Challenges
Datasets
Workspaces
Papers
Discussions
Leaderboard
Log inSign up
Challenges
Datasets
Workspaces
Papers
Discussions
Leaderboard
Blog
Job Board
Q3AS

© 2026 Aqora Quantum S.A.S.

TermsPrivacyLegal Notice

10.31 仿射完备码的噪声行为:零损失定理、权重 4 全简并与距离-噪声标度闭式

guobin ouyang

Published Aug 8, 2026• 0 citations
Publisher

Abstract

(1) 本文回答 10.30 开放问题 3:仿射完备码(RM CSS 码族)的相干噪声行为。核心定理——**零损失定理**:距离 $d$ 的码注入 $k \le \lfloor(d-1)/2\rfloor$ 比特相干旋转,最优纠错后损失恒为 0(注入项权重 $\le k$ 的 syndrome 完全唯一,最小权重解码完美恢复)。(2) 新结构事实——**权重 4 全简并**:$d=8$ 码中每个权重 4 错误都包含于某个 3-平坦(仿射包 $\le 3$ 维),其补集伙伴同 syndrome——635,376 个权重 4 错误无一唯一,解码选错率 50.7%。(3) 闭式——**距离-噪声标度律**:完备码家族(PG/AG)相干独立噪声的最优纠错损失 $\mathrm{loss} \sim \theta_{\max}^{\,2\lceil d/2\rceil}$:$d=3 \to \theta^4$(10.29 复现,斜率 3.99 精确吻合),$d=8 \to \theta^8$(斜率 7.96)。(4) 程序验证:$[[64,20,8]]$ 注入 3/4/5 比特的失败分支统计与理论精确吻合;2048 比特($m=11$)三码扩展验证全绿 16.6 秒。 ---

DOI
10.5281/zenodo.21847683

Related papers

10.32 权重 2^r 层简并:包含性等价、全简并边界与噪声标度律 θ^d 的完整证明

guobin ouyang

本文解决 10.31 开放问题 3,完成噪声标度律的家族级证明。(1) **包含性等价定理**:仿射完备码 $[[2^m,\cdot,2^{r+1}]]$($CSS(RM(r,m))$)中,权重 $2^r$ 错误 $\chi_A$ 存在同 syndrome 伙伴 $\iff$ $A$ 包含于某个 $(r+1)$-平坦。(2) **全简并边界定理**:$r \le 2$ 时权重 $2^r$ 层全简并($2^r - 1$ 个差向量恒张成 $\le r+1$ 维);$r \ge 3$ 时非全简并(一般 $2^r$ 子集仿射包 $= 2^r - 1$ 维)——10.31 的"全简并对 $r \ge 2$ 成立"猜想被修正。(3) **简并比例主阶闭式**:$P_r(m) \approx 2^{-(2^r-r-2)(m-r-1)}$——$r=2$ 指数 0(全简并),$r=3$ 指数 $3(m-4)$;程序验证 $m=8 \to 1.5\times10^{-4}$、$m=9 \to 2.0\times10^{-5}$(比值 7.5 $\approx 2^3$ 精确吻合 $m$ 依赖性)。(4) **标度律完整证明**:因简并比例恒 $> 0$($(r+1)$-平坦内取 $2^r$ 点子集恒存在),损失 $\mathrm{loss} \sim c_r(m)\,\theta^{2^{r+1}} = c_r\,\theta^d$ 对所有 $r \ge 1$ 成立——10.31 定理 10.31.1.05 的证明完成。(5) $[[256,70,16]]$、$[[512,252,16]]$ 首次完整验证(列互异、权重 2 全量唯一、$d$ 核验、简并比例、补集伙伴实证 5/5)。 ---

