Функциональный анализ и его приложения

Свойство эрмитовости и простота спектра подалгебр Бете в янгианах

Inna Mashanova-Golikova

Published Jan 1, 2022• 0 citations

Abstract

Образ подалгебры Бете $B(C)$ в тензорном произведении представлений янгиана $Y(\mathfrak{gl}_n)$ содержит полный набор гамильтонианов магнитной цепочки Гейзенберга ХХХ. Главная задача в интегрируемой системе ХХХ - это диагонализация операторов, которыми действуют элементы подалгебр Бете в соответствующих представлениях янгиана. Стандартным подходом к решению данной задачи является анзац Бете. В качестве первого шага в решении данной задачи, мы хотим показать, что у собственных значений этих операторов нет кратностей. В данной работе мы получили несколько новых результатов о простоте спектров подалгебр Бете в модулях Кириллова-Решетихина в случае $Y(\mathfrak{g})$, где $\mathfrak{g}$ - простая алгебра Ли.

DOI: 10.4213/faa4021

Related papers

Производящая функция для скалярных произведений в алгебраическом анзаце Бете

Никита Андреевич Славнов

Теоретическая и математическая физикаAug 29, 20200 citations

Квазиклассические асимптотики осциллирующего туннелирования для квадратичного гамильтониана на алгебре $\operatorname{su}(1,1)$

Evgenii Viktorovich Vybornyi, Sofia Vasil'evna Rumyantseva

Математические заметкиJan 1, 20221 citation

Построение собственных функций системы квантовых миноров матрицы монодромии $SL(n,\mathbb C)$-инвариантной спиновой цепочки

P. A. Valinevich, Sergey E. Derkachov, P. P. Kulish +1 more

Теоретическая и математическая физикаNov 1, 20164 citations

Векторы Бете в ортогональных интегрируемых моделях

Andrii Nikolaevich Liashyk, Stanislav Zdislavovich Pakuliak, E. Ragoucy +1 more

Теоретическая и математическая физикаOct 29, 20191 citation

$R$-матричные тождества, связанные с эллиптическими анизотропными спиновыми операторами Руйсенарса-Макдональда

Mariya Georgievna Matushko, Andrei Vladimirovich Zotov

Теоретическая и математическая физикаOct 29, 20221 citation

Открытые квантовые случайные блуждания и квантовые марковские цепи

Ameur Dhahri, Farrukh Maksutovich Mukhamedov

Функциональный анализ и его приложенияJan 1, 20191 citation

Функциональный анализ и его приложения

Свойство эрмитовости и простота спектра подалгебр Бете в янгианах

Inna Mashanova-Golikova

Published Jan 1, 2022• 0 citations

Publisher

Abstract

Образ подалгебры Бете

B(C)

в тензорном произведении представлений янгиана

Y(\mathfrak{gl}_n)

содержит полный набор гамильтонианов магнитной цепочки Гейзенберга ХХХ. Главная задача в интегрируемой системе ХХХ - это диагонализация операторов, которыми действуют элементы подалгебр Бете в соответствующих представлениях янгиана. Стандартным подходом к решению данной задачи является анзац Бете. В качестве первого шага в решении данной задачи, мы хотим показать, что у собственных значений этих операторов нет кратностей. В данной работе мы получили несколько новых результатов о простоте спектров подалгебр Бете в модулях Кириллова-Решетихина в случае

Y(\mathfrak{g})

, где

\mathfrak{g}

- простая алгебра Ли.

DOI: 10.4213/faa4021

Related papers

Производящая функция для скалярных произведений в алгебраическом анзаце Бете

Никита Андреевич Славнов

Построено семейство детерминантных представлений для скалярных произведений векторов Бете в моделях с $\mathfrak{gl}(3)$ -симметрией. Данное семейство задается одной производящей функцией, которая содержит произвольные комплексные параметры, но не зависит от их конкретных значений. Выбирая эти параметры различным образом, можно получить различные детерминантные представления.Построено семейство детерминантных представлений для скалярных произведений векторов Бете в моделях с $\mathfrak{gl}(3)$-симметрией. Данное семейство задается одной производящей функцией, которая содержит произвольные комплексные параметры, но не зависит от их конкретных значений. Выбирая эти параметры различным образом, можно получить различные детерминантные представления.

