Challenges
Datasets
Workspaces
Papers
Discussions
Leaderboard
Log inSign up
Challenges
Datasets
Workspaces
Papers
Discussions
Leaderboard
Blog
Job Board
Q3AS

© 2026 Aqora Quantum S.A.S.

TermsPrivacyLegal Notice

Теоретическая и математическая физика

Оптимальная эволюция для псевдоэрмитовых гамильтонианов

Wenhua Wang, Zhengli Chen, Yun S. Song, Yajing Fan

Published Aug 1, 2020• 0 citations
Publisher

Abstract

Если заданы начальное состояние $|\psi_{\scriptscriptstyle\mathrm I}\rangle$ и конечное состояние $|\psi_{\scriptscriptstyle\mathrm{F}}\rangle$, то существует множество гамильтонианов, под действием которых $|\psi_{\scriptscriptstyle\mathrm I}\rangle$ эволюционирует в $|\psi_{\scriptscriptstyle\mathrm F}\rangle$. При этом большой интерес представляет проблема перехода $|\psi_{\scriptscriptstyle\mathrm I}\rangle$ в $|\psi_{\scriptscriptstyle \mathrm F}\rangle$ за наименьшее время. Ранее для эрмитова гамильтониана было показано, что если состояния $|\psi_{\scriptscriptstyle\mathrm I}\rangle$ и $|\psi_{\scriptscriptstyle\mathrm F}\rangle$ ортогональны, то существует оптимальное время эволюции. Однако для $PT$-симметричного гамильтониана это время может быть произвольно малым, что кажется удивительным. Обсуждается оптимальная временна́я эволюция для псевдоэрмитовых гамильтонианов. При условии ограниченности гамильтониана получена нижняя граница времени эволюции. Оптимальное время эволюции может быть достигнуто в том случае, когда два квантовых состояния ортогональны относительно некоторого скалярного произведения. Результаты для эрмитовых и для псевдоэрмитовых случаев совпадают, если эволюция унитарна относительно некоторого корректно определенного скалярного произведения. Также проанализированы два ранее известных примера и обнаружено, что они согласуются с представленной теорией. Кроме того, на двух примерах даны некоторые пояснения полученных результатов.

DOI
10.4213/tmf9860

Related papers

Адиабатическое приближение эволюции, порожденной $A$-равномерно псевдоэрмитовым гамильтонианом

Wenhua Wang, Huaixin Cao, Zhengli Chen

Обсуждается адиабатическое приближение эволюции квантовой системы, порожденной $A$-равномерно псевдоэрмитовым гамильтонианом $H(t)$. Он представляет собой зависящий от времени оператор, выражающийся через зависящий от времени эрмитов гамильтониан $G(t)$ с помощью не зависящего от времени обратимого оператора $A$. С использованием связи между решениями уравнений эволюции для $H(t)$ и $G(t)$ доказано, что $H(t)$ и $H^{\dagger}(t)$ имеют одни и те же действительные собственные значения, а соответствующие собственные векторы образуют биортогональные базисы Рисса в пространстве состояний. Для адиабатического приближенного решения в случае минимального собственного значения и основного состояния оператора $H(t)$ доказано, что это решение в каждый момент времени совпадает с состоянием системы тогда и только тогда, когда вектор основного состояния не зависит от времени. Также найдены оценки сверху для ошибки адиабатического приближения в терминах нормы разности состояний и в терминах обобщенной степени совпадения. Полученные результаты проиллюстрированы в нескольких примерах.

