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テンソルネットワーク形式への入り口 --イジング模型のテンソルネットワーク表現から-- (第61回物性若手夏の学校 集中ゼミ)

友年 西野

Published Nov 1, 2017• 0 citations
Publisher

Abstract

テンソルネットワーク形式(Tensor-Network Formulation) とは、量子力学の作用積分、場の理論の伝播関数・相関関数、あるいは統計力学の要である分配関数を、局所的な重率を表す「テンソルの縮約」で表現しようとする理論形式である。興味深いことに、初等的な統計力学で習う2次元イジング模型(2D Ising Model) のボルツマン重率は、自然な形でテンソルネットワークの一種である、バーテックス模型(Vertex Model) として記述できる。この事実を足がかりとして、まずはテンソルネットワーク形式に慣れ、「活用方法への発想」について足がかりを得ることが、本稿の目的である。以下では主として統計力学系に着目して話を進めるが、殆ど全ての内容について「量子・古典対応」(～経路積分) を通じ、そのまま量子物理学系へと持ち込むことができる。テンソルネットワークの重要な一例である行列積状態(Matrix-Product State, MPS) についてまず学び、局所的なテンソルの縮約が持つ汎用性を垣間見よう。テンソルネットワーク繰り込み群(Tensor Network Renormalization, TNR)など、最先端の研究へと至る経緯についても、概略を紹介する。

DOI
10.14989/229034

Related papers

Tensor network renormalization: Application to dynamic correlation functions and non-Hermitian systems

Ying-Jie Wei, Zheng‐Cheng Gu

In recent years, tensor network renormalization (TNR) has emerged as an efficient and accurate method for studying (1+1)D quantum systems or 2D classical systems using real-space renormalization group (RG) techniques. One notable application of TNR is its ability to extract central charge and conformal scaling dimensions for critical systems. In this paper, we present the implementation of the Loop-TNR algorithm, which allows for the computation of dynamical correlation functions. Our algorithm goes beyond traditional approaches by not only calculating correlations in the spatial direction, where the separation is an integer, but also in the temporal direction, where the time difference can contain decimal values. Our algorithm is designed to handle both imaginary-time and real-time correlations, utilizing a tensor network representation constructed from a path-integral formalism. Additionally, we highlight that the Loop-TNR algorithm can also be applied to investigate critical properties of non-Hermitian systems, an area that was previously inaccessible using density matrix renormalization group(DMRG) and matrix product state(MPS) based algorithms.

arXiv:2311.18785•Physical review. B./Physical review. B•Mar 26, 2026•1 citation

Frontiers of tensor networks and their applications in quantum many-body physics

Y. F. Guo, Shuo Yang

张量网络方法是研究量子多体物理的重要理论框架，其核心思想是利用量子态内部的纠缠结构，将具有指数复杂度的量子态拆解为由低维张量构成的网络，从而实现对多体系统的高效表达和模拟。近年来，张量网络的研究已由封闭系统拓展至非厄米及开放量子系统，在理论发展和实际应用等方面均取得显著进展。本文系统回顾了张量网络方法的发展历程，重点介绍其在量子多体物理中的代表性应用，包括强关联电子系统、量子计算与量子信息、拓扑物态等方向。研究表明，张量网络能够高效精确地模拟强关联量子多体系统，刻画各种有序态之间的竞争。混态张量网络可描述含噪声的量子态，为理解本征拓扑序和对称性保护拓扑序提供统一的理论框架。总之，张量网络已成为连接量子多体计算、量子计算、拓扑物态的通用语言，并将在量子物理的研究中发挥更关键的作用。

Zhongguo kexue. Wulixue Lixue Tianwenxue•May 6, 2026•0 citations

Finite-size and finite bond dimension effects of tensor network renormalization

Atsushi Ueda, Masaki Oshikawa

We propose a general procedure for extracting the running coupling constants of the underlying field theory of a given classical statistical model on a two-dimensional lattice, combining tensor network renormalization (TNR) and the finite-size scaling theory of conformal field theory. By tracking the coupling constants at each scale, we are able to visualize the renormalization group flow and demonstrate it with the classical Ising and three-state Potts models. Furthermore, utilizing this methodology, we reveal the limitations due to finite bond dimension $D$ on TNR applied to critical systems. We find that a finite correlation length is imposed by the finite bond dimension in TNR, and it can be attributed to an emergent relevant perturbation that respects the symmetries of the system. The correlation length shows the same power-law dependence on $D$ as the ``finite entanglement scaling'' of the matrix product states.

