Труды Математического института им Стеклова

О крайних точках множеств в пространствах операторов и пространствах состояний

Grigori Gennadievich Amosov, Айрат Мидхатович Бикчентаев, Vsevolod Zhanovich Sakbaev

Published Mar 1, 2024• 1 citation

Abstract

Получено представление множества квантовых состояний барицентрами неотрицательных нормированных конечно аддитивных мер на единичной сфере $S_1(\mathcal H)$ гильбертова пространства $\mathcal H$. В терминах свойств меры на $S_1(\mathcal H)$ найдены условия принадлежности ее барицентра множеству крайних точек совокупности квантовых состояний и множеству нормальных состояний. Дана характеризация унитарных элементов унитальной $\mathrm C^*$-алгебры в терминах крайних точек. Исследованы крайние точки $\mathrm {extr}(\mathcal E^1)$ единичного шара $\mathcal E^1$ нормированного идеального пространства операторов $\langle \mathcal E,\|\kern 1pt{\cdot }\kern 1pt\|_{\mathcal E}\rangle $ на $\mathcal H$. Если $U\in \mathrm {extr}(\mathcal E^1)$ для некоторого унитарного оператора $U\in \mathcal {B}(\mathcal H)$, то $V\in \mathrm {extr}(\mathcal E^1)$ для всех унитарных операторов $V\in \mathcal {B}(\mathcal H)$. Построены квантовые корреляции, отвечающие сингулярным состояниям на алгебре всех ограниченных операторов в гильбертовом пространстве.

DOI: 10.4213/tm4376

Related papers

О функциональных пространствах для квантовых систем со связями

Oleg Yurievich Shvedov

Математические заметкиJan 1, 20160 citations

Квантовое исчисление делителей Фибоначчи и фермионно-бозонная запутанность для бесконечной иерархии $N=2$ суперсимметричных золотых осцилляторов

Oktay K. Pashaev

Теоретическая и математическая физикаAug 30, 20250 citations

Уравнение Янга-Бакстера во всех измерениях и универсальные кудитные вентили

Arash Pourkia

Теоретическая и математическая физикаMar 28, 20240 citations

Преобразования масштаба в фазовом пространстве и растянутые состояния гармонического осциллятора

V. A. Andreev, Д М Давидович, Ljubica Davidović +2 more

Теоретическая и математическая физикаJul 1, 20170 citations

Границы полунепрерывности для энтропии фон Неймана и частичная мажоризация

Максим Евгеньевич Широков

Математический сборникJan 1, 20260 citations

Квазиклассические асимптотики осциллирующего туннелирования для квадратичного гамильтониана на алгебре $\operatorname{su}(1,1)$

Evgenii Viktorovich Vybornyi, Sofia Vasil'evna Rumyantseva

Математические заметкиJan 1, 20221 citation

Труды Математического института им Стеклова

О крайних точках множеств в пространствах операторов и пространствах состояний

Grigori Gennadievich Amosov, Айрат Мидхатович Бикчентаев, Vsevolod Zhanovich Sakbaev

Published Mar 1, 2024• 1 citation

Publisher

Abstract

Получено представление множества квантовых состояний барицентрами неотрицательных нормированных конечно аддитивных мер на единичной сфере

S_1(\mathcal H)

гильбертова пространства

\mathcal H

. В терминах свойств меры на

S_1(\mathcal H)

найдены условия принадлежности ее барицентра множеству крайних точек совокупности квантовых состояний и множеству нормальных состояний. Дана характеризация унитарных элементов унитальной

\mathrm C^*

-алгебры в терминах крайних точек. Исследованы крайние точки

\mathrm {extr}(\mathcal E^1)

единичного шара

\mathcal E^1

нормированного идеального пространства операторов

\langle \mathcal E,\|\kern 1pt{\cdot }\kern 1pt\|_{\mathcal E}\rangle

на

\mathcal H

. Если

U\in \mathrm {extr}(\mathcal E^1)

для некоторого унитарного оператора

U\in \mathcal {B}(\mathcal H)

, то

V\in \mathrm {extr}(\mathcal E^1)

для всех унитарных операторов

V\in \mathcal {B}(\mathcal H)

. Построены квантовые корреляции, отвечающие сингулярным состояниям на алгебре всех ограниченных операторов в гильбертовом пространстве.