•Aug 8, 2026•0 citations

10.85 矩代数约束与测量噪声代数纠正(几何论解码新理论)

guobin ouyang

经典解码理论(BP、MWPM、软信息)处理测量噪声靠**概率推断**。本文建立 **纯代数的测量噪声处理理论**:CSS(RM(r,m)) 码的 syndrome(次数 ≤ r 矩) 不是独立的——矩矩阵 M₂ 满足**代数分解约束** M₂ = Σ_{a∈A} v_a v_aᵀ (v_a 为错误点 a 的坐标向量,GF(2))。测量噪声翻转矩位会破坏该约束, 用"翻转哪些矩位能使分解约束恢复"可**确定性**检测并纠正测量噪声, 完全不需要概率模型。 核心结果(m=5 全枚举验证 100%): - **秩约束**:|A| = w 的错误,rank(M₂) ≤ min(仿射包维数+1, w); 单点特例 M₂ = m₁⊗m₁(m₁ 为线性矩) - **解析可解性**:两点错误可由矩**解析解出**(非枚举),O(m) 时间 - **代数纠正**:两点错误 + 1/2 位测量噪声,枚举翻转位 + 解析约束 校验,**纠正率 100%**(m=5 全枚举)

•Sep 9, 2026•0 citations

10.36 四阶标度律的实验判别方案:64–1121 比特平台的 θ⁴/θ⁸/θ¹⁶/θ³² 斜率检验

guobin ouyang

10.35 定理 10.35.1.01 给出统一标度律 $\mathrm{loss}(\theta) = c_d\,\theta^d$($d = 2^{r+1}$,AG 完备码),系数 $c_d = C(n,w_0)\,P(w_0)\,\mathrm{fail}(w_0)\,\kappa_r(m)\,2^{-2w_0}$ 无自由参数($\kappa$ 为逻辑翻转比例,引理 10.35.2.10;实验 loss 为逻辑 Z 翻转率,定理 10.35.1.07)。本文设计实验判别方案:在 64–1121 比特超导平台上,对 1024 家族四档码($d = 4/8/16/32$)测量 log-log 斜率并检验其等于 $d$。核心结果:(i) 四档可观测窗口($\mathrm{loss} \in [10^{-3}, 0.5]$)在 $\theta$ 轴上**阶梯分离**——$d=4$: $[0.017, 0.080]$、$d=8$: $[0.049, 0.107]$、$d=16$: $[0.205, 0.302]$、$d=32$: $[0.457, 0.555]$——$d=8/16$ 与 $d=16/32$ 之间有 gap($[0.107, 0.205]$ 与 $[0.302, 0.457]$),窗口阶梯本身是几何预言的签名;(ii) 判别精度:斜率估计 $\sigma_d = 0.03$–$0.20$(5% loss 相对误差、每档 5 点、$N = 2\times10^5$–$10^6$ shots),档间差 4 的判别余量 20–143σ;(iii) 协议用**暴力测量**(单轮、副本法,无需 ancilla 与非破坏测量)——判别实验与实用 QEC 的关键区别;(iv) 时间预算约 1 个平台日。方案含截距检验($\ln c_d$ 闭式——间接测量 $\kappa\,\mathrm{fail}(w_0)$ 与类大小 $v$)、gap 区检验、随机 Pauli 对照(非相干 $\theta^2$ 与相干 $\theta^d$ 分离)与五条证伪条件。 ---

•Aug 8, 2026•0 citations

10.34 1024 比特阶梯家族:代表数结构、方向 syndrome 与损失窗口

guobin ouyang

10.33 解决了简并比例的精确闭式后,本文章把验证推进到 1024 物理比特——$[[1024,1002,4]]$($r=1$)与 $[[1024,912,8]]$($r=2$)两个家族成员,并给出 $[[1024,672,16]]$($r=3$)的闭式预言。三个新结果:(1) $r=1$ 的权重 2 层 syndrome 空间坍缩为 $PG(9,2)$ 的 1023 个方向,每个 syndrome 恰好承载 512 个代表——解码失败率 511/512,而非 10.33 框架中 $r\ge2$ 的"同层简并 50%";(2) 失败率 $= 1 - 1/\mathrm{count}$ 的伙伴多样性公式,count 由平坦扩展结构闭式决定;(3) 1024 家族损失窗口 $\theta=0.01$ 时从 $d=4$ 的 $1.2\times10^{-4}$ 降到 $d=16$ 的 $1.1\times10^{-24}$(逻辑 Z 翻转率,乘 $\kappa$ 因子——10.35 引理 10.35.2.10;解码失败率版本为 $3.3\times10^{-4} \to 3.4\times10^{-24}$)——距离的指数价值。全部闭式与符号级抽样验证吻合。 ---

