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Die XXZ-Kette: Statische Korrelationen bei endlichen Temperaturen

Alexander Seel

Published Jan 26, 2006• 1 citation
OpenAlex

Abstract

Die Freie Energie der anisotropen Heisenberg-Kette kann im thermodynamischen Limes durch den fuhrenden Eigenwert einer Quantentransfermatrix dargestellt werden. Diese ist eine spezielle Darstellung der Yang-Baxter-Algebra zur R-Matrix der XXZ -Kette und ist mit dem algebraischen Bethe-Ansatz diagonalisierbar. Am Beispiel einer erzeugenden Funktion der zz-Korrelation soll gezeigt werden, dass der zugeordnete Eigenvektor zum fuhrenden Eigenwert alle statischen Korrelationen umfasst: Die Erzeugende wird durch Bildung von Skalarprodukten im Sinne des algebraischen Bethe-Ansatzes mit dem fuhrenden Eigenvektor bestimmt und in einer Vielfachintegraldarstellung angegeben. Die Ergebnisse sind gultig fur endliche Temperaturen und endliche, longitudinale Magnetfelder.

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Bestimmung und Faktorisierung von Korrelationsfunktionen der integrablen Spin-1 Heisenberg-Kette bei endlicher Temperatur

Dominic Nawrath

Das in der vorliegenden Arbeit behandelte Modell, die integrable anisotrope Spin-1XXZ-Kette im antiferromagnetischen Regime, lasst sich uber die Fusionsprozedur aus der trigonometrischen Losung des Sechs- Vertexmodells konstruieren (siehe (3.1.3), (3.1.9) und (2.0.2)). Fur die Spin-1-Kette lasst sich, basierend auf der Trotter-Suzuki-Abbildung, ein zweidimensionales klassisches Neunzehn-Vertexmodell finden, mit dem die thermodynamischen Eigenschaften des Systems uber die Quantentransfer-Matrix beschrieben werden konnen. Im thermodynamischen Limes lasst sich die Freie Energie lediglich durch den betragsmasig grosten Eigenwert dieser Transfer-Matrix und somit alle weiteren globalen thermodynamischen Eigenschaften angegeben. Die Bestimmung des Eigenwertes fur endliche Temperatur erfordert das (numerische) Losen eines nichtlinearen Integralgleichungs-Systems dreier Hilfsfunktionen (siehe (3.2.24) sowie (4.1.25) bis (4.1.29)). Um Aussagen uber lokale Eigenschaften treffen zu konnen, wird die (reduzierte) Dichte-Matrix benotigt, damit die Erwartungswerte eines lokal wirkenden Operators bestimmt werden konnen (siehe (2.6.6)). Ziel dieser Arbeit war es eine adaquate Beschreibung fur die Dichte-Matrixeintrage zu finden.

•Jan 22, 2018•0 citations

Ein neuer Zugang zum Sine-Gordon-Modell und Korrelationsfunktionen der massiven XXZ-Kette

