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占有数表示(Fock表示)の演習問題 : 第2量子化の基礎を理解するために

勝義 山崎, Katsuyoshi Yamasaki

Published Jan 4, 2026• 0 citations
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Abstract

フェルミ粒子(フェルミオン(fermion))である電子1対の交換によって波動関数が逆符号になるという反対称性を表現するためにSlater行列式が有効であることは，物理化学や量子力学(化学)のテキストに必ず書かれている。しかし，物理化学や化学物理の最先端の研究現場では，通常の量子化学コースの講義では扱われない用語を用いて日夜研究が進められている。それらの用語のうち，重要な概念の1つが，生成演算子と消滅演算子の性質にもとづき，基底関数に対応する状態を占める数(占有数)を用いてボース粒子(ボソン(boson))やフェルミ粒子の他粒子系の物理量を表現する「第2量子化」(占有数表示)である。しかし，初学者の多くが「第1量子化すらちゃんと理解できていないのに第2量子化なんて・・」と考えてしまうことが多い 。これは，多くの基礎コースの量子論の講義では，圧倒的に「波動」が主役であり，「量子」論といいながら「粒子」らしさがほとんどないことが原因ではないだろうか。Schrodinger方程式という偏微分方程式を数学的に解く量子力学(＝波動力学)側からだけでなく，占有数表示によって「量子」を「粒子」らしく扱う量子力学(＝行列力学)側から量子論を眺めることで，「量子」の本質をより深く理解できるかもしれない。量子化学計算におけるコンピュータの役割は，Schrödinger方程式を解析的に解くことではなく，大きな基底関数系により生じる膨大な数の行列要素を計算し，巨大な行列を対角化することであるから，その原理は波動力学ではなく行列力学である。本書は， G. C. Schatz and M. A. Ratner Quantum Mechanics in Chemistry; Prentice-Hall: Englewood-Cliffs, NJ, 1993. (日本語版) 佐藤 伸，山下晃一 訳「大学院講義 反応量子化学 －時間依存系の理解のために－」化学同人 (1998年) の第6章「占有数表示」の中の数式，練習問題，章末問題のいくつかを対象として導出や解答を試み，占有数表示による取扱いを体験・習得するために書かれたMonographである。

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占有数表示(Fock表示)の演習問題 : 第2量子化の基礎を理解するために

Katsuyoshi Yamasaki

フェルミ粒子(フェルミオン(fermion))である電子1対の交換によって波動関数が逆符号になるという反対称性を表現するためにSlater行列式が有効であることは，物理化学や量子力学(化学)のテキストに必ず書かれている。しかし，物理化学や化学物理の最先端の研究現場では，通常の量子化学コースの講義では扱われない用語を用いて日夜研究が進められている。それらの用語のうち，重要な概念の1つが，生成演算子と消滅演算子の性質にもとづき，基底関数に対応する状態を占める数(占有数)を用いてボース粒子(ボソン(boson))やフェルミ粒子の他粒子系の物理量を表現する「第2量子化」(占有数表示)である。しかし，初学者の多くが「第1量子化すらちゃんと理解できていないのに第2量子化なんて・・」と考えてしまうことが多い 。これは，多くの基礎コースの量子論の講義では，圧倒的に「波動」が主役であり，「量子」論といいながら「粒子」らしさがほとんどないことが原因ではないだろうか。Schrodinger方程式という偏微分方程式を数学的に解く量子力学(＝波動力学)側からだけでなく，占有数表示によって「量子」を「粒子」らしく扱う量子力学(＝行列力学)側から量子論を眺めることで，「量子」の本質をより深く理解できるかもしれない。量子化学計算におけるコンピュータの役割は，Schrödinger方程式を解析的に解くことではなく，大きな基底関数系により生じる膨大な数の行列要素を計算し，巨大な行列を対角化することであるから，その原理は波動力学ではなく行列力学である。本書は， G. C. Schatz and M. A. Ratner Quantum Mechanics in Chemistry; Prentice-Hall: Englewood-Cliffs, NJ, 1993. (日本語版) 佐藤 伸，山下晃一 訳「大学院講義 反応量子化学 －時間依存系の理解のために－」化学同人 (1998年) の第6章「占有数表示」の中の数式，練習問題，章末問題のいくつかを対象として導出や解答を試み，占有数表示による取扱いを体験・習得するために書かれたMonographである。