Теоретическая и математическая физикаAug 29, 20200 citations

Квазиклассические асимптотики осциллирующего туннелирования для квадратичного гамильтониана на алгебре $\operatorname{su}(1,1)$ Квазиклассические асимптотики осциллирующего туннелирования для квадратичного гамильтониана на алгебре $\operatorname{su}(1,1)$

Evgenii Viktorovich Vybornyi, Sofia Vasil'evna Rumyantseva

В работе рассмотрена задача построения квазиклассических асимптотик туннельного расщепления спектра оператора, заданного на неприводимом представлении алгебры Ли $\operatorname{su}(1,1)$ . Предполагается, что оператор является квадратичной функцией от образующих алгебры. Представлены когерентные состояния и когерентное унитарное преобразование, которое позволяют свести задачу к рассмотрению дифференциального оператора второго порядка в пространстве голоморфных функций. В работе построены квазиклассические асимптотические спектральные серии и соответствующие волновые функции в виде разложений по когерентным состояниям. При определенных параметрах системы, минимальная энергия отвечает паре невырожденных положений равновесия, а дискретный спектр оператора имеет экспоненциально малое туннельное расщепление уровней. Путем применения комплексного метода ВКБ в работе доказаны асимптотические формулы для туннельного расщепления энергий. Показано, что в отличие от одномерного оператора Шрeдингера туннельное расщепление в данной задаче не только экспоненциально убывает, но также содержит осциллирующий множитель, что можно интерпретировать как интерференцию туннелирования по различным инстантонам. Показано также, что при определенных значениях параметров возникает полное подавление туннелирования и двукратное вырождение части уровней спектра, что нетипично для одномерных систем. Библиография: 35 названий.В работе рассмотрена задача построения квазиклассических асимптотик туннельного расщепления спектра оператора, заданного на неприводимом представлении алгебры Ли $\operatorname{su}(1,1)$. Предполагается, что оператор является квадратичной функцией от образующих алгебры. Представлены когерентные состояния и когерентное унитарное преобразование, которое позволяют свести задачу к рассмотрению дифференциального оператора второго порядка в пространстве голоморфных функций. В работе построены квазиклассические асимптотические спектральные серии и соответствующие волновые функции в виде разложений по когерентным состояниям. При определенных параметрах системы, минимальная энергия отвечает паре невырожденных положений равновесия, а дискретный спектр оператора имеет экспоненциально малое туннельное расщепление уровней. Путем применения комплексного метода ВКБ в работе доказаны асимптотические формулы для туннельного расщепления энергий. Показано, что в отличие от одномерного оператора Шрeдингера туннельное расщепление в данной задаче не только экспоненциально убывает, но также содержит осциллирующий множитель, что можно интерпретировать как интерференцию туннелирования по различным инстантонам. Показано также, что при определенных значениях параметров возникает полное подавление туннелирования и двукратное вырождение части уровней спектра, что нетипично для одномерных систем. Библиография: 35 названий.

Математические заметкиJan 1, 20221 citation

Построение собственных функций системы квантовых миноров матрицы монодромии $SL(n,\mathbb C)$ -инвариантной спиновой цепочкиПостроение собственных функций системы квантовых миноров матрицы монодромии $SL(n,\mathbb C)$-инвариантной спиновой цепочки

P. A. Valinevich, Sergey E. Derkachov, P. P. Kulish +1 more

Рассмотрена задача поиска собственных векторов коммутирующего семейства квантовых миноров матрицы монодромии $SL(n,\mathbb C)$ -инвариантной неоднородной спиновой цепочки. Генераторы алгебры и элементы $L$ -оператора в каждом узле цепочки реализованы как линейные дифференциальные операторы на пространстве функций $n(n-1)/2$ переменных; представление алгебры $sl_n(\mathbb C)$ в каждом узле в общем случае является бесконечномерным и принадлежит к основной унитарной серии. Задача решена при помощи рекуррентной процедуры по рангу алгебры $n$ . Получены явные выражения для собственных значений и собственных векторов коммутирующего семейства. Подробно разобраны частные случаи $n=2$ и $n=3$ , а также предельный случай цепочки, состоящей из одного узла.Рассмотрена задача поиска собственных векторов коммутирующего семейства квантовых миноров матрицы монодромии $SL(n,\mathbb C)$-инвариантной неоднородной спиновой цепочки. Генераторы алгебры и элементы $L$-оператора в каждом узле цепочки реализованы как линейные дифференциальные операторы на пространстве функций $n(n-1)/2$ переменных; представление алгебры $sl_n(\mathbb C)$ в каждом узле в общем случае является бесконечномерным и принадлежит к основной унитарной серии. Задача решена при помощи рекуррентной процедуры по рангу алгебры $n$. Получены явные выражения для собственных значений и собственных векторов коммутирующего семейства. Подробно разобраны частные случаи $n=2$ и $n=3$, а также предельный случай цепочки, состоящей из одного узла.