Теоретическая и математическая физика•Sep 1, 2017•1 citation

Пробуждение и скремблинг в процессе голографического нагрева

Dmitry Sergeevich Ageev, I. Ya. Aref’eva

Методами голографии изучается процесс нагрева в квантовой теории поля. В качестве голографического двойника данного процесса используется поглощение тонкой оболочки безмассовой материи черной браной. Найден явный вид временно́й эволюции квантовой взаимной информации для системы двух интервалов при нагреве от температуры $T_{\mathrm i}$ до температуры $T_{\mathrm f}$ в двумерном пространстве-времени. Определены геометрические характеристики системы, при которых зависимость взаимной информации от времени имеет вид колокола: в начальный момент времени она равна нулю, в некоторый последующий момент времени становится положительной, далее достигает своего максимума и снова уменьшается до нуля. Такое поведение взаимной информации имеет место в процессе фотосинтеза. Показано, что если расстояние $x$ между интервалами меньше $\ln 2/2\pi T_{\mathrm i}$, то эволюция голографической взаимной информации имеет форму колокола лишь при ограниченных сверху и снизу значениях длин интервалов. Для достаточно больших $x$, т. е. при $x>\ln 2/2\pi T_{\mathrm i}$, колоколообразная форма зависимости квантовой взаимной информации от времени присутствует только для достаточно больших интервалов, причем эта зона сужается при повышении $T_{\mathrm i}$ и расширяется при увеличении $T_{\mathrm f}$.

Теоретическая и математическая физика•Oct 1, 2017•2 citations

Отображение между зависящими и не зависящими от времени многочастичными квантовыми гамильтонианами

Oleksandr Gamayun, Oleg Valentinovich Lychkovskiy

Для любого не зависящего от времени гамильтониана $\widetilde H$ можно построить зависящий от времени гамильтониан $H_t$ при помощи калибровочного преобразования $H_t=U_t\kern 1pt \widetilde H \kern 1pt U^\dagger _t-i\kern 1pt U_t\kern 1pt \partial _t U_t^\dagger $. Унитарное преобразование $U_t$ связывает между собой решения соответствующих уравнений Шрeдингера. В многочастичном случае интерес представляют прежде всего гамильтонианы со взаимодействиями, в которых участвует ограниченное число частиц (чаще всего с двухчастичными взаимодействиями). Назовем такие гамильтонианы физическими. В настоящей работе формулируются достаточные условия на $U_t$, обеспечивающие физичность $H_t$ при условии физичности $\widetilde H$ (и наоборот). Таким образом, получается общий метод для поиска пар физических гамильтонианов $H_t,\widetilde H$ таких, что многочастичная динамика под действием внешних зависящих от времени параметров, описываемая гамильтонианом $H_t$, сводится к динамике после квенча, описываемой не зависящим от времени гамильтонианом $\widetilde H$. Этот метод применяется для ряда многочастичных систем. Сначала рассматривается сведение спиновой системы с изотропным гейзенберговским взаимодействием и произвольным зависящим от времени магнитным полем к не зависящей от времени системе без магнитного поля; этот результат был ранее получен Яном, Янгом и Ли (Phys. Lett. A. 1999. V. 251. P. 289-293; V. 259. P. 207-211). Далее показывается, что с помощью аналогичного калибровочного преобразования можно устранить произвольное зависящее от времени магнитное поле из системы взаимодействующих фермионов. Затем данный метод применяется к квантовой модели Изинга и к модели спина, взаимодействующего с бозонным окружением. Также обсуждается более общий случай, когда $\widetilde H = \widetilde H_t$ зависит от времени, но является динамически интегрируемым.

Труды Математического института им Стеклова•Jun 1, 2021•0 citations

О временной эволюции квадратичных квантовых систем: операторы эволюции, пропагаторы, инварианты

Sh. M. Nagiyev, Azer Inshala ogly Ahmadov

Метод оператора эволюции применяется к описанию зависящих от времени квадратичных квантовых систем в рамках нерелятивистской квантовой механики. Для простоты рассматриваются свободная частица с переменной массой $M(t)$, частица с переменной массой $M(t)$ в переменном однородном поле и гармонический осциллятор с переменными массой $M(t)$ и частотой $\omega(t)$, на который действует переменная сила $F(t)$. Чтобы построить в явном распутанном виде операторы эволюции для этих систем, с помощью простой техники находится общее решение определенного класса дифференциальных и конечно-разностных нестационарных уравнений движения типа Шредингера, а также операторные тождества типа Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа. При известных операторах эволюции нетрудно найти в самом общем виде пропагаторы, инварианты любого порядка, волновые функции и установить унитарную связь между системами. Из полученных общих результатов как частные случаи следуют известные в литературе результаты.

