов

Oktay K. Pashaev

Квантовое исчисление с двумя основаниями, представленными степенями золотого и серебряного сечений, соотносит производную делителя Фибоначчи с формулой Бине для оператора числа частиц, связанного с делителями Фибоначчи, который действует в фоковском пространстве квантовых состояний. Это дает инструмент для изучения иерархии золотых осцилляторов со спектром энергий в виде делителей Фибоначчи. Приведено обобщение этой модели на суперсимметричный оператор числа частиц, представлена соответствующая формула Бине для оператора числа частиц, задающегося через делители Фибоначчи. Этот оператор определяет гамильтониан иерархии суперсимметричных золотых осцилляторов, действующий в фермионно-бозонном гильбертовом пространстве и принадлежащий $N=2$ суперсимметричной алгебре. Собственные состояния данного оператора числа частиц являются дважды вырожденными и могут быть представлены как точки на суперсфере Блоха. Введен суперсимметричный оператор уничтожения в терминах делителей Фибоначчи, и с его помощью построена иерархия суперсимметричных когерентных состояний как собственных состояний этого оператора. Запутанность фермионов и бозонов в этих состояниях вычисляется с использованием согласованности, которая представляется в виде определителя Грама и выражается через иерархию золотых экспоненциальных функций. Показано, что опорные состояния и соответствующая энтропия фон Неймана, измеряющая запутанность фермионов и бозонов, полностью характеризуются степенями золотого сечения. Приведены геометрическая классификация запутанных состояний на основе шара Фробениуса и интерпретация значения согласованности как удвоенной площади параллелограмма в гильбертовом пространстве.

Теоретическая и математическая физика•Aug 30, 2025•0 citations
Представлен обзор недавно разработанного подхода к изучению свободных точечных частиц на римановых многообразиях, основанного на методе орбит Кириллова, геометрическом квантовании и геометрии лагранжевых подмногообразий. Показано, что если заданы лагранжево подмногообразие M\mathcal{M}M, вложенное в произведение коприсоединенных орбит, и гамильтониан HHH, достигающий своего минимума на этом подмногообразии, то такие данные естественным образом индуцируют динамику свободной точечной частицы на подмногообразии M\mathcal{M}M. Метрика, управляющая этой динамикой, определяется квадратичным разложением HHH в окрестности ее минимума. При квантовании это соответствие устанавливает связь между пространством L2(M)L^2(\mathcal{M})L2(M) и соответствующим гильбертовым пространством спиновой цепочки, а также спектральную эквивалентность между оператором Лапласа-Бельтрами на L2(M)L^2(\mathcal{M})L2(M) и спиновым гамильтонианом. Явные примеры этой конструкции приводятся для частиц на комплексной плоскости, двумерной сфере, многообразиях флагов и гиперболической плоскости.
Показано, что квантовый интеграл по путям может быть представлен в виде функционала единственного пути, удовлетворяющего принципу наименьшего действия (ввиду несовпадения оригинального английского понятия path и русского понятия «траектория» будет употребляться понятие «путь», которое подразумевает параметрическую зависимость координат точки от времени x(t)x(t)x(t), y(t)y(t)y(t), z(t)z(t)z(t)). На этом основании материальные поля, совокупность которых при данном подходе отождествляется с квантовой частицей, представляются в виде непрерывных множеств индивидуальных частиц, механическое движение которых определяет поля физических величин, атрибутов этих индивидуальных частиц в каждый момент времени. Волновая функция стационарного состояния при таком подходе является полем комплексной плотности индивидуальных точек. Модуль комплексной плотности представляет собой нормированную тем или иным образом плотность материи в данной точке пространства, фазовый множитель определяет результат суперпозиции материальных полей. Это позволило преобразовать интегральное уравнение квантовой эволюции к представлению Лагранжа. На примере описания квантового гармонического осциллятора продемонстрирована состоятельность такого подхода.
