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連続固有値関数の規格化とFourier変換

勝義 山崎, Katsuyoshi Yamasaki

Published Jan 2, 2019• 0 citations
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Abstract

量子力学に登場する波動関数(や固有関数)を物理的に正しい形にするためには，関数の大きさの2乗の空間全体での総和(積分値)が1に等しくなるように規格化を行う必要がある。系の存在確率(あるいは出現確率)の総和が1であるという原則を満たすための作業であるが，必ずしも1に規格化できない場合がある。たとえば，運動量pをもち，x方向に進行する平面波を表す固有関数(x)＝Aexp(2πipx/h)を規格化しようとすると，波動関数の大きさの2乗の積分値が∞になってしまい規格化定数Aの大きさを決めることができない。本書は，1に規格化することができない連続固有値をもつ固有(波動)関数の規格化を理解し，位置と運動量の不確定性関係をFourier変換の関係として理解するために書かれたmonographである。

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操作の両立不可能性と情報擾乱の関係 (量子システム推定の数理)

Ikko Hamamura

量子論において実現可能な操作には様々な制約がある. 例えば, 量子状態は複製や配送が出来ないという複製(配送)禁止定理や, 物理量の測定によって情報を取得すると擾乱が起こるという情報と擾乱の関係, 位置と運動量のように非可換でシャープな物理量は同時に測定出来ないという一種の不確定性関係はよく知られた操作の制約である. これらの例は, 全て本稿で扱う量子論の両立不可能性の一例である. さらに, 両立不可能性の一例として紹介した情報と擾乱の関係に関して, 状態識別能力が高い測定は擾乱が大きいということを, 操作的に前順序関係を導入して定性的に示すと同時に状態識別能力と擾乱の関係を定量化して得た不等式を紹介する.

•Oct 1, 2017•0 citations

Speculation on Quantum Free Particle Probability and Spatial Equilibrium Part 3

Ruggeri, Francesco R.

In Parts 1 and 2, we suggested that various physical scenarios such as -EE + p dot p cc = -momocccc and one dimensional reflection refraction probability conservation 1= P(reflect)+P(refract) are not involved with the direction of motion of a particle. If probability is involved (as in a wavefunction), these equations (even though they act on probability) do not show the direction of motion. In any physical test run, however, there is a specific direction of motion. As a result, we argued that there must exist equations linear in probability (exp(ipx) for a free particle) and id/dt partial, -id/dx partial (energy, momentum) which give rise to the physical non-directional cases. Here we retain the general idea of an equilibrium with no direction present, but argue that matters may be more complicated when different time events appear in space in a time-independent approach using exp(ipx)s. In particular, we analyze scattering and place 1-D reflection-refraction in the framework of scattering. We suggest that to create an equilibrium in both directions, one must consider both W=Aexp(ipx) + Bexp(-ipx) (for an incident p and reflected -p) and its flow -i W* d/dx W, together with the opposite direction scenario W*= A*exp(-ipx) +B* exp(ipx) and i(d/dx W*) W. Averaging yields p ( A*A - B*B), i.e. interference terms disappear in this scheme which directly considers motion in both directions i.e. A is linked with motion in both directions which does not match a physical run, but does match classical equilibrium (pressure). This result is not evident if one uses 1-D reflection-refraction at x=0 because one may then use a nd exp(ipx) and d/dx exp(ipx) set of equations to obtain directly 1=P(reflect) +P(refract), but interference terms creep in if one changes the junction to x1 as seen in Part 1. The averaging of both directions removes this issue. We see that exp(ipx) and exp(-ipx) represent equivalent kinetic energies in the time-independent Schrodinger equation. A math solution thus involves any identical energy directional derivative, i.e. exp(ipx) and exp(-ipx). There is no sense of time, so writing Aexp(ipx) + Bexp(-ipx) with A>B introduces a direction which is not in the Schrodinger equation, but is in a physical trial run. Given that the time-independent Schrodinger equation cannot discern time and probabilities add, a full solution should include various same-energy solutions which represent the particle at different times. There should then be a probability conservation linking these different time states, such as 1= P(reflect) + P(refract), but due to interference of W* d/dx W one has interference terms in x, but these may vanish if one considers motion in the opposite direction, i.e. Aexp(-ipx)+ Bexp(ipx), and classically averages expectations of -id/dx with each as one would do classically.

