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CTMRGによる拡張イジングモデルの解析

Takashi Irie

Published Nov 20, 1997• 0 citations
OpenAlex

Abstract

臨界指数が系の詳細によらず一定の値をもつことを,臨界現象の普遍性(universality)という.普遍性には例外があり,たとえば,最近接相互作用Jと次近接相互作用J'をもつ正方格子イジングモデル(J-J'モデル)は相互作用の大きさの比により臨界指数が変化する.また,次近接相互作用J'と(最近接の)4体相互作用J_4をもつモデル(J'-J_4モデル)も臨界指数に相互作用依存性があり普遍性が破れている.本論文の目的は,この二つのモデルを含むJ-J'-J_4モデルの臨界指数を数値計算し,相互作用とスピンの大きさに対する臨界指数の依存性をしらべることである.数値計算で臨界指数を求めるために,有限系のデータを有限サイズスケーリングにより解析した.有限系の物理量を計算するには,角転送行列くりこみ群(Corner Transfer Matrix Renormalization Group, CTMRG)の方法をもちいた.CTMRGは,角転送行列(CTM)を密度行列くりこみ群に導入した方法で,サイズの大きな系の物理量を精度良く計算でき,有限サイズスケーリングによる解析に有効である.結果として,J-J'-J_4モデルでは,基底スピン配列が4重に縮退している領域で普遍性が破れており,基底状態が強磁性または反強磁性の配置のどちらかに限定される場合は普遍性が保たれることが確認された.このモデルにおいて普遍性が破れ得るのは,性質が異なる基底状態が縮退していて秩序パラメータが二つの成分をもつ場合であることが検証された.また,臨界指数に相互作用依存性がある領域で,スピン1/2とスピン1のときの臨界指数vを比較すると,両者は計算誤差の範囲内で一致した.このモデルでは,相互作用の比により普遍性が破れている場合でも,臨界指数がスピンの大きさには依存しないと結論される.

Related papers

Corner transfer matrix derived variational methods in lattice statistical mechanics and quantum many-body systems

Chunhoa Chhenh

The concept of the corner transfer matrix (CTM) was first discovered by Baxter in 1968, when he derived a set of variational matrix equations, which for finite matrix sizes, could be numerically solved to obtain a sequence of approximations for the statistical mechanical properties of a system of monomers and dimers on a rectangular lattice [1]. It was not until 1978, however, in a seminal paper entitled "Variational Approximations for Square Lattice Models in Statistical Mechanics" [4], that Baxter outlined his CTM variational method, which brought to light the potential power of the former objects to obtain numerics and series expansions for unsolved models and to calculate the order parameter of solved ones. Subsequent numerical work led to the realisation that the method, though general, was not very efficient; and increasing efficiency required making model specific modifications, which restricted the transferability of the resulting algorithm to other models. The CTM variational method was thus not widely adopted, despite holding much promise. More recently, however, Nishino and Okunishi discovered that White's density matrix renormalisation group (DMRG) algorithm [55, 56] could be efficiently extended to study two-dimensional classical lattice models, if the density matrix was approximated by Baxters CTMs. Numerical tests of their algorithm, the corner transfer matrix renormalisation group (CTMRG) method, were met with much success. Notable among these is its implementation within the infinite projected entangled-pair states (iPEPS) algorithm of Orus and Vidal to simulate the ground state of infinite two-dimensional quantum systems. In this thesis we review CTM derived variational methods: Baxter's original CTM iterative method, and developments of the CTM concept within the DMRG algorithm by Nishino and Okunishi, which led to the CTMRG method to calculate critical phenomena of classical and quantum systems. This will begin with elucidating the theoretical formalisms of both methods in two dimensions and their generalisations to three dimensions; followed by review of important application, namely, within the iPEPS algorithm of Orus and Vidal to numerically study infinite planar quantum systems.

