10.34 1024 比特阶梯家族:代表数结构、方向 syndrome 与损失窗口

guobin ouyang

Published Aug 8, 2026• 0 citations

Abstract

10.33 解决了简并比例的精确闭式后,本文章把验证推进到 1024 物理比特——$[[1024,1002,4]]$($r=1$)与 $[[1024,912,8]]$($r=2$)两个家族成员,并给出 $[[1024,672,16]]$($r=3$)的闭式预言。三个新结果:(1) $r=1$ 的权重 2 层 syndrome 空间坍缩为 $PG(9,2)$ 的 1023 个方向,每个 syndrome 恰好承载 512 个代表——解码失败率 511/512,而非 10.33 框架中 $r\ge2$ 的"同层简并 50%";(2) 失败率 $= 1 - 1/\mathrm{count}$ 的伙伴多样性公式,count 由平坦扩展结构闭式决定;(3) 1024 家族损失窗口 $\theta=0.01$ 时从 $d=4$ 的 $1.2\times10^{-4}$ 降到 $d=16$ 的 $1.1\times10^{-24}$(逻辑 Z 翻转率,乘 $\kappa$ 因子——10.35 引理 10.35.2.10;解码失败率版本为 $3.3\times10^{-4} \to 3.4\times10^{-24}$)——距离的指数价值。全部闭式与符号级抽样验证吻合。 ---

DOI: 10.5281/zenodo.21847703

Related papers

10.29 量子纠错码的 θ⁴ 损失标度律与可实验预言

guobin ouyang

Aug 8, 20260 citations

10.36 四阶标度律的实验判别方案:64–1121 比特平台的 θ⁴/θ⁸/θ¹⁶/θ³² 斜率检验

guobin ouyang

Aug 8, 20260 citations

10.91 WCI 的统一几何收敛理论——约束子流形 Newton 递降

guobin ouyang

Sep 9, 20260 citations

When to Skip Syndrome Extraction in Surface-GKP Codes

Vaughn Sohn, Changhun Oh

quant-pharXiv:2606.24469Jun 24, 20260 citations

10.31 仿射完备码的噪声行为:零损失定理、权重 4 全简并与距离-噪声标度闭式

guobin ouyang

Aug 8, 20260 citations

10.32 权重 2^r 层简并:包含性等价、全简并边界与噪声标度律 θ^d 的完整证明

guobin ouyang

Aug 8, 20260 citations

10.34 1024 比特阶梯家族:代表数结构、方向 syndrome 与损失窗口

guobin ouyang

Published Aug 8, 2026• 0 citations

Publisher

Abstract

10.33 解决了简并比例的精确闭式后,本文章把验证推进到 1024 物理比特——

[[1024,1002,4]]

(

r=1

)与

[[1024,912,8]]

(

r=2

)两个家族成员,并给出

[[1024,672,16]]

(

r=3

)的闭式预言。三个新结果:(1)

r=1

的权重 2 层 syndrome 空间坍缩为

PG(9,2)

