Теоретическая и математическая физика

Адиабатическое приближение эволюции, порожденной $A$-равномерно псевдоэрмитовым гамильтонианом

Wenhua Wang, Huaixin Cao, Zhengli Chen

Published Sep 1, 2017• 1 citation

Abstract

Обсуждается адиабатическое приближение эволюции квантовой системы, порожденной $A$-равномерно псевдоэрмитовым гамильтонианом $H(t)$. Он представляет собой зависящий от времени оператор, выражающийся через зависящий от времени эрмитов гамильтониан $G(t)$ с помощью не зависящего от времени обратимого оператора $A$. С использованием связи между решениями уравнений эволюции для $H(t)$ и $G(t)$ доказано, что $H(t)$ и $H^{\dagger}(t)$ имеют одни и те же действительные собственные значения, а соответствующие собственные векторы образуют биортогональные базисы Рисса в пространстве состояний. Для адиабатического приближенного решения в случае минимального собственного значения и основного состояния оператора $H(t)$ доказано, что это решение в каждый момент времени совпадает с состоянием системы тогда и только тогда, когда вектор основного состояния не зависит от времени. Также найдены оценки сверху для ошибки адиабатического приближения в терминах нормы разности состояний и в терминах обобщенной степени совпадения. Полученные результаты проиллюстрированы в нескольких примерах.

DOI: 10.4213/tmf9186

Related papers

Отображение между зависящими и не зависящими от времени многочастичными квантовыми гамильтонианами

Oleksandr Gamayun, Oleg Valentinovich Lychkovskiy

Труды Математического института им СтекловаJun 1, 20210 citations

Пробуждение и скремблинг в процессе голографического нагрева

Dmitry Sergeevich Ageev, I. Ya. Aref’eva

Теоретическая и математическая физикаOct 1, 20172 citations

О делокализации квантовой частицы при адиабатической эволюции, порожденной одномерным оператором Шрeдингера

V. A. Sergeev, Aleksandr Aleksandrovich Fedotov

Математические заметкиJan 1, 20221 citation

Границы полунепрерывности для энтропии фон Неймана и частичная мажоризация

Максим Евгеньевич Широков

Математический сборникJan 1, 20260 citations

О временной эволюции квадратичных квантовых систем: операторы эволюции, пропагаторы, инварианты

Sh. M. Nagiyev, Azer Inshala ogly Ahmadov

Теоретическая и математическая физикаFeb 27, 20191 citation

Квазиклассические асимптотики осциллирующего туннелирования для квадратичного гамильтониана на алгебре $\operatorname{su}(1,1)$

Evgenii Viktorovich Vybornyi, Sofia Vasil'evna Rumyantseva

Математические заметкиJan 1, 20221 citation

Теоретическая и математическая физика

Адиабатическое приближение эволюции, порожденной $A$ -равномерно псевдоэрмитовым гамильтонианомАдиабатическое приближение эволюции, порожденной $A$-равномерно псевдоэрмитовым гамильтонианом

Wenhua Wang, Huaixin Cao, Zhengli Chen

Published Sep 1, 2017• 1 citation

Publisher

Abstract

Обсуждается адиабатическое приближение эволюции квантовой системы, порожденной

A

-равномерно псевдоэрмитовым гамильтонианом

H(t)

. Он представляет собой зависящий от времени оператор, выражающийся через зависящий от времени эрмитов гамильтониан

G(t)

с помощью не зависящего от времени обратимого оператора

A

. С использованием связи между решениями уравнений эволюции для

H(t)

G(t)

доказано, что

H(t)

H^{\dagger}(t)

имеют одни и те же действительные собственные значения, а соответствующие собственные векторы образуют биортогональные базисы Рисса в пространстве состояний. Для адиабатического приближенного решения в случае минимального собственного значения и основного состояния оператора

H(t)

доказано, что это решение в каждый момент времени совпадает с состоянием системы тогда и только тогда, когда вектор основного состояния не зависит от времени. Также найдены оценки сверху для ошибки адиабатического приближения в терминах нормы разности состояний и в терминах обобщенной степени совпадения. Полученные результаты проиллюстрированы в нескольких примерах.