•Aug 8, 2026•0 citations

10.83 全型失败率闭式与自研查表解码器:几何论恢复表的一台 Mac 执行

guobin ouyang

本文两件事:(1) **补全 10.35 的失败率闭式到全 Pauli 型视角**——10.35 的 fail(w₀) = 1 − ⟨1/v⟩ 对 AG r=1 权重 2 层给出 1 − 2^{1−m},但这是**纯型(单侧 X 或 Z 错误)**视角;实际解码面对全部 9 种 Pauli 型(含 XZ/XY 等混合型),本文证明混合型在 AG 完备码权重 2 层**完全唯一**(类大小 1),故全型失败率修正为 $$\mathrm{fail}^{(9)}(2) = \frac{1}{3}\left(1 - 2^{1-m}\right) + \frac{2}{3}\cdot 0 = \frac{1}{3} - \frac{1}{3\cdot 2^{m-1}},$$ 即 1/3 的纯型错误(XX/ZZ/YY,各 2^{m-1} 元类)贡献单侧 fail,2/3 的混合型(6 种)无简并贡献 0。(2) **实现自研查表解码器** `LookupDecoder`(qec-geometry ≥ 0.3.3):零依赖(无 stim/pymatching)、Mac 毫秒级构建 syndrome→最小权重恢复表,恢复代表 = 类内最小权重(几何论恢复表设计),解码失败 ⟺ 残留 ∉ 稳定子群。两件事统一:**解码器直接枚举验证全型失败率闭式**,并实证 AG r≥2 权重 2 层零简并(唯一率 1.0、fail(2) = 0)。 ---

•Sep 9, 2026•0 citations

10.29 量子纠错码的 θ⁴ 损失标度律与可实验预言

guobin ouyang

理论的价值在于预言,而非后验拟合。10.28 的程序接口 P1/P2/P3 已在符号与态矢量两个层面完成方向完备码系列的结构验证($m=3..8$ 全量、$m=10$ 即 $[[1023,1003,3]]$ 全量验证 0.12 秒)。本文把程序验证的终点推进到实验:整理三条可实验检验的定量预言——(1) **θ⁴ 损失标度律**:独立单比特噪声上界 $\theta_{\max}$ 下,最优纠错后损失 $L=c\,\theta_{\max}^4+O(\theta_{\max}^6)$(log-log 斜率程序实测 $4.04/4.12/4.14$,三码一致);(2) **检测率闭式**:单比特旋转注入的检测率恰为 $\sin^2(\theta/2)$,且漏检路径保真度 $=1$(漏检无害);(3) **逻辑方向不可检测**:逻辑算符注入 syndrome 恒为零,$Z$ 型对 $|0_L\rangle$ 为全局相位(损失 0)、$X$ 型损失恰为 $\sin^2(\theta/2)$。另给出一条结构预言(程序可验证的几何事实):方向完备码所有权重 2 错误均为共线型($PG(m-1,2)$ 的列异或封闭性),恢复后残留权重 3 逻辑算符——$[[15,7,3]]$ 中与单比特同 syndrome 的权重 2 错误占比恰为 $315/945=1/3$。实验方案以 5-7 比特码($[[5,1,3]]$ 或 $[[7,1,3]]$)即可实施,无需纠错级硬件。全部预言数值来自程序实际输出(§3),与 10.28 §6 O6/O7 一致。 ---