•Nov 7, 2025•0 citations

EinsteinのA係数とB係数

勝義 山崎, Katsuyoshi Yamasaki

物質による光の吸収や放出(発光)について学ぼうとすると，例外なくEinsteinのA係数とB係数に遭遇する。A係数は励起状態にある分子(原子も含む)の発光しやすさの定量的尺度であり，励起分子が数密度n*(単位：m^−3)で存在するとき，A係数とn*との積A・n*が単位時間，単位体積あたりに光を自然放出する分子の数(単位：m^−3⋅s^−1)，つまり，単位時間，単位体積あたりに放出される光子の数を与える。一方，B係数は光の吸収しやすさの尺度であるが，数密度n(単位：m^−3)で存在する分子に光が照射されるとき，単位時間，単位体積あたりに光を吸収する分子の数がB・nで表されるかというと，そうではない。正しくは，B・ρ・nであり，分光放射エネルギー密度ρが必要となる。まず，ρの単位について考えると，エネルギー密度という名称であるからJ⋅m^−3 という単位をもつと考えてしまいがちであるが，これは誤りである。たとえば，ρの代表例であるPlanckの式ρ(ν)の単位はJ⋅m^−3⋅sであり，時間sが含まれる。そこで，エネルギーの密度という名称なのになぜ時間が入ってくるのか，「単位体積あたりのエネルギー×時間」とは何なのか，などなど疑問があふれ出てくることになる。また，Bについては，単位J⋅m^−3⋅sをもつρとの積でs^−1という単位を与えるから単位J^−1⋅m^3⋅s^−2をもつことは間違いないが，物理量の意味を想像できるような単位ではないので，途方に暮れてしまうことになる。本書は，ρの単位に関する疑問を解き，EinsteinのA係数とB係数の中身および係数同士の関係，さらに，光吸収断面積(吸光係数)とEinstein係数との関係を理解するために書かれたmonographである。

•Oct 20, 2024•0 citations

量子ウォーク －ダイナミクスと幾何構造－

要 松江

者は局在化に寄与し、さらに固有関数がグラフのホモロジーに付随するものである 事が示唆されている。本研究は「高次元量子ウォーク」を提案し、そのダイナミクス と幾何構造の関連を調べる試みである。 単体複体とは、辺や三角形を一般化した単体の集まりで、全ての単体の境界と共通 部分をまた構成要素に持つものである。 を単体複体とする。単体は頂点でラベル 付けされ、 通常その順序には依らないが、ここでは順序の違いにより単体を区別す る： 2次元S-量子ウォーク。グラフ上のQW(右図)のように、 波の「透過」(青)と「反射」(赤)が表現されている。

•Jun 19, 2015•0 citations

振幅構造による対象生成の一般理論

Hiroki Yamashita

本稿は、可能性・確率・評価・対象の関係を振幅構造に基づいて再構成する理論を提示する。従来の評価理論では評価対象は確率分布として与えられ、評価は結果の統計的分布に対して定義されてきた。しかし確率分布は振幅の位相関係を保持しないため、生成経路の干渉構造を完全には表現しない。本稿はこの点に着目し、可能性の基礎表現を確率分布ではなく振幅構造として定式化する。 応答空間 V に対して振幅 ψ : V → ℂ を導入し、振幅空間 H = L²(V) を可能性構造の基礎空間として与える。確率分布 μ(v)=|ψ(v)|² は振幅からボルン写像によって誘導される統計的表現にすぎず、振幅に含まれる位相関係や干渉構造を保持しない。したがって生成経路の差異や干渉構造を評価に反映させるためには、評価は確率分布ではなく振幅空間上で定義される必要がある。 本稿では評価を振幅空間上の写像 Eval : H → ℝ として定式化し、ヒルベルト空間の構造条件の下で評価が二次形式 Eval(ψ)=⟨ψ,Aψ⟩ として表現されることを示す。ここで A は振幅構造に対する評価軸を与える自己共役演算子である。評価演算子のスペクトル構造を分析すると、その固有状態は評価関数の停留点を与えることが示される。本稿ではこの振幅状態を評価安定状態と呼ぶ。 さらに評価安定状態は評価過程の下で再同定される構造を形成するため、この安定振幅構造を対象として解釈することができる。すなわち対象とは、振幅空間において評価が安定した振幅構造として生成される。 以上の結果から、生成構造は 生成経路 → 振幅 → 分布 → 評価 → 対象 という階層構造として記述される。確率分布は振幅構造から誘導される統計的表現であり、対象は振幅構造における評価安定状態として生成される。本理論において存在とは、可能性の干渉構造の中で評価が安定した振幅構造として理解される。

