10.32 权重 2^r 层简并:包含性等价、全简并边界与噪声标度律 θ^d 的完整证明

guobin ouyang

Published Aug 8, 2026• 0 citations

Abstract

本文解决 10.31 开放问题 3,完成噪声标度律的家族级证明。(1) **包含性等价定理**:仿射完备码 $[[2^m,\cdot,2^{r+1}]]$($CSS(RM(r,m))$)中,权重 $2^r$ 错误 $\chi_A$ 存在同 syndrome 伙伴 $\iff$ $A$ 包含于某个 $(r+1)$-平坦。(2) **全简并边界定理**:$r \le 2$ 时权重 $2^r$ 层全简并($2^r - 1$ 个差向量恒张成 $\le r+1$ 维);$r \ge 3$ 时非全简并(一般 $2^r$ 子集仿射包 $= 2^r - 1$ 维)——10.31 的"全简并对 $r \ge 2$ 成立"猜想被修正。(3) **简并比例主阶闭式**:$P_r(m) \approx 2^{-(2^r-r-2)(m-r-1)}$——$r=2$ 指数 0(全简并),$r=3$ 指数 $3(m-4)$;程序验证 $m=8 \to 1.5\times10^{-4}$、$m=9 \to 2.0\times10^{-5}$(比值 7.5 $\approx 2^3$ 精确吻合 $m$ 依赖性)。(4) **标度律完整证明**:因简并比例恒 $> 0$($(r+1)$-平坦内取 $2^r$ 点子集恒存在),损失 $\mathrm{loss} \sim c_r(m)\,\theta^{2^{r+1}} = c_r\,\theta^d$ 对所有 $r \ge 1$ 成立——10.31 定理 10.31.1.05 的证明完成。(5) $[[256,70,16]]$、$[[512,252,16]]$ 首次完整验证(列互异、权重 2 全量唯一、$d$ 核验、简并比例、补集伙伴实证 5/5)。 ---

DOI: 10.5281/zenodo.21847687

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guobin ouyang

Published Aug 8, 2026• 0 citations

Publisher

Abstract

本文解决 10.31 开放问题 3,完成噪声标度律的家族级证明。(1) 包含性等价定理:仿射完备码

[[2^m,\cdot,2^{r+1}]]

(

CSS(RM(r,m))

)中,权重

2^r

错误

\chi_A

存在同 syndrome 伙伴

\iff

A

包含于某个

(r+1)

-平坦。(2) 全简并边界定理:

r \le 2

时权重

2^r

层全简并(

2^r - 1

个差向量恒张成

\le r+1

维);

r \ge 3

时非全简并(一般

2^r

子集仿射包

= 2^r - 1

维)——10.31 的"全简并对

r \ge 2

成立"猜想被修正。(3) 简并比例主阶闭式:

P_r(m) \approx 2^{-(2^r-r-2)(m-r-1)}

——

r=2

指数 0(全简并),

r=3

指数

3(m-4)

;程序验证

m=8 \to 1.5\times10^{-4}

、

m=9 \to 2.0\times10^{-5}

(比值 7.5

\approx 2^3

精确吻合

m

依赖性)。(4) 标度律完整证明:因简并比例恒

> 0

(

(r+1)

-平坦内取

2^r

点子集恒存在),损失

\mathrm{loss} \sim c_r(m)\,\theta^{2^{r+1}} = c_r\,\theta^d

对所有

r \ge 1

成立——10.31 定理 10.31.1.05 的证明完成。(5)

[[256,70,16]]

、

[[512,252,16]]