•Jan 4, 2026•0 citations

古典力学的手法による原子・分子の探求(修士論文(1993年度))

知幸 山本

この研究で扱うような原子・分子の古典モデルの歴史は1920年代にまで遡る。その発端は、Bohrの水素原子のモデルでは成立した量子古典対応がヘリウムでは成立しないことだった。量子論の前夜の事件であるが、それは今なお未解決の部分を多く含む問題なのである。量子と古典の間の深い溝は、その両者が異質なものであるということである。しかし、同じ自然に対する複数の記述方法である以上、それらの適用範囲が広がるにつれ交錯する分野が現われるのは必然である。その領域においては、何らかの橋渡しが出来ていなければならない。だがそれはそれぞれに関する深い知識がなければ構築できない類のものである。量子カオスという研究分野はおもにその橋渡しを追求するが、この研究はむしろ古典系側の基盤を探るものである。古典系に話を限っても、ヘリウム原子ですら三体問題であり、カオス的な性質を持つハミルトン系(保存力学系)である。運動を決定する積分が足りないために、系の運動を統一的に記述することは未だなされていない。ハミルトン系の相空間の構造は非常に複雑であるので、高い解像度で観察する必要がある。つまり、これらの系における困難とは、広大な初期条件空間をくまなく探索しなければならないということなのである。そうしてはじめて量子系との対応を議論できるようになる。そのような作業の結果としてこの研究で見出されたことは、1)カオス的な軌道は全て原子から無限遠へ飛び出す(イオン化を起こす)、2)相空間には非自明なトーラスが埋め込まれている、3)カオスとトーラスの織りなす非常に複雑な構造が見出されたことである。また、それらを応用して原子や分子の古典力学的な表現を探求している。原子や分子のモデルを、クーロン力によって相互作用する独立した粒子のシステムとして扱う場合、ほとんど単純化をせずに相空間を広汎に調べた研究というものはあまり例がない。そして、その結果として幾つか重要と思われる知見が得られている。単純化したモデルにおいて量子古典対応を研究した例は非常に多いが、それでだけでは量子古典対応などの問題の未解決な点をあらわにすることは出来ないのではないかと考えられる。なお、この論文内での約束事は次の通りである。1)軌道の初期条件で、とくに記していない変数はその配置で決まっているか、そうでなければ0である。2)先に刊行されている論文[1]との用語の統一を図るため、トーラスの名称などはとくに英語で記した。3)物性研究版では、本文と図の一部が省略されている。

Bussei Kenkyu•Jul 20, 1994•0 citations

連続固有値関数の規格化とFourier変換

勝義 山崎, Katsuyoshi Yamasaki

量子力学に登場する波動関数(や固有関数)を物理的に正しい形にするためには，関数の大きさの2乗の空間全体での総和(積分値)が1に等しくなるように規格化を行う必要がある。系の存在確率(あるいは出現確率)の総和が1であるという原則を満たすための作業であるが，必ずしも1に規格化できない場合がある。たとえば，運動量pをもち，x方向に進行する平面波を表す固有関数(x)＝Aexp(2πipx/h)を規格化しようとすると，波動関数の大きさの2乗の積分値が∞になってしまい規格化定数Aの大きさを決めることができない。本書は，1に規格化することができない連続固有値をもつ固有(波動)関数の規格化を理解し，位置と運動量の不確定性関係をFourier変換の関係として理解するために書かれたmonographである。

•Jan 2, 2019•0 citations

量子動力学シミュレーション入門 --量子ウォークを例にして-- (第61回物性若手夏の学校 集中ゼミ)