的 1023 个方向,每个 syndrome 恰好承载 512 个代表——解码失败率 511/512,而非 10.33 框架中

r\ge2

的"同层简并 50%";(2) 失败率

= 1 - 1/\mathrm{count}

的伙伴多样性公式,count 由平坦扩展结构闭式决定;(3) 1024 家族损失窗口

\theta=0.01

时从

d=4

的

1.2\times10^{-4}

降到

d=16

的

1.1\times10^{-24}

(逻辑 Z 翻转率,乘

\kappa

因子——10.35 引理 10.35.2.10;解码失败率版本为

3.3\times10^{-4} \to 3.4\times10^{-24}

)——距离的指数价值。全部闭式与符号级抽样验证吻合。 ---

DOI: 10.5281/zenodo.21847703

Related papers

10.29 量子纠错码的 θ⁴ 损失标度律与可实验预言

guobin ouyang

理论的价值在于预言,而非后验拟合。10.28 的程序接口 P1/P2/P3 已在符号与态矢量两个层面完成方向完备码系列的结构验证( $m=3..8$ 全量、 $m=10$ 即 $[[1023,1003,3]]$ 全量验证 0.12 秒)。本文把程序验证的终点推进到实验:整理三条可实验检验的定量预言——(1) **θ⁴ 损失标度律**:独立单比特噪声上界 $\theta_{\max}$ 下,最优纠错后损失 $L=c\,\theta_{\max}^4+O(\theta_{\max}^6)$ (log-log 斜率程序实测 $4.04/4.12/4.14$ ,三码一致);(2) **检测率闭式**:单比特旋转注入的检测率恰为 $\sin^2(\theta/2)$ ,且漏检路径保真度 $=1$ (漏检无害);(3) **逻辑方向不可检测**:逻辑算符注入 syndrome 恒为零, $Z$ 型对 $|0_L\rangle$ 为全局相位(损失 0)、 $X$ 型损失恰为 $\sin^2(\theta/2)$ 。另给出一条结构预言(程序可验证的几何事实):方向完备码所有权重 2 错误均为共线型( $PG(m-1,2)$ 的列异或封闭性),恢复后残留权重 3 逻辑算符—— $[[15,7,3]]$ 中与单比特同 syndrome 的权重 2 错误占比恰为 $315/945=1/3$ 。实验方案以 5-7 比特码( $[[5,1,3]]$ 或 $[[7,1,3]]$ )即可实施,无需纠错级硬件。全部预言数值来自程序实际输出(§3),与 10.28 §6 O6/O7 一致。 ---理论的价值在于预言,而非后验拟合。10.28 的程序接口 P1/P2/P3 已在符号与态矢量两个层面完成方向完备码系列的结构验证($m=3..8$ 全量、$m=10$ 即 $[[1023,1003,3]]$ 全量验证 0.12 秒)。本文把程序验证的终点推进到实验:整理三条可实验检验的定量预言——(1) **θ⁴ 损失标度律**:独立单比特噪声上界 $\theta_{\max}$ 下,最优纠错后损失 $L=c\,\theta_{\max}^4+O(\theta_{\max}^6)$(log-log 斜率程序实测 $4.04/4.12/4.14$,三码一致);(2) **检测率闭式**:单比特旋转注入的检测率恰为 $\sin^2(\theta/2)$,且漏检路径保真度 $=1$(漏检无害);(3) **逻辑方向不可检测**:逻辑算符注入 syndrome 恒为零,$Z$ 型对 $|0_L\rangle$ 为全局相位(损失 0)、$X$ 型损失恰为 $\sin^2(\theta/2)$。另给出一条结构预言(程序可验证的几何事实):方向完备码所有权重 2 错误均为共线型($PG(m-1,2)$ 的列异或封闭性),恢复后残留权重 3 逻辑算符——$[[15,7,3]]$ 中与单比特同 syndrome 的权重 2 错误占比恰为 $315/945=1/3$。实验方案以 5-7 比特码($[[5,1,3]]$ 或 $[[7,1,3]]$)即可实施,无需纠错级硬件。全部预言数值来自程序实际输出(§3),与 10.28 §6 O6/O7 一致。 ---