•Mar 13, 2026•0 citations

占有数表示(Fock表示)の演習問題 : 第2量子化の基礎を理解するために

勝義 山崎, Katsuyoshi Yamasaki

フェルミ粒子(フェルミオン(fermion))である電子1対の交換によって波動関数が逆符号になるという反対称性を表現するためにSlater行列式が有効であることは，物理化学や量子力学(化学)のテキストに必ず書かれている。しかし，物理化学や化学物理の最先端の研究現場では，通常の量子化学コースの講義では扱われない用語を用いて日夜研究が進められている。それらの用語のうち，重要な概念の1つが，生成演算子と消滅演算子の性質にもとづき，基底関数に対応する状態を占める数(占有数)を用いてボース粒子(ボソン(boson))やフェルミ粒子の他粒子系の物理量を表現する「第2量子化」(占有数表示)である。しかし，初学者の多くが「第1量子化すらちゃんと理解できていないのに第2量子化なんて・・」と考えてしまうことが多い 。これは，多くの基礎コースの量子論の講義では，圧倒的に「波動」が主役であり，「量子」論といいながら「粒子」らしさがほとんどないことが原因ではないだろうか。Schrodinger方程式という偏微分方程式を数学的に解く量子力学(＝波動力学)側からだけでなく，占有数表示によって「量子」を「粒子」らしく扱う量子力学(＝行列力学)側から量子論を眺めることで，「量子」の本質をより深く理解できるかもしれない。量子化学計算におけるコンピュータの役割は，Schrödinger方程式を解析的に解くことではなく，大きな基底関数系により生じる膨大な数の行列要素を計算し，巨大な行列を対角化することであるから，その原理は波動力学ではなく行列力学である。本書は， G. C. Schatz and M. A. Ratner Quantum Mechanics in Chemistry; Prentice-Hall: Englewood-Cliffs, NJ, 1993. (日本語版) 佐藤 伸，山下晃一 訳「大学院講義 反応量子化学 －時間依存系の理解のために－」化学同人 (1998年) の第6章「占有数表示」の中の数式，練習問題，章末問題のいくつかを対象として導出や解答を試み，占有数表示による取扱いを体験・習得するために書かれたMonographである。

