Challenges
Datasets
Workspaces
Papers
Discussions
Leaderboard
Log inSign up
Challenges
Datasets
Workspaces
Papers
Discussions
Leaderboard
Blog
Job Board
Q3AS

© 2026 Aqora Quantum S.A.S.

TermsPrivacyLegal Notice

Математический сборник

Границы полунепрерывности для энтропии фон Неймана и частичная мажоризация

Максим Евгеньевич Широков

Published Jan 1, 2026• 0 citations
Publisher

Abstract

Получено семейство асимптотически точных оценок сверху для разности $S(\rho)-S(\sigma)$ с ограничением на ранг (соответственно энергию) состояния $\rho$, которые выполняются при условии, что состояние $\rho$ частично мажорирует состояние $\sigma$ и близко к состоянию $\sigma$ по следовой норме. Оценки сверху в этих семействах зависят от параметра $m$ частичной мажоризации. Оценки сверху, соответствующие $m=0$, совпадают с (безусловными) оптимальными границами полунепрерывности для энтропии фон Неймана с ограничением на ранг (соответственно энергию), полученными в [1] и [2]. Предлагаются и численно анализируются коррекции этих границ полунепрерывности, зависящие от состояния $\rho$. Вводится и анализируется понятие $\varepsilon$-достаточной мажоризационной размерности множества состояний с ограниченной энергией. Также рассматриваются классические версии приведенных выше результатов, сформулированные в терминах распределений вероятностей и энтропии Шеннона. Библиография: 20 названий.

DOI
10.4213/sm10371

Related papers

Адиабатическое приближение эволюции, порожденной $A$-равномерно псевдоэрмитовым гамильтонианом

Wenhua Wang, Huaixin Cao, Zhengli Chen

Обсуждается адиабатическое приближение эволюции квантовой системы, порожденной $A$-равномерно псевдоэрмитовым гамильтонианом $H(t)$. Он представляет собой зависящий от времени оператор, выражающийся через зависящий от времени эрмитов гамильтониан $G(t)$ с помощью не зависящего от времени обратимого оператора $A$. С использованием связи между решениями уравнений эволюции для $H(t)$ и $G(t)$ доказано, что $H(t)$ и $H^{\dagger}(t)$ имеют одни и те же действительные собственные значения, а соответствующие собственные векторы образуют биортогональные базисы Рисса в пространстве состояний. Для адиабатического приближенного решения в случае минимального собственного значения и основного состояния оператора $H(t)$ доказано, что это решение в каждый момент времени совпадает с состоянием системы тогда и только тогда, когда вектор основного состояния не зависит от времени. Также найдены оценки сверху для ошибки адиабатического приближения в терминах нормы разности состояний и в терминах обобщенной степени совпадения. Полученные результаты проиллюстрированы в нескольких примерах.

Теоретическая и математическая физика•Sep 1, 2017•1 citation

Преобразования масштаба в фазовом пространстве и растянутые состояния гармонического осциллятора

V. A. Andreev, Д М Давидович, Ljubica Davidović +2 more

Рассматриваются преобразования масштаба $(q,p)\to(\lambda q,\lambda p)$ в фазовом пространстве. Они индуцируют преобразования функций Хусими $H(q,p)$, заданных на этом пространстве. Рассматриваются функции Хусими состояний, которые являются произвольной суперпозицией $n$-частичных состояний гармонического осциллятора. Развит метод, позволяющий находить так называемые растянутые состояния, в которые преобразуются эти суперпозиции при таком преобразовании масштаба. Изучены их свойства. Вычислены в явном виде матрицы плотности этих растянутых состояний. Установлено, что структуру матриц плотности можно описать, используя отрицательные биномиальные распределения. Для растянутых состояний найдены выражения для их энергии и энтропии и вычислены средние значения оператора числа состояний. Показано, какой вид принимают для растянутых состояний соотношения неопределенностей Гейзенберга и Робертсона-Шредингера.