Теоретическая и математическая физика•Feb 27, 2019•1 citation

Об эволюции состояний управляемых кубитов

Андрей Игоревич Кириллов, Evgenii Valer'evich Polyachenko

Описано взаимодействие кубита и электромагнитного поля в волноводе согласно модели Ли с использованием того факта, что фотоны в волноводе являются квантами массивного скалярного нейтрального поля. Исследован случай, когда энергия возбужденного состояния кубита больше массы фотона. Найдено стационарное состояние системы "кубит $+$ электромагнитное поле". Описана эволюция нестационарных состояний при начальных условиях общего вида. Приведены результаты численных расчетов при начальных условиях двух типов: 1) кубит находится в возбужденном состоянии, фотон отсутствует; 2) кубит находится в основном состоянии, фотон присутствует. Исследование относится к последовательно квантовой теории управления кубитами с целью перевода их из одного состояния в другое.

Теоретическая и математическая физика•Jul 27, 2021•0 citations

Точечные частицы как спиновые цепочки

Viacheslav Aleksandrovich Krivorol

Представлен обзор недавно разработанного подхода к изучению свободных точечных частиц на римановых многообразиях, основанного на методе орбит Кириллова, геометрическом квантовании и геометрии лагранжевых подмногообразий. Показано, что если заданы лагранжево подмногообразие $\mathcal{M}$, вложенное в произведение коприсоединенных орбит, и гамильтониан $H$, достигающий своего минимума на этом подмногообразии, то такие данные естественным образом индуцируют динамику свободной точечной частицы на подмногообразии $\mathcal{M}$. Метрика, управляющая этой динамикой, определяется квадратичным разложением $H$ в окрестности ее минимума. При квантовании это соответствие устанавливает связь между пространством $L^2(\mathcal{M})$ и соответствующим гильбертовым пространством спиновой цепочки, а также спектральную эквивалентность между оператором Лапласа-Бельтрами на $L^2(\mathcal{M})$ и спиновым гамильтонианом. Явные примеры этой конструкции приводятся для частиц на комплексной плоскости, двумерной сфере, многообразиях флагов и гиперболической плоскости.