Теоретическая и математическая физикаNov 1, 20164 citations

Векторы Бете в ортогональных интегрируемых моделях

Andrii Nikolaevich Liashyk, Stanislav Zdislavovich Pakuliak, E. Ragoucy +1 more

Рассмотрены квантовые интегрируемые модели, связанные с алгеброй $\mathfrak{so}_3$ . Для таких моделей построено описание векторов Бете в терминах токовых генераторов алгебры $\mathcal DY(\mathfrak{so}_3)$ . Для решения этой задачи используется изоморфизм между $R$ -матричной реализацией янгианов классических алгебр серий $B$ , $C$ , $D$ и их реализацией в терминах токов Дринфельда. На основе этих результатов получены формулы действия элементов матрицы монодромии на off-shell векторы Бете. Получены рекуррентные соотношения для off-shell векторов Бете и уравнения Бете для on-shell векторов Бете. Формулы действия элементов матрицы монодромии также можно использовать для вычисления скалярных произведений в моделях, связанных с алгеброй $\mathfrak{so}_3$ .Рассмотрены квантовые интегрируемые модели, связанные с алгеброй $\mathfrak{so}_3$. Для таких моделей построено описание векторов Бете в терминах токовых генераторов алгебры $\mathcal DY(\mathfrak{so}_3)$. Для решения этой задачи используется изоморфизм между $R$-матричной реализацией янгианов классических алгебр серий $B$, $C$, $D$ и их реализацией в терминах токов Дринфельда. На основе этих результатов получены формулы действия элементов матрицы монодромии на off-shell векторы Бете. Получены рекуррентные соотношения для off-shell векторов Бете и уравнения Бете для on-shell векторов Бете. Формулы действия элементов матрицы монодромии также можно использовать для вычисления скалярных произведений в моделях, связанных с алгеброй $\mathfrak{so}_3$.

Теоретическая и математическая физикаOct 29, 20191 citation

$R$ -матричные тождества, связанные с эллиптическими анизотропными спиновыми операторами Руйсенарса-Макдональда$R$-матричные тождества, связанные с эллиптическими анизотропными спиновыми операторами Руйсенарса-Макдональда

Mariya Georgievna Matushko, Andrei Vladimirovich Zotov

Сформулирован и доказан набор тождеств для $GL_M$ эллиптической $R$ -матрицы (в фундаментальном представлении). В скалярном случае ( $M=1$ ) эти тождества на эллиптические функции были получены Руйсенарсом как необходимые и достаточные условия для его тождества на интегральное ядро, лежащее в основе построения интегральных решений квантовой бесспиновой модели Руйсенарса-Шнайдера. В этом отношении результат настоящей работы можно рассматривать как первый шаг к построению решений квантовой задачи на собственные значения для анизотропной спиновой модели Руйсенарса.Сформулирован и доказан набор тождеств для $GL_M$ эллиптической $R$-матрицы (в фундаментальном представлении). В скалярном случае ($M=1$) эти тождества на эллиптические функции были получены Руйсенарсом как необходимые и достаточные условия для его тождества на интегральное ядро, лежащее в основе построения интегральных решений квантовой бесспиновой модели Руйсенарса-Шнайдера. В этом отношении результат настоящей работы можно рассматривать как первый шаг к построению решений квантовой задачи на собственные значения для анизотропной спиновой модели Руйсенарса.

Теоретическая и математическая физикаOct 29, 20221 citation

Открытые квантовые случайные блуждания и квантовые марковские цепи

Ameur Dhahri, Farrukh Maksutovich Mukhamedov

В работе строятся КМЦ (квантовые марковские цепи), связанные с открытыми квантовыми случайными блужданиями, так, что переходный оператор цепи задается блужданием, а ограничение КМЦ на коммутативную подалгебру совпадает с распределением $\mathbb{P}_\rho$ блуждания. Это проливает новый свет на некоторые свойства меры $\mathbb{P}_\rho$ . В качестве примера мы отмечаем, что эту меру можно рассматривать как распределение некоторых функций некоторого марковского процесса.В работе строятся КМЦ (квантовые марковские цепи), связанные с открытыми квантовыми случайными блужданиями, так, что переходный оператор цепи задается блужданием, а ограничение КМЦ на коммутативную подалгебру совпадает с распределением $\mathbb{P}_\rho$ блуждания. Это проливает новый свет на некоторые свойства меры $\mathbb{P}_\rho$. В качестве примера мы отмечаем, что эту меру можно рассматривать как распределение некоторых функций некоторого марковского процесса.