首次完整验证(列互异、权重 2 全量唯一、

d

核验、简并比例、补集伙伴实证 5/5)。 ---

DOI: 10.5281/zenodo.21847687

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(1) 本文回答 10.30 开放问题 3:仿射完备码(RM CSS 码族)的相干噪声行为。核心定理——**零损失定理**:距离 $d$ 的码注入 $k \le \lfloor(d-1)/2\rfloor$ 比特相干旋转,最优纠错后损失恒为 0(注入项权重 $\le k$ 的 syndrome 完全唯一,最小权重解码完美恢复)。(2) 新结构事实——**权重 4 全简并**: $d=8$ 码中每个权重 4 错误都包含于某个 3-平坦(仿射包 $\le 3$ 维),其补集伙伴同 syndrome——635,376 个权重 4 错误无一唯一,解码选错率 50.7%。(3) 闭式——**距离-噪声标度律**:完备码家族(PG/AG)相干独立噪声的最优纠错损失 $\mathrm{loss} \sim \theta_{\max}^{\,2\lceil d/2\rceil}$ : $d=3 \to \theta^4$ (10.29 复现,斜率 3.99 精确吻合), $d=8 \to \theta^8$ (斜率 7.96)。(4) 程序验证: $[[64,20,8]]$ 注入 3/4/5 比特的失败分支统计与理论精确吻合;2048 比特( $m=11$ )三码扩展验证全绿 16.6 秒。 ---(1) 本文回答 10.30 开放问题 3:仿射完备码(RM CSS 码族)的相干噪声行为。核心定理——**零损失定理**:距离 $d$ 的码注入 $k \le \lfloor(d-1)/2\rfloor$ 比特相干旋转,最优纠错后损失恒为 0(注入项权重 $\le k$ 的 syndrome 完全唯一,最小权重解码完美恢复)。(2) 新结构事实——**权重 4 全简并**:$d=8$ 码中每个权重 4 错误都包含于某个 3-平坦(仿射包 $\le 3$ 维),其补集伙伴同 syndrome——635,376 个权重 4 错误无一唯一,解码选错率 50.7%。(3) 闭式——**距离-噪声标度律**:完备码家族(PG/AG)相干独立噪声的最优纠错损失 $\mathrm{loss} \sim \theta_{\max}^{\,2\lceil d/2\rceil}$:$d=3 \to \theta^4$(10.29 复现,斜率 3.99 精确吻合),$d=8 \to \theta^8$(斜率 7.96)。(4) 程序验证:$[[64,20,8]]$ 注入 3/4/5 比特的失败分支统计与理论精确吻合;2048 比特($m=11$)三码扩展验证全绿 16.6 秒。 ---

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10.36 四阶标度律的实验判别方案:64–1121 比特平台的 θ⁴/θ⁸/θ¹⁶/θ³² 斜率检验

guobin ouyang

10.35 定理 10.35.1.01 给出统一标度律 $\mathrm{loss}(\theta) = c_d\,\theta^d$ ( $d = 2^{r+1}$ ,AG 完备码),系数 $c_d = C(n,w_0)\,P(w_0)\,\mathrm{fail}(w_0)\,\kappa_r(m)\,2^{-2w_0}$ 无自由参数( $\kappa$ 为逻辑翻转比例,引理 10.35.2.10;实验 loss 为逻辑 Z 翻转率,定理 10.35.1.07)。本文设计实验判别方案:在 64–1121 比特超导平台上,对 1024 家族四档码( $d = 4/8/16/32$ )测量 log-log 斜率并检验其等于 $d$ 。核心结果:(i) 四档可观测窗口( $\mathrm{loss} \in [10^{-3}, 0.5]$ )在 $\theta$ 轴上**阶梯分离**—— $d=4$ : $[0.017, 0.080]$ 、 $d=8$ : $[0.049, 0.107]$ 、 $d=16$ : $[0.205, 0.302]$ 、 $d=32$ : $[0.457, 0.555]$ —— $d=8/16$ 与 $d=16/32$ 之间有 gap( $[0.107, 0.205]$ 与 $[0.302, 0.457]$ ),窗口阶梯本身是几何预言的签名;(ii) 判别精度:斜率估计 $\sigma_d = 0.03$ – $0.20$ (5% loss 相对误差、每档 5 点、 $N = 2\times10^5$ – $10^6$ shots),档间差 4 的判别余量 20–143σ;(iii) 协议用**暴力测量**(单轮、副本法,无需 ancilla 与非破坏测量)——判别实验与实用 QEC 的关键区别;(iv) 时间预算约 1 个平台日。方案含截距检验( $\ln c_d$ 闭式——间接测量 $\kappa\,\mathrm{fail}(w_0)$ 与类大小 $v$ )、gap 区检验、随机 Pauli 对照(非相干 $\theta^2$ 与相干 $\theta^d$ 分离)与五条证伪条件。 ---10.35 定理 10.35.1.01 给出统一标度律 $\mathrm{loss}(\theta) = c_d\,\theta^d$($d = 2^{r+1}$,AG 完备码),系数 $c_d = C(n,w_0)\,P(w_0)\,\mathrm{fail}(w_0)\,\kappa_r(m)\,2^{-2w_0}$ 无自由参数($\kappa$ 为逻辑翻转比例,引理 10.35.2.10;实验 loss 为逻辑 Z 翻转率,定理 10.35.1.07)。本文设计实验判别方案:在 64–1121 比特超导平台上,对 1024 家族四档码($d = 4/8/16/32$)测量 log-log 斜率并检验其等于 $d$。核心结果:(i) 四档可观测窗口($\mathrm{loss} \in [10^{-3}, 0.5]$)在 $\theta$ 轴上**阶梯分离**——$d=4$: $[0.017, 0.080]$、$d=8$: $[0.049, 0.107]$、$d=16$: $[0.205, 0.302]$、$d=32$: $[0.457, 0.555]$——$d=8/16$ 与 $d=16/32$ 之间有 gap($[0.107, 0.205]$ 与 $[0.302, 0.457]$),窗口阶梯本身是几何预言的签名;(ii) 判别精度:斜率估计 $\sigma_d = 0.03$–$0.20$(5% loss 相对误差、每档 5 点、$N = 2\times10^5$–$10^6$ shots),档间差 4 的判别余量 20–143σ;(iii) 协议用**暴力测量**(单轮、副本法,无需 ancilla 与非破坏测量)——判别实验与实用 QEC 的关键区别;(iv) 时间预算约 1 个平台日。方案含截距检验($\ln c_d$ 闭式——间接测量 $\kappa\,\mathrm{fail}(w_0)$ 与类大小 $v$)、gap 区检验、随机 Pauli 对照(非相干 $\theta^2$ 与相干 $\theta^d$ 分离)与五条证伪条件。 ---