Теоретическая и математическая физика•May 31, 2026•0 citations
Если заданы начальное состояние ∣ψI⟩|\psi_{\scriptscriptstyle\mathrm I}\rangle∣ψI​⟩ и конечное состояние ∣ψF⟩|\psi_{\scriptscriptstyle\mathrm{F}}\rangle∣ψF​⟩, то существует множество гамильтонианов, под действием которых ∣ψI⟩|\psi_{\scriptscriptstyle\mathrm I}\rangle∣ψI​⟩ эволюционирует в ∣ψF⟩|\psi_{\scriptscriptstyle\mathrm F}\rangle∣ψF​⟩. При этом большой интерес представляет проблема перехода ∣ψI⟩|\psi_{\scriptscriptstyle\mathrm I}\rangle∣ψI​⟩ в ∣ψF⟩|\psi_{\scriptscriptstyle \mathrm F}\rangle∣ψF​⟩ за наименьшее время. Ранее для эрмитова гамильтониана было показано, что если состояния ∣ψI⟩|\psi_{\scriptscriptstyle\mathrm I}\rangle∣ψI​⟩ и ∣ψF⟩|\psi_{\scriptscriptstyle\mathrm F}\rangle∣ψF​⟩ ортогональны, то существует оптимальное время эволюции. Однако для PTPTPT-симметричного гамильтониана это время может быть произвольно малым, что кажется удивительным. Обсуждается оптимальная временна́я эволюция для псевдоэрмитовых гамильтонианов. При условии ограниченности гамильтониана получена нижняя граница времени эволюции. Оптимальное время эволюции может быть достигнуто в том случае, когда два квантовых состояния ортогональны относительно некоторого скалярного произведения. Результаты для эрмитовых и для псевдоэрмитовых случаев совпадают, если эволюция унитарна относительно некоторого корректно определенного скалярного произведения. Также проанализированы два ранее известных примера и обнаружено, что они согласуются с представленной теорией. Кроме того, на двух примерах даны некоторые пояснения полученных результатов.
Адиабатическое приближение эволюции, порожденной AAA-равномерно псевдоэрмитовым гамильтонианом
Обсуждается адиабатическое приближение эволюции квантовой системы, порожденной AAA-равномерно псевдоэрмитовым гамильтонианом H(t)H(t)H(t). Он представляет собой зависящий от времени оператор, выражающийся через зависящий от времени эрмитов гамильтониан G(t)G(t)G(t) с помощью не зависящего от времени обратимого оператора AAA. С использованием связи между решениями уравнений эволюции для H(t)H(t)H(t) и G(t)G(t)G(t) доказано, что H(t)H(t)H(t) и H†(t)H^{\dagger}(t)H†(t) имеют одни и те же действительные собственные значения, а соответствующие собственные векторы образуют биортогональные базисы Рисса в пространстве состояний. Для адиабатического приближенного решения в случае минимального собственного значения и основного состояния оператора H(t)H(t)H(t) доказано, что это решение в каждый момент времени совпадает с состоянием системы тогда и только тогда, когда вектор основного состояния не зависит от времени. Также найдены оценки сверху для ошибки адиабатического приближения в терминах нормы разности состояний и в терминах обобщенной степени совпадения. Полученные результаты проиллюстрированы в нескольких примерах.
Методами голографии изучается процесс нагрева в квантовой теории поля. В качестве голографического двойника данного процесса используется поглощение тонкой оболочки безмассовой материи черной браной. Найден явный вид временно́й эволюции квантовой взаимной информации для системы двух интервалов при нагреве от температуры TiT_{\mathrm i}Ti​ до температуры TfT_{\mathrm f}Tf​ в двумерном пространстве-времени. Определены геометрические характеристики системы, при которых зависимость взаимной информации от времени имеет вид колокола: в начальный момент времени она равна нулю, в некоторый последующий момент времени становится положительной, далее достигает своего максимума и снова уменьшается до нуля. Такое поведение взаимной информации имеет место в процессе фотосинтеза. Показано, что если расстояние xxx между интервалами меньше ln⁡2/2πTi\ln 2/2\pi T_{\mathrm i}ln2/2πTi​, то эволюция голографической взаимной информации имеет форму колокола лишь при ограниченных сверху и снизу значениях длин интервалов. Для достаточно больших xxx, т. е. при x>ln⁡2/2πTix>\ln 2/2\pi T_{\mathrm i}x>ln2/2πTi​, колоколообразная форма зависимости квантовой взаимной информации от времени присутствует только для достаточно больших интервалов, причем эта зона сужается при повышении TiT_{\mathrm i}Ti​ и расширяется при увеличении TfT_{\mathrm f}Tf​.