Aug 8, 20260 citations

10.36 四阶标度律的实验判别方案:64–1121 比特平台的 θ⁴/θ⁸/θ¹⁶/θ³² 斜率检验

guobin ouyang

10.35 定理 10.35.1.01 给出统一标度律 $\mathrm{loss}(\theta) = c_d\,\theta^d$ ( $d = 2^{r+1}$ ,AG 完备码),系数 $c_d = C(n,w_0)\,P(w_0)\,\mathrm{fail}(w_0)\,\kappa_r(m)\,2^{-2w_0}$ 无自由参数( $\kappa$ 为逻辑翻转比例,引理 10.35.2.10;实验 loss 为逻辑 Z 翻转率,定理 10.35.1.07)。本文设计实验判别方案:在 64–1121 比特超导平台上,对 1024 家族四档码( $d = 4/8/16/32$ )测量 log-log 斜率并检验其等于 $d$ 。核心结果:(i) 四档可观测窗口( $\mathrm{loss} \in [10^{-3}, 0.5]$ )在 $\theta$ 轴上**阶梯分离**—— $d=4$ : $[0.017, 0.080]$ 、 $d=8$ : $[0.049, 0.107]$ 、 $d=16$ : $[0.205, 0.302]$ 、 $d=32$ : $[0.457, 0.555]$ —— $d=8/16$ 与 $d=16/32$ 之间有 gap( $[0.107, 0.205]$ 与 $[0.302, 0.457]$ ),窗口阶梯本身是几何预言的签名;(ii) 判别精度:斜率估计 $\sigma_d = 0.03$ – $0.20$ (5% loss 相对误差、每档 5 点、 $N = 2\times10^5$ – $10^6$ shots),档间差 4 的判别余量 20–143σ;(iii) 协议用**暴力测量**(单轮、副本法,无需 ancilla 与非破坏测量)——判别实验与实用 QEC 的关键区别;(iv) 时间预算约 1 个平台日。方案含截距检验( $\ln c_d$ 闭式——间接测量 $\kappa\,\mathrm{fail}(w_0)$ 与类大小 $v$ )、gap 区检验、随机 Pauli 对照(非相干 $\theta^2$ 与相干 $\theta^d$ 分离)与五条证伪条件。 ---10.35 定理 10.35.1.01 给出统一标度律 $\mathrm{loss}(\theta) = c_d\,\theta^d$($d = 2^{r+1}$,AG 完备码),系数 $c_d = C(n,w_0)\,P(w_0)\,\mathrm{fail}(w_0)\,\kappa_r(m)\,2^{-2w_0}$ 无自由参数($\kappa$ 为逻辑翻转比例,引理 10.35.2.10;实验 loss 为逻辑 Z 翻转率,定理 10.35.1.07)。本文设计实验判别方案:在 64–1121 比特超导平台上,对 1024 家族四档码($d = 4/8/16/32$)测量 log-log 斜率并检验其等于 $d$。核心结果:(i) 四档可观测窗口($\mathrm{loss} \in [10^{-3}, 0.5]$)在 $\theta$ 轴上**阶梯分离**——$d=4$: $[0.017, 0.080]$、$d=8$: $[0.049, 0.107]$、$d=16$: $[0.205, 0.302]$、$d=32$: $[0.457, 0.555]$——$d=8/16$ 与 $d=16/32$ 之间有 gap($[0.107, 0.205]$ 与 $[0.302, 0.457]$),窗口阶梯本身是几何预言的签名;(ii) 判别精度:斜率估计 $\sigma_d = 0.03$–$0.20$(5% loss 相对误差、每档 5 点、$N = 2\times10^5$–$10^6$ shots),档间差 4 的判别余量 20–143σ;(iii) 协议用**暴力测量**(单轮、副本法,无需 ancilla 与非破坏测量)——判别实验与实用 QEC 的关键区别;(iv) 时间预算约 1 个平台日。方案含截距检验($\ln c_d$ 闭式——间接测量 $\kappa\,\mathrm{fail}(w_0)$ 与类大小 $v$)、gap 区检验、随机 Pauli 对照(非相干 $\theta^2$ 与相干 $\theta^d$ 分离)与五条证伪条件。 ---