Теоретическая и математическая физика•Jul 1, 2017•0 citations

Замечания о квантовых марковских состояниях

Z. I. Bezhaeva, Valery Iustinovich Oseledets

Определение квантового марковского состояния было дано Аккарди в 1975 г. В классическом случае это определение дает скрытые марковские меры, которые, вообще говоря, марковскими не являются. Марковскую меру можно задать с помощью неотрицательной трансфер матрицы. Мы выделяем с помощью неотрицательно определенных трансфер матриц класс квантовых марковских состояний (в смысле Аккарди) на $C^*$-индуктивном пределе матричных алгебр $M_{d^n}$. Определенные Аккарди и Фидалео сцепленные квантовые марковские состояния входят в наш класс. Для случая, когда неотрицательно определенная матрица имеет ранг $1$, мы вычисляем спектр и собственные вектора матриц плотности, задающих квантовое марковское состояние. Последовательность энтропий фон Неймана этих матриц плотности ограничена.

Функциональный анализ и его приложения•Jan 1, 2015•0 citations

Применение и оптимизация зависящих от времени скоростей декогеренции и когерентного управления для кутрита

Oleg Vasilevich Morzhin, Alexander Nikolaevich Pechen

Рассматривается открытый кутрит, эволюция матрицы плотности $\rho (t)$ которого определяется мастер-уравнением Горини-Коссаковского-Сударшана-Линдблада с одновременными когерентным (в гамильтониане) и некогерентным (в супероператоре диссипации) управлениями. Для управления кутритами в работе предлагается использовать не только когерентное управление, но и, вообще говоря, зависящие от времени скорости декогеренции, которые настраиваются так называемым некогерентным управлением. В данном подходе некогерентное управление делает скорости декогеренции зависящими от времени специфическим контролируемым образом и в рамках четкого физического механизма. Рассматриваются задача максимизации перекрытия Гильберта-Шмидта между конечным состоянием системы $\rho (T)$ и заданным целевым состоянием $\rho _{target}$ и задача минимизации квадрата расстояния Гильберта-Шмидта между этими состояниями. Для обеих задач производится овеществление, строятся соответствующие функции Понтрягина, сопряженные системы (с двумя вариантами условий трансверсальности для двух терминальных критериев) и градиенты целевых функционалов, адаптируются одно-, двух- и трехшаговые методы проекции градиента. Для задачи максимизации среднего также адаптируется регуляризованный метод Кротова первого порядка. В вычислительных экспериментах анализируются, во-первых, работа методов и, во-вторых, получаемые процессы управления с точки зрения рассмотрения окружения как ресурса в виде некогерентного управления.

Труды Математического института им Стеклова•Mar 1, 2024•0 citations

Квазиклассические асимптотики осциллирующего туннелирования для квадратичного гамильтониана на алгебре $\operatorname{su}(1,1)$

Evgenii Viktorovich Vybornyi, Sofia Vasil'evna Rumyantseva

В работе рассмотрена задача построения квазиклассических асимптотик туннельного расщепления спектра оператора, заданного на неприводимом представлении алгебры Ли $\operatorname{su}(1,1)$. Предполагается, что оператор является квадратичной функцией от образующих алгебры. Представлены когерентные состояния и когерентное унитарное преобразование, которое позволяют свести задачу к рассмотрению дифференциального оператора второго порядка в пространстве голоморфных функций. В работе построены квазиклассические асимптотические спектральные серии и соответствующие волновые функции в виде разложений по когерентным состояниям. При определенных параметрах системы, минимальная энергия отвечает паре невырожденных положений равновесия, а дискретный спектр оператора имеет экспоненциально малое туннельное расщепление уровней. Путем применения комплексного метода ВКБ в работе доказаны асимптотические формулы для туннельного расщепления энергий. Показано, что в отличие от одномерного оператора Шрeдингера туннельное расщепление в данной задаче не только экспоненциально убывает, но также содержит осциллирующий множитель, что можно интерпретировать как интерференцию туннелирования по различным инстантонам. Показано также, что при определенных значениях параметров возникает полное подавление туннелирования и двукратное вырождение части уровней спектра, что нетипично для одномерных систем. Библиография: 35 названий.

