Extensões auto-adjuntas de operadores em mecânica quântica

Cleverson Filgueiras, Fernando Moraes

O problema das extensões auto-adjuntas de operadores em mecânica quântica, um assunto normalmente não apresentado em livros-texto, é brevemente discutido neste trabalho.

Cleverson Filgueiras, Fernando Moraes

Recebido em 1/6/2006; Aceito em 26/9/2006O problema das extens˜oes auto-adjuntas de operadores em mecˆanica quˆantica, um assunto normalmente n˜aoapresentado em livros-texto, ´e brevemente discutido neste trabalho.Palavras-chave: mecˆanica quˆantica, condi¸c˜oes de contorno, extens˜ao auto-adjunta.In this work we discuss briefly the problem of self-adjoint extensions in quantum mechanics, a subject usuallynot presented in textbooks.Keywords: quantum mechanics, boundary conditions, self-adjoint extension.

Eduardo M. A. Peixoto

Silvio Seno Chibeni

Vanilse S. Araujo

Nessa tese, mostramos que a Hamiltoniana H e o operador helicidade de uma partícula de Dirac que se movimenta em duas dimensões na presença de um tubo de fluxo magnético infinitamente fino na origem admitem, cada um, uma família de quatro parâmetros de extensões auto-adjuntas. Para cada extensão correspondem condições de contorno a serem satisfeitas pelas auto-fuções na origem. Apesar dos operadores H e formalmente comutarem antes da especificação das condições de contorno, para garantirmos a conservação da helicidade, não é suficiente obtermos as mesmas condições de contorno para ambos os operadores, ou seja, não é suficiente a determinação de um domínio comum a ambos. Mostramos que, para certas relações entre os parâmetros das extensões satisfeitas, é possível a determinação dos domínios mais gerais onde ambos os operadores H e são auto-adjuntos e onde a helicidade é conservada, simultaneamente com a preservação da simetria de Aharonov-Bohm ( + 1), onde é o fluxo magnético em unidades naturais. Nossos resultados implicam que, nem a conservação da helicidade nem a simetria de Aharonov-Bohn, resolvem o problema da escolha da condição de contorno fisicamente correta.

Vanilse S. Araujo

Nessa tese, mostramos que a Hamiltoniana H e o operador helicidade de uma partícula de Dirac que se movimenta em duas dimensões na presença de um tubo de fluxo magnético infinitamente fino na origem admitem, cada um, uma família de quatro parâmetros de extensões auto-adjuntas. Para cada extensão correspondem condições de contorno a serem satisfeitas pelas auto-fuções na origem. Apesar dos operadores H e formalmente comutarem antes da especificação das condições de contorno, para garantirmos a conservação da helicidade, não é suficiente obtermos as mesmas condições de contorno para ambos os operadores, ou seja, não é suficiente a determinação de um domínio comum a ambos. Mostramos que, para certas relações entre os parâmetros das extensões satisfeitas, é possível a determinação dos domínios mais gerais onde ambos os operadores H e são auto-adjuntos e onde a helicidade é conservada, simultaneamente com a preservação da simetria de Aharonov-Bohm ( + 1), onde é o fluxo magnético em unidades naturais. Nossos resultados implicam que, nem a conservação da helicidade nem a simetria de Aharonov-Bohn, resolvem o problema da escolha da condição de contorno fisicamente correta.