•Jan 4, 2026•0 citations
量子力学に登場する波動関数(や固有関数)を物理的に正しい形にするためには，関数の大きさの2乗の空間全体での総和(積分値)が1に等しくなるように規格化を行う必要がある。系の存在確率(あるいは出現確率)の総和が1であるという原則を満たすための作業であるが，必ずしも1に規格化できない場合がある。たとえば，運動量pをもち，x方向に進行する平面波を表す固有関数(x)＝Aexp(2πipx/h)を規格化しようとすると，波動関数の大きさの2乗の積分値が∞になってしまい規格化定数Aの大きさを決めることができない。本書は，1に規格化することができない連続固有値をもつ固有(波動)関数の規格化を理解し，位置と運動量の不確定性関係をFourier変換の関係として理解するために書かれたmonographである。
量子論において実現可能な操作には様々な制約がある. 例えば, 量子状態は複製や配送が出来ないという複製(配送)禁止定理や, 物理量の測定によって情報を取得すると擾乱が起こるという情報と擾乱の関係, 位置と運動量のように非可換でシャープな物理量は同時に測定出来ないという一種の不確定性関係はよく知られた操作の制約である. これらの例は, 全て本稿で扱う量子論の両立不可能性の一例である. さらに, 両立不可能性の一例として紹介した情報と擾乱の関係に関して, 状態識別能力が高い測定は擾乱が大きいということを, 操作的に前順序関係を導入して定性的に示すと同時に状態識別能力と擾乱の関係を定量化して得た不等式を紹介する.
In Parts 1 and 2, we suggested that various physical scenarios such as -EE + p dot p cc = -momocccc and one dimensional reflection refraction probability conservation 1= P(reflect)+P(refract) are not involved with the direction of motion of a particle. If probability is involved (as in a wavefunction), these equations (even though they act on probability) do not show the direction of motion. In any physical test run, however, there is a specific direction of motion. As a result, we argued that there must exist equations linear in probability (exp(ipx) for a free particle) and id/dt partial, -id/dx partial (energy, momentum) which give rise to the physical non-directional cases. Here we retain the general idea of an equilibrium with no direction present, but argue that matters may be more complicated when different time events appear in space in a time-independent approach using exp(ipx)s. In particular, we analyze scattering and place 1-D reflection-refraction in the framework of scattering. We suggest that to create an equilibrium in both directions, one must consider both W=Aexp(ipx) + Bexp(-ipx) (for an incident p and reflected -p) and its flow -i W* d/dx W, together with the opposite direction scenario W*= A*exp(-ipx) +B* exp(ipx) and i(d/dx W*) W. Averaging yields p ( A*A - B*B), i.e. interference terms disappear in this scheme which directly considers motion in both directions i.e. A is linked with motion in both directions which does not match a physical run, but does match classical equilibrium (pressure). This result is not evident if one uses 1-D reflection-refraction at x=0 because one may then use a nd exp(ipx) and d/dx exp(ipx) set of equations to obtain directly 1=P(reflect) +P(refract), but interference terms creep in if one changes the junction to x1 as seen in Part 1. The averaging of both directions removes this issue. We see that exp(ipx) and exp(-ipx) represent equivalent kinetic energies in the time-independent Schrodinger equation. A math solution thus involves any identical energy directional derivative, i.e. exp(ipx) and exp(-ipx). There is no sense of time, so writing Aexp(ipx) + Bexp(-ipx) with A>B introduces a direction which is not in the Schrodinger equation, but is in a physical trial run. Given that the time-independent Schrodinger equation cannot discern time and probabilities add, a full solution should include various same-energy solutions which represent the particle at different times. There should then be a probability conservation linking these different time states, such as 1= P(reflect) + P(refract), but due to interference of W* d/dx W one has interference terms in x, but these may vanish if one considers motion in the opposite direction, i.e. Aexp(-ipx)+ Bexp(ipx), and classically averages expectations of -id/dx with each as one would do classically.