Aug 8, 20260 citations

10.91 WCI 的统一几何收敛理论——约束子流形 Newton 递降

guobin ouyang

10.88 的 WCI 用四个计算组件驱动收敛:① Rayleigh–Ritz 变分、② 残差收敛判据、③ 波包中心选择、④ PT2 修正。一个尖锐的质疑是:除③(Bruhat 球贪心覆盖,已几何化)外,①②④ 是否只是借用通用量子力学/数值分析/微扰论的现成工具、与几何论并无内在关系?本文给出否定回答:**四个组件同出一个几何根基**——Fock 扇区射影态流形 ℳ=CP^{dim−1}(Fubini–Study 度量)上能量 Morse 函数 E 的**约束子流形 Newton 递降**。核心链条(全部可严格证明,且每环接入库内已有定理,零新公理): 1. **残差即梯度**(引理 A):FS 度量下 E 的黎曼梯度 $\operatorname{grad}_{FS}E=(H-E)|\psi\rangle=r$ 。我们称为"残差"的对象,就是能量函数在态流形上的梯度场本身。 2. **①变分 = 切梯度归零**(引理 B):Rayleigh–Ritz 在当前全测地子流形 ℳ_k=CP(V_k) 上一步走到约束临界点,等价于切向残差 $r_{in}=P_k r=0$ 。HF-SCF(Gr(N,n) 上的 Roothaan 步)与 WCI(CP^{dim−1} 上的 RR 步)是同一操作在两个态流形上的实例。 3. **③选心 = Bruhat-局部最速子流形扩张**(引理 C):球覆盖判据 = 法梯度能量 × 未覆盖率,是 10.86 几何对齐原理在 Bruhat 离散结构上的精确形式;CIPSI 的 argmax|r| 因缺"新颖性"因子而必然假收敛。 4. **④PT2 = 法丛 Newton 步**(引理 D): $E_{corr}=-\langle r_{out},H_N^{-1}r_{out}\rangle$ 是法向 Hessian $H_N=Q_k(H-E_k)Q_k$ 上的测地二阶修正;EN-PT2 是其对角近似,几何化版本是按 Bruhat 球块对角求逆。 5. **②判据 ≡ ④修正值**(几何收敛定理):到基态的能量误差在二阶下等于法向 Newton 增益 $|E_{corr}|$ ,故收敛判据是 $|E_{corr}|<\varepsilon_{chem}$ 而非 $\|r_{out}\|4 时一步精确);**二阶截断用可计算的后验双停机判据**(§9.2),严格三阶上界留作开放项。 LiH/6-31G(dim=3025)稠密严格对照(§12):球块构造与稠密子块一致到 9×10⁻¹⁶;夹逼顺序 |精确二阶|≤|球块|≤|对角 PT2|(非对角耦合减小二阶响应,对角 EN 过度修正);块 Jacobi 实测 ρ=0.12–0.17、2–3 趟到 10⁻¹⁰;**收敛阶段(小残差)球块/精确二阶误差 0.0000 mHa,比对角 PT2 的 0.0002 mHa 准 16 倍**。 ---10.88 的 WCI 用四个计算组件驱动收敛:① Rayleigh–Ritz 变分、② 残差收敛判据、③ 波包中心选择、④ PT2 修正。一个尖锐的质疑是:除③(Bruhat 球贪心覆盖,已几何化)外,①②④ 是否只是借用通用量子力学/数值分析/微扰论的现成工具、与几何论并无内在关系?本文给出否定回答:**四个组件同出一个几何根基**——Fock 扇区射影态流形 ℳ=CP^{dim−1}(Fubini–Study 度量)上能量 Morse 函数 E 的**约束子流形 Newton 递降**。核心链条(全部可严格证明,且每环接入库内已有定理,零新公理): 1. **残差即梯度**(引理 A):FS 度量下 E 的黎曼梯度 $\operatorname{grad}_{FS}E=(H-E)|\psi\rangle=r$。我们称为"残差"的对象,就是能量函数在态流形上的梯度场本身。 2. **①变分 = 切梯度归零**(引理 B):Rayleigh–Ritz 在当前全测地子流形 ℳ_k=CP(V_k) 上一步走到约束临界点,等价于切向残差 $r_{in}=P_k r=0$。HF-SCF(Gr(N,n) 上的 Roothaan 步)与 WCI(CP^{dim−1} 上的 RR 步)是同一操作在两个态流形上的实例。 3. **③选心 = Bruhat-局部最速子流形扩张**(引理 C):球覆盖判据 = 法梯度能量 × 未覆盖率,是 10.86 几何对齐原理在 Bruhat 离散结构上的精确形式;CIPSI 的 argmax|r| 因缺"新颖性"因子而必然假收敛。 4. **④PT2 = 法丛 Newton 步**(引理 D):$E_{corr}=-\langle r_{out},H_N^{-1}r_{out}\rangle$ 是法向 Hessian $H_N=Q_k(H-E_k)Q_k$ 上的测地二阶修正;EN-PT2 是其对角近似,几何化版本是按 Bruhat 球块对角求逆。 5. **②判据 ≡ ④修正值**(几何收敛定理):到基态的能量误差在二阶下等于法向 Newton 增益 $|E_{corr}|$,故收敛判据是 $|E_{corr}|<\varepsilon_{chem}$ 而非 $\|r_{out}\|4 时一步精确);**二阶截断用可计算的后验双停机判据**(§9.2),严格三阶上界留作开放项。 LiH/6-31G(dim=3025)稠密严格对照(§12):球块构造与稠密子块一致到 9×10⁻¹⁶;夹逼顺序 |精确二阶|≤|球块|≤|对角 PT2|(非对角耦合减小二阶响应,对角 EN 过度修正);块 Jacobi 实测 ρ=0.12–0.17、2–3 趟到 10⁻¹⁰;**收敛阶段(小残差)球块/精确二阶误差 0.0000 mHa,比对角 PT2 的 0.0002 mHa 准 16 倍**。 ---