Математические заметки•Jan 1, 2022•1 citation

Точное решение одномерного, зависящего от времени уравнения Шредингера с прямоугольной потенциальной ямой (барьером) и его применения

Виктор Федорович Лось, Николай Викторович Лось

ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОМЕРНОГО, ЗАВИСЯЩЕГО ОТ ВРЕМЕНИ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА С ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМОЙ (БАРЬЕРОМ) И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ Получено точное одномерное, зависящее от времени решение для волновой функции ψ(x, t) движущейся частицы в присутствии прямоугольной ямы (барьера).Решение, справедливое как для ямы, так и для барьера, определяется в терминах интегралов от элементарных функций и представляет собой сумму компонент волнового пакета, движущихся в прямом и обратном направлениях.Рассмотрены и численно визуализированы относительный вклад этих компонент и их интерференции в плотность вероятности |ψ(x, t)| 2 , время прибытия и время пребывания частиц для узкого и широкого распределений по энергии (импульсу) в исходном гауссовом волновом пакете.Показано, что в случае широкого исходного волнового пакета существенным становится интуитивно неочевидный квантово-механический эффект влияния компонент, движущихся в обратном направлении, на рассматриваемые величины.

Теоретическая и математическая физика•Jan 1, 2013•0 citations
Получено семейство асимптотически точных оценок сверху для разности S(ρ)−S(σ)S(\rho)-S(\sigma)S(ρ)−S(σ) с ограничением на ранг (соответственно энергию) состояния ρ\rhoρ, которые выполняются при условии, что состояние ρ\rhoρ частично мажорирует состояние σ\sigmaσ и близко к состоянию σ\sigmaσ по следовой норме. Оценки сверху в этих семействах зависят от параметра mmm частичной мажоризации. Оценки сверху, соответствующие m=0m=0m=0, совпадают с (безусловными) оптимальными границами полунепрерывности для энтропии фон Неймана с ограничением на ранг (соответственно энергию), полученными в [1] и [2]. Предлагаются и численно анализируются коррекции этих границ полунепрерывности, зависящие от состояния ρ\rhoρ. Вводится и анализируется понятие ε\varepsilonε-достаточной мажоризационной размерности множества состояний с ограниченной энергией. Также рассматриваются классические версии приведенных выше результатов, сформулированные в терминах распределений вероятностей и энтропии Шеннона. Библиография: 20 названий.
Адиабатическое приближение эволюции, порожденной AAA-равномерно псевдоэрмитовым гамильтонианом
Обсуждается адиабатическое приближение эволюции квантовой системы, порожденной AAA-равномерно псевдоэрмитовым гамильтонианом H(t)H(t)H(t). Он представляет собой зависящий от времени оператор, выражающийся через зависящий от времени эрмитов гамильтониан G(t)G(t)G(t) с помощью не зависящего от времени обратимого оператора AAA. С использованием связи между решениями уравнений эволюции для H(t)H(t)H(t) и G(t)G(t)G(t) доказано, что H(t)H(t)H(t) и H†(t)H^{\dagger}(t)H†(t) имеют одни и те же действительные собственные значения, а соответствующие собственные векторы образуют биортогональные базисы Рисса в пространстве состояний. Для адиабатического приближенного решения в случае минимального собственного значения и основного состояния оператора H(t)H(t)H(t) доказано, что это решение в каждый момент времени совпадает с состоянием системы тогда и только тогда, когда вектор основного состояния не зависит от времени. Также найдены оценки сверху для ошибки адиабатического приближения в терминах нормы разности состояний и в терминах обобщенной степени совпадения. Полученные результаты проиллюстрированы в нескольких примерах.
Рассматриваются преобразования масштаба (q,p)→(λq,λp)(q,p)\to(\lambda q,\lambda p)(q,p)→(λq,λp) в фазовом пространстве. Они индуцируют преобразования функций Хусими H(q,p)H(q,p)H(q,p), заданных на этом пространстве. Рассматриваются функции Хусими состояний, которые являются произвольной суперпозицией nnn-частичных состояний гармонического осциллятора. Развит метод, позволяющий находить так называемые растянутые состояния, в которые преобразуются эти суперпозиции при таком преобразовании масштаба. Изучены их свойства. Вычислены в явном виде матрицы плотности этих растянутых состояний. Установлено, что структуру матриц плотности можно описать, используя отрицательные биномиальные распределения. Для растянутых состояний найдены выражения для их энергии и энтропии и вычислены средние значения оператора числа состояний. Показано, какой вид принимают для растянутых состояний соотношения неопределенностей Гейзенберга и Робертсона-Шредингера.