DOI: 10.4213/tmf9186

Related papers

Отображение между зависящими и не зависящими от времени многочастичными квантовыми гамильтонианами

Oleksandr Gamayun, Oleg Valentinovich Lychkovskiy

Для любого не зависящего от времени гамильтониана $\widetilde H$ можно построить зависящий от времени гамильтониан $H_t$ при помощи калибровочного преобразования $H_t=U_t\kern 1pt \widetilde H \kern 1pt U^\dagger _t-i\kern 1pt U_t\kern 1pt \partial _t U_t^\dagger $. Унитарное преобразование $U_t$ связывает между собой решения соответствующих уравнений Шрeдингера. В многочастичном случае интерес представляют прежде всего гамильтонианы со взаимодействиями, в которых участвует ограниченное число частиц (чаще всего с двухчастичными взаимодействиями). Назовем такие гамильтонианы физическими. В настоящей работе формулируются достаточные условия на $U_t$ , обеспечивающие физичность $H_t$ при условии физичности $\widetilde H$ (и наоборот). Таким образом, получается общий метод для поиска пар физических гамильтонианов $H_t,\widetilde H$ таких, что многочастичная динамика под действием внешних зависящих от времени параметров, описываемая гамильтонианом $H_t$ , сводится к динамике после квенча, описываемой не зависящим от времени гамильтонианом $\widetilde H$ . Этот метод применяется для ряда многочастичных систем. Сначала рассматривается сведение спиновой системы с изотропным гейзенберговским взаимодействием и произвольным зависящим от времени магнитным полем к не зависящей от времени системе без магнитного поля; этот результат был ранее получен Яном, Янгом и Ли (Phys. Lett. A. 1999. V. 251. P. 289-293; V. 259. P. 207-211). Далее показывается, что с помощью аналогичного калибровочного преобразования можно устранить произвольное зависящее от времени магнитное поле из системы взаимодействующих фермионов. Затем данный метод применяется к квантовой модели Изинга и к модели спина, взаимодействующего с бозонным окружением. Также обсуждается более общий случай, когда $\widetilde H = \widetilde H_t$ зависит от времени, но является динамически интегрируемым.Для любого не зависящего от времени гамильтониана $\widetilde H$ можно построить зависящий от времени гамильтониан $H_t$ при помощи калибровочного преобразования $H_t=U_t\kern 1pt \widetilde H \kern 1pt U^\dagger _t-i\kern 1pt U_t\kern 1pt \partial _t U_t^\dagger $. Унитарное преобразование $U_t$ связывает между собой решения соответствующих уравнений Шрeдингера. В многочастичном случае интерес представляют прежде всего гамильтонианы со взаимодействиями, в которых участвует ограниченное число частиц (чаще всего с двухчастичными взаимодействиями). Назовем такие гамильтонианы физическими. В настоящей работе формулируются достаточные условия на $U_t$, обеспечивающие физичность $H_t$ при условии физичности $\widetilde H$ (и наоборот). Таким образом, получается общий метод для поиска пар физических гамильтонианов $H_t,\widetilde H$ таких, что многочастичная динамика под действием внешних зависящих от времени параметров, описываемая гамильтонианом $H_t$, сводится к динамике после квенча, описываемой не зависящим от времени гамильтонианом $\widetilde H$. Этот метод применяется для ряда многочастичных систем. Сначала рассматривается сведение спиновой системы с изотропным гейзенберговским взаимодействием и произвольным зависящим от времени магнитным полем к не зависящей от времени системе без магнитного поля; этот результат был ранее получен Яном, Янгом и Ли (Phys. Lett. A. 1999. V. 251. P. 289-293; V. 259. P. 207-211). Далее показывается, что с помощью аналогичного калибровочного преобразования можно устранить произвольное зависящее от времени магнитное поле из системы взаимодействующих фермионов. Затем данный метод применяется к квантовой модели Изинга и к модели спина, взаимодействующего с бозонным окружением. Также обсуждается более общий случай, когда $\widetilde H = \widetilde H_t$ зависит от времени, но является динамически интегрируемым.