Sep 9, 20260 citations

When to Skip Syndrome Extraction in Surface-GKP Codes

Vaughn Sohn, Changhun Oh

Fault-tolerant quantum error correction requires repeated syndrome extraction to address errors induced by the syndrome-extraction circuit itself. However, repeated syndrome extraction incurs significant overhead in terms of gate count and ancilla consumption (e.g., Gottesman-Kitaev-Preskill (GKP) states). Moreover, noisy syndrome extraction can itself inject additional errors into the data qubits. To address these issues, we propose a concrete adaptive skipping scheme for the surface-GKP code, a representative GKP-concatenated architecture, that uses analog information naturally generated during inner GKP correction. At each round, the scheme selects one of four actions: measuring both Z-type and X-type surface-code stabilizers, measuring only one type, or skipping both types and reusing previous syndromes. The decision is based on a reliability comparison between reusing the previous syndrome value and performing a new noisy syndrome extraction. Using circuit-level simulations, we show that the adaptive skipping scheme can reduce the number of surface-code stabilizer measurements while maintaining logical error rates comparable to or lower than those of the full-measurement baseline. The improvement is most pronounced when gate and measurement noise are larger than idle noise, so that avoiding unnecessary syndrome extraction reduces the noise injected into the code. These results indicate that analog information from inner GKP correction can be used not only to improve decoding but also to reduce the measurement overhead of outer-code syndrome extraction.Fault-tolerant quantum error correction requires repeated syndrome extraction to address errors induced by the syndrome-extraction circuit itself. However, repeated syndrome extraction incurs significant overhead in terms of gate count and ancilla consumption (e.g., Gottesman-Kitaev-Preskill (GKP) states). Moreover, noisy syndrome extraction can itself inject additional errors into the data qubits. To address these issues, we propose a concrete adaptive skipping scheme for the surface-GKP code, a representative GKP-concatenated architecture, that uses analog information naturally generated during inner GKP correction. At each round, the scheme selects one of four actions: measuring both Z-type and X-type surface-code stabilizers, measuring only one type, or skipping both types and reusing previous syndromes. The decision is based on a reliability comparison between reusing the previous syndrome value and performing a new noisy syndrome extraction. Using circuit-level simulations, we show that the adaptive skipping scheme can reduce the number of surface-code stabilizer measurements while maintaining logical error rates comparable to or lower than those of the full-measurement baseline. The improvement is most pronounced when gate and measurement noise are larger than idle noise, so that avoiding unnecessary syndrome extraction reduces the noise injected into the code. These results indicate that analog information from inner GKP correction can be used not only to improve decoding but also to reduce the measurement overhead of outer-code syndrome extraction.

quant-pharXiv:2606.24469Jun 24, 20260 citations

10.31 仿射完备码的噪声行为:零损失定理、权重 4 全简并与距离-噪声标度闭式

guobin ouyang

(1) 本文回答 10.30 开放问题 3:仿射完备码(RM CSS 码族)的相干噪声行为。核心定理——**零损失定理**:距离 $d$ 的码注入 $k \le \lfloor(d-1)/2\rfloor$ 比特相干旋转,最优纠错后损失恒为 0(注入项权重 $\le k$ 的 syndrome 完全唯一,最小权重解码完美恢复)。(2) 新结构事实——**权重 4 全简并**: $d=8$ 码中每个权重 4 错误都包含于某个 3-平坦(仿射包 $\le 3$ 维),其补集伙伴同 syndrome——635,376 个权重 4 错误无一唯一,解码选错率 50.7%。(3) 闭式——**距离-噪声标度律**:完备码家族(PG/AG)相干独立噪声的最优纠错损失 $\mathrm{loss} \sim \theta_{\max}^{\,2\lceil d/2\rceil}$ : $d=3 \to \theta^4$ (10.29 复现,斜率 3.99 精确吻合), $d=8 \to \theta^8$ (斜率 7.96)。(4) 程序验证: $[[64,20,8]]$ 注入 3/4/5 比特的失败分支统计与理论精确吻合;2048 比特( $m=11$ )三码扩展验证全绿 16.6 秒。 ---(1) 本文回答 10.30 开放问题 3:仿射完备码(RM CSS 码族)的相干噪声行为。核心定理——**零损失定理**:距离 $d$ 的码注入 $k \le \lfloor(d-1)/2\rfloor$ 比特相干旋转,最优纠错后损失恒为 0(注入项权重 $\le k$ 的 syndrome 完全唯一,最小权重解码完美恢复)。(2) 新结构事实——**权重 4 全简并**:$d=8$ 码中每个权重 4 错误都包含于某个 3-平坦(仿射包 $\le 3$ 维),其补集伙伴同 syndrome——635,376 个权重 4 错误无一唯一,解码选错率 50.7%。(3) 闭式——**距离-噪声标度律**:完备码家族(PG/AG)相干独立噪声的最优纠错损失 $\mathrm{loss} \sim \theta_{\max}^{\,2\lceil d/2\rceil}$:$d=3 \to \theta^4$(10.29 复现,斜率 3.99 精确吻合),$d=8 \to \theta^8$(斜率 7.96)。(4) 程序验证:$[[64,20,8]]$ 注入 3/4/5 比特的失败分支统计与理论精确吻合;2048 比特($m=11$)三码扩展验证全绿 16.6 秒。 ---