Aug 8, 20260 citations

10.29 量子纠错码的 θ⁴ 损失标度律与可实验预言

guobin ouyang

理论的价值在于预言,而非后验拟合。10.28 的程序接口 P1/P2/P3 已在符号与态矢量两个层面完成方向完备码系列的结构验证( $m=3..8$ 全量、 $m=10$ 即 $[[1023,1003,3]]$ 全量验证 0.12 秒)。本文把程序验证的终点推进到实验:整理三条可实验检验的定量预言——(1) **θ⁴ 损失标度律**:独立单比特噪声上界 $\theta_{\max}$ 下,最优纠错后损失 $L=c\,\theta_{\max}^4+O(\theta_{\max}^6)$ (log-log 斜率程序实测 $4.04/4.12/4.14$ ,三码一致);(2) **检测率闭式**:单比特旋转注入的检测率恰为 $\sin^2(\theta/2)$ ,且漏检路径保真度 $=1$ (漏检无害);(3) **逻辑方向不可检测**:逻辑算符注入 syndrome 恒为零, $Z$ 型对 $|0_L\rangle$ 为全局相位(损失 0)、 $X$ 型损失恰为 $\sin^2(\theta/2)$ 。另给出一条结构预言(程序可验证的几何事实):方向完备码所有权重 2 错误均为共线型( $PG(m-1,2)$ 的列异或封闭性),恢复后残留权重 3 逻辑算符—— $[[15,7,3]]$ 中与单比特同 syndrome 的权重 2 错误占比恰为 $315/945=1/3$ 。实验方案以 5-7 比特码( $[[5,1,3]]$ 或 $[[7,1,3]]$ )即可实施,无需纠错级硬件。全部预言数值来自程序实际输出(§3),与 10.28 §6 O6/O7 一致。 ---理论的价值在于预言,而非后验拟合。10.28 的程序接口 P1/P2/P3 已在符号与态矢量两个层面完成方向完备码系列的结构验证($m=3..8$ 全量、$m=10$ 即 $[[1023,1003,3]]$ 全量验证 0.12 秒)。本文把程序验证的终点推进到实验:整理三条可实验检验的定量预言——(1) **θ⁴ 损失标度律**:独立单比特噪声上界 $\theta_{\max}$ 下,最优纠错后损失 $L=c\,\theta_{\max}^4+O(\theta_{\max}^6)$(log-log 斜率程序实测 $4.04/4.12/4.14$,三码一致);(2) **检测率闭式**:单比特旋转注入的检测率恰为 $\sin^2(\theta/2)$,且漏检路径保真度 $=1$(漏检无害);(3) **逻辑方向不可检测**:逻辑算符注入 syndrome 恒为零,$Z$ 型对 $|0_L\rangle$ 为全局相位(损失 0)、$X$ 型损失恰为 $\sin^2(\theta/2)$。另给出一条结构预言(程序可验证的几何事实):方向完备码所有权重 2 错误均为共线型($PG(m-1,2)$ 的列异或封闭性),恢复后残留权重 3 逻辑算符——$[[15,7,3]]$ 中与单比特同 syndrome 的权重 2 错误占比恰为 $315/945=1/3$。实验方案以 5-7 比特码($[[5,1,3]]$ 或 $[[7,1,3]]$)即可实施,无需纠错级硬件。全部预言数值来自程序实际输出(§3),与 10.28 §6 O6/O7 一致。 ---