Труды Математического института им СтекловаJun 1, 20210 citations

Пробуждение и скремблинг в процессе голографического нагрева

Dmitry Sergeevich Ageev, I. Ya. Aref’eva

Методами голографии изучается процесс нагрева в квантовой теории поля. В качестве голографического двойника данного процесса используется поглощение тонкой оболочки безмассовой материи черной браной. Найден явный вид временно́й эволюции квантовой взаимной информации для системы двух интервалов при нагреве от температуры $T_{\mathrm i}$ до температуры $T_{\mathrm f}$ в двумерном пространстве-времени. Определены геометрические характеристики системы, при которых зависимость взаимной информации от времени имеет вид колокола: в начальный момент времени она равна нулю, в некоторый последующий момент времени становится положительной, далее достигает своего максимума и снова уменьшается до нуля. Такое поведение взаимной информации имеет место в процессе фотосинтеза. Показано, что если расстояние $x$ между интервалами меньше $\ln 2/2\pi T_{\mathrm i}$ , то эволюция голографической взаимной информации имеет форму колокола лишь при ограниченных сверху и снизу значениях длин интервалов. Для достаточно больших $x$ , т. е. при $x>\ln 2/2\pi T_{\mathrm i}$ , колоколообразная форма зависимости квантовой взаимной информации от времени присутствует только для достаточно больших интервалов, причем эта зона сужается при повышении $T_{\mathrm i}$ и расширяется при увеличении $T_{\mathrm f}$ .Методами голографии изучается процесс нагрева в квантовой теории поля. В качестве голографического двойника данного процесса используется поглощение тонкой оболочки безмассовой материи черной браной. Найден явный вид временно́й эволюции квантовой взаимной информации для системы двух интервалов при нагреве от температуры $T_{\mathrm i}$ до температуры $T_{\mathrm f}$ в двумерном пространстве-времени. Определены геометрические характеристики системы, при которых зависимость взаимной информации от времени имеет вид колокола: в начальный момент времени она равна нулю, в некоторый последующий момент времени становится положительной, далее достигает своего максимума и снова уменьшается до нуля. Такое поведение взаимной информации имеет место в процессе фотосинтеза. Показано, что если расстояние $x$ между интервалами меньше $\ln 2/2\pi T_{\mathrm i}$, то эволюция голографической взаимной информации имеет форму колокола лишь при ограниченных сверху и снизу значениях длин интервалов. Для достаточно больших $x$, т. е. при $x>\ln 2/2\pi T_{\mathrm i}$, колоколообразная форма зависимости квантовой взаимной информации от времени присутствует только для достаточно больших интервалов, причем эта зона сужается при повышении $T_{\mathrm i}$ и расширяется при увеличении $T_{\mathrm f}$.

Теоретическая и математическая физикаOct 1, 20172 citations

V. A. Sergeev, Aleksandr Aleksandrovich Fedotov

Обсуждается одномерное нестационарное уравнение Шрeдингера в адиабатическом приближении. Соответствующий стационарный оператор $H$ , зависящий от времени как от параметра, имеет непрерывный спектр $\sigma_c=[0,+\infty)$ и конечное число отрицательных собственных значений. Со временем собственные значения подходят к краю $\sigma_c$ и по очереди исчезают. Изучается решение, близкое в некоторый момент к собственной функции $H$ . Пока существует соответствующее собственное значение $\lambda$ , решение локализовано внутри потенциальной ямы. Описана его делокализация при исчезновении $\lambda$ . Библиография: 9 названий.Обсуждается одномерное нестационарное уравнение Шрeдингера в адиабатическом приближении. Соответствующий стационарный оператор $H$, зависящий от времени как от параметра, имеет непрерывный спектр $\sigma_c=[0,+\infty)$ и конечное число отрицательных собственных значений. Со временем собственные значения подходят к краю $\sigma_c$ и по очереди исчезают. Изучается решение, близкое в некоторый момент к собственной функции $H$. Пока существует соответствующее собственное значение $\lambda$, решение локализовано внутри потенциальной ямы. Описана его делокализация при исчезновении $\lambda$. Библиография: 9 названий.