arXiv:2302.06632•Physical review. B./Physical review. B•Jul 14, 2023•30 citations

量子畳みこみニューラルネットワークのチャネル注意機構の提案

Gekko Budiutama, 大門　俊介, 西 紘史 +3 more

量子コンピュータ上での機械学習アルゴリズムとして、量子畳み込みニューラルネット ワーク(QCNNs)が提案された[1]。他の量子ニューラルネットワークと比較して、QCNNs は勾配消失問題に耐性を示し、画像認識から量子相の認識まで成功を収めた[2]。しかし、 古典コンピュータで解決不可能な課題に対して、量子コンピュータ上で QCNNs を活用す るために QCNNs の性能向上とコストの削減が求められる。 この課題を解決するために、本研究では QCNNs 向けのチャネル注意機構を提案する[3]。 チャネル注意機構では従来のモデルで破棄される量子ビットの測定により確率分布のチ ャネルを定義し、各チャネルに重みパラメーターを割り当てる(図 a)。チャネル注意機 構を導入した QCNNs の性能を評価するために、基底状態での量子相を予測する量子相認 識タスクにおいて、従来の QCNNs と比較した。 従来の QCNN に比べて、チャネル注意機構を導入することにより QCNN の出力が理想 的な解に近づいた(図 b)。チャネル注意機構を導入した QCNN は少ないエポック数で 訓練することができ、QCNN の学習コストの抑制につながった。また、チャネル注意機構 を導入した QCNN は量子・古典機械学習としてみなすことができ、従来のハイブリッド 手法であるQCNN-feedforward Neural Networkとの比較を行った。その結果、チャネル注 意機構は少ないパラメーター数で従来のハイブリッド手法よりも高精度で量子相を認識 することができた。提案したチャネル注 意機構は QCNNs の実用性を高め、より 複雑な問題の解決に重要である。

•Mar 20, 2024•0 citations

CTMRGによる拡張イジングモデルの解析

Takashi Irie

臨界指数が系の詳細によらず一定の値をもつことを,臨界現象の普遍性(universality)という.普遍性には例外があり,たとえば,最近接相互作用Jと次近接相互作用J'をもつ正方格子イジングモデル(J-J'モデル)は相互作用の大きさの比により臨界指数が変化する.また,次近接相互作用J'と(最近接の)4体相互作用J_4をもつモデル(J'-J_4モデル)も臨界指数に相互作用依存性があり普遍性が破れている.本論文の目的は,この二つのモデルを含むJ-J'-J_4モデルの臨界指数を数値計算し,相互作用とスピンの大きさに対する臨界指数の依存性をしらべることである.数値計算で臨界指数を求めるために,有限系のデータを有限サイズスケーリングにより解析した.有限系の物理量を計算するには,角転送行列くりこみ群(Corner Transfer Matrix Renormalization Group, CTMRG)の方法をもちいた.CTMRGは,角転送行列(CTM)を密度行列くりこみ群に導入した方法で,サイズの大きな系の物理量を精度良く計算でき,有限サイズスケーリングによる解析に有効である.結果として,J-J'-J_4モデルでは,基底スピン配列が4重に縮退している領域で普遍性が破れており,基底状態が強磁性または反強磁性の配置のどちらかに限定される場合は普遍性が保たれることが確認された.このモデルにおいて普遍性が破れ得るのは,性質が異なる基底状態が縮退していて秩序パラメータが二つの成分をもつ場合であることが検証された.また,臨界指数に相互作用依存性がある領域で,スピン1/2とスピン1のときの臨界指数vを比較すると,両者は計算誤差の範囲内で一致した.このモデルでは,相互作用の比により普遍性が破れている場合でも,臨界指数がスピンの大きさには依存しないと結論される.