Christian Trippe

In der vorliegenden Arbeit werden thermodynamische Eigenschaften und statische Korrelationsfunktionen eindimensionaler Quantensysteme, die in Beziehung zum Sechs-Vertex-Modell der Statistischen Mechanik stehen, untersucht. Im ersten Teil wird eine alternative, auf dem Sechs-Vertex-Modell beruhende Gitterregularisierung des Sine-Gordon- bzw. des dazu aquivalenten massiven Thirring-Modells entwickelt. Dieses Verfahren erlaubt es, Transfermatrizen sowohl mit reeller als auch mit imaginarer Zeit zu behandeln. Daraus ergibt sich ein alternativer Zugang zur Thermodynamik mit Hilfe der Quantentransfermatrix, der auch fur die Bestimmung von Korrelationsfunktionen bei endlichen Temperaturen geeignet ist. Fur das Gittermodell werden nichtlineare Integralgleichungen zur Berechnung der freien Energie hergeleitet. Im Kontinuumslimes gehen diese in die bekannten Gleichungen fur das Sine-Gordon-Modell uber. Des Weiteren wird fur das Gittermodell eine Vielfachintegraldarstellung fur eine erzeugende Funktion von Korrelationsfunktionen hergeleitet. Der Kontinuumslimes am Punkt freier Fermionen fuhrt auf eine Verallgemeinerung einer bekannten Fredholm-Determinanten-Darstellung auf endliche Temperaturen. Im zweiten Teil werden temperatur- und magnetfeldabhangige Korrelationsfunktionen der massiven XXZ-Kette bei kurzen Abstanden explizit berechnet. Die Rechnungen beruhen auf dem kurzlich entdeckten Phanomen der Faktorisierung der Korrelationsfunktionen der XXZ-Kette. Faktorisierung bedeutet, dass alle Korrelationsfunktionen polynomial von speziellen Ein- und Nachbar-Zweipunktfunktionen eines verallgemeinerten Modells abhangen. Fur letztere gab es im massiven Bereich des Phasendiagramms keine numerisch effiziente Formulierung. In der vorliegenden Arbeit werden die entsprechenden linearen und nichtlinearen Integralgleichungen hergeleitet und fur den gesamten massiven Bereich des Phasendiagramms numerisch ausgewertet. Im Grenzfall groser Anisotropie stellt sich der magnetfeldgetriebene Phasenubergang der klassischen Isingkette als Tripelpunkt des quantenmechanischen Systems dar. Die exponentiell hohe Entartung der Isingkette wird durch quantenmechanische Restwechselwirkungen aufgehoben. In der Arbeit wird die Umgebung des Tripelpunkts zum einen exakt, zum anderen mit Hilfe entarteter Storungsrechnung untersucht. Die Betrachtung des effektiven Hamiltonoperators aus der Storungsrechnung gestattet es, das Skalenverhalten in der Nahe des Tripelpunkts zu verstehen und damit die Integralgleichungen im Limes analytisch zu losen. Dies resultiert in expliziten Ergebnissen fur die Korrelationsfunktionen bei kurzen Abstanden in der Nahe des Tripelpunkts.

•Jan 22, 2018•0 citations

Quasiparticles, Dynamics and Thermodynamics in the XX Chain

Klaus Wiele

Die Arbeit beginnt mit einer kurzen Einfuehrung in das anisotrope Heisenberg-Modell (XXZ-Modell). Im Hauptteil werden als Spezialfaelle davon das XX-Modell und das Haldane-Shastry-Modell untersucht. Fuer das XX-Modell wird eine vollstaendige Beschreibung des Spektrums durch Spinonen (spezielle Quasiteilchen) gegeben. Die Beschreibung umfasst Teilchen-Wechselwirkung, Orbital-Wechselwirkung, Bethe-Ansatzgleichungen und eine alternative Herleitung der Thermodynamik fuer endliche Temperatur und endliches Magnetfeld. Ausserdem wird eine allgemeingueltige Darstellung des dynamischen Spin-Strukturfaktors gegeben und fuer verschiedene Faelle asymptotisch im thermodynamischen Limes und numerisch auf endlichen Systemen ausgewertet. Das Spektrum des Haldane-Shastry-Modell kann auch durch Spinonen parametrisiert werden. Die Arbeit gibt eine dezidierte Untersuchung eines einzelnen Orbitals und eine geschlossene Darstellung der Energie eines generischen Zustandes mit beliebig vielen Orbitalen. Fuer den Fall endlicher Temperatur ohne Magnetfeld wird die Thermodynamik hergeleitet. Dabei koennen Fehler in der bisherigen Literatur aufgedeckt werden. Die Arbeit schliesst mit technischen Anhaengen und einer Einfuehrung in Neutronenoptik.