Aug 8, 20260 citations

10.83 全型失败率闭式与自研查表解码器:几何论恢复表的一台 Mac 执行

guobin ouyang

本文两件事:(1) **补全 10.35 的失败率闭式到全 Pauli 型视角**——10.35 的 fail(w₀) = 1 − ⟨1/v⟩ 对 AG r=1 权重 2 层给出 1 − 2^{1−m},但这是**纯型(单侧 X 或 Z 错误)**视角;实际解码面对全部 9 种 Pauli 型(含 XZ/XY 等混合型),本文证明混合型在 AG 完备码权重 2 层**完全唯一**(类大小 1),故全型失败率修正为 $\mathrm{fail}^{(9)}(2) = \frac{1}{3}\left(1 - 2^{1-m}\right) + \frac{2}{3}\cdot 0 = \frac{1}{3} - \frac{1}{3\cdot 2^{m-1}},$ 即 1/3 的纯型错误(XX/ZZ/YY,各 2^{m-1} 元类)贡献单侧 fail,2/3 的混合型(6 种)无简并贡献 0。(2) **实现自研查表解码器** `LookupDecoder`(qec-geometry ≥ 0.3.3):零依赖(无 stim/pymatching)、Mac 毫秒级构建 syndrome→最小权重恢复表,恢复代表 = 类内最小权重(几何论恢复表设计),解码失败 ⟺ 残留 ∉ 稳定子群。两件事统一:**解码器直接枚举验证全型失败率闭式**,并实证 AG r≥2 权重 2 层零简并(唯一率 1.0、fail(2) = 0)。 ---本文两件事:(1) **补全 10.35 的失败率闭式到全 Pauli 型视角**——10.35 的 fail(w₀) = 1 − ⟨1/v⟩ 对 AG r=1 权重 2 层给出 1 − 2^{1−m},但这是**纯型(单侧 X 或 Z 错误)**视角;实际解码面对全部 9 种 Pauli 型(含 XZ/XY 等混合型),本文证明混合型在 AG 完备码权重 2 层**完全唯一**(类大小 1),故全型失败率修正为 $$\mathrm{fail}^{(9)}(2) = \frac{1}{3}\left(1 - 2^{1-m}\right) + \frac{2}{3}\cdot 0 = \frac{1}{3} - \frac{1}{3\cdot 2^{m-1}},$$ 即 1/3 的纯型错误(XX/ZZ/YY,各 2^{m-1} 元类)贡献单侧 fail,2/3 的混合型(6 种)无简并贡献 0。(2) **实现自研查表解码器** `LookupDecoder`(qec-geometry ≥ 0.3.3):零依赖(无 stim/pymatching)、Mac 毫秒级构建 syndrome→最小权重恢复表,恢复代表 = 类内最小权重(几何论恢复表设计),解码失败 ⟺ 残留 ∉ 稳定子群。两件事统一:**解码器直接枚举验证全型失败率闭式**,并实证 AG r≥2 权重 2 层零简并(唯一率 1.0、fail(2) = 0)。 ---