Математические заметкиJan 1, 20221 citation

Границы полунепрерывности для энтропии фон Неймана и частичная мажоризация

Максим Евгеньевич Широков

Получено семейство асимптотически точных оценок сверху для разности $S(\rho)-S(\sigma)$ с ограничением на ранг (соответственно энергию) состояния $\rho$ , которые выполняются при условии, что состояние $\rho$ частично мажорирует состояние $\sigma$ и близко к состоянию $\sigma$ по следовой норме. Оценки сверху в этих семействах зависят от параметра $m$ частичной мажоризации. Оценки сверху, соответствующие $m=0$ , совпадают с (безусловными) оптимальными границами полунепрерывности для энтропии фон Неймана с ограничением на ранг (соответственно энергию), полученными в [1] и [2]. Предлагаются и численно анализируются коррекции этих границ полунепрерывности, зависящие от состояния $\rho$ . Вводится и анализируется понятие $\varepsilon$ -достаточной мажоризационной размерности множества состояний с ограниченной энергией. Также рассматриваются классические версии приведенных выше результатов, сформулированные в терминах распределений вероятностей и энтропии Шеннона. Библиография: 20 названий.Получено семейство асимптотически точных оценок сверху для разности $S(\rho)-S(\sigma)$ с ограничением на ранг (соответственно энергию) состояния $\rho$, которые выполняются при условии, что состояние $\rho$ частично мажорирует состояние $\sigma$ и близко к состоянию $\sigma$ по следовой норме. Оценки сверху в этих семействах зависят от параметра $m$ частичной мажоризации. Оценки сверху, соответствующие $m=0$, совпадают с (безусловными) оптимальными границами полунепрерывности для энтропии фон Неймана с ограничением на ранг (соответственно энергию), полученными в [1] и [2]. Предлагаются и численно анализируются коррекции этих границ полунепрерывности, зависящие от состояния $\rho$. Вводится и анализируется понятие $\varepsilon$-достаточной мажоризационной размерности множества состояний с ограниченной энергией. Также рассматриваются классические версии приведенных выше результатов, сформулированные в терминах распределений вероятностей и энтропии Шеннона. Библиография: 20 названий.

Математический сборникJan 1, 20260 citations

О временной эволюции квадратичных квантовых систем: операторы эволюции, пропагаторы, инварианты

Sh. M. Nagiyev, Azer Inshala ogly Ahmadov

Метод оператора эволюции применяется к описанию зависящих от времени квадратичных квантовых систем в рамках нерелятивистской квантовой механики. Для простоты рассматриваются свободная частица с переменной массой $M(t)$ , частица с переменной массой $M(t)$ в переменном однородном поле и гармонический осциллятор с переменными массой $M(t)$ и частотой $\omega(t)$ , на который действует переменная сила $F(t)$ . Чтобы построить в явном распутанном виде операторы эволюции для этих систем, с помощью простой техники находится общее решение определенного класса дифференциальных и конечно-разностных нестационарных уравнений движения типа Шредингера, а также операторные тождества типа Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа. При известных операторах эволюции нетрудно найти в самом общем виде пропагаторы, инварианты любого порядка, волновые функции и установить унитарную связь между системами. Из полученных общих результатов как частные случаи следуют известные в литературе результаты.Метод оператора эволюции применяется к описанию зависящих от времени квадратичных квантовых систем в рамках нерелятивистской квантовой механики. Для простоты рассматриваются свободная частица с переменной массой $M(t)$, частица с переменной массой $M(t)$ в переменном однородном поле и гармонический осциллятор с переменными массой $M(t)$ и частотой $\omega(t)$, на который действует переменная сила $F(t)$. Чтобы построить в явном распутанном виде операторы эволюции для этих систем, с помощью простой техники находится общее решение определенного класса дифференциальных и конечно-разностных нестационарных уравнений движения типа Шредингера, а также операторные тождества типа Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа. При известных операторах эволюции нетрудно найти в самом общем виде пропагаторы, инварианты любого порядка, волновые функции и установить унитарную связь между системами. Из полученных общих результатов как частные случаи следуют известные в литературе результаты.

Теоретическая и математическая физикаFeb 27, 20191 citation

Квазиклассические асимптотики осциллирующего туннелирования для квадратичного гамильтониана на алгебре $\operatorname{su}(1,1)$ Квазиклассические асимптотики осциллирующего туннелирования для квадратичного гамильтониана на алгебре $\operatorname{su}(1,1)$