•Mar 25, 2008•0 citations

Finite temperature dynamics of one-dimensional quantum magnets

C. Luckmann

In der vorliegenden Arbeit wird die Dynamik ein-bzw.quasi-eindimensionaler, antiferromagnetischer S = ½ Quantenspinsysteme über einen großen Bereich von Frequenzen, externen Magnetfeldern und insbesondere endlichen Temperaturen untersucht.Die dynamischen Strukturfaktoren werden durch numerische Berechnung von Spinoperator-Matrixelementen basierend auf allen Eigenenergien und Eigenfunktionen, die durch vollständige, exakte Diagonalisierung gewonnen werden, bestimmt.Der erste Teil dieser Arbeit untersucht die Dynamik der alternierenden, antiferromagnetischen Heisenberg-Kette anhand von spezifischer Wärme und dynamischen Strukturfaktoren für Ketten mit bis zu  Spins.Die Auswertung der Ergebnisse erfolgt unter Anlehnung an die analytischen Ergebnisse des Grenzfalls der nicht wechselwirkenden Dimer, was bis zu einem Verhältnis λ 0.3 der Kopplungsstärken qualitativ gültig ist.Den Betrachtungen der spezifischen Wärme und des integrierten Strukturfaktors folgt die Analyse des Verhalten des zentralen, des Ein-und des Zweimagnonen-Peaks des longitudinalen und transversalen Strukturfaktors in Abhängigkeit von Impulsübertrag, Temperatur und Magnetfeld.Der zweite Teil untersucht die rautenförmige Kette (engl.: distorted diamond chain), eine Variante der antiferromagnetischen Heiseberg-Kette mit übernächster-Nachbar-Wechselwirkung mit bis zu  Spins.Die Auswertung stützt sich dabei auf die elementaren Blöcke Dimer und Tetramer und behandelt sowohl die spin-flüssigen Phase als auch die Tetramer-Dimer Phase.Die spin-flüssige Phase wird durch eine niederenergetische, effektive antiferromagnetische Heisenberg-Kette und hochenergetischen Dimeranregungen charakterisiert, die durch ein Magnetisierungsplateau bei 1 /3 charakterisiert wird.Die Tetramer-Dimer Phase besitzt einen zweifach (3N gerade) bzw.N /3-fach (3N ungerade) entarteten Grundzustand und weist Solitonen als elementare Anregungen auf.Das Verhalten wird auf zwei Pfaden im Phasendiagramm, die den Kosterlitz-ouless Phasenübergang überqueren, anhand der spezifischen Wärme untersucht.

•Jan 1, 2008•1 citation

Formfaktorzugang zu thermischen Korrelationsfunktionen der Heisenbergkette

Maxime Dugave

In der vorliegenden Arbeit werden die thermischen Korrelationsfunktionen der Heisenbergkette mit Hilfe des Formfaktorzugangs untersucht. Bei dieser Methode werden die Korrelatoren in ihrer Spektraldarstellung bezuglich der Eigenzustande der Quantentransfermatrix betrachtet. Die resultierende Formfaktorreihe ist eine Summe exponentiell zerfallender Terme und liefert somit in naturlicher Weise die Abstandsasymptotik der Korrelationsfunktionen bei endlicher Temperatur. Jeder Term ist charakterisiert durch eine Korrelationslange und eine Amplitude. Fur letztere werden zu Beginn der Arbeit neue, im Trotterlimes gultige analytische Ausdrucke angegeben. Diese Ergebnisse werden im weiteren Verlauf im Tieftemperaturlimes analysiert. In der masselosen Phase stimmt die Form der Asymptotik mit den Vorhersagen der konformen Feldtheorie bzw. Tomonaga-Luttinger-Flussigkeitstheorie uberein. Zusatzlich ergeben sich exakte Ausdrucke fur die nicht-universellen Amplituden, die numerisch ausgewertet werden konnen. In der massiven Phase ergibt sich eine im Vergleich zum Vertex-Operator-Zugang aquivalente, jedoch strukturell deutlich einfachere Formfaktorentwicklung, wodurch erstmals Beitrage von vier und mehr Spinonen zu Korrelationsfunktionen berechnet werden konnen.