Sep 9, 20260 citations

10.28 量子纠错码的扩展结构:完备方向系列、刚度分层与 Clifford 轨道

guobin ouyang

10.27 将量子纠错码的定义层锚定到编码轨道几何:五比特码( $n=5$ ,双饱和唯一)、Steane( $n=7=2^3-1$ ,方向空间完备性)、Shor( $n=9=3\times 3$ ,素三分解)。本文推进三条扩展线,为模拟程序的比特数与速度提供定理基础。(1) **完备方向码系列**(定理 10.28.1.02):方向空间完备性(命题 10.27.3.14 的核心)迭代为 $m$ 参数系列 $\{[[2^m-1,\,2^m-1-2m,\,3]]\}_{m\ge 3}$ —— $m=3$ 即 Steane, $m=4$ 给出 $[[15,7,3]]$ ,每增一方向维数码长翻倍;唯一性由 Hamming 上界与 $\mathrm{GL}(m,\mathbb{F}_2)$ 等价类给出, $d=3$ 由射影几何 $PG(m-1,2)$ 的直线枚举验证(命题 10.28.1.03: $m=3$ 回到 7 条 Fano 线, $m=4$ 为 35 条)。(2) **刚度分层**(定理 10.28.2.02):刚度比 $\kappa=\lambda_2^{\text{eff}}/\lambda_1^{\text{eff}}\approx 151.7$ (定理 10.27.1.04(ii))从压制比推进为检测率下界 $1-A\kappa^{-1}$ ——错误验证可按扇区分层,通道类错误成本被 $\kappa$ 压制(依赖定量假说 H1,明确标注,推论链已程序检验,见 §6 O6; $A$ 的第一性测定开放,§6 O2)。(3) **Clifford 轨道与谱平权**(定理 10.28.3.02、10.28.3.03):stabilizer 态沿一切二分的约化密度矩阵谱平权(本征值 $\in\{0,2^{|S_A|-|A|}\}$ )——谱刚性(定理 10.17.0.05)的量子信息形态;完整纠错循环(编码、Pauli 错误、syndrome、恢复、Clifford 逻辑门)保持在谱平权子流形内,态表示 $O(n^2)$ ——混合模拟(默认 stabilizer 表示、按需展开态矢量)的几何分界(推论 10.28.3.04; $O(n^2)$ 承诺已程序验证,§6 O7——方向完备系列 4.0s 全部通过)。§5 检验素分解路径: $15=2^4-1=5\times 3$ 的汇合为数值巧合(命题 10.28.4.01:不存在 $[[3,1,3]]$ ), $[[15,7,3]]$ 的唯一几何来源是完备方向 $m=4$ 。§6 列出开放问题与程序接口( $PG(3,2)$ 验证、刚度分层采样、stabilizer 模拟器均已完成)。10.27 将量子纠错码的定义层锚定到编码轨道几何:五比特码($n=5$,双饱和唯一)、Steane($n=7=2^3-1$,方向空间完备性)、Shor($n=9=3\times 3$,素三分解)。本文推进三条扩展线,为模拟程序的比特数与速度提供定理基础。(1) **完备方向码系列**(定理 10.28.1.02):方向空间完备性(命题 10.27.3.14 的核心)迭代为 $m$ 参数系列 $\{[[2^m-1,\,2^m-1-2m,\,3]]\}_{m\ge 3}$——$m=3$ 即 Steane,$m=4$ 给出 $[[15,7,3]]$,每增一方向维数码长翻倍;唯一性由 Hamming 上界与 $\mathrm{GL}(m,\mathbb{F}_2)$ 等价类给出,$d=3$ 由射影几何 $PG(m-1,2)$ 的直线枚举验证(命题 10.28.1.03:$m=3$ 回到 7 条 Fano 线,$m=4$ 为 35 条)。(2) **刚度分层**(定理 10.28.2.02):刚度比 $\kappa=\lambda_2^{\text{eff}}/\lambda_1^{\text{eff}}\approx 151.7$(定理 10.27.1.04(ii))从压制比推进为检测率下界 $1-A\kappa^{-1}$——错误验证可按扇区分层,通道类错误成本被 $\kappa$ 压制(依赖定量假说 H1,明确标注,推论链已程序检验,见 §6 O6;$A$ 的第一性测定开放,§6 O2)。(3) **Clifford 轨道与谱平权**(定理 10.28.3.02、10.28.3.03):stabilizer 态沿一切二分的约化密度矩阵谱平权(本征值 $\in\{0,2^{|S_A|-|A|}\}$)——谱刚性(定理 10.17.0.05)的量子信息形态;完整纠错循环(编码、Pauli 错误、syndrome、恢复、Clifford 逻辑门)保持在谱平权子流形内,态表示 $O(n^2)$——混合模拟(默认 stabilizer 表示、按需展开态矢量)的几何分界(推论 10.28.3.04;$O(n^2)$ 承诺已程序验证,§6 O7——方向完备系列 4.0s 全部通过)。§5 检验素分解路径:$15=2^4-1=5\times 3$ 的汇合为数值巧合(命题 10.28.4.01:不存在 $[[3,1,3]]$),$[[15,7,3]]$ 的唯一几何来源是完备方向 $m=4$。§6 列出开放问题与程序接口($PG(3,2)$ 验证、刚度分层采样、stabilizer 模拟器均已完成)。