Aug 8, 20260 citations

10.32 权重 2^r 层简并:包含性等价、全简并边界与噪声标度律 θ^d 的完整证明

guobin ouyang

本文解决 10.31 开放问题 3,完成噪声标度律的家族级证明。(1) **包含性等价定理**:仿射完备码 $[[2^m,\cdot,2^{r+1}]]$ ( $CSS(RM(r,m))$ )中,权重 $2^r$ 错误 $\chi_A$ 存在同 syndrome 伙伴 $\iff$ $A$ 包含于某个 $(r+1)$ -平坦。(2) **全简并边界定理**: $r \le 2$ 时权重 $2^r$ 层全简并( $2^r - 1$ 个差向量恒张成 $\le r+1$ 维); $r \ge 3$ 时非全简并(一般 $2^r$ 子集仿射包 $= 2^r - 1$ 维)——10.31 的"全简并对 $r \ge 2$ 成立"猜想被修正。(3) **简并比例主阶闭式**: $P_r(m) \approx 2^{-(2^r-r-2)(m-r-1)}$ —— $r=2$ 指数 0(全简并), $r=3$ 指数 $3(m-4)$ ;程序验证 $m=8 \to 1.5\times10^{-4}$ 、 $m=9 \to 2.0\times10^{-5}$ (比值 7.5 $\approx 2^3$ 精确吻合 $m$ 依赖性)。(4) **标度律完整证明**:因简并比例恒 $> 0$ ( $(r+1)$ -平坦内取 $2^r$ 点子集恒存在),损失 $\mathrm{loss} \sim c_r(m)\,\theta^{2^{r+1}} = c_r\,\theta^d$ 对所有 $r \ge 1$ 成立——10.31 定理 10.31.1.05 的证明完成。(5) $[[256,70,16]]$ 、 $[[512,252,16]]$ 首次完整验证(列互异、权重 2 全量唯一、 $d$ 核验、简并比例、补集伙伴实证 5/5)。 ---本文解决 10.31 开放问题 3,完成噪声标度律的家族级证明。(1) **包含性等价定理**:仿射完备码 $[[2^m,\cdot,2^{r+1}]]$($CSS(RM(r,m))$)中,权重 $2^r$ 错误 $\chi_A$ 存在同 syndrome 伙伴 $\iff$ $A$ 包含于某个 $(r+1)$-平坦。(2) **全简并边界定理**:$r \le 2$ 时权重 $2^r$ 层全简并($2^r - 1$ 个差向量恒张成 $\le r+1$ 维);$r \ge 3$ 时非全简并(一般 $2^r$ 子集仿射包 $= 2^r - 1$ 维)——10.31 的"全简并对 $r \ge 2$ 成立"猜想被修正。(3) **简并比例主阶闭式**:$P_r(m) \approx 2^{-(2^r-r-2)(m-r-1)}$——$r=2$ 指数 0(全简并),$r=3$ 指数 $3(m-4)$;程序验证 $m=8 \to 1.5\times10^{-4}$、$m=9 \to 2.0\times10^{-5}$(比值 7.5 $\approx 2^3$ 精确吻合 $m$ 依赖性)。(4) **标度律完整证明**:因简并比例恒 $> 0$($(r+1)$-平坦内取 $2^r$ 点子集恒存在),损失 $\mathrm{loss} \sim c_r(m)\,\theta^{2^{r+1}} = c_r\,\theta^d$ 对所有 $r \ge 1$ 成立——10.31 定理 10.31.1.05 的证明完成。(5) $[[256,70,16]]$、$[[512,252,16]]$ 首次完整验证(列互异、权重 2 全量唯一、$d$ 核验、简并比例、补集伙伴实证 5/5)。 ---

Aug 8, 20260 citations

10.33 解决了简并比例的精确闭式后,本文章把验证推进到 1024 物理比特——

[[1024,1002,4]]

(

r=1

)与

[[1024,912,8]]

(

r=2

)两个家族成员,并给出

[[1024,672,16]]

(

r=3

)的闭式预言。三个新结果:(1)

r=1

的权重 2 层 syndrome 空间坍缩为

PG(9,2)