Yutaka Shikano

動的な物理現象への理解に向けた取り組みは、個々の豊かな物性現象を調べるだけではなく、数学的なトイモデルの性質を活かしたトップダウン的アプローチも試みられている。中でも量子現象の動的な性質は理論的には干渉効果をきちんと議論しなければならず、実験的には量子現象だけを純粋に取り出すことが極めて難しい。本ゼミでは、量子動力学現象を記述するための道具である「量子ウォーク」に関して、その理論的性質と実験による実装方法とその困難さに関して解説を行う。量子ウォークとは名前が示す通り、物理現象を説明する道具として使われているランダムウォークを量子力学の公理系の中で定義しようとした際に自然に定義されるものである。だがしかし、シンプルな定義からでは一見想像できないような多彩なダイナミクスを模写することが出来る。Schr odinger 方程式、Dirac 方程式やKlein-Gordon 方程式をトイモデルから統一的に理解することが出来るという点において、「量子動力学シミュレーション」と呼ぶ。また、近年の実験技術の飛躍的な向上により、数学的なトイモデルとして扱われてきた量子ウォークが中性原子・イオン・光の物理系において実装可能となり、量子効果を巧みに組合わせた実験系を構築することで量子情報科学や多体系量子論の問題へのアプローチも試みられている。

•Nov 1, 2017•0 citations

Distributions in the discrete Cohen's classes

J.C. O'Neill, William J. Williams

Cohen's (see Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1995) class of time-frequency distributions for continuous signals has been to extended to discrete signals using both an axiomatic approach and an operator theory approach. We investigate the formulation of several classical time-frequency distributions (Wigner, Rihaczek, Margenau-Hill, Page, Levin, Born-Jordan, spectrogram) in the discrete Cohen's classes. The main result of this paper concludes that there does not exist a formulation of the Wigner distribution in all of the discrete Cohen's classes.

IEEE International Conference on Acoustics Speech and Signal Processing•Nov 27, 2002•3 citations

Beyond time-frequency analysis: energy densities in one and many dimensions

Richard G. Baraniuk

Given a unitary operator A representing a physical quantity of interest, we employ concepts from group representation theory to define two natural signal energy densities for A. The first is invariant to A and proves useful when the effect of A is to be ignored; the second is covariant to A and measures the "A" content of signals. We also consider joint densities for multiple operators and, in the process, provide an alternative interpretation of Cohen's (see Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1995) general construction for joint distributions of arbitrary variables.