•Aug 8, 2026•0 citations
(1) 本文回答 10.30 开放问题 3:仿射完备码(RM CSS 码族)的相干噪声行为。核心定理——零损失定理:距离 ddd 的码注入 k≤⌊(d−1)/2⌋k \le \lfloor(d-1)/2\rfloork≤⌊(d−1)/2⌋ 比特相干旋转,最优纠错后损失恒为 0(注入项权重 ≤k\le k≤k 的 syndrome 完全唯一,最小权重解码完美恢复)。(2) 新结构事实——权重 4 全简并:d=8d=8d=8 码中每个权重 4 错误都包含于某个 3-平坦(仿射包 ≤3\le 3≤3 维),其补集伙伴同 syndrome——635,376 个权重 4 错误无一唯一,解码选错率 50.7%。(3) 闭式——距离-噪声标度律:完备码家族(PG/AG)相干独立噪声的最优纠错损失 loss∼θmax⁡ 2⌈d/2⌉\mathrm{loss} \sim \theta_{\max}^{\,2\lceil d/2\rceil}loss∼θmax2⌈d/2⌉​:d=3→θ4d=3 \to \theta^4d=3→θ4(10.29 复现,斜率 3.99 精确吻合),d=8→θ8d=8 \to \theta^8d=8→θ8(斜率 7.96)。(4) 程序验证:[[64,20,8]][[64,20,8]][[64,20,8]] 注入 3/4/5 比特的失败分支统计与理论精确吻合;2048 比特(m=11m=11m=11)三码扩展验证全绿 16.6 秒。 ---
本文解决 10.31 开放问题 3,完成噪声标度律的家族级证明。(1) **包含性等价定理**:仿射完备码 [[2m,⋅,2r+1]][[2^m,\cdot,2^{r+1}]][[2m,⋅,2r+1]](CSS(RM(r,m))CSS(RM(r,m))CSS(RM(r,m)))中,权重 2r2^r2r 错误 χA\chi_AχA​ 存在同 syndrome 伙伴   ⟺  \iff⟺ AAA 包含于某个 (r+1)(r+1)(r+1)-平坦。(2) **全简并边界定理**:r≤2r \le 2r≤2 时权重 2r2^r2r 层全简并(2r−12^r - 12r−1 个差向量恒张成 ≤r+1\le r+1≤r+1 维);r≥3r \ge 3r≥3 时非全简并(一般 2r2^r2r 子集仿射包 =2r−1= 2^r - 1=2r−1 维)——10.31 的"全简并对 r≥2r \ge 2r≥2 成立"猜想被修正。(3) **简并比例主阶闭式**:Pr(m)≈2−(2r−r−2)(m−r−1)P_r(m) \approx 2^{-(2^r-r-2)(m-r-1)}Pr​(m)≈2−(2r−r−2)(m−r−1)——r=2r=2r=2 指数 0(全简并),r=3r=3r=3 指数 3(m−4)3(m-4)3(m−4);程序验证 m=8→1.5×10−4m=8 \to 1.5\times10^{-4}m=8→1.5×10−4、m=9→2.0×10−5m=9 \to 2.0\times10^{-5}m=9→2.0×10−5(比值 7.5 ≈23\approx 2^3≈23 精确吻合 mmm 依赖性)。(4) **标度律完整证明**:因简并比例恒 >0> 0>0((r+1)(r+1)(r+1)-平坦内取 2r2^r2r 点子集恒存在),损失 loss∼cr(m) θ2r+1=cr θd\mathrm{loss} \sim c_r(m)\,\theta^{2^{r+1}} = c_r\,\theta^dloss∼cr​(m)θ2r+1=cr​θd 对所有 r≥1r \ge 1r≥1 成立——10.31 定理 10.31.1.05 的证明完成。(5) [[256,70,16]][[256,70,16]][[256,70,16]]、[[512,252,16]][[512,252,16]][[512,252,16]] 首次完整验证(列互异、权重 2 全量唯一、ddd 核验、简并比例、补集伙伴实证 5/5)。 ---
经典解码理论(BP、MWPM、软信息)处理测量噪声靠**概率推断**。本文建立 **纯代数的测量噪声处理理论**:CSS(RM(r,m)) 码的 syndrome(次数 ≤ r 矩) 不是独立的——矩矩阵 M₂ 满足**代数分解约束** M₂ = Σ_{a∈A} v_a v_aᵀ (v_a 为错误点 a 的坐标向量,GF(2))。测量噪声翻转矩位会破坏该约束, 用"翻转哪些矩位能使分解约束恢复"可**确定性**检测并纠正测量噪声, 完全不需要概率模型。 核心结果(m=5 全枚举验证 100%): - **秩约束**:|A| = w 的错误,rank(M₂) ≤ min(仿射包维数+1, w); 单点特例 M₂ = m₁⊗m₁(m₁ 为线性矩) - **解析可解性**:两点错误可由矩**解析解出**(非枚举),O(m) 时间 - **代数纠正**:两点错误 + 1/2 位测量噪声,枚举翻转位 + 解析约束 校验,**纠正率 100%**(m=5 全枚举)