DOI: 10.4213/tm4376

Related papers

О функциональных пространствах для квантовых систем со связями

Oleg Yurievich Shvedov

Рассматриваются различные реализации гильбертова пространства состояний для квантовых систем с линейными связями. Одной из реализаций является пополнение пространства Шварца со скалярным произведением, отличающимся от $L^2$ . Другая реализация - специальный класс обобщенных функций со скалярным произведением. Построен изоморфизм этих реализаций, исследованы свойства операторов. Библиография: 18 названий.Рассматриваются различные реализации гильбертова пространства состояний для квантовых систем с линейными связями. Одной из реализаций является пополнение пространства Шварца со скалярным произведением, отличающимся от $L^2$. Другая реализация - специальный класс обобщенных функций со скалярным произведением. Построен изоморфизм этих реализаций, исследованы свойства операторов. Библиография: 18 названий.

Математические заметкиJan 1, 20160 citations

Квантовое исчисление делителей Фибоначчи и фермионно-бозонная запутанность для бесконечной иерархии $N=2$ суперсимметричных золотых осцилляторовКвантовое исчисление делителей Фибоначчи и фермионно-бозонная запутанность для бесконечной иерархии $N=2$ суперсимметричных золотых осцилляторов

Oktay K. Pashaev

Квантовое исчисление с двумя основаниями, представленными степенями золотого и серебряного сечений, соотносит производную делителя Фибоначчи с формулой Бине для оператора числа частиц, связанного с делителями Фибоначчи, который действует в фоковском пространстве квантовых состояний. Это дает инструмент для изучения иерархии золотых осцилляторов со спектром энергий в виде делителей Фибоначчи. Приведено обобщение этой модели на суперсимметричный оператор числа частиц, представлена соответствующая формула Бине для оператора числа частиц, задающегося через делители Фибоначчи. Этот оператор определяет гамильтониан иерархии суперсимметричных золотых осцилляторов, действующий в фермионно-бозонном гильбертовом пространстве и принадлежащий $N=2$ суперсимметричной алгебре. Собственные состояния данного оператора числа частиц являются дважды вырожденными и могут быть представлены как точки на суперсфере Блоха. Введен суперсимметричный оператор уничтожения в терминах делителей Фибоначчи, и с его помощью построена иерархия суперсимметричных когерентных состояний как собственных состояний этого оператора. Запутанность фермионов и бозонов в этих состояниях вычисляется с использованием согласованности, которая представляется в виде определителя Грама и выражается через иерархию золотых экспоненциальных функций. Показано, что опорные состояния и соответствующая энтропия фон Неймана, измеряющая запутанность фермионов и бозонов, полностью характеризуются степенями золотого сечения. Приведены геометрическая классификация запутанных состояний на основе шара Фробениуса и интерпретация значения согласованности как удвоенной площади параллелограмма в гильбертовом пространстве.Квантовое исчисление с двумя основаниями, представленными степенями золотого и серебряного сечений, соотносит производную делителя Фибоначчи с формулой Бине для оператора числа частиц, связанного с делителями Фибоначчи, который действует в фоковском пространстве квантовых состояний. Это дает инструмент для изучения иерархии золотых осцилляторов со спектром энергий в виде делителей Фибоначчи. Приведено обобщение этой модели на суперсимметричный оператор числа частиц, представлена соответствующая формула Бине для оператора числа частиц, задающегося через делители Фибоначчи. Этот оператор определяет гамильтониан иерархии суперсимметричных золотых осцилляторов, действующий в фермионно-бозонном гильбертовом пространстве и принадлежащий $N=2$ суперсимметричной алгебре. Собственные состояния данного оператора числа частиц являются дважды вырожденными и могут быть представлены как точки на суперсфере Блоха. Введен суперсимметричный оператор уничтожения в терминах делителей Фибоначчи, и с его помощью построена иерархия суперсимметричных когерентных состояний как собственных состояний этого оператора. Запутанность фермионов и бозонов в этих состояниях вычисляется с использованием согласованности, которая представляется в виде определителя Грама и выражается через иерархию золотых экспоненциальных функций. Показано, что опорные состояния и соответствующая энтропия фон Неймана, измеряющая запутанность фермионов и бозонов, полностью характеризуются степенями золотого сечения. Приведены геометрическая классификация запутанных состояний на основе шара Фробениуса и интерпретация значения согласованности как удвоенной площади параллелограмма в гильбертовом пространстве.