•Jan 22, 2018•1 citation

Tensor networks in strongly correlated matter

Valentin Stauber

Diese Dissertation beschaftigt sich mit der Frage, inwiefern es moglich ist, Aussagen uber glo- bale Eigenschaften eines komplexen Vielteilchensystems im thermodynamischen Limes aus der Sicht einer lokalen Beschreibung seines aktuellen Zustandes zu treffen. Im Besonderen werden Tensornetzwerkdarstellungen von klassischen oder Quantenzustanden verwendet, um ein- oder zweidimensionale, stark korrelierte Vielteilchensysteme im Gleich- oder Ungleichgewicht zu untersuchen. Dabei wird der Fokus auf Matrixproduktzustande (MPS) gelegt, einer speziell fur eindimensionale Quantengitter geeignete Variante von Tensornetzwerken. Die lokalen Tensoren als Bausteine solch einer Beschreibung werden verwendet, um lokale Objekte oder Grosen zu konstruieren, anhand derer Aussagen uber generelle globale Eigenschaften des Systems getrof- fen werden konnen. Als gute Grundlage solcher Untersuchungen wird zunachst ein neuartiger und effizienter Algorithmus fur die Optimierung einer MPS-Grundzustandsnaherung fur stark korrelierte ein- dimensionale Spinketten im thermodynamischen Limes vorgestellt. Es wird gezeigt, dass dieser Algorithmus bestehende Methoden in puncto Geschwindigkeit und Genauigkeit der Ergebnisse bei weitem ubertrifft. Mit dieser Methode errechnete Grundzustandsnaherungen werden nun verwendet, um die aus den elementaren Tensoren konstruierte MPS-Transfermatrix zu untersuchen. Eine Betrach- tung ihres Eigenspektrums zeigt verbluffende Verbindungen zwischen statischen Korrelations- funktionen im Grundzustand und elementaren Anregungen eines Systems. Im Speziellen kon- nen die Impulse und die Grose der Minima in der Energiedispersion der elementaren Anre- gungen sehr genau uber die dominanten Eigenwerte der Transfermatrix bestimmt werden. Man kann daher Informationen uber angeregte Zustande eines Systems blos aus einer lokalen Dar- stellung des Grundzustandes gewinnen. Des weiteren wird gezeigt, dass sich die Existenz von symmetriebrechenden Phasenuber- gangen in einem bestimmten physikalischen System auf die Geometrie der konvexen Menge aller moglichen reduzierten Dichtematrizen in diesem System zuruckfuhren lasst. Nichtanalyti- zitaten auf der Oberflache solcher Mengen signalisieren das Auftreten von Symmetriebrechung und eines zugehorigen (lokalen) Ordnungsparameters. Die Frage, ob ein System Symmetriebre- chung zeigt, lasst sich daher uber eine Menge von lokalen Objekten (namlich den reduzierten Dichtematrizen) beantworten. Zu guter Letzt wird eine Variante des neu entwickelten Grundzustandsalgorithmus – ad- aptiert fur die Berechnung reeller Zeitentwicklung – dazu verwendet, um dynamische Phasen- ubergange in Spinketten mit langreichweitigen Wechselwirkungen im Rahmen eines globalen Quenches zu untersuchen. Solche Phasenubergange zeigen charakteristische Nichtanalytizita- ten in der Zeit in der Form von Zacken in der globalen Uberlagerung von zeitentwickeltem und Ausgangszustand. Es wird gezeigt, dass diese Zacken von Kreuzungen im Spektrum der ge- mischten Transfermatrix, welche aus den elementaren Tensoren einer MPS-Beschreibung bei- der Zustande besteht, herruhren. Es ist also wiederholt ein Attribut eines lokalen Objektes, das Zugang zu einer globalen Grose, namlich der Uberlappung zweier Quantenzustande, gewahrt.