Aug 8, 20260 citations

10.71 几何退相干:V-D 互补恒等式与信息场衰减

guobin ouyang

本文攻取离散随机家族覆盖审核的第 5 项缺口(量子退相干机制),给出两个结果: 1. **静态互补恒等式(纯代数,A0 类,可提交主库)**:对双通道投影强度 σ₁、σ₂(#257 归一化 σ₁+σ₂=1),干涉可见度 V = 2√(σ₁σ₂)/(σ₁+σ₂)(10.61 推论 10.61.3.03)与路径不平衡度 D = |σ₁−σ₂|/(σ₁+σ₂) 满足 $V^2 + D^2 = 1.$ 这是量子信息中 Englert 对偶关系(D²+V² ≤ 1)在纯态双缝几何中的精确等号形式——干涉清晰度与路径可分辨度是单位圆上的两个互补坐标。注意 V 与 D 由同一对投影强度 (σ₁,σ₂) 定义,V²+D²=1 是归一化 σ₁+σ₂=1 的代数恒等式(形式对应,非两个独立结构的偶然相遇)。 2. **退相干动力学(中间层构造)**:环境印记重叠按信息场衰减率衰减(5.1 定理 5.1.2.01,Γ_geo = μ₁/N_info = 0.02308625),⟹ 可见度指数衰减 $V(t) = V_0 e^{-\Gamma_{\text{geo}} t}, \qquad \tau_{\text{dec}} = 1/\Gamma_{\text{geo}} = 43.32 \ \text{编码步}, \qquad t_{1/2} = 30.02.$ 5.1 §2 早已列出的"信息场衰减 vs 量子退相干"类比表(e^{−Γ_geo t} vs e^{−t/T₂})在此获得定量定理形式(衰减率 Γ_geo 为构造锚定,见 §5)。 **关键依赖**:5.1 定理 5.1.2.01(信息场衰减定理)、10.61 推论 10.61.3.03(对比度公式)、10.61 命题 10.61.2.02(等权重归一化);#257(扇区权重归一化)、#259(Born 法则代数形式 Δλᵢ = K√σᵢ);10.70 定理 10.70.3.01(几何 Zeno 冻结,关联对比)。 ---本文攻取离散随机家族覆盖审核的第 5 项缺口(量子退相干机制),给出两个结果: 1. **静态互补恒等式(纯代数,A0 类,可提交主库)**:对双通道投影强度 σ₁、σ₂(#257 归一化 σ₁+σ₂=1),干涉可见度 V = 2√(σ₁σ₂)/(σ₁+σ₂)(10.61 推论 10.61.3.03)与路径不平衡度 D = |σ₁−σ₂|/(σ₁+σ₂) 满足 $$V^2 + D^2 = 1.$$ 这是量子信息中 Englert 对偶关系(D²+V² ≤ 1)在纯态双缝几何中的精确等号形式——干涉清晰度与路径可分辨度是单位圆上的两个互补坐标。注意 V 与 D 由同一对投影强度 (σ₁,σ₂) 定义,V²+D²=1 是归一化 σ₁+σ₂=1 的代数恒等式(形式对应,非两个独立结构的偶然相遇)。 2. **退相干动力学(中间层构造)**:环境印记重叠按信息场衰减率衰减(5.1 定理 5.1.2.01,Γ_geo = μ₁/N_info = 0.02308625),⟹ 可见度指数衰减 $$V(t) = V_0 e^{-\Gamma_{\text{geo}} t}, \qquad \tau_{\text{dec}} = 1/\Gamma_{\text{geo}} = 43.32 \ \text{编码步}, \qquad t_{1/2} = 30.02.$$ 5.1 §2 早已列出的"信息场衰减 vs 量子退相干"类比表(e^{−Γ_geo t} vs e^{−t/T₂})在此获得定量定理形式(衰减率 Γ_geo 为构造锚定,见 §5)。 **关键依赖**:5.1 定理 5.1.2.01(信息场衰减定理)、10.61 推论 10.61.3.03(对比度公式)、10.61 命题 10.61.2.02(等权重归一化);#257(扇区权重归一化)、#259(Born 法则代数形式 Δλᵢ = K√σᵢ);10.70 定理 10.70.3.01(几何 Zeno 冻结,关联对比)。 ---

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本文解决 10.31 开放问题 3,完成噪声标度律的家族级证明。(1) 包含性等价定理:仿射完备码

[[2^m,\cdot,2^{r+1}]]

(

CSS(RM(r,m))

)中,权重

2^r

错误

\chi_A

存在同 syndrome 伙伴

\iff

A

包含于某个

(r+1)

-平坦。(2) 全简并边界定理:

r \le 2

时权重

2^r

层全简并(

2^r - 1

个差向量恒张成

\le r+1

维);

r \ge 3

时非全简并(一般

2^r

子集仿射包

= 2^r - 1

维)——10.31 的"全简并对

r \ge 2

成立"猜想被修正。(3) 简并比例主阶闭式:

P_r(m) \approx 2^{-(2^r-r-2)(m-r-1)}

——

r=2

指数 0(全简并),

r=3

指数

3(m-4)

;程序验证

m=8 \to 1.5\times10^{-4}

、

m=9 \to 2.0\times10^{-5}

(比值 7.5

\approx 2^3

精确吻合

m

依赖性)。(4) 标度律完整证明:因简并比例恒

> 0

(

(r+1)

-平坦内取

2^r

点子集恒存在),损失

\mathrm{loss} \sim c_r(m)\,\theta^{2^{r+1}} = c_r\,\theta^d

对所有

r \ge 1

成立——10.31 定理 10.31.1.05 的证明完成。(5)

[[256,70,16]]

、

[[512,252,16]]