•Jan 1, 2011•0 citations

非単連結空間上のゲージ理論の表現論的側面 : 正準交換関係,量子代数,格子量子系への簡約(第5回『非平衡系の統計物理』シンポジウム,研究会報告)

Asao Arai

2次元平面から可算無限個の点を除いてできる非単連結空間の中を1個の量子力学的粒子が(非可換)ゲージ場と相互作用をする量子系を考察する.除かれた可算無限個の点において,ゲージ場は特異でありうるとする.ゲージ場が平坦な場合,粒子の位置演算子と物理的運動量演算子(速度演算子)の組は正準交換関係(canonical commutation relations; CCR)の表現をあたえる.これがCCRのSchrodinger表現の直和と同値であるための必要十分条件が平行移動子を用いて確立される。この場合, Schrodinger表現の直和に非同値な表現は,物理的には(非可換な)Aharonov-Bohm効果と対応していることが示される.ゲージ群が1次元ユニタリ群で,あって,ゲージ場の特異点が無限格子Lを形成する場合,(i)いま述べたCCRの表現から,量子平面,量子群U_q(sl_2)のL^2(R^2)上での表現が構成される;(ii)あるクラスのゲージ場(ベクトルポテンシャル)に対しては,考察下の連続的ゲージ理論の簡約部分として,格子空間L上の量子力学のモデル(Hofstadter型モデル)が得られる.

•Feb 20, 1999•0 citations

テンソルネットワーク形式への入り口 --イジング模型のテンソルネットワーク表現から-- (第61回物性若手夏の学校 集中ゼミ)

友年 西野

テンソルネットワーク形式(Tensor-Network Formulation) とは、量子力学の作用積分、場の理論の伝播関数・相関関数、あるいは統計力学の要である分配関数を、局所的な重率を表す「テンソルの縮約」で表現しようとする理論形式である。興味深いことに、初等的な統計力学で習う2次元イジング模型(2D Ising Model) のボルツマン重率は、自然な形でテンソルネットワークの一種である、バーテックス模型(Vertex Model) として記述できる。この事実を足がかりとして、まずはテンソルネットワーク形式に慣れ、「活用方法への発想」について足がかりを得ることが、本稿の目的である。以下では主として統計力学系に着目して話を進めるが、殆ど全ての内容について「量子・古典対応」(～経路積分) を通じ、そのまま量子物理学系へと持ち込むことができる。テンソルネットワークの重要な一例である行列積状態(Matrix-Product State, MPS) についてまず学び、局所的なテンソルの縮約が持つ汎用性を垣間見よう。テンソルネットワーク繰り込み群(Tensor Network Renormalization, TNR)など、最先端の研究へと至る経緯についても、概略を紹介する。

•Nov 1, 2017•0 citations

Corner Transfer Matrix Renormalization Group Method

Tomotoshi Nishino, Kouichi Okunishi

We propose a new fast numerical renormalization group method,the corner transfer matrix renormalization group (CTMRG) method, which is based on a unified scheme of Baxter's corner transfer matrix method and White's density matrix renormalization groupmethod. The key point is that a product of four corner transfer matrices gives the densitymatrix. We formulate the CTMRG method as a renormalization of 2D classical models.

arXiv:cond-mat/9507087•Journal of the Physical Society of Japan•Apr 15, 1996•467 citations

Universal asymptotic eigenvalue distribution of density matrices and corner transfer matrices in the thermodynamic limit

Kouichi Okunishi, Yasuhiro Hieida, Yasuhiro Akutsu

We study the asymptotic behavior of the eigenvalue distribution of the corner transfer matrix (M(CTM)) and the density matrix (M(DM)) in the density-matrix renormalization group. We utilize the relationship M(DM)=M(4)(CTM), which holds for noncritical systems in the thermodynamic limit. We derive the exact and universal asymptotic form of the M(DM) eigenvalue distribution for a class of integrable models in the massive regime. For nonintegrable models, the universal asymptotic form is also verified by numerical renormalization group calculations.

arXiv:cond-mat/9810239•Physical review. E, Statistical physics, plasmas, fluids, and related interdisciplinary topics•Jun 1, 1999•61 citations

Cartan分解を用いた量子アルゴリズムの時間最適化 ： 理論と実験 (力学系と微分幾何学)