•Jan 1, 2017•0 citations
Die Freie Energie der anisotropen Heisenberg-Kette kann im thermodynamischen Limes durch den
fuhrenden Eigenwert einer Quantentransfermatrix dargestellt werden. Diese ist eine spezielle
Darstellung der Yang-Baxter-Algebra zur R-Matrix der XXZ -Kette und ist mit dem algebraischen
Bethe-Ansatz diagonalisierbar. Am Beispiel einer erzeugenden Funktion der zz-Korrelation soll
gezeigt werden, dass der zugeordnete Eigenvektor zum fuhrenden Eigenwert alle statischen
Korrelationen umfasst: Die Erzeugende wird durch Bildung von Skalarprodukten im Sinne des
algebraischen Bethe-Ansatzes mit dem fuhrenden Eigenvektor bestimmt und in einer
Vielfachintegraldarstellung angegeben. Die Ergebnisse sind gultig fur endliche Temperaturen und
endliche, longitudinale Magnetfelder.
Das in der vorliegenden Arbeit behandelte Modell, die integrable anisotrope Spin-1XXZ-Kette im antiferromagnetischen Regime, lasst sich uber die Fusionsprozedur aus der trigonometrischen Losung des Sechs- Vertexmodells konstruieren (siehe (3.1.3), (3.1.9) und (2.0.2)). Fur die Spin-1-Kette lasst sich, basierend auf der Trotter-Suzuki-Abbildung, ein zweidimensionales klassisches Neunzehn-Vertexmodell finden, mit dem die thermodynamischen Eigenschaften des Systems uber die Quantentransfer-Matrix beschrieben werden konnen. Im thermodynamischen Limes lasst sich die Freie Energie lediglich durch den betragsmasig grosten Eigenwert dieser Transfer-Matrix und somit alle weiteren globalen thermodynamischen Eigenschaften angegeben. Die Bestimmung des Eigenwertes fur endliche Temperatur erfordert das (numerische) Losen eines nichtlinearen Integralgleichungs-Systems dreier Hilfsfunktionen (siehe (3.2.24) sowie (4.1.25) bis (4.1.29)). Um Aussagen uber lokale Eigenschaften treffen zu konnen, wird die (reduzierte) Dichte-Matrix benotigt, damit die Erwartungswerte eines lokal wirkenden Operators bestimmt werden konnen (siehe (2.6.6)). Ziel dieser Arbeit war es eine adaquate Beschreibung fur die Dichte-Matrixeintrage zu finden.
In der vorliegenden Arbeit werden thermodynamische Eigenschaften und statische Korrelationsfunktionen eindimensionaler Quantensysteme, die in Beziehung zum Sechs-Vertex-Modell der Statistischen Mechanik stehen, untersucht. Im ersten Teil wird eine alternative, auf dem Sechs-Vertex-Modell beruhende Gitterregularisierung des Sine-Gordon- bzw. des dazu aquivalenten massiven Thirring-Modells entwickelt. Dieses Verfahren erlaubt es, Transfermatrizen sowohl mit reeller als auch mit imaginarer Zeit zu behandeln. Daraus ergibt sich ein alternativer Zugang zur Thermodynamik mit Hilfe der Quantentransfermatrix, der auch fur die Bestimmung von Korrelationsfunktionen bei endlichen Temperaturen geeignet ist. Fur das Gittermodell werden nichtlineare Integralgleichungen zur Berechnung der freien Energie hergeleitet. Im Kontinuumslimes gehen diese in die bekannten Gleichungen fur das Sine-Gordon-Modell uber. Des Weiteren wird fur das Gittermodell eine Vielfachintegraldarstellung fur eine erzeugende Funktion von Korrelationsfunktionen hergeleitet. Der Kontinuumslimes am Punkt freier Fermionen fuhrt auf eine Verallgemeinerung einer bekannten Fredholm-Determinanten-Darstellung auf endliche Temperaturen. Im zweiten Teil werden temperatur- und magnetfeldabhangige Korrelationsfunktionen der massiven XXZ-Kette bei kurzen Abstanden explizit berechnet. Die Rechnungen beruhen auf dem kurzlich entdeckten Phanomen der Faktorisierung der Korrelationsfunktionen der XXZ-Kette. Faktorisierung bedeutet, dass alle Korrelationsfunktionen polynomial von speziellen Ein- und Nachbar-Zweipunktfunktionen eines verallgemeinerten Modells abhangen. Fur letztere gab es im massiven Bereich des Phasendiagramms keine numerisch effiziente Formulierung. In der vorliegenden Arbeit werden die entsprechenden linearen und nichtlinearen Integralgleichungen hergeleitet und fur den gesamten massiven Bereich des Phasendiagramms numerisch ausgewertet. Im Grenzfall groser Anisotropie stellt sich der magnetfeldgetriebene Phasenubergang der klassischen Isingkette als Tripelpunkt des quantenmechanischen Systems dar. Die exponentiell hohe Entartung der Isingkette wird durch quantenmechanische Restwechselwirkungen aufgehoben. In der Arbeit wird die Umgebung des Tripelpunkts zum einen exakt, zum anderen mit Hilfe entarteter Storungsrechnung untersucht. Die Betrachtung des effektiven Hamiltonoperators aus der Storungsrechnung gestattet es, das Skalenverhalten in der Nahe des Tripelpunkts zu verstehen und damit die Integralgleichungen im Limes analytisch zu losen. Dies resultiert in expliziten Ergebnissen fur die Korrelationsfunktionen bei kurzen Abstanden in der Nahe des Tripelpunkts.