•Nov 20, 1997•0 citations

Developments in the Tensor Network — from Statistical Mechanics to Quantum Entanglement

Kouichi Okunishi, Tomotoshi Nishino, Hiroshi Ueda

Tensor networks (TNs) have become one of the most essential building blocks for various fields of theoretical physics such as condensed matter theory, statistical mechanics, quantum information, and quantum gravity. This review provides a unified description of a series of developments in the TN from the statistical mechanics side. In particular, we begin with the variational principle for the transfer matrix of the 2D Ising model, which naturally leads us to the matrix product state (MPS) and the corner transfer matrix (CTM). We then explain how the CTM can be evolved to such MPS-based approaches as density matrix renormalization group (DMRG) and infinite time-evolved block decimation. We also elucidate that the finite-size DMRG played an intrinsic role for incorporating various quantum information concepts in subsequent developments in the TN. After surveying higher-dimensional generalizations like tensor product states or projected entangled pair states, we describe tensor renormalization groups (TRGs), which are a fusion of TNs and Kadanoff-Wilson type real-space renormalization groups, focusing on their fixed point structures. We then discuss how the difficulty in TRGs for critical systems can be overcome in the tensor network renormalization and the multi-scale entanglement renormalization ansatz.

arXiv:2111.12223•Journal of the Physical Society of Japan•May 1, 2022•84 citations
テンソルネットワーク形式(Tensor-Network Formulation) とは、量子力学の作用積分、場の理論の伝播関数・相関関数、あるいは統計力学の要である分配関数を、局所的な重率を表す「テンソルの縮約」で表現しようとする理論形式である。興味深いことに、初等的な統計力学で習う2次元イジング模型(2D Ising Model) のボルツマン重率は、自然な形でテンソルネットワークの一種である、バーテックス模型(Vertex Model) として記述できる。この事実を足がかりとして、まずはテンソルネットワーク形式に慣れ、「活用方法への発想」について足がかりを得ることが、本稿の目的である。以下では主として統計力学系に着目して話を進めるが、殆ど全ての内容について「量子・古典対応」(～経路積分) を通じ、そのまま量子物理学系へと持ち込むことができる。テンソルネットワークの重要な一例である行列積状態(Matrix-Product State, MPS) についてまず学び、局所的なテンソルの縮約が持つ汎用性を垣間見よう。テンソルネットワーク繰り込み群(Tensor Network Renormalization, TNR)など、最先端の研究へと至る経緯についても、概略を紹介する。
In recent years, tensor network renormalization (TNR) has emerged as an efficient and accurate method for studying (1+1)D quantum systems or 2D classical systems using real-space renormalization group (RG) techniques. One notable application of TNR is its ability to extract central charge and conformal scaling dimensions for critical systems. In this paper, we present the implementation of the Loop-TNR algorithm, which allows for the computation of dynamical correlation functions. Our algorithm goes beyond traditional approaches by not only calculating correlations in the spatial direction, where the separation is an integer, but also in the temporal direction, where the time difference can contain decimal values. Our algorithm is designed to handle both imaginary-time and real-time correlations, utilizing a tensor network representation constructed from a path-integral formalism. Additionally, we highlight that the Loop-TNR algorithm can also be applied to investigate critical properties of non-Hermitian systems, an area that was previously inaccessible using density matrix renormalization group(DMRG) and matrix product state(MPS) based algorithms.
张量网络方法是研究量子多体物理的重要理论框架，其核心思想是利用量子态内部的纠缠结构，将具有指数复杂度的量子态拆解为由低维张量构成的网络，从而实现对多体系统的高效表达和模拟。近年来，张量网络的研究已由封闭系统拓展至非厄米及开放量子系统，在理论发展和实际应用等方面均取得显著进展。本文系统回顾了张量网络方法的发展历程，重点介绍其在量子多体物理中的代表性应用，包括强关联电子系统、量子计算与量子信息、拓扑物态等方向。研究表明，张量网络能够高效精确地模拟强关联量子多体系统，刻画各种有序态之间的竞争。混态张量网络可描述含噪声的量子态，为理解本征拓扑序和对称性保护拓扑序提供统一的理论框架。总之，张量网络已成为连接量子多体计算、量子计算、拓扑物态的通用语言，并将在量子物理的研究中发挥更关键的作用。
