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非単連結空間上のゲージ理論の表現論的側面 : 正準交換関係,量子代数,格子量子系への簡約(第5回『非平衡系の統計物理』シンポジウム,研究会報告)

Asao Arai

Published Feb 20, 1999• 0 citations
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Abstract

2次元平面から可算無限個の点を除いてできる非単連結空間の中を1個の量子力学的粒子が(非可換)ゲージ場と相互作用をする量子系を考察する.除かれた可算無限個の点において,ゲージ場は特異でありうるとする.ゲージ場が平坦な場合,粒子の位置演算子と物理的運動量演算子(速度演算子)の組は正準交換関係(canonical commutation relations; CCR)の表現をあたえる.これがCCRのSchrodinger表現の直和と同値であるための必要十分条件が平行移動子を用いて確立される。この場合, Schrodinger表現の直和に非同値な表現は,物理的には(非可換な)Aharonov-Bohm効果と対応していることが示される.ゲージ群が1次元ユニタリ群で,あって,ゲージ場の特異点が無限格子Lを形成する場合,(i)いま述べたCCRの表現から,量子平面,量子群U_q(sl_2)のL^2(R^2)上での表現が構成される;(ii)あるクラスのゲージ場(ベクトルポテンシャル)に対しては,考察下の連続的ゲージ理論の簡約部分として,格子空間L上の量子力学のモデル(Hofstadter型モデル)が得られる.

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ゲージ対称性を持つスピングラス模型において幾つかの厳密な結果を証明する.まず2つの量子スピングラス,横磁場Ising模型と量子ゲージグラスにゲージ理論を拡張し,相関不等式を導出する.この不等式より強磁性相の存在領域が制限される.またゲージ不変な物理量に対する恒等式を証明する.これらの結果は,Schrodinger方程式に従う時間発展を考える限り,任意の時間で成立する.さらに,相互作用が平均が0でないGauss分布に従うIsingスピングラスにおいてGriffiths不等式を証明する.この不等式は,相図のある曲線(西森ライン)に沿って相関関数が非負かつ単調であることを意味している.この不等式を利用して,自由エネルギーや相関関数の熱力学的極限の存在を証明し,種々の格子での多重臨界点の位置を議論する.

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