Теоретическая и математическая физикаAug 30, 20250 citations

Уравнение Янга-Бакстера во всех измерениях и универсальные кудитные вентили

Arash Pourkia

Путем непосредственного обобщения ранее найденных решений для размерности пространства $d=2$ построены некоторые решения уравнения Янга-Бакстера для любой размерности $d\geqslant 2$ . Затем решения наделяются свойствами унитарности и запутывания. Унитарность превращает их в двухкудитные квантовые логические элементы для систем на основе кудитов. Свойство запутывания позволяет сформировать из каждого решения вместе со всеми однокудитными вентилями универсальный набор квантовых логических элементов.Путем непосредственного обобщения ранее найденных решений для размерности пространства $d=2$ построены некоторые решения уравнения Янга-Бакстера для любой размерности $d\geqslant 2$. Затем решения наделяются свойствами унитарности и запутывания. Унитарность превращает их в двухкудитные квантовые логические элементы для систем на основе кудитов. Свойство запутывания позволяет сформировать из каждого решения вместе со всеми однокудитными вентилями универсальный набор квантовых логических элементов.

Теоретическая и математическая физикаMar 28, 20240 citations

Преобразования масштаба в фазовом пространстве и растянутые состояния гармонического осциллятора

V. A. Andreev, Д М Давидович, Ljubica Davidović +2 more

Рассматриваются преобразования масштаба $(q,p)\to(\lambda q,\lambda p)$ в фазовом пространстве. Они индуцируют преобразования функций Хусими $H(q,p)$ , заданных на этом пространстве. Рассматриваются функции Хусими состояний, которые являются произвольной суперпозицией $n$ -частичных состояний гармонического осциллятора. Развит метод, позволяющий находить так называемые растянутые состояния, в которые преобразуются эти суперпозиции при таком преобразовании масштаба. Изучены их свойства. Вычислены в явном виде матрицы плотности этих растянутых состояний. Установлено, что структуру матриц плотности можно описать, используя отрицательные биномиальные распределения. Для растянутых состояний найдены выражения для их энергии и энтропии и вычислены средние значения оператора числа состояний. Показано, какой вид принимают для растянутых состояний соотношения неопределенностей Гейзенберга и Робертсона-Шредингера.Рассматриваются преобразования масштаба $(q,p)\to(\lambda q,\lambda p)$ в фазовом пространстве. Они индуцируют преобразования функций Хусими $H(q,p)$, заданных на этом пространстве. Рассматриваются функции Хусими состояний, которые являются произвольной суперпозицией $n$-частичных состояний гармонического осциллятора. Развит метод, позволяющий находить так называемые растянутые состояния, в которые преобразуются эти суперпозиции при таком преобразовании масштаба. Изучены их свойства. Вычислены в явном виде матрицы плотности этих растянутых состояний. Установлено, что структуру матриц плотности можно описать, используя отрицательные биномиальные распределения. Для растянутых состояний найдены выражения для их энергии и энтропии и вычислены средние значения оператора числа состояний. Показано, какой вид принимают для растянутых состояний соотношения неопределенностей Гейзенберга и Робертсона-Шредингера.

Теоретическая и математическая физикаJul 1, 20170 citations

Границы полунепрерывности для энтропии фон Неймана и частичная мажоризация

Максим Евгеньевич Широков

Получено семейство асимптотически точных оценок сверху для разности $S(\rho)-S(\sigma)$ с ограничением на ранг (соответственно энергию) состояния $\rho$ , которые выполняются при условии, что состояние $\rho$ частично мажорирует состояние $\sigma$ и близко к состоянию $\sigma$ по следовой норме. Оценки сверху в этих семействах зависят от параметра $m$ частичной мажоризации. Оценки сверху, соответствующие $m=0$ , совпадают с (безусловными) оптимальными границами полунепрерывности для энтропии фон Неймана с ограничением на ранг (соответственно энергию), полученными в [1] и [2]. Предлагаются и численно анализируются коррекции этих границ полунепрерывности, зависящие от состояния $\rho$ . Вводится и анализируется понятие $\varepsilon$ -достаточной мажоризационной размерности множества состояний с ограниченной энергией. Также рассматриваются классические версии приведенных выше результатов, сформулированные в терминах распределений вероятностей и энтропии Шеннона. Библиография: 20 названий.Получено семейство асимптотически точных оценок сверху для разности $S(\rho)-S(\sigma)$ с ограничением на ранг (соответственно энергию) состояния $\rho$, которые выполняются при условии, что состояние $\rho$ частично мажорирует состояние $\sigma$ и близко к состоянию $\sigma$ по следовой норме. Оценки сверху в этих семействах зависят от параметра $m$ частичной мажоризации. Оценки сверху, соответствующие $m=0$, совпадают с (безусловными) оптимальными границами полунепрерывности для энтропии фон Неймана с ограничением на ранг (соответственно энергию), полученными в [1] и [2]. Предлагаются и численно анализируются коррекции этих границ полунепрерывности, зависящие от состояния $\rho$. Вводится и анализируется понятие $\varepsilon$-достаточной мажоризационной размерности множества состояний с ограниченной энергией. Также рассматриваются классические версии приведенных выше результатов, сформулированные в терминах распределений вероятностей и энтропии Шеннона. Библиография: 20 названий.