首次完整验证(列互异、权重 2 全量唯一、

d

核验、简并比例、补集伙伴实证 5/5)。 ---

(1) 本文回答 10.30 开放问题 3:仿射完备码(RM CSS 码族)的相干噪声行为。核心定理——**零损失定理**:距离

d

的码注入

k \le \lfloor(d-1)/2\rfloor

比特相干旋转,最优纠错后损失恒为 0(注入项权重

\le k

的 syndrome 完全唯一,最小权重解码完美恢复)。(2) 新结构事实——**权重 4 全简并**:

d=8

码中每个权重 4 错误都包含于某个 3-平坦(仿射包

\le 3

维),其补集伙伴同 syndrome——635,376 个权重 4 错误无一唯一,解码选错率 50.7%。(3) 闭式——**距离-噪声标度律**:完备码家族(PG/AG)相干独立噪声的最优纠错损失

\mathrm{loss} \sim \theta_{\max}^{\,2\lceil d/2\rceil}

d=3 \to \theta^4

(10.29 复现,斜率 3.99 精确吻合),

d=8 \to \theta^8

(斜率 7.96)。(4) 程序验证:

[[64,20,8]]

注入 3/4/5 比特的失败分支统计与理论精确吻合;2048 比特(

m=11

)三码扩展验证全绿 16.6 秒。 ---

10.35 定理 10.35.1.01 给出统一标度律

\mathrm{loss}(\theta) = c_d\,\theta^d

(

d = 2^{r+1}

,AG 完备码),系数

c_d = C(n,w_0)\,P(w_0)\,\mathrm{fail}(w_0)\,\kappa_r(m)\,2^{-2w_0}

无自由参数(

\kappa

为逻辑翻转比例,引理 10.35.2.10;实验 loss 为逻辑 Z 翻转率,定理 10.35.1.07)。本文设计实验判别方案:在 64–1121 比特超导平台上,对 1024 家族四档码(

d = 4/8/16/32

)测量 log-log 斜率并检验其等于

d

。核心结果:(i) 四档可观测窗口(

\mathrm{loss} \in [10^{-3}, 0.5]

)在

\theta

轴上**阶梯分离**——

d=4

[0.017, 0.080]

、

d=8

[0.049, 0.107]

、

d=16

[0.205, 0.302]

、

d=32

[0.457, 0.555]

——

d=8/16

与

d=16/32

之间有 gap(

[0.107, 0.205]

与

[0.302, 0.457]

),窗口阶梯本身是几何预言的签名;(ii) 判别精度:斜率估计

\sigma_d = 0.03

–

0.20

(5% loss 相对误差、每档 5 点、

N = 2\times10^5

–

10^6

shots),档间差 4 的判别余量 20–143σ;(iii) 协议用**暴力测量**(单轮、副本法,无需 ancilla 与非破坏测量)——判别实验与实用 QEC 的关键区别;(iv) 时间预算约 1 个平台日。方案含截距检验(

\ln c_d

闭式——间接测量

\kappa\,\mathrm{fail}(w_0)

与类大小

v

)、gap 区检验、随机 Pauli 对照(非相干

\theta^2

与相干

\theta^d

分离)与五条证伪条件。 ---

理论的价值在于预言,而非后验拟合。10.28 的程序接口 P1/P2/P3 已在符号与态矢量两个层面完成方向完备码系列的结构验证(

m=3..8

全量、

m=10

即

[[1023,1003,3]]

全量验证 0.12 秒)。本文把程序验证的终点推进到实验:整理三条可实验检验的定量预言——(1) **θ⁴ 损失标度律**:独立单比特噪声上界

\theta_{\max}

下,最优纠错后损失

L=c\,\theta_{\max}^4+O(\theta_{\max}^6)

(log-log 斜率程序实测

4.04/4.12/4.14

,三码一致);(2) **检测率闭式**:单比特旋转注入的检测率恰为

\sin^2(\theta/2)

,且漏检路径保真度

=1

(漏检无害);(3) **逻辑方向不可检测**:逻辑算符注入 syndrome 恒为零,

Z

型对

|0_L\rangle

为全局相位(损失 0)、

X

型损失恰为

\sin^2(\theta/2)

。另给出一条结构预言(程序可验证的几何事实):方向完备码所有权重 2 错误均为共线型(

PG(m-1,2)

的列异或封闭性),恢复后残留权重 3 逻辑算符——

[[15,7,3]]

中与单比特同 syndrome 的权重 2 错误占比恰为

315/945=1/3

。实验方案以 5-7 比特码(

[[5,1,3]]

或

[[7,1,3]]

)即可实施,无需纠错级硬件。全部预言数值来自程序实际输出(§3),与 10.28 §6 O6/O7 一致。 ---

\mathrm{fail}^{(9)}(2) = \frac{1}{3}\left(1 - 2^{1-m}\right) + \frac{2}{3}\cdot 0 = \frac{1}{3} - \frac{1}{3\cdot 2^{m-1}},