Evgenii Viktorovich Vybornyi, Sofia Vasil'evna Rumyantseva

В работе рассмотрена задача построения квазиклассических асимптотик туннельного расщепления спектра оператора, заданного на неприводимом представлении алгебры Ли $\operatorname{su}(1,1)$ . Предполагается, что оператор является квадратичной функцией от образующих алгебры. Представлены когерентные состояния и когерентное унитарное преобразование, которое позволяют свести задачу к рассмотрению дифференциального оператора второго порядка в пространстве голоморфных функций. В работе построены квазиклассические асимптотические спектральные серии и соответствующие волновые функции в виде разложений по когерентным состояниям. При определенных параметрах системы, минимальная энергия отвечает паре невырожденных положений равновесия, а дискретный спектр оператора имеет экспоненциально малое туннельное расщепление уровней. Путем применения комплексного метода ВКБ в работе доказаны асимптотические формулы для туннельного расщепления энергий. Показано, что в отличие от одномерного оператора Шрeдингера туннельное расщепление в данной задаче не только экспоненциально убывает, но также содержит осциллирующий множитель, что можно интерпретировать как интерференцию туннелирования по различным инстантонам. Показано также, что при определенных значениях параметров возникает полное подавление туннелирования и двукратное вырождение части уровней спектра, что нетипично для одномерных систем. Библиография: 35 названий.В работе рассмотрена задача построения квазиклассических асимптотик туннельного расщепления спектра оператора, заданного на неприводимом представлении алгебры Ли $\operatorname{su}(1,1)$. Предполагается, что оператор является квадратичной функцией от образующих алгебры. Представлены когерентные состояния и когерентное унитарное преобразование, которое позволяют свести задачу к рассмотрению дифференциального оператора второго порядка в пространстве голоморфных функций. В работе построены квазиклассические асимптотические спектральные серии и соответствующие волновые функции в виде разложений по когерентным состояниям. При определенных параметрах системы, минимальная энергия отвечает паре невырожденных положений равновесия, а дискретный спектр оператора имеет экспоненциально малое туннельное расщепление уровней. Путем применения комплексного метода ВКБ в работе доказаны асимптотические формулы для туннельного расщепления энергий. Показано, что в отличие от одномерного оператора Шрeдингера туннельное расщепление в данной задаче не только экспоненциально убывает, но также содержит осциллирующий множитель, что можно интерпретировать как интерференцию туннелирования по различным инстантонам. Показано также, что при определенных значениях параметров возникает полное подавление туннелирования и двукратное вырождение части уровней спектра, что нетипично для одномерных систем. Библиография: 35 названий.

Математические заметкиJan 1, 20221 citation

Адиабатическое приближение эволюции, порожденной

A

-равномерно псевдоэрмитовым гамильтонианом

Обсуждается адиабатическое приближение эволюции квантовой системы, порожденной

A

-равномерно псевдоэрмитовым гамильтонианом

H(t)

G(t)

с помощью не зависящего от времени обратимого оператора

A

. С использованием связи между решениями уравнений эволюции для

H(t)

G(t)

доказано, что

H(t)

H^{\dagger}(t)

H(t)

Для любого не зависящего от времени гамильтониана

\widetilde H

можно построить зависящий от времени гамильтониан

H_t

при помощи калибровочного преобразования $H_t=U_t\kern 1pt \widetilde H \kern 1pt U^\dagger _t-i\kern 1pt U_t\kern 1pt \partial _t U_t^\dagger $. Унитарное преобразование

U_t

связывает между собой решения соответствующих уравнений Шрeдингера. В многочастичном случае интерес представляют прежде всего гамильтонианы со взаимодействиями, в которых участвует ограниченное число частиц (чаще всего с двухчастичными взаимодействиями). Назовем такие гамильтонианы физическими. В настоящей работе формулируются достаточные условия на

U_t

, обеспечивающие физичность

H_t

при условии физичности

\widetilde H

(и наоборот). Таким образом, получается общий метод для поиска пар физических гамильтонианов

H_t,\widetilde H

таких, что многочастичная динамика под действием внешних зависящих от времени параметров, описываемая гамильтонианом

H_t

, сводится к динамике после квенча, описываемой не зависящим от времени гамильтонианом

\widetilde H

. Этот метод применяется для ряда многочастичных систем. Сначала рассматривается сведение спиновой системы с изотропным гейзенберговским взаимодействием и произвольным зависящим от времени магнитным полем к не зависящей от времени системе без магнитного поля; этот результат был ранее получен Яном, Янгом и Ли (Phys. Lett. A. 1999. V. 251. P. 289-293; V. 259. P. 207-211). Далее показывается, что с помощью аналогичного калибровочного преобразования можно устранить произвольное зависящее от времени магнитное поле из системы взаимодействующих фермионов. Затем данный метод применяется к квантовой модели Изинга и к модели спина, взаимодействующего с бозонным окружением. Также обсуждается более общий случай, когда

\widetilde H = \widetilde H_t

зависит от времени, но является динамически интегрируемым.