10.35 定理 10.35.1.01 给出统一标度律 loss(θ)=cd θd\mathrm{loss}(\theta) = c_d\,\theta^dloss(θ)=cd​θd(d=2r+1d = 2^{r+1}d=2r+1,AG 完备码),系数 cd=C(n,w0) P(w0) fail(w0) κr(m) 2−2w0c_d = C(n,w_0)\,P(w_0)\,\mathrm{fail}(w_0)\,\kappa_r(m)\,2^{-2w_0}cd​=C(n,w0​)P(w0​)fail(w0​)κr​(m)2−2w0​ 无自由参数(κ\kappaκ 为逻辑翻转比例,引理 10.35.2.10;实验 loss 为逻辑 Z 翻转率,定理 10.35.1.07)。本文设计实验判别方案:在 64–1121 比特超导平台上,对 1024 家族四档码(d=4/8/16/32d = 4/8/16/32d=4/8/16/32)测量 log-log 斜率并检验其等于 ddd。核心结果:(i) 四档可观测窗口(loss∈[10−3,0.5]\mathrm{loss} \in [10^{-3}, 0.5]loss∈[10−3,0.5])在 θ\thetaθ 轴上**阶梯分离**——d=4d=4d=4: [0.017,0.080][0.017, 0.080][0.017,0.080]、d=8d=8d=8: [0.049,0.107][0.049, 0.107][0.049,0.107]、d=16d=16d=16: [0.205,0.302][0.205, 0.302][0.205,0.302]、d=32d=32d=32: [0.457,0.555][0.457, 0.555][0.457,0.555]——d=8/16d=8/16d=8/16 与 d=16/32d=16/32d=16/32 之间有 gap([0.107,0.205][0.107, 0.205][0.107,0.205] 与 [0.302,0.457][0.302, 0.457][0.302,0.457]),窗口阶梯本身是几何预言的签名;(ii) 判别精度:斜率估计 σd=0.03\sigma_d = 0.03σd​=0.03–0.200.200.20(5% loss 相对误差、每档 5 点、N=2×105N = 2\times10^5N=2×105–10610^6106 shots),档间差 4 的判别余量 20–143σ;(iii) 协议用**暴力测量**(单轮、副本法,无需 ancilla 与非破坏测量)——判别实验与实用 QEC 的关键区别;(iv) 时间预算约 1 个平台日。方案含截距检验(ln⁡cd\ln c_dlncd​ 闭式——间接测量 κ fail(w0)\kappa\,\mathrm{fail}(w_0)κfail(w0​) 与类大小 vvv)、gap 区检验、随机 Pauli 对照(非相干 θ2\theta^2θ2 与相干 θd\theta^dθd 分离)与五条证伪条件。 ---
10.33 解决了简并比例的精确闭式后,本文章把验证推进到 1024 物理比特——[[1024,1002,4]][[1024,1002,4]][[1024,1002,4]](r=1r=1r=1)与 [[1024,912,8]][[1024,912,8]][[1024,912,8]](r=2r=2r=2)两个家族成员,并给出 [[1024,672,16]][[1024,672,16]][[1024,672,16]](r=3r=3r=3)的闭式预言。