IEEE Transactions on Signal Processing•Jan 1, 1998•23 citations
フェルミ粒子(フェルミオン(fermion))である電子1対の交換によって波動関数が逆符号になるという反対称性を表現するためにSlater行列式が有効であることは，物理化学や量子力学(化学)のテキストに必ず書かれている。しかし，物理化学や化学物理の最先端の研究現場では，通常の量子化学コースの講義では扱われない用語を用いて日夜研究が進められている。それらの用語のうち，重要な概念の1つが，生成演算子と消滅演算子の性質にもとづき，基底関数に対応する状態を占める数(占有数)を用いてボース粒子(ボソン(boson))やフェルミ粒子の他粒子系の物理量を表現する「第2量子化」(占有数表示)である。しかし，初学者の多くが「第1量子化すらちゃんと理解できていないのに第2量子化なんて・・」と考えてしまうことが多い 。これは，多くの基礎コースの量子論の講義では，圧倒的に「波動」が主役であり，「量子」論といいながら「粒子」らしさがほとんどないことが原因ではないだろうか。Schrodinger方程式という偏微分方程式を数学的に解く量子力学(＝波動力学)側からだけでなく，占有数表示によって「量子」を「粒子」らしく扱う量子力学(＝行列力学)側から量子論を眺めることで，「量子」の本質をより深く理解できるかもしれない。量子化学計算におけるコンピュータの役割は，Schrödinger方程式を解析的に解くことではなく，大きな基底関数系により生じる膨大な数の行列要素を計算し，巨大な行列を対角化することであるから，その原理は波動力学ではなく行列力学である。本書は， G. C. Schatz and M. A. Ratner Quantum Mechanics in Chemistry; Prentice-Hall: Englewood-Cliffs, NJ, 1993. (日本語版) 佐藤 伸，山下晃一 訳「大学院講義 反応量子化学 －時間依存系の理解のために－」化学同人 (1998年) の第6章「占有数表示」の中の数式，練習問題，章末問題のいくつかを対象として導出や解答を試み，占有数表示による取扱いを体験・習得するために書かれたMonographである。
フェルミ粒子(フェルミオン(fermion))である電子1対の交換によって波動関数が逆符号になるという反対称性を表現するためにSlater行列式が有効であることは，物理化学や量子力学(化学)のテキストに必ず書かれている。しかし，物理化学や化学物理の最先端の研究現場では，通常の量子化学コースの講義では扱われない用語を用いて日夜研究が進められている。それらの用語のうち，重要な概念の1つが，生成演算子と消滅演算子の性質にもとづき，基底関数に対応する状態を占める数(占有数)を用いてボース粒子(ボソン(boson))やフェルミ粒子の他粒子系の物理量を表現する「第2量子化」(占有数表示)である。しかし，初学者の多くが「第1量子化すらちゃんと理解できていないのに第2量子化なんて・・」と考えてしまうことが多い 。これは，多くの基礎コースの量子論の講義では，圧倒的に「波動」が主役であり，「量子」論といいながら「粒子」らしさがほとんどないことが原因ではないだろうか。Schrodinger方程式という偏微分方程式を数学的に解く量子力学(＝波動力学)側からだけでなく，占有数表示によって「量子」を「粒子」らしく扱う量子力学(＝行列力学)側から量子論を眺めることで，「量子」の本質をより深く理解できるかもしれない。量子化学計算におけるコンピュータの役割は，Schrödinger方程式を解析的に解くことではなく，大きな基底関数系により生じる膨大な数の行列要素を計算し，巨大な行列を対角化することであるから，その原理は波動力学ではなく行列力学である。本書は， G. C. Schatz and M. A. Ratner Quantum Mechanics in Chemistry; Prentice-Hall: Englewood-Cliffs, NJ, 1993. (日本語版) 佐藤 伸，山下晃一 訳「大学院講義 反応量子化学 －時間依存系の理解のために－」化学同人 (1998年) の第6章「占有数表示」の中の数式，練習問題，章末問題のいくつかを対象として導出や解答を試み，占有数表示による取扱いを体験・習得するために書かれたMonographである。
この研究で扱うような原子・分子の古典モデルの歴史は1920年代にまで遡る。その発端は、Bohrの水素原子のモデルでは成立した量子古典対応がヘリウムでは成立しないことだった。量子論の前夜の事件であるが、それは今なお未解決の部分を多く含む問題なのである。量子と古典の間の深い溝は、その両者が異質なものであるということである。しかし、同じ自然に対する複数の記述方法である以上、それらの適用範囲が広がるにつれ交錯する分野が現われるのは必然である。その領域においては、何らかの橋渡しが出来ていなければならない。だがそれはそれぞれに関する深い知識がなければ構築できない類のものである。量子カオスという研究分野はおもにその橋渡しを追求するが、この研究はむしろ古典系側の基盤を探るものである。古典系に話を限っても、ヘリウム原子ですら三体問題であり、カオス的な性質を持つハミルトン系(保存力学系)である。運動を決定する積分が足りないために、系の運動を統一的に記述することは未だなされていない。ハミルトン系の相空間の構造は非常に複雑であるので、高い解像度で観察する必要がある。つまり、これらの系における困難とは、広大な初期条件空間をくまなく探索しなければならないということなのである。そうしてはじめて量子系との対応を議論できるようになる。