物質による光の吸収や放出(発光)について学ぼうとすると，例外なくEinsteinのA係数とB係数に遭遇する。A係数は励起状態にある分子(原子も含む)の発光しやすさの定量的尺度であり，励起分子が数密度n*(単位：m^−3)で存在するとき，A係数とn*との積A・n*が単位時間，単位体積あたりに光を自然放出する分子の数(単位：m^−3⋅s^−1)，つまり，単位時間，単位体積あたりに放出される光子の数を与える。一方，B係数は光の吸収しやすさの尺度であるが，数密度n(単位：m^−3)で存在する分子に光が照射されるとき，単位時間，単位体積あたりに光を吸収する分子の数がB・nで表されるかというと，そうではない。正しくは，B・ρ・nであり，分光放射エネルギー密度ρが必要となる。まず，ρの単位について考えると，エネルギー密度という名称であるからJ⋅m^−3 という単位をもつと考えてしまいがちであるが，これは誤りである。たとえば，ρの代表例であるPlanckの式ρ(ν)の単位はJ⋅m^−3⋅sであり，時間sが含まれる。そこで，エネルギーの密度という名称なのになぜ時間が入ってくるのか，「単位体積あたりのエネルギー×時間」とは何なのか，などなど疑問があふれ出てくることになる。また，Bについては，単位J⋅m^−3⋅sをもつρとの積でs^−1という単位を与えるから単位J^−1⋅m^3⋅s^−2をもつことは間違いないが，物理量の意味を想像できるような単位ではないので，途方に暮れてしまうことになる。本書は，ρの単位に関する疑問を解き，EinsteinのA係数とB係数の中身および係数同士の関係，さらに，光吸収断面積(吸光係数)とEinstein係数との関係を理解するために書かれたmonographである。
者は局在化に寄与し、さらに固有関数がグラフのホモロジーに付随するものである 事が示唆されている。本研究は「高次元量子ウォーク」を提案し、そのダイナミクス と幾何構造の関連を調べる試みである。 単体複体とは、辺や三角形を一般化した単体の集まりで、全ての単体の境界と共通 部分をまた構成要素に持つものである。 を単体複体とする。単体は頂点でラベル 付けされ、 通常その順序には依らないが、ここでは順序の違いにより単体を区別す る： 2次元S-量子ウォーク。グラフ上のQW(右図)のように、 波の「透過」(青)と「反射」(赤)が表現されている。
本稿は、可能性・確率・評価・対象の関係を振幅構造に基づいて再構成する理論を提示する。従来の評価理論では評価対象は確率分布として与えられ、評価は結果の統計的分布に対して定義されてきた。しかし確率分布は振幅の位相関係を保持しないため、生成経路の干渉構造を完全には表現しない。本稿はこの点に着目し、可能性の基礎表現を確率分布ではなく振幅構造として定式化する。 応答空間 V に対して振幅 ψ : V → ℂ を導入し、振幅空間 H = L²(V) を可能性構造の基礎空間として与える。確率分布 μ(v)=|ψ(v)|² は振幅からボルン写像によって誘導される統計的表現にすぎず、振幅に含まれる位相関係や干渉構造を保持しない。したがって生成経路の差異や干渉構造を評価に反映させるためには、評価は確率分布ではなく振幅空間上で定義される必要がある。 本稿では評価を振幅空間上の写像 Eval : H → ℝ として定式化し、ヒルベルト空間の構造条件の下で評価が二次形式 Eval(ψ)=⟨ψ,Aψ⟩ として表現されることを示す。ここで A は振幅構造に対する評価軸を与える自己共役演算子である。評価演算子のスペクトル構造を分析すると、その固有状態は評価関数の停留点を与えることが示される。本稿ではこの振幅状態を評価安定状態と呼ぶ。 さらに評価安定状態は評価過程の下で再同定される構造を形成するため、この安定振幅構造を対象として解釈することができる。すなわち対象とは、振幅空間において評価が安定した振幅構造として生成される。 以上の結果から、生成構造は 生成経路 → 振幅 → 分布 → 評価 → 対象 という階層構造として記述される。確率分布は振幅構造から誘導される統計的表現であり、対象は振幅構造における評価安定状態として生成される。本理論において存在とは、可能性の干渉構造の中で評価が安定した振幅構造として理解される。
フェルミ粒子(フェルミオン(fermion))である電子1対の交換によって波動関数が逆符号になるという反対称性を表現するためにSlater行列式が有効であることは，物理化学や量子力学(化学)のテキストに必ず書かれている。しかし，物理化学や化学物理の最先端の研究現場では，通常の量子化学コースの講義では扱われない用語を用いて日夜研究が進められている。それらの用語のうち，重要な概念の1つが，生成演算子と消滅演算子の性質にもとづき，基底関数に対応する状態を占める数(占有数)を用いてボース粒子(ボソン(boson))やフェルミ粒子の他粒子系の物理量を表現する「第2量子化」(占有数表示)である。しかし，初学者の多くが「第1量子化すらちゃんと理解できていないのに第2量子化なんて・・」と考えてしまうことが多い 。これは，多くの基礎コースの量子論の講義では，圧倒的に「波動」が主役であり，「量子」論といいながら「粒子」らしさがほとんどないことが原因ではないだろうか。Schrodinger方程式という偏微分方程式を数学的に解く量子力学(＝波動力学)側からだけでなく，占有数表示によって「量子」を「粒子」らしく扱う量子力学(＝行列力学)側から量子論を眺めることで，「量子」の本質をより深く理解できるかもしれない。量子化学計算におけるコンピュータの役割は，Schrödinger方程式を解析的に解くことではなく，大きな基底関数系により生じる膨大な数の行列要素を計算し，巨大な行列を対角化することであるから，その原理は波動力学ではなく行列力学である。本書は， G. C. Schatz and M. A. Ratner Quantum Mechanics in Chemistry; Prentice-Hall: Englewood-Cliffs, NJ, 1993. (日本語版) 佐藤 伸，山下晃一 訳「大学院講義 反応量子化学 －時間依存系の理解のために－」化学同人 (1998年) の第6章「占有数表示」の中の数式，練習問題，章末問題のいくつかを対象として導出や解答を試み，占有数表示による取扱いを体験・習得するために書かれたMonographである。