Если заданы начальное состояние ∣ψI⟩|\psi_{\scriptscriptstyle\mathrm I}\rangle∣ψI​⟩ и конечное состояние ∣ψF⟩|\psi_{\scriptscriptstyle\mathrm{F}}\rangle∣ψF​⟩, то существует множество гамильтонианов, под действием которых ∣ψI⟩|\psi_{\scriptscriptstyle\mathrm I}\rangle∣ψI​⟩ эволюционирует в ∣ψF⟩|\psi_{\scriptscriptstyle\mathrm F}\rangle∣ψF​⟩. При этом большой интерес представляет проблема перехода ∣ψI⟩|\psi_{\scriptscriptstyle\mathrm I}\rangle∣ψI​⟩ в ∣ψF⟩|\psi_{\scriptscriptstyle \mathrm F}\rangle∣ψF​⟩ за наименьшее время. Ранее для эрмитова гамильтониана было показано, что если состояния ∣ψI⟩|\psi_{\scriptscriptstyle\mathrm I}\rangle∣ψI​⟩ и ∣ψF⟩|\psi_{\scriptscriptstyle\mathrm F}\rangle∣ψF​⟩ ортогональны, то существует оптимальное время эволюции. Однако для PTPTPT-симметричного гамильтониана это время может быть произвольно малым, что кажется удивительным. Обсуждается оптимальная временна́я эволюция для псевдоэрмитовых гамильтонианов. При условии ограниченности гамильтониана получена нижняя граница времени эволюции. Оптимальное время эволюции может быть достигнуто в том случае, когда два квантовых состояния ортогональны относительно некоторого скалярного произведения. Результаты для эрмитовых и для псевдоэрмитовых случаев совпадают, если эволюция унитарна относительно некоторого корректно определенного скалярного произведения. Также проанализированы два ранее известных примера и обнаружено, что они согласуются с представленной теорией. Кроме того, на двух примерах даны некоторые пояснения полученных результатов.
Предложено точное аналитическое решение для квантовой динамики заряженной частицы под воздействием зависящего от времени электрического поля и статического магнитного поля, ориентированного вдоль направления оси zzz. С помощью систематического подхода, основанного на последовательном применении унитарных преобразований, изначально трехмерная задача сведена к двумерной системе несвязанных зависящих от времени гармонических осцилляторов. Данный метод порождает свободные параметры, что позволяет налагать ограничения для вывода точного решения уравнения Шредингера с зависящим от времени гамильтонианом, используя вывод квантового пропагатора в явном виде, и показать эквивалентность нашего подхода и ранее разработанного для таких систем метода функционального интеграла. Развитый аппарат позволяет по-новому посмотреть на квантовые системы с зависящими от времени электромагнитными полями, а также предлагает аналитические решения.
Для любого не зависящего от времени гамильтониана H~\widetilde HH можно построить зависящий от времени гамильтониан HtH_tHt​ при помощи калибровочного преобразования $H_t=U_t\kern 1pt \widetilde H \kern 1pt U^\dagger _t-i\kern 1pt U_t\kern 1pt \partial _t U_t^\dagger $. Унитарное преобразование UtU_tUt​ связывает между собой решения соответствующих уравнений Шрeдингера. В многочастичном случае интерес представляют прежде всего гамильтонианы со взаимодействиями, в которых участвует ограниченное число частиц (чаще всего с двухчастичными взаимодействиями). Назовем такие гамильтонианы физическими. В настоящей работе формулируются достаточные условия на UtU_tUt​, обеспечивающие физичность HtH_tHt​ при условии физичности H~\widetilde HH (и наоборот). Таким образом, получается общий метод для поиска пар физических гамильтонианов Ht,H~H_t,\widetilde HHt​,H таких, что многочастичная динамика под действием внешних зависящих от времени параметров, описываемая гамильтонианом HtH_tHt​, сводится к динамике после квенча, описываемой не зависящим от времени гамильтонианом H~\widetilde HH. Этот метод применяется для ряда многочастичных систем. Сначала рассматривается сведение спиновой системы с изотропным гейзенберговским взаимодействием и произвольным зависящим от времени магнитным полем к не зависящей от времени системе без магнитного поля; этот результат был ранее получен Яном, Янгом и Ли (Phys. Lett. A. 1999. V. 251. P. 289-293; V. 259. P. 207-211). Далее показывается, что с помощью аналогичного калибровочного преобразования можно устранить произвольное зависящее от времени магнитное поле из системы взаимодействующих фермионов. Затем данный метод применяется к квантовой модели Изинга и к модели спина, взаимодействующего с бозонным окружением. Также обсуждается более общий случай, когда H~=H~t\widetilde H = \widetilde H_tH=Ht​ зависит от времени, но является динамически интегрируемым.