幹夫 中原

張しているが, それが計算リソースの点で最適であることを主張してはいない.計算リソース, す なわち量子計算に用いるゲート数, 量子ビット数, 実行時間の節約は古典計算とは比べ物にならな いほど切実な問題である.量子系は環境との相互作用を通して量子状態が崩壊していくデコヒー レンスという固有の現象を持っている.また現在 7 量子ビットの NMR 量子コンピュータが世界 最大であることを考慮すると量子ビット数の節約がいかに重要か認識できる.またゲート操作が 本質的にアナログ操作であり, それに伴うエラーを排除することができないのて, ゲート数の節 約も重要な課題である.我々は $\mathrm{S}\mathrm{U}(4)$ の Cartan 分解を利用して 2 量子ビットアルゴリズムにおけ るこれらの問題の最適化を行い, それを実験的に検証したので以下に報告する [7].

数理解析研究所講究録•Dec 1, 2004•0 citations
臨界指数が系の詳細によらず一定の値をもつことを,臨界現象の普遍性(universality)という.普遍性には例外があり,たとえば,最近接相互作用Jと次近接相互作用J'をもつ正方格子イジングモデル(J-J'モデル)は相互作用の大きさの比により臨界指数が変化する.また,次近接相互作用J'と(最近接の)4体相互作用J_4をもつモデル(J'-J_4モデル)も臨界指数に相互作用依存性があり普遍性が破れている.本論文の目的は,この二つのモデルを含むJ-J'-J_4モデルの臨界指数を数値計算し,相互作用とスピンの大きさに対する臨界指数の依存性をしらべることである.数値計算で臨界指数を求めるために,有限系のデータを有限サイズスケーリングにより解析した.有限系の物理量を計算するには,角転送行列くりこみ群(Corner Transfer Matrix Renormalization Group, CTMRG)の方法をもちいた.CTMRGは,角転送行列(CTM)を密度行列くりこみ群に導入した方法で,サイズの大きな系の物理量を精度良く計算でき,有限サイズスケーリングによる解析に有効である.結果として,J-J'-J_4モデルでは,基底スピン配列が4重に縮退している領域で普遍性が破れており,基底状態が強磁性または反強磁性の配置のどちらかに限定される場合は普遍性が保たれることが確認された.このモデルにおいて普遍性が破れ得るのは,性質が異なる基底状態が縮退していて秩序パラメータが二つの成分をもつ場合であることが検証された.また,臨界指数に相互作用依存性がある領域で,スピン1/2とスピン1のときの臨界指数vを比較すると,両者は計算誤差の範囲内で一致した.このモデルでは,相互作用の比により普遍性が破れている場合でも,臨界指数がスピンの大きさには依存しないと結論される.
The concept of the corner transfer matrix (CTM) was first discovered by Baxter in 1968, when he derived a set of variational matrix equations, which for finite matrix sizes, could be numerically solved to obtain a sequence of approximations for the statistical mechanical properties of a system of monomers and dimers on a rectangular lattice [1]. It was not until 1978, however, in a seminal paper entitled "Variational Approximations for Square Lattice Models in Statistical Mechanics" [4], that Baxter outlined his CTM variational method, which brought to light the potential power of the former objects to obtain numerics and series expansions for unsolved models and to calculate the order parameter of solved ones. Subsequent numerical work led to the realisation that the method, though general, was not very efficient; and increasing efficiency required making model specific modifications, which restricted the transferability of the resulting algorithm to other models. The CTM variational method was thus not widely adopted, despite holding much promise. More recently, however, Nishino and Okunishi discovered that White's density matrix renormalisation group (DMRG) algorithm [55, 56] could be efficiently extended to study two-dimensional classical lattice models, if the density matrix was approximated by Baxters CTMs. Numerical tests of their algorithm, the corner transfer matrix renormalisation group (CTMRG) method, were met with much success. Notable among these is its implementation within