Die Arbeit beginnt mit einer kurzen Einfuehrung in das anisotrope Heisenberg-Modell (XXZ-Modell). Im Hauptteil werden als Spezialfaelle davon das XX-Modell und das Haldane-Shastry-Modell untersucht. Fuer das XX-Modell wird eine vollstaendige Beschreibung des Spektrums durch Spinonen (spezielle Quasiteilchen) gegeben. Die Beschreibung umfasst Teilchen-Wechselwirkung, Orbital-Wechselwirkung, Bethe-Ansatzgleichungen und eine alternative Herleitung der Thermodynamik fuer endliche Temperatur und endliches Magnetfeld. Ausserdem wird eine allgemeingueltige Darstellung des dynamischen Spin-Strukturfaktors gegeben und fuer verschiedene Faelle asymptotisch im thermodynamischen Limes und numerisch auf endlichen Systemen ausgewertet. Das Spektrum des Haldane-Shastry-Modell kann auch durch Spinonen parametrisiert werden. Die Arbeit gibt eine dezidierte Untersuchung eines einzelnen Orbitals und eine geschlossene Darstellung der Energie eines generischen Zustandes mit beliebig vielen Orbitalen. Fuer den Fall endlicher Temperatur ohne Magnetfeld wird die Thermodynamik hergeleitet. Dabei koennen Fehler in der bisherigen Literatur aufgedeckt werden. Die Arbeit schliesst mit technischen Anhaengen und einer Einfuehrung in Neutronenoptik.
In der vorliegenden Arbeit wird die Dynamik ein-bzw.quasi-eindimensionaler, antiferromagnetischer S = ½ Quantenspinsysteme über einen großen Bereich von Frequenzen, externen Magnetfeldern und insbesondere endlichen Temperaturen untersucht.Die dynamischen Strukturfaktoren werden durch numerische Berechnung von Spinoperator-Matrixelementen basierend auf allen Eigenenergien und Eigenfunktionen, die durch vollständige, exakte Diagonalisierung gewonnen werden, bestimmt.Der erste Teil dieser Arbeit untersucht die Dynamik der alternierenden, antiferromagnetischen Heisenberg-Kette anhand von spezifischer Wärme und dynamischen Strukturfaktoren für Ketten mit bis zu  Spins.Die Auswertung der Ergebnisse erfolgt unter Anlehnung an die analytischen Ergebnisse des Grenzfalls der nicht wechselwirkenden Dimer, was bis zu einem Verhältnis λ 0.3 der Kopplungsstärken qualitativ gültig ist.Den Betrachtungen der spezifischen Wärme und des integrierten Strukturfaktors folgt die Analyse des Verhalten des zentralen, des Ein-und des Zweimagnonen-Peaks des longitudinalen und transversalen Strukturfaktors in Abhängigkeit von Impulsübertrag, Temperatur und Magnetfeld.Der zweite Teil untersucht die rautenförmige Kette (engl.: distorted diamond chain), eine Variante der antiferromagnetischen Heiseberg-Kette mit übernächster-Nachbar-Wechselwirkung mit bis zu  Spins.Die Auswertung stützt sich dabei auf die elementaren Blöcke Dimer und Tetramer und behandelt sowohl die spin-flüssigen Phase als auch die Tetramer-Dimer Phase.Die spin-flüssige Phase wird durch eine niederenergetische, effektive antiferromagnetische Heisenberg-Kette und hochenergetischen Dimeranregungen charakterisiert, die durch ein Magnetisierungsplateau bei 1 /3 charakterisiert wird.Die Tetramer-Dimer Phase besitzt einen zweifach (3N gerade) bzw.N /3-fach (3N ungerade) entarteten Grundzustand und weist Solitonen als elementare Anregungen auf.Das Verhalten wird auf zwei Pfaden im Phasendiagramm, die den Kosterlitz-ouless Phasenübergang überqueren, anhand der spezifischen Wärme untersucht.