的 1023 个方向,每个 syndrome 恰好承载 512 个代表——解码失败率 511/512,而非 10.33 框架中

r\ge2

的"同层简并 50%";(2) 失败率

= 1 - 1/\mathrm{count}

的伙伴多样性公式,count 由平坦扩展结构闭式决定;(3) 1024 家族损失窗口

\theta=0.01

时从

d=4

的

1.2\times10^{-4}

降到

d=16

的

1.1\times10^{-24}

(逻辑 Z 翻转率,乘

\kappa

因子——10.35 引理 10.35.2.10;解码失败率版本为

3.3\times10^{-4} \to 3.4\times10^{-24}

)——距离的指数价值。全部闭式与符号级抽样验证吻合。 ---

理论的价值在于预言,而非后验拟合。10.28 的程序接口 P1/P2/P3 已在符号与态矢量两个层面完成方向完备码系列的结构验证(

m=3..8

全量、

m=10

即

[[1023,1003,3]]

全量验证 0.12 秒)。本文把程序验证的终点推进到实验:整理三条可实验检验的定量预言——(1) **θ⁴ 损失标度律**:独立单比特噪声上界

\theta_{\max}

下,最优纠错后损失

L=c\,\theta_{\max}^4+O(\theta_{\max}^6)

(log-log 斜率程序实测

4.04/4.12/4.14

,三码一致);(2) **检测率闭式**:单比特旋转注入的检测率恰为

\sin^2(\theta/2)

,且漏检路径保真度

=1

(漏检无害);(3) **逻辑方向不可检测**:逻辑算符注入 syndrome 恒为零,

Z

型对

|0_L\rangle

为全局相位(损失 0)、

X

型损失恰为

\sin^2(\theta/2)

。另给出一条结构预言(程序可验证的几何事实):方向完备码所有权重 2 错误均为共线型(

PG(m-1,2)

的列异或封闭性),恢复后残留权重 3 逻辑算符——

[[15,7,3]]

中与单比特同 syndrome 的权重 2 错误占比恰为

315/945=1/3

。实验方案以 5-7 比特码(

[[5,1,3]]

或

[[7,1,3]]

)即可实施,无需纠错级硬件。全部预言数值来自程序实际输出(§3),与 10.28 §6 O6/O7 一致。 ---

10.35 定理 10.35.1.01 给出统一标度律

\mathrm{loss}(\theta) = c_d\,\theta^d

(

d = 2^{r+1}

,AG 完备码),系数

c_d = C(n,w_0)\,P(w_0)\,\mathrm{fail}(w_0)\,\kappa_r(m)\,2^{-2w_0}

无自由参数(

\kappa

为逻辑翻转比例,引理 10.35.2.10;实验 loss 为逻辑 Z 翻转率,定理 10.35.1.07)。本文设计实验判别方案:在 64–1121 比特超导平台上,对 1024 家族四档码(

d = 4/8/16/32

)测量 log-log 斜率并检验其等于

d

。核心结果:(i) 四档可观测窗口(

\mathrm{loss} \in [10^{-3}, 0.5]

)在

\theta

轴上**阶梯分离**——

d=4

[0.017, 0.080]

、

d=8

[0.049, 0.107]

、

d=16

[0.205, 0.302]

、

d=32

[0.457, 0.555]

——

d=8/16

与

d=16/32

之间有 gap(

[0.107, 0.205]

与

[0.302, 0.457]

),窗口阶梯本身是几何预言的签名;(ii) 判别精度:斜率估计

\sigma_d = 0.03

–

0.20

(5% loss 相对误差、每档 5 点、

N = 2\times10^5

–

10^6

shots),档间差 4 的判别余量 20–143σ;(iii) 协议用**暴力测量**(单轮、副本法,无需 ancilla 与非破坏测量)——判别实验与实用 QEC 的关键区别;(iv) 时间预算约 1 个平台日。方案含截距检验(

\ln c_d

闭式——间接测量

\kappa\,\mathrm{fail}(w_0)

与类大小

v

)、gap 区检验、随机 Pauli 对照(非相干

\theta^2

与相干

\theta^d

分离)与五条证伪条件。 ---

\operatorname{grad}_{FS}E=(H-E)|\psi\rangle=r

。我们称为"残差"的对象,就是能量函数在态流形上的梯度场本身。 2. **①变分 = 切梯度归零**(引理 B):Rayleigh–Ritz 在当前全测地子流形 ℳ_k=CP(V_k) 上一步走到约束临界点,等价于切向残差

r_{in}=P_k r=0

。HF-SCF(Gr(N,n) 上的 Roothaan 步)与 WCI(CP^{dim−1} 上的 RR 步)是同一操作在两个态流形上的实例。 3. **③选心 = Bruhat-局部最速子流形扩张**(引理 C):球覆盖判据 = 法梯度能量 × 未覆盖率,是 10.86 几何对齐原理在 Bruhat 离散结构上的精确形式;CIPSI 的 argmax|r| 因缺"新颖性"因子而必然假收敛。 4. **④PT2 = 法丛 Newton 步**(引理 D):