Функциональный анализ и его приложенияJan 1, 20191 citation

Образ подалгебры Бете

B(C)

в тензорном произведении представлений янгиана

Y(\mathfrak{gl}_n)

Y(\mathfrak{g})

, где

\mathfrak{g}

- простая алгебра Ли.

Построено семейство детерминантных представлений для скалярных произведений векторов Бете в моделях с

\mathfrak{gl}(3)

-симметрией. Данное семейство задается одной производящей функцией, которая содержит произвольные комплексные параметры, но не зависит от их конкретных значений. Выбирая эти параметры различным образом, можно получить различные детерминантные представления.

Квазиклассические асимптотики осциллирующего туннелирования для квадратичного гамильтониана на алгебре

\operatorname{su}(1,1)

В работе рассмотрена задача построения квазиклассических асимптотик туннельного расщепления спектра оператора, заданного на неприводимом представлении алгебры Ли

\operatorname{su}(1,1)

. Предполагается, что оператор является квадратичной функцией от образующих алгебры. Представлены когерентные состояния и когерентное унитарное преобразование, которое позволяют свести задачу к рассмотрению дифференциального оператора второго порядка в пространстве голоморфных функций. В работе построены квазиклассические асимптотические спектральные серии и соответствующие волновые функции в виде разложений по когерентным состояниям. При определенных параметрах системы, минимальная энергия отвечает паре невырожденных положений равновесия, а дискретный спектр оператора имеет экспоненциально малое туннельное расщепление уровней. Путем применения комплексного метода ВКБ в работе доказаны асимптотические формулы для туннельного расщепления энергий. Показано, что в отличие от одномерного оператора Шрeдингера туннельное расщепление в данной задаче не только экспоненциально убывает, но также содержит осциллирующий множитель, что можно интерпретировать как интерференцию туннелирования по различным инстантонам. Показано также, что при определенных значениях параметров возникает полное подавление туннелирования и двукратное вырождение части уровней спектра, что нетипично для одномерных систем. Библиография: 35 названий.

Построение собственных функций системы квантовых миноров матрицы монодромии

SL(n,\mathbb C)

-инвариантной спиновой цепочки

Рассмотрена задача поиска собственных векторов коммутирующего семейства квантовых миноров матрицы монодромии

SL(n,\mathbb C)

-инвариантной неоднородной спиновой цепочки. Генераторы алгебры и элементы

L

-оператора в каждом узле цепочки реализованы как линейные дифференциальные операторы на пространстве функций

n(n-1)/2

переменных; представление алгебры

sl_n(\mathbb C)

в каждом узле в общем случае является бесконечномерным и принадлежит к основной унитарной серии. Задача решена при помощи рекуррентной процедуры по рангу алгебры

n

. Получены явные выражения для собственных значений и собственных векторов коммутирующего семейства. Подробно разобраны частные случаи

n=2

n=3

, а также предельный случай цепочки, состоящей из одного узла.

Рассмотрены квантовые интегрируемые модели, связанные с алгеброй

\mathfrak{so}_3

. Для таких моделей построено описание векторов Бете в терминах токовых генераторов алгебры

\mathcal DY(\mathfrak{so}_3)

. Для решения этой задачи используется изоморфизм между

R

-матричной реализацией янгианов классических алгебр серий

B

C

D

и их реализацией в терминах токов Дринфельда. На основе этих результатов получены формулы действия элементов матрицы монодромии на off-shell векторы Бете. Получены рекуррентные соотношения для off-shell векторов Бете и уравнения Бете для on-shell векторов Бете. Формулы действия элементов матрицы монодромии также можно использовать для вычисления скалярных произведений в моделях, связанных с алгеброй

\mathfrak{so}_3

R

-матричные тождества, связанные с эллиптическими анизотропными спиновыми операторами Руйсенарса-Макдональда

Сформулирован и доказан набор тождеств для

GL_M

эллиптической

R

-матрицы (в фундаментальном представлении). В скалярном случае (

M=1

) эти тождества на эллиптические функции были получены Руйсенарсом как необходимые и достаточные условия для его тождества на интегральное ядро, лежащее в основе построения интегральных решений квантовой бесспиновой модели Руйсенарса-Шнайдера. В этом отношении результат настоящей работы можно рассматривать как первый шаг к построению решений квантовой задачи на собственные значения для анизотропной спиновой модели Руйсенарса.

\mathbb{P}_\rho

блуждания. Это проливает новый свет на некоторые свойства меры

\mathbb{P}_\rho

. В качестве примера мы отмечаем, что эту меру можно рассматривать как распределение некоторых функций некоторого марковского процесса.