In der vorliegenden Arbeit werden die thermischen Korrelationsfunktionen der Heisenbergkette mit Hilfe des Formfaktorzugangs untersucht. Bei dieser Methode werden die Korrelatoren in ihrer Spektraldarstellung bezuglich der Eigenzustande der Quantentransfermatrix betrachtet. Die resultierende Formfaktorreihe ist eine Summe exponentiell zerfallender Terme und liefert somit in naturlicher Weise die Abstandsasymptotik der Korrelationsfunktionen bei endlicher Temperatur. Jeder Term ist charakterisiert durch eine Korrelationslange und eine Amplitude. Fur letztere werden zu Beginn der Arbeit neue, im Trotterlimes gultige analytische Ausdrucke angegeben. Diese Ergebnisse werden im weiteren Verlauf im Tieftemperaturlimes analysiert. In der masselosen Phase stimmt die Form der Asymptotik mit den Vorhersagen der konformen Feldtheorie bzw. Tomonaga-Luttinger-Flussigkeitstheorie uberein. Zusatzlich ergeben sich exakte Ausdrucke fur die nicht-universellen Amplituden, die numerisch ausgewertet werden konnen. In der massiven Phase ergibt sich eine im Vergleich zum Vertex-Operator-Zugang aquivalente, jedoch strukturell deutlich einfachere Formfaktorentwicklung, wodurch erstmals Beitrage von vier und mehr Spinonen zu Korrelationsfunktionen berechnet werden konnen.
Diese Dissertation beschaftigt sich mit der Frage, inwiefern es moglich ist, Aussagen uber glo- bale Eigenschaften eines komplexen Vielteilchensystems im thermodynamischen Limes aus der Sicht einer lokalen Beschreibung seines aktuellen Zustandes zu treffen. Im Besonderen werden Tensornetzwerkdarstellungen von klassischen oder Quantenzustanden verwendet, um ein- oder zweidimensionale, stark korrelierte Vielteilchensysteme im Gleich- oder Ungleichgewicht zu untersuchen. Dabei wird der Fokus auf Matrixproduktzustande (MPS) gelegt, einer speziell fur eindimensionale Quantengitter geeignete Variante von Tensornetzwerken. Die lokalen Tensoren als Bausteine solch einer Beschreibung werden verwendet, um lokale Objekte oder Grosen zu konstruieren, anhand derer Aussagen uber generelle globale Eigenschaften des Systems getrof- fen werden konnen. Als gute Grundlage solcher Untersuchungen wird zunachst ein neuartiger und effizienter Algorithmus fur die Optimierung einer MPS-Grundzustandsnaherung fur stark korrelierte ein- dimensionale Spinketten im thermodynamischen Limes vorgestellt. Es wird gezeigt, dass dieser Algorithmus bestehende Methoden in puncto Geschwindigkeit und Genauigkeit der Ergebnisse bei weitem ubertrifft. Mit dieser Methode errechnete Grundzustandsnaherungen werden nun verwendet, um die aus den elementaren Tensoren konstruierte MPS-Transfermatrix zu untersuchen. Eine Betrach- tung ihres Eigenspektrums zeigt verbluffende Verbindungen zwischen statischen Korrelations- funktionen im Grundzustand und elementaren Anregungen eines Systems. Im Speziellen kon- nen die Impulse und die Grose der Minima in der Energiedispersion der elementaren Anre- gungen sehr genau uber die dominanten Eigenwerte der Transfermatrix bestimmt werden. Man kann daher Informationen uber angeregte Zustande eines Systems blos aus einer lokalen Dar- stellung des Grundzustandes gewinnen. Des weiteren wird gezeigt, dass sich die Existenz von symmetriebrechenden Phasenuber- gangen in einem bestimmten physikalischen System auf die Geometrie der konvexen Menge aller moglichen reduzierten Dichtematrizen in diesem System zuruckfuhren lasst. Nichtanalyti- zitaten auf der Oberflache solcher Mengen signalisieren das Auftreten von Symmetriebrechung und eines zugehorigen (lokalen) Ordnungsparameters. Die Frage, ob ein System Symmetriebre- chung zeigt, lasst sich daher uber eine Menge von lokalen Objekten (namlich den reduzierten Dichtematrizen) beantworten. Zu guter Letzt wird eine Variante des neu entwickelten Grundzustandsalgorithmus – ad- aptiert fur die Berechnung reeller Zeitentwicklung – dazu verwendet, um dynamische Phasen- ubergange in Spinketten mit langreichweitigen Wechselwirkungen im Rahmen eines globalen Quenches zu untersuchen. Solche Phasenubergange zeigen charakteristische Nichtanalytizita- ten in der Zeit in der Form von Zacken in der globalen Uberlagerung von zeitentwickeltem und Ausgangszustand. Es wird gezeigt, dass diese Zacken von Kreuzungen im Spektrum der ge- mischten Transfermatrix, welche aus den elementaren Tensoren einer MPS-Beschreibung bei- der Zustande besteht, herruhren. Es ist also wiederholt ein Attribut eines lokalen Objektes, das Zugang zu einer globalen Grose, namlich der Uberlappung zweier Quantenzustande, gewahrt.