三个新结果:(1) r=1r=1r=1 的权重 2 层 syndrome 空间坍缩为 PG(9,2)PG(9,2)PG(9,2) 的 1023 个方向,每个 syndrome 恰好承载 512 个代表——解码失败率 511/512,而非 10.33 框架中 r≥2r\ge2r≥2 的"同层简并 50%";(2) 失败率 =1−1/count= 1 - 1/\mathrm{count}=1−1/count 的伙伴多样性公式,count 由平坦扩展结构闭式决定;(3) 1024 家族损失窗口 θ=0.01\theta=0.01θ=0.01 时从 d=4d=4d=4 的 1.2×10−41.2\times10^{-4}1.2×10−4 降到 d=16d=16d=16 的 1.1×10−241.1\times10^{-24}1.1×10−24(逻辑 Z 翻转率,乘 κ\kappaκ 因子——10.35 引理 10.35.2.10;解码失败率版本为 3.3×10−4→3.4×10−243.3\times10^{-4} \to 3.4\times10^{-24}3.3×10−4→3.4×10−24)——距离的指数价值。全部闭式与符号级抽样验证吻合。 ---
本文两件事:(1) **补全 10.35 的失败率闭式到全 Pauli 型视角**——10.35 的 fail(w₀) = 1 − ⟨1/v⟩ 对 AG r=1 权重 2 层给出 1 − 2^{1−m},但这是**纯型(单侧 X 或 Z 错误)**视角;实际解码面对全部 9 种 Pauli 型(含 XZ/XY 等混合型),本文证明混合型在 AG 完备码权重 2 层**完全唯一**(类大小 1),故全型失败率修正为 fail(9)(2)=13(1−21−m)+23⋅0=13−13⋅2m−1,\mathrm{fail}^{(9)}(2) = \frac{1}{3}\left(1 - 2^{1-m}\right) + \frac{2}{3}\cdot 0 = \frac{1}{3} - \frac{1}{3\cdot 2^{m-1}},fail(9)(2)=31​(1−21−m)+32​⋅0=31​−3⋅2m−11​, 即 1/3 的纯型错误(XX/ZZ/YY,各 2^{m-1} 元类)贡献单侧 fail,2/3 的混合型(6 种)无简并贡献 0。(2) **实现自研查表解码器** `LookupDecoder`(qec-geometry ≥ 0.3.3):零依赖(无 stim/pymatching)、Mac 毫秒级构建 syndrome→最小权重恢复表,恢复代表 = 类内最小权重(几何论恢复表设计),解码失败 ⟺ 残留 ∉ 稳定子群。两件事统一:**解码器直接枚举验证全型失败率闭式**,并实证 AG r≥2 权重 2 层零简并(唯一率 1.0、fail(2) = 0)。 ---
理论的价值在于预言,而非后验拟合。10.28 的程序接口 P1/P2/P3 已在符号与态矢量两个层面完成方向完备码系列的结构验证(m=3..8m=3..8m=3..8 全量、m=10m=10m=10 即 [[1023,1003,3]][[1023,1003,3]][[1023,1003,3]] 全量验证 0.12 秒)。本文把程序验证的终点推进到实验:整理三条可实验检验的定量预言——(1) **θ⁴ 损失标度律**:独立单比特噪声上界 θmax⁡\theta_{\max}θmax​ 下,最优纠错后损失 L=c θmax⁡4+O(θmax⁡6)L=c\,\theta_{\max}^4+O(\theta_{\max}^6)L=cθmax4​+O(θmax6​)(log-log 斜率程序实测 4.04/4.12/4.144.04/4.12/4.144.04/4.12/4.14,三码一致);(2) **检测率闭式**:单比特旋转注入的检测率恰为 sin⁡2(θ/2)\sin^2(\theta/2)sin2(θ/2),且漏检路径保真度 =1=1=1(漏检无害);(3) **逻辑方向不可检测**:逻辑算符注入 syndrome 恒为零,ZZZ 型对 ∣0L⟩|0_L\rangle∣0L​⟩ 为全局相位(损失 0)、XXX 型损失恰为 sin⁡2(θ/2)\sin^2(\theta/2)sin2(θ/2)。另给出一条结构预言(程序可验证的几何事实):方向完备码所有权重 2 错误均为共线型(PG(m−1,2)PG(m-1,2)PG(m−1,2) 的列异或封闭性),恢复后残留权重 3 逻辑算符——[[15,7,3]][[15,7,3]][[15,7,3]] 中与单比特同 syndrome 的权重 2 错误占比恰为 315/945=1/3315/945=1/3315/945=1/3。实验方案以 5-7 比特码([[5,1,3]][[5,1,3]][[5,1,3]] 或 [[7,1,3]][[7,1,3]][[7,1,3]])即可实施,无需纠错级硬件。全部预言数值来自程序实际输出(§3),与 10.28 §6 O6/O7 一致。 ---