E_{corr}=-\langle r_{out},H_N^{-1}r_{out}\rangle

是法向 Hessian

H_N=Q_k(H-E_k)Q_k

上的测地二阶修正;EN-PT2 是其对角近似,几何化版本是按 Bruhat 球块对角求逆。 5. **②判据 ≡ ④修正值**(几何收敛定理):到基态的能量误差在二阶下等于法向 Newton 增益

|E_{corr}|

,故收敛判据是

|E_{corr}|<\varepsilon_{chem}

而非 $\|r_{out}\|4 时一步精确);**二阶截断用可计算的后验双停机判据**(§9.2),严格三阶上界留作开放项。 LiH/6-31G(dim=3025)稠密严格对照(§12):球块构造与稠密子块一致到 9×10⁻¹⁶;夹逼顺序 |精确二阶|≤|球块|≤|对角 PT2|(非对角耦合减小二阶响应,对角 EN 过度修正);块 Jacobi 实测 ρ=0.12–0.17、2–3 趟到 10⁻¹⁰;**收敛阶段(小残差)球块/精确二阶误差 0.0000 mHa,比对角 PT2 的 0.0002 mHa 准 16 倍**。 ---

(1) 本文回答 10.30 开放问题 3:仿射完备码(RM CSS 码族)的相干噪声行为。核心定理——**零损失定理**:距离

d

的码注入

k \le \lfloor(d-1)/2\rfloor

比特相干旋转,最优纠错后损失恒为 0(注入项权重

\le k

的 syndrome 完全唯一,最小权重解码完美恢复)。(2) 新结构事实——**权重 4 全简并**:

d=8

码中每个权重 4 错误都包含于某个 3-平坦(仿射包

\le 3

维),其补集伙伴同 syndrome——635,376 个权重 4 错误无一唯一,解码选错率 50.7%。(3) 闭式——**距离-噪声标度律**:完备码家族(PG/AG)相干独立噪声的最优纠错损失

\mathrm{loss} \sim \theta_{\max}^{\,2\lceil d/2\rceil}

d=3 \to \theta^4

(10.29 复现,斜率 3.99 精确吻合),

d=8 \to \theta^8

(斜率 7.96)。(4) 程序验证:

[[64,20,8]]

注入 3/4/5 比特的失败分支统计与理论精确吻合;2048 比特(

m=11

)三码扩展验证全绿 16.6 秒。 ---

本文解决 10.31 开放问题 3,完成噪声标度律的家族级证明。(1) **包含性等价定理**:仿射完备码

[[2^m,\cdot,2^{r+1}]]

(

CSS(RM(r,m))

)中,权重

2^r

错误

\chi_A

存在同 syndrome 伙伴

\iff

A

包含于某个

(r+1)

-平坦。(2) **全简并边界定理**:

r \le 2

时权重

2^r

层全简并(

2^r - 1

个差向量恒张成

\le r+1

维);

r \ge 3

时非全简并(一般

2^r

子集仿射包

= 2^r - 1

维)——10.31 的"全简并对

r \ge 2

成立"猜想被修正。(3) **简并比例主阶闭式**:

P_r(m) \approx 2^{-(2^r-r-2)(m-r-1)}

——

r=2

指数 0(全简并),

r=3

指数

3(m-4)

;程序验证

m=8 \to 1.5\times10^{-4}

、

m=9 \to 2.0\times10^{-5}

(比值 7.5

\approx 2^3

精确吻合

m

依赖性)。(4) **标度律完整证明**:因简并比例恒

> 0

(

(r+1)

-平坦内取

2^r

点子集恒存在),损失

\mathrm{loss} \sim c_r(m)\,\theta^{2^{r+1}} = c_r\,\theta^d

对所有

r \ge 1

成立——10.31 定理 10.31.1.05 的证明完成。(5)

[[256,70,16]]

、

[[512,252,16]]

首次完整验证(列互异、权重 2 全量唯一、

d

核验、简并比例、补集伙伴实证 5/5)。 ---