T_{\mathrm i}

до температуры

T_{\mathrm f}

в двумерном пространстве-времени. Определены геометрические характеристики системы, при которых зависимость взаимной информации от времени имеет вид колокола: в начальный момент времени она равна нулю, в некоторый последующий момент времени становится положительной, далее достигает своего максимума и снова уменьшается до нуля. Такое поведение взаимной информации имеет место в процессе фотосинтеза. Показано, что если расстояние

x

между интервалами меньше

\ln 2/2\pi T_{\mathrm i}

, то эволюция голографической взаимной информации имеет форму колокола лишь при ограниченных сверху и снизу значениях длин интервалов. Для достаточно больших

x

, т. е. при

x>\ln 2/2\pi T_{\mathrm i}

, колоколообразная форма зависимости квантовой взаимной информации от времени присутствует только для достаточно больших интервалов, причем эта зона сужается при повышении

T_{\mathrm i}

и расширяется при увеличении

T_{\mathrm f}

Обсуждается одномерное нестационарное уравнение Шрeдингера в адиабатическом приближении. Соответствующий стационарный оператор

H

, зависящий от времени как от параметра, имеет непрерывный спектр

\sigma_c=[0,+\infty)

и конечное число отрицательных собственных значений. Со временем собственные значения подходят к краю

\sigma_c

и по очереди исчезают. Изучается решение, близкое в некоторый момент к собственной функции

H

. Пока существует соответствующее собственное значение

\lambda

, решение локализовано внутри потенциальной ямы. Описана его делокализация при исчезновении

\lambda

. Библиография: 9 названий.

Получено семейство асимптотически точных оценок сверху для разности

S(\rho)-S(\sigma)

с ограничением на ранг (соответственно энергию) состояния

\rho

, которые выполняются при условии, что состояние

\rho

частично мажорирует состояние

\sigma

и близко к состоянию

\sigma

по следовой норме. Оценки сверху в этих семействах зависят от параметра

m

частичной мажоризации. Оценки сверху, соответствующие

m=0

, совпадают с (безусловными) оптимальными границами полунепрерывности для энтропии фон Неймана с ограничением на ранг (соответственно энергию), полученными в [1] и [2]. Предлагаются и численно анализируются коррекции этих границ полунепрерывности, зависящие от состояния

\rho

. Вводится и анализируется понятие

\varepsilon

-достаточной мажоризационной размерности множества состояний с ограниченной энергией. Также рассматриваются классические версии приведенных выше результатов, сформулированные в терминах распределений вероятностей и энтропии Шеннона. Библиография: 20 названий.

M(t)

, частица с переменной массой

M(t)

в переменном однородном поле и гармонический осциллятор с переменными массой

M(t)

и частотой

\omega(t)

, на который действует переменная сила

F(t)

. Чтобы построить в явном распутанном виде операторы эволюции для этих систем, с помощью простой техники находится общее решение определенного класса дифференциальных и конечно-разностных нестационарных уравнений движения типа Шредингера, а также операторные тождества типа Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа. При известных операторах эволюции нетрудно найти в самом общем виде пропагаторы, инварианты любого порядка, волновые функции и установить унитарную связь между системами. Из полученных общих результатов как частные случаи следуют известные в литературе результаты.

Квазиклассические асимптотики осциллирующего туннелирования для квадратичного гамильтониана на алгебре

\operatorname{su}(1,1)

В работе рассмотрена задача построения квазиклассических асимптотик туннельного расщепления спектра оператора, заданного на неприводимом представлении алгебры Ли

\operatorname{su}(1,1)

. Предполагается, что оператор является квадратичной функцией от образующих алгебры. Представлены когерентные состояния и когерентное унитарное преобразование, которое позволяют свести задачу к рассмотрению дифференциального оператора второго порядка в пространстве голоморфных функций. В работе построены квазиклассические асимптотические спектральные серии и соответствующие волновые функции в виде разложений по когерентным состояниям. При определенных параметрах системы, минимальная энергия отвечает паре невырожденных положений равновесия, а дискретный спектр оператора имеет экспоненциально малое туннельное расщепление уровней. Путем применения комплексного метода ВКБ в работе доказаны асимптотические формулы для туннельного расщепления энергий. Показано, что в отличие от одномерного оператора Шрeдингера туннельное расщепление в данной задаче не только экспоненциально убывает, но также содержит осциллирующий множитель, что можно интерпретировать как интерференцию туннелирования по различным инстантонам. Показано также, что при определенных значениях параметров возникает полное подавление туннелирования и двукратное вырождение части уровней спектра, что нетипично для одномерных систем. Библиография: 35 названий.