即 1/3 的纯型错误(XX/ZZ/YY,各 2^{m-1} 元类)贡献单侧 fail,2/3 的混合型(6 种)无简并贡献 0。(2) **实现自研查表解码器** `LookupDecoder`(qec-geometry ≥ 0.3.3):零依赖(无 stim/pymatching)、Mac 毫秒级构建 syndrome→最小权重恢复表,恢复代表 = 类内最小权重(几何论恢复表设计),解码失败 ⟺ 残留 ∉ 稳定子群。两件事统一:**解码器直接枚举验证全型失败率闭式**,并实证 AG r≥2 权重 2 层零简并(唯一率 1.0、fail(2) = 0)。 ---

10.27 将量子纠错码的定义层锚定到编码轨道几何:五比特码(

n=5

,双饱和唯一)、Steane(

n=7=2^3-1

,方向空间完备性)、Shor(

n=9=3\times 3

,素三分解)。本文推进三条扩展线,为模拟程序的比特数与速度提供定理基础。(1) **完备方向码系列**(定理 10.28.1.02):方向空间完备性(命题 10.27.3.14 的核心)迭代为

m

参数系列

\{[[2^m-1,\,2^m-1-2m,\,3]]\}_{m\ge 3}

——

m=3

即 Steane,

m=4

给出

[[15,7,3]]

,每增一方向维数码长翻倍;唯一性由 Hamming 上界与

\mathrm{GL}(m,\mathbb{F}_2)

等价类给出,

d=3

由射影几何

PG(m-1,2)

的直线枚举验证(命题 10.28.1.03:

m=3

回到 7 条 Fano 线,

m=4

为 35 条)。(2) **刚度分层**(定理 10.28.2.02):刚度比

\kappa=\lambda_2^{\text{eff}}/\lambda_1^{\text{eff}}\approx 151.7

(定理 10.27.1.04(ii))从压制比推进为检测率下界

1-A\kappa^{-1}

——错误验证可按扇区分层,通道类错误成本被

\kappa

压制(依赖定量假说 H1,明确标注,推论链已程序检验,见 §6 O6;

A

的第一性测定开放,§6 O2)。(3) **Clifford 轨道与谱平权**(定理 10.28.3.02、10.28.3.03):stabilizer 态沿一切二分的约化密度矩阵谱平权(本征值

\in\{0,2^{|S_A|-|A|}\}

)——谱刚性(定理 10.17.0.05)的量子信息形态;完整纠错循环(编码、Pauli 错误、syndrome、恢复、Clifford 逻辑门)保持在谱平权子流形内,态表示

O(n^2)

——混合模拟(默认 stabilizer 表示、按需展开态矢量)的几何分界(推论 10.28.3.04;

O(n^2)

承诺已程序验证,§6 O7——方向完备系列 4.0s 全部通过)。§5 检验素分解路径:

15=2^4-1=5\times 3

的汇合为数值巧合(命题 10.28.4.01:不存在

[[3,1,3]]

[[15,7,3]]

的唯一几何来源是完备方向

m=4

。§6 列出开放问题与程序接口(

PG(3,2)

验证、刚度分层采样、stabilizer 模拟器均已完成)。

V^2 + D^2 = 1.

这是量子信息中 Englert 对偶关系(D²+V² ≤ 1)在纯态双缝几何中的精确等号形式——干涉清晰度与路径可分辨度是单位圆上的两个互补坐标。注意 V 与 D 由同一对投影强度 (σ₁,σ₂) 定义,V²+D²=1 是归一化 σ₁+σ₂=1 的代数恒等式(形式对应,非两个独立结构的偶然相遇)。 2. **退相干动力学(中间层构造)**:环境印记重叠按信息场衰减率衰减(5.1 定理 5.1.2.01,Γ_geo = μ₁/N_info = 0.02308625),⟹ 可见度指数衰减

V(t) = V_0 e^{-\Gamma_{\text{geo}} t}, \qquad \tau_{\text{dec}} = 1/\Gamma_{\text{geo}} = 43.32 \ \text{编码步}, \qquad t_{1/2} = 30.02.

5.1 §2 早已列出的"信息场衰减 vs 量子退相干"类比表(e^{−Γ_geo t} vs e^{−t/T₂})在此获得定量定理形式(衰减率 Γ_geo 为构造锚定,见 §5)。 **关键依赖**:5.1 定理 5.1.2.01(信息场衰减定理)、10.61 推论 10.61.3.03(对比度公式)、10.61 命题 10.61.2.02(等权重归一化);#257(扇区权重归一化)、#259(Born 法则代数形式 Δλᵢ = K√σᵢ);10.70 定理 10.70.3.01(几何 Zeno 冻结,关联对比)。 ---