the infinite projected entangled-pair states (iPEPS) algorithm of Orus and Vidal to simulate the ground state of infinite two-dimensional quantum systems. In this thesis we review CTM derived variational methods: Baxter's original CTM iterative method, and developments of the CTM concept within the DMRG algorithm by Nishino and Okunishi, which led to the CTMRG method to calculate critical phenomena of classical and quantum systems. This will begin with elucidating the theoretical formalisms of both methods in two dimensions and their generalisations to three dimensions; followed by review of important application, namely, within the iPEPS algorithm of Orus and Vidal to numerically study infinite planar quantum systems.
2次元平面から可算無限個の点を除いてできる非単連結空間の中を1個の量子力学的粒子が(非可換)ゲージ場と相互作用をする量子系を考察する.除かれた可算無限個の点において,ゲージ場は特異でありうるとする.ゲージ場が平坦な場合,粒子の位置演算子と物理的運動量演算子(速度演算子)の組は正準交換関係(canonical commutation relations; CCR)の表現をあたえる.これがCCRのSchrodinger表現の直和と同値であるための必要十分条件が平行移動子を用いて確立される。この場合, Schrodinger表現の直和に非同値な表現は,物理的には(非可換な)Aharonov-Bohm効果と対応していることが示される.ゲージ群が1次元ユニタリ群で,あって,ゲージ場の特異点が無限格子Lを形成する場合,(i)いま述べたCCRの表現から,量子平面,量子群U_q(sl_2)のL^2(R^2)上での表現が構成される;(ii)あるクラスのゲージ場(ベクトルポテンシャル)に対しては,考察下の連続的ゲージ理論の簡約部分として,格子空間L上の量子力学のモデル(Hofstadter型モデル)が得られる.
テンソルネットワーク形式(Tensor-Network Formulation) とは、量子力学の作用積分、場の理論の伝播関数・相関関数、あるいは統計力学の要である分配関数を、局所的な重率を表す「テンソルの縮約」で表現しようとする理論形式である。興味深いことに、初等的な統計力学で習う2次元イジング模型(2D Ising Model) のボルツマン重率は、自然な形でテンソルネットワークの一種である、バーテックス模型(Vertex Model) として記述できる。この事実を足がかりとして、まずはテンソルネットワーク形式に慣れ、「活用方法への発想」について足がかりを得ることが、本稿の目的である。以下では主として統計力学系に着目して話を進めるが、殆ど全ての内容について「量子・古典対応」(～経路積分) を通じ、そのまま量子物理学系へと持ち込むことができる。テンソルネットワークの重要な一例である行列積状態(Matrix-Product State, MPS) についてまず学び、局所的なテンソルの縮約が持つ汎用性を垣間見よう。テンソルネットワーク繰り込み群(Tensor Network Renormalization, TNR)など、最先端の研究へと至る経緯についても、概略を紹介する。
We study the asymptotic behavior of the eigenvalue distribution of the corner transfer matrix (M(CTM)) and the density matrix (M(DM)) in the density-matrix renormalization group. We utilize the relationship M(DM)=M(4)(CTM), which holds for noncritical systems in the thermodynamic limit. We derive the exact and universal asymptotic form of the M(DM) eigenvalue distribution for a class of integrable models in the massive regime. For nonintegrable models, the universal asymptotic form is also verified by numerical renormalization group calculations.
張しているが, それが計算リソースの点で最適であることを主張してはいない.計算リソース, す なわち量子計算に用いるゲート数, 量子ビット数, 実行時間の節約は古典計算とは比べ物にならな いほど切実な問題である.量子系は環境との相互作用を通して量子状態が崩壊していくデコヒー レンスという固有の現象を持っている.また現在 7 量子ビットの NMR 量子コンピュータが世界 最大であることを考慮すると量子ビット数の節約がいかに重要か認識できる.またゲート操作が 本質的にアナログ操作であり, それに伴うエラーを排除することができないのて, ゲート数の節 約も重要な課題である.我々は SU(4)\mathrm{S}\mathrm{U}(4)SU(4) の Cartan 分解を利用して 2 量子ビットアルゴリズムにおけ るこれらの問題の最適化を行い, それを実験的に検証したので以下に報告する [7].