Для любого не зависящего от времени гамильтониана H~\widetilde HH можно построить зависящий от времени гамильтониан HtH_tHt​ при помощи калибровочного преобразования $H_t=U_t\kern 1pt \widetilde H \kern 1pt U^\dagger _t-i\kern 1pt U_t\kern 1pt \partial _t U_t^\dagger $. Унитарное преобразование UtU_tUt​ связывает между собой решения соответствующих уравнений Шрeдингера. В многочастичном случае интерес представляют прежде всего гамильтонианы со взаимодействиями, в которых участвует ограниченное число частиц (чаще всего с двухчастичными взаимодействиями). Назовем такие гамильтонианы физическими. В настоящей работе формулируются достаточные условия на UtU_tUt​, обеспечивающие физичность HtH_tHt​ при условии физичности H~\widetilde HH (и наоборот). Таким образом, получается общий метод для поиска пар физических гамильтонианов Ht,H~H_t,\widetilde HHt​,H таких, что многочастичная динамика под действием внешних зависящих от времени параметров, описываемая гамильтонианом HtH_tHt​, сводится к динамике после квенча, описываемой не зависящим от времени гамильтонианом H~\widetilde HH. Этот метод применяется для ряда многочастичных систем. Сначала рассматривается сведение спиновой системы с изотропным гейзенберговским взаимодействием и произвольным зависящим от времени магнитным полем к не зависящей от времени системе без магнитного поля; этот результат был ранее получен Яном, Янгом и Ли (Phys. Lett. A. 1999. V. 251. P. 289-293; V. 259. P. 207-211). Далее показывается, что с помощью аналогичного калибровочного преобразования можно устранить произвольное зависящее от времени магнитное поле из системы взаимодействующих фермионов. Затем данный метод применяется к квантовой модели Изинга и к модели спина, взаимодействующего с бозонным окружением. Также обсуждается более общий случай, когда H~=H~t\widetilde H = \widetilde H_tH=Ht​ зависит от времени, но является динамически интегрируемым.
Метод оператора эволюции применяется к описанию зависящих от времени квадратичных квантовых систем в рамках нерелятивистской квантовой механики. Для простоты рассматриваются свободная частица с переменной массой M(t)M(t)M(t), частица с переменной массой M(t)M(t)M(t) в переменном однородном поле и гармонический осциллятор с переменными массой M(t)M(t)M(t) и частотой ω(t)\omega(t)ω(t), на который действует переменная сила F(t)F(t)F(t). Чтобы построить в явном распутанном виде операторы эволюции для этих систем, с помощью простой техники находится общее решение определенного класса дифференциальных и конечно-разностных нестационарных уравнений движения типа Шредингера, а также операторные тождества типа Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа. При известных операторах эволюции нетрудно найти в самом общем виде пропагаторы, инварианты любого порядка, волновые функции и установить унитарную связь между системами. Из полученных общих результатов как частные случаи следуют известные в литературе результаты.
Описано взаимодействие кубита и электромагнитного поля в волноводе согласно модели Ли с использованием того факта, что фотоны в волноводе являются квантами массивного скалярного нейтрального поля. Исследован случай, когда энергия возбужденного состояния кубита больше массы фотона. Найдено стационарное состояние системы "кубит +++ электромагнитное поле". Описана эволюция нестационарных состояний при начальных условиях общего вида. Приведены результаты численных расчетов при начальных условиях двух типов: 1) кубит находится в возбужденном состоянии, фотон отсутствует; 2) кубит находится в основном состоянии, фотон присутствует. Исследование относится к последовательно квантовой теории управления кубитами с целью перевода их из одного состояния в другое.
Представлен обзор недавно разработанного подхода к изучению свободных точечных частиц на римановых многообразиях, основанного на методе орбит Кириллова, геометрическом квантовании и геометрии лагранжевых подмногообразий. Показано, что если заданы лагранжево подмногообразие M\mathcal{M}M, вложенное в произведение коприсоединенных орбит, и гамильтониан HHH, достигающий своего минимума на этом подмногообразии, то такие данные естественным образом индуцируют динамику свободной точечной частицы на подмногообразии M\mathcal{M}M. Метрика, управляющая этой динамикой, определяется квадратичным разложением HHH в окрестности ее минимума. При квантовании это соответствие устанавливает связь между пространством L2(M)L^2(\mathcal{M})L2(M) и соответствующим гильбертовым пространством спиновой цепочки, а также спектральную эквивалентность между оператором Лапласа-Бельтрами на L2(M)L^2(\mathcal{M})L2(M) и спиновым гамильтонианом. Явные примеры этой конструкции приводятся для частиц на комплексной плоскости, двумерной сфере, многообразиях флагов и гиперболической плоскости.