В пределе больших NNN исследованы седловые точки двух цепочек Сачдева-Йе-Китаева с нелокальным в евклидовом времени взаимодействием. Аналитически изучена свободная модель с порядком фермионного взаимодействия q=2q=2q=2, а также проведено численное исследование модели со взаимодействием в случае q=4q=4q=4. Показано, что в обоих случаях имеется нетривиальная фазовая структура с бесконечным числом фаз. Каждая фаза соответствует седловой точке модели Сачдева-Йе-Китаева с двумя невзаимодействующими репликами. Когда взаимодействие между репликами выключено, в нетривиальных седловых точках значение реплика-недиагонального коррелятора отлично от нуля в смысле квазисредних. Таким образом, нелокальное взаимодействие между репликами дает протокол, который позволяет превращать непертурбативные сублидирующие эффекты в SYK в неравновесные конфигурации, которые доминируют при больших NNN. Для сравнения также исследованы две цепочки Сачдева-Йе-Китаева с локальным взаимодействием при q=2q=2q=2 и q=4q=4q=4. Показано, что в модели с q=2q=2q=2 имеется аналогичная фазовая структура, тогда как в модели с q=4q=4q=4, дуальной проходимой кротовой норе, фазовая структура отличается.
Квантовое исчисление делителей Фибоначчи и фермионно-бозонная запутанность для бесконечной иерархии N=2N=2N=2 суперсимметричных золотых осцилляторов
Квантовое исчисление с двумя основаниями, представленными степенями золотого и серебряного сечений, соотносит производную делителя Фибоначчи с формулой Бине для оператора числа частиц, связанного с делителями Фибоначчи, который действует в фоковском пространстве квантовых состояний. Это дает инструмент для изучения иерархии золотых осцилляторов со спектром энергий в виде делителей Фибоначчи. Приведено обобщение этой модели на суперсимметричный оператор числа частиц, представлена соответствующая формула Бине для оператора числа частиц, задающегося через делители Фибоначчи. Этот оператор определяет гамильтониан иерархии суперсимметричных золотых осцилляторов, действующий в фермионно-бозонном гильбертовом пространстве и принадлежащий N=2N=2N=2 суперсимметричной алгебре. Собственные состояния данного оператора числа частиц являются дважды вырожденными и могут быть представлены как точки на суперсфере Блоха. Введен суперсимметричный оператор уничтожения в терминах делителей Фибоначчи, и с его помощью построена иерархия суперсимметричных когерентных состояний как собственных состояний этого оператора. Запутанность фермионов и бозонов в этих состояниях вычисляется с использованием согласованности, которая представляется в виде определителя Грама и выражается через иерархию золотых экспоненциальных функций. Показано, что опорные состояния и соответствующая энтропия фон Неймана, измеряющая запутанность фермионов и бозонов, полностью характеризуются степенями золотого сечения. Приведены геометрическая классификация запутанных состояний на основе шара Фробениуса и интерпретация значения согласованности как удвоенной площади параллелограмма в гильбертовом пространстве.