そのような作業の結果としてこの研究で見出されたことは、1)カオス的な軌道は全て原子から無限遠へ飛び出す(イオン化を起こす)、2)相空間には非自明なトーラスが埋め込まれている、3)カオスとトーラスの織りなす非常に複雑な構造が見出されたことである。また、それらを応用して原子や分子の古典力学的な表現を探求している。原子や分子のモデルを、クーロン力によって相互作用する独立した粒子のシステムとして扱う場合、ほとんど単純化をせずに相空間を広汎に調べた研究というものはあまり例がない。そして、その結果として幾つか重要と思われる知見が得られている。単純化したモデルにおいて量子古典対応を研究した例は非常に多いが、それでだけでは量子古典対応などの問題の未解決な点をあらわにすることは出来ないのではないかと考えられる。なお、この論文内での約束事は次の通りである。1)軌道の初期条件で、とくに記していない変数はその配置で決まっているか、そうでなければ0である。2)先に刊行されている論文[1]との用語の統一を図るため、トーラスの名称などはとくに英語で記した。3)物性研究版では、本文と図の一部が省略されている。
量子力学に登場する波動関数(や固有関数)を物理的に正しい形にするためには，関数の大きさの2乗の空間全体での総和(積分値)が1に等しくなるように規格化を行う必要がある。系の存在確率(あるいは出現確率)の総和が1であるという原則を満たすための作業であるが，必ずしも1に規格化できない場合がある。たとえば，運動量pをもち，x方向に進行する平面波を表す固有関数(x)＝Aexp(2πipx/h)を規格化しようとすると，波動関数の大きさの2乗の積分値が∞になってしまい規格化定数Aの大きさを決めることができない。本書は，1に規格化することができない連続固有値をもつ固有(波動)関数の規格化を理解し，位置と運動量の不確定性関係をFourier変換の関係として理解するために書かれたmonographである。
動的な物理現象への理解に向けた取り組みは、個々の豊かな物性現象を調べるだけではなく、数学的なトイモデルの性質を活かしたトップダウン的アプローチも試みられている。中でも量子現象の動的な性質は理論的には干渉効果をきちんと議論しなければならず、実験的には量子現象だけを純粋に取り出すことが極めて難しい。本ゼミでは、量子動力学現象を記述するための道具である「量子ウォーク」に関して、その理論的性質と実験による実装方法とその困難さに関して解説を行う。量子ウォークとは名前が示す通り、物理現象を説明する道具として使われているランダムウォークを量子力学の公理系の中で定義しようとした際に自然に定義されるものである。だがしかし、シンプルな定義からでは一見想像できないような多彩なダイナミクスを模写することが出来る。Schr odinger 方程式、Dirac 方程式やKlein-Gordon 方程式をトイモデルから統一的に理解することが出来るという点において、「量子動力学シミュレーション」と呼ぶ。また、近年の実験技術の飛躍的な向上により、数学的なトイモデルとして扱われてきた量子ウォークが中性原子・イオン・光の物理系において実装可能となり、量子効果を巧みに組合わせた実験系を構築することで量子情報科学や多体系量子論の問題へのアプローチも試みられている。
Cohen's (see Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1995) class of time-frequency distributions for continuous signals has been to extended to discrete signals using both an axiomatic approach and an operator theory approach. We investigate the formulation of several classical time-frequency distributions (Wigner, Rihaczek, Margenau-Hill, Page, Levin, Born-Jordan, spectrogram) in the discrete Cohen's classes. The main result of this paper concludes that there does not exist a formulation of the Wigner distribution in all of the discrete Cohen's classes.
Given a unitary operator A representing a physical quantity of interest, we employ concepts from group representation theory to define two natural signal energy densities for A. The first is invariant to A and proves useful when the effect of A is to be ignored; the second is covariant to A and measures the "A" content of signals. We also consider joint densities for multiple operators and, in the process, provide an alternative interpretation of Cohen's (see Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1995) general construction for joint distributions of arbitrary variables.