Определение квантового марковского состояния было дано Аккарди в 1975 г. В классическом случае это определение дает скрытые марковские меры, которые, вообще говоря, марковскими не являются. Марковскую меру можно задать с помощью неотрицательной трансфер матрицы. Мы выделяем с помощью неотрицательно определенных трансфер матриц класс квантовых марковских состояний (в смысле Аккарди) на C∗C^*C∗-индуктивном пределе матричных алгебр MdnM_{d^n}Mdn​. Определенные Аккарди и Фидалео сцепленные квантовые марковские состояния входят в наш класс. Для случая, когда неотрицательно определенная матрица имеет ранг 111, мы вычисляем спектр и собственные вектора матриц плотности, задающих квантовое марковское состояние. Последовательность энтропий фон Неймана этих матриц плотности ограничена.
Рассматривается открытый кутрит, эволюция матрицы плотности ρ(t)\rho (t)ρ(t) которого определяется мастер-уравнением Горини-Коссаковского-Сударшана-Линдблада с одновременными когерентным (в гамильтониане) и некогерентным (в супероператоре диссипации) управлениями. Для управления кутритами в работе предлагается использовать не только когерентное управление, но и, вообще говоря, зависящие от времени скорости декогеренции, которые настраиваются так называемым некогерентным управлением. В данном подходе некогерентное управление делает скорости декогеренции зависящими от времени специфическим контролируемым образом и в рамках четкого физического механизма. Рассматриваются задача максимизации перекрытия Гильберта-Шмидта между конечным состоянием системы ρ(T)\rho (T)ρ(T) и заданным целевым состоянием ρtarget\rho _{target}ρtarget​ и задача минимизации квадрата расстояния Гильберта-Шмидта между этими состояниями. Для обеих задач производится овеществление, строятся соответствующие функции Понтрягина, сопряженные системы (с двумя вариантами условий трансверсальности для двух терминальных критериев) и градиенты целевых функционалов, адаптируются одно-, двух- и трехшаговые методы проекции градиента. Для задачи максимизации среднего также адаптируется регуляризованный метод Кротова первого порядка. В вычислительных экспериментах анализируются, во-первых, работа методов и, во-вторых, получаемые процессы управления с точки зрения рассмотрения окружения как ресурса в виде некогерентного управления.
Квазиклассические асимптотики осциллирующего туннелирования для квадратичного гамильтониана на алгебре su⁡(1,1)\operatorname{su}(1,1)su(1,1)
В работе рассмотрена задача построения квазиклассических асимптотик туннельного расщепления спектра оператора, заданного на неприводимом представлении алгебры Ли su⁡(1,1)\operatorname{su}(1,1)su(1,1). Предполагается, что оператор является квадратичной функцией от образующих алгебры. Представлены когерентные состояния и когерентное унитарное преобразование, которое позволяют свести задачу к рассмотрению дифференциального оператора второго порядка в пространстве голоморфных функций. В работе построены квазиклассические асимптотические спектральные серии и соответствующие волновые функции в виде разложений по когерентным состояниям. При определенных параметрах системы, минимальная энергия отвечает паре невырожденных положений равновесия, а дискретный спектр оператора имеет экспоненциально малое туннельное расщепление уровней. Путем применения комплексного метода ВКБ в работе доказаны асимптотические формулы для туннельного расщепления энергий. Показано, что в отличие от одномерного оператора Шрeдингера туннельное расщепление в данной задаче не только экспоненциально убывает, но также содержит осциллирующий множитель, что можно интерпретировать как интерференцию туннелирования по различным инстантонам. Показано также, что при определенных значениях параметров возникает полное подавление туннелирования и двукратное вырождение части уровней спектра, что нетипично для одномерных систем. Библиография: 35 названий.
ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОМЕРНОГО, ЗАВИСЯЩЕГО ОТ ВРЕМЕНИ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА С ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМОЙ (БАРЬЕРОМ) И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ Получено точное одномерное, зависящее от времени решение для волновой функции ψ(x, t) движущейся частицы в присутствии прямоугольной ямы (барьера).Решение, справедливое как для ямы, так и для барьера, определяется в терминах интегралов от элементарных функций и представляет собой сумму компонент волнового пакета, движущихся в прямом и обратном направлениях.Рассмотрены и численно визуализированы относительный вклад этих компонент и их интерференции в плотность вероятности |ψ(x, t)| 2 , время прибытия и время пребывания частиц для узкого и широкого распределений по энергии (импульсу) в исходном гауссовом волновом пакете.Показано, что в случае широкого исходного волнового пакета существенным становится интуитивно неочевидный квантово-механический эффект влияния компонент, движущихся в обратном направлении, на рассматриваемые величины.