Математический сборникJan 1, 20260 citations

Квазиклассические асимптотики осциллирующего туннелирования для квадратичного гамильтониана на алгебре $\operatorname{su}(1,1)$ Квазиклассические асимптотики осциллирующего туннелирования для квадратичного гамильтониана на алгебре $\operatorname{su}(1,1)$

Evgenii Viktorovich Vybornyi, Sofia Vasil'evna Rumyantseva

В работе рассмотрена задача построения квазиклассических асимптотик туннельного расщепления спектра оператора, заданного на неприводимом представлении алгебры Ли $\operatorname{su}(1,1)$ . Предполагается, что оператор является квадратичной функцией от образующих алгебры. Представлены когерентные состояния и когерентное унитарное преобразование, которое позволяют свести задачу к рассмотрению дифференциального оператора второго порядка в пространстве голоморфных функций. В работе построены квазиклассические асимптотические спектральные серии и соответствующие волновые функции в виде разложений по когерентным состояниям. При определенных параметрах системы, минимальная энергия отвечает паре невырожденных положений равновесия, а дискретный спектр оператора имеет экспоненциально малое туннельное расщепление уровней. Путем применения комплексного метода ВКБ в работе доказаны асимптотические формулы для туннельного расщепления энергий. Показано, что в отличие от одномерного оператора Шрeдингера туннельное расщепление в данной задаче не только экспоненциально убывает, но также содержит осциллирующий множитель, что можно интерпретировать как интерференцию туннелирования по различным инстантонам. Показано также, что при определенных значениях параметров возникает полное подавление туннелирования и двукратное вырождение части уровней спектра, что нетипично для одномерных систем. Библиография: 35 названий.В работе рассмотрена задача построения квазиклассических асимптотик туннельного расщепления спектра оператора, заданного на неприводимом представлении алгебры Ли $\operatorname{su}(1,1)$. Предполагается, что оператор является квадратичной функцией от образующих алгебры. Представлены когерентные состояния и когерентное унитарное преобразование, которое позволяют свести задачу к рассмотрению дифференциального оператора второго порядка в пространстве голоморфных функций. В работе построены квазиклассические асимптотические спектральные серии и соответствующие волновые функции в виде разложений по когерентным состояниям. При определенных параметрах системы, минимальная энергия отвечает паре невырожденных положений равновесия, а дискретный спектр оператора имеет экспоненциально малое туннельное расщепление уровней. Путем применения комплексного метода ВКБ в работе доказаны асимптотические формулы для туннельного расщепления энергий. Показано, что в отличие от одномерного оператора Шрeдингера туннельное расщепление в данной задаче не только экспоненциально убывает, но также содержит осциллирующий множитель, что можно интерпретировать как интерференцию туннелирования по различным инстантонам. Показано также, что при определенных значениях параметров возникает полное подавление туннелирования и двукратное вырождение части уровней спектра, что нетипично для одномерных систем. Библиография: 35 названий.

Математические заметкиJan 1, 20221 citation

S_1(\mathcal H)

гильбертова пространства

\mathcal H

. В терминах свойств меры на

S_1(\mathcal H)

\mathrm C^*

-алгебры в терминах крайних точек. Исследованы крайние точки

\mathrm {extr}(\mathcal E^1)

единичного шара

\mathcal E^1

нормированного идеального пространства операторов

\langle \mathcal E,\|\kern 1pt{\cdot }\kern 1pt\|_{\mathcal E}\rangle

на

\mathcal H

. Если

U\in \mathrm {extr}(\mathcal E^1)

для некоторого унитарного оператора

U\in \mathcal {B}(\mathcal H)

, то

V\in \mathrm {extr}(\mathcal E^1)

для всех унитарных операторов

V\in \mathcal {B}(\mathcal H)

L^2

. Другая реализация - специальный класс обобщенных функций со скалярным произведением. Построен изоморфизм этих реализаций, исследованы свойства операторов. Библиография: 18 названий.