We propose a general procedure for extracting the running coupling constants of the underlying field theory of a given classical statistical model on a two-dimensional lattice, combining tensor network renormalization (TNR) and the finite-size scaling theory of conformal field theory. By tracking the coupling constants at each scale, we are able to visualize the renormalization group flow and demonstrate it with the classical Ising and three-state Potts models. Furthermore, utilizing this methodology, we reveal the limitations due to finite bond dimension DDD on TNR applied to critical systems. We find that a finite correlation length is imposed by the finite bond dimension in TNR, and it can be attributed to an emergent relevant perturbation that respects the symmetries of the system. The correlation length shows the same power-law dependence on DDD as the ``finite entanglement scaling'' of the matrix product states.
量子コンピュータ上での機械学習アルゴリズムとして、量子畳み込みニューラルネット ワーク(QCNNs)が提案された[1]。他の量子ニューラルネットワークと比較して、QCNNs は勾配消失問題に耐性を示し、画像認識から量子相の認識まで成功を収めた[2]。しかし、 古典コンピュータで解決不可能な課題に対して、量子コンピュータ上で QCNNs を活用す るために QCNNs の性能向上とコストの削減が求められる。 この課題を解決するために、本研究では QCNNs 向けのチャネル注意機構を提案する[3]。 チャネル注意機構では従来のモデルで破棄される量子ビットの測定により確率分布のチ ャネルを定義し、各チャネルに重みパラメーターを割り当てる(図 a)。チャネル注意機 構を導入した QCNNs の性能を評価するために、基底状態での量子相を予測する量子相認 識タスクにおいて、従来の QCNNs と比較した。 従来の QCNN に比べて、チャネル注意機構を導入することにより QCNN の出力が理想 的な解に近づいた(図 b)。チャネル注意機構を導入した QCNN は少ないエポック数で 訓練することができ、QCNN の学習コストの抑制につながった。また、チャネル注意機構 を導入した QCNN は量子・古典機械学習としてみなすことができ、従来のハイブリッド 手法であるQCNN-feedforward Neural Networkとの比較を行った。その結果、チャネル注 意機構は少ないパラメーター数で従来のハイブリッド手法よりも高精度で量子相を認識 することができた。提案したチャネル注 意機構は QCNNs の実用性を高め、より 複雑な問題の解決に重要である。
臨界指数が系の詳細によらず一定の値をもつことを,臨界現象の普遍性(universality)という.普遍性には例外があり,たとえば,最近接相互作用Jと次近接相互作用J'をもつ正方格子イジングモデル(J-J'モデル)は相互作用の大きさの比により臨界指数が変化する.また,次近接相互作用J'と(最近接の)4体相互作用J_4をもつモデル(J'-J_4モデル)も臨界指数に相互作用依存性があり普遍性が破れている.本論文の目的は,この二つのモデルを含むJ-J'-J_4モデルの臨界指数を数値計算し,相互作用とスピンの大きさに対する臨界指数の依存性をしらべることである.数値計算で臨界指数を求めるために,有限系のデータを有限サイズスケーリングにより解析した.有限系の物理量を計算するには,角転送行列くりこみ群(Corner Transfer Matrix Renormalization Group, CTMRG)の方法をもちいた.CTMRGは,角転送行列(CTM)を密度行列くりこみ群に導入した方法で,サイズの大きな系の物理量を精度良く計算でき,有限サイズスケーリングによる解析に有効である.結果として,J-J'-J_4モデルでは,基底スピン配列が4重に縮退している領域で普遍性が破れており,基底状態が強磁性または反強磁性の配置のどちらかに限定される場合は普遍性が保たれることが確認された.このモデルにおいて普遍性が破れ得るのは,性質が異なる基底状態が縮退していて秩序パラメータが二つの成分をもつ場合であることが検証された.また,臨界指数に相互作用依存性がある領域で,スピン1/2とスピン1のときの臨界指数vを比較すると,両者は計算誤差の範囲内で一致した.このモデルでは,相互作用の比により普遍性が破れている場合でも,臨界指数がスピンの大きさには依存しないと結論される.
Tensor networks (TNs) have become one of the most essential building blocks for various fields of theoretical physics such as condensed matter theory, statistical mechanics, quantum information, and quantum gravity. This review provides a unified description of a series of developments in the TN from the statistical mechanics side. In particular, we begin with the variational principle for the transfer matrix of the 2D Ising model, which naturally leads us to the matrix product state (MPS) and the corner transfer matrix (CTM). We then explain how the CTM can be evolved to such MPS-based approaches as density matrix renormalization group (DMRG) and infinite time-evolved block decimation. We also elucidate that the finite-size DMRG played an intrinsic role for incorporating various quantum information concepts in subsequent developments in the TN. After surveying higher-dimensional generalizations like tensor product states or projected entangled pair states, we describe tensor renormalization groups (TRGs), which are a fusion of TNs and Kadanoff-Wilson type real-space renormalization groups, focusing on their fixed point structures. We then discuss how the difficulty in TRGs for critical systems can be overcome in the tensor network renormalization and the multi-scale entanglement renormalization ansatz.