Квантовое исчисление делителей Фибоначчи и фермионно-бозонная запутанность для бесконечной иерархии

N=2

суперсимметричных золотых осцилляторов

N=2

суперсимметричной алгебре. Собственные состояния данного оператора числа частиц являются дважды вырожденными и могут быть представлены как точки на суперсфере Блоха. Введен суперсимметричный оператор уничтожения в терминах делителей Фибоначчи, и с его помощью построена иерархия суперсимметричных когерентных состояний как собственных состояний этого оператора. Запутанность фермионов и бозонов в этих состояниях вычисляется с использованием согласованности, которая представляется в виде определителя Грама и выражается через иерархию золотых экспоненциальных функций. Показано, что опорные состояния и соответствующая энтропия фон Неймана, измеряющая запутанность фермионов и бозонов, полностью характеризуются степенями золотого сечения. Приведены геометрическая классификация запутанных состояний на основе шара Фробениуса и интерпретация значения согласованности как удвоенной площади параллелограмма в гильбертовом пространстве.

Путем непосредственного обобщения ранее найденных решений для размерности пространства

d=2

построены некоторые решения уравнения Янга-Бакстера для любой размерности

d\geqslant 2

. Затем решения наделяются свойствами унитарности и запутывания. Унитарность превращает их в двухкудитные квантовые логические элементы для систем на основе кудитов. Свойство запутывания позволяет сформировать из каждого решения вместе со всеми однокудитными вентилями универсальный набор квантовых логических элементов.

Рассматриваются преобразования масштаба

(q,p)\to(\lambda q,\lambda p)

в фазовом пространстве. Они индуцируют преобразования функций Хусими

H(q,p)

, заданных на этом пространстве. Рассматриваются функции Хусими состояний, которые являются произвольной суперпозицией

n

-частичных состояний гармонического осциллятора. Развит метод, позволяющий находить так называемые растянутые состояния, в которые преобразуются эти суперпозиции при таком преобразовании масштаба. Изучены их свойства. Вычислены в явном виде матрицы плотности этих растянутых состояний. Установлено, что структуру матриц плотности можно описать, используя отрицательные биномиальные распределения. Для растянутых состояний найдены выражения для их энергии и энтропии и вычислены средние значения оператора числа состояний. Показано, какой вид принимают для растянутых состояний соотношения неопределенностей Гейзенберга и Робертсона-Шредингера.

Получено семейство асимптотически точных оценок сверху для разности

S(\rho)-S(\sigma)

с ограничением на ранг (соответственно энергию) состояния

\rho

, которые выполняются при условии, что состояние

\rho

частично мажорирует состояние

\sigma

и близко к состоянию

\sigma

по следовой норме. Оценки сверху в этих семействах зависят от параметра

m

частичной мажоризации. Оценки сверху, соответствующие

m=0

, совпадают с (безусловными) оптимальными границами полунепрерывности для энтропии фон Неймана с ограничением на ранг (соответственно энергию), полученными в [1] и [2]. Предлагаются и численно анализируются коррекции этих границ полунепрерывности, зависящие от состояния

\rho

. Вводится и анализируется понятие

\varepsilon

-достаточной мажоризационной размерности множества состояний с ограниченной энергией. Также рассматриваются классические версии приведенных выше результатов, сформулированные в терминах распределений вероятностей и энтропии Шеннона. Библиография: 20 названий.

Квазиклассические асимптотики осциллирующего туннелирования для квадратичного гамильтониана на алгебре

\operatorname{su}(1,1)

В работе рассмотрена задача построения квазиклассических асимптотик туннельного расщепления спектра оператора, заданного на неприводимом представлении алгебры Ли

\operatorname{su}(1,1)

. Предполагается, что оператор является квадратичной функцией от образующих алгебры. Представлены когерентные состояния и когерентное унитарное преобразование, которое позволяют свести задачу к рассмотрению дифференциального оператора второго порядка в пространстве голоморфных функций. В работе построены квазиклассические асимптотические спектральные серии и соответствующие волновые функции в виде разложений по когерентным состояниям. При определенных параметрах системы, минимальная энергия отвечает паре невырожденных положений равновесия, а дискретный спектр оператора имеет экспоненциально малое туннельное расщепление уровней. Путем применения комплексного метода ВКБ в работе доказаны асимптотические формулы для туннельного расщепления энергий. Показано, что в отличие от одномерного оператора Шрeдингера туннельное расщепление в данной задаче не только экспоненциально убывает, но также содержит осциллирующий множитель, что можно интерпретировать как интерференцию туннелирования по различным инстантонам. Показано также, что при определенных значениях параметров возникает полное подавление туннелирования и двукратное вырождение части уровней спектра, что нетипично для одномерных систем. Библиография: 35 названий.