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Ein neuer Zugang zum Sine-Gordon-Modell und Korrelationsfunktionen der massiven XXZ-Kette

Christian Trippe

Published Jan 22, 2018• 0 citations
OpenAlex

Abstract

In der vorliegenden Arbeit werden thermodynamische Eigenschaften und statische Korrelationsfunktionen eindimensionaler Quantensysteme, die in Beziehung zum Sechs-Vertex-Modell der Statistischen Mechanik stehen, untersucht. Im ersten Teil wird eine alternative, auf dem Sechs-Vertex-Modell beruhende Gitterregularisierung des Sine-Gordon- bzw. des dazu aquivalenten massiven Thirring-Modells entwickelt. Dieses Verfahren erlaubt es, Transfermatrizen sowohl mit reeller als auch mit imaginarer Zeit zu behandeln. Daraus ergibt sich ein alternativer Zugang zur Thermodynamik mit Hilfe der Quantentransfermatrix, der auch fur die Bestimmung von Korrelationsfunktionen bei endlichen Temperaturen geeignet ist. Fur das Gittermodell werden nichtlineare Integralgleichungen zur Berechnung der freien Energie hergeleitet. Im Kontinuumslimes gehen diese in die bekannten Gleichungen fur das Sine-Gordon-Modell uber. Des Weiteren wird fur das Gittermodell eine Vielfachintegraldarstellung fur eine erzeugende Funktion von Korrelationsfunktionen hergeleitet. Der Kontinuumslimes am Punkt freier Fermionen fuhrt auf eine Verallgemeinerung einer bekannten Fredholm-Determinanten-Darstellung auf endliche Temperaturen. Im zweiten Teil werden temperatur- und magnetfeldabhangige Korrelationsfunktionen der massiven XXZ-Kette bei kurzen Abstanden explizit berechnet. Die Rechnungen beruhen auf dem kurzlich entdeckten Phanomen der Faktorisierung der Korrelationsfunktionen der XXZ-Kette. Faktorisierung bedeutet, dass alle Korrelationsfunktionen polynomial von speziellen Ein- und Nachbar-Zweipunktfunktionen eines verallgemeinerten Modells abhangen. Fur letztere gab es im massiven Bereich des Phasendiagramms keine numerisch effiziente Formulierung. In der vorliegenden Arbeit werden die entsprechenden linearen und nichtlinearen Integralgleichungen hergeleitet und fur den gesamten massiven Bereich des Phasendiagramms numerisch ausgewertet. Im Grenzfall groser Anisotropie stellt sich der magnetfeldgetriebene Phasenubergang der klassischen Isingkette als Tripelpunkt des quantenmechanischen Systems dar. Die exponentiell hohe Entartung der Isingkette wird durch quantenmechanische Restwechselwirkungen aufgehoben. In der Arbeit wird die Umgebung des Tripelpunkts zum einen exakt, zum anderen mit Hilfe entarteter Storungsrechnung untersucht. Die Betrachtung des effektiven Hamiltonoperators aus der Storungsrechnung gestattet es, das Skalenverhalten in der Nahe des Tripelpunkts zu verstehen und damit die Integralgleichungen im Limes analytisch zu losen. Dies resultiert in expliziten Ergebnissen fur die Korrelationsfunktionen bei kurzen Abstanden in der Nahe des Tripelpunkts.

Related papers

Formfaktorzugang zu thermischen Korrelationsfunktionen der Heisenbergkette

Maxime Dugave

In der vorliegenden Arbeit werden die thermischen Korrelationsfunktionen der Heisenbergkette mit Hilfe des Formfaktorzugangs untersucht. Bei dieser Methode werden die Korrelatoren in ihrer Spektraldarstellung bezuglich der Eigenzustande der Quantentransfermatrix betrachtet. Die resultierende Formfaktorreihe ist eine Summe exponentiell zerfallender Terme und liefert somit in naturlicher Weise die Abstandsasymptotik der Korrelationsfunktionen bei endlicher Temperatur. Jeder Term ist charakterisiert durch eine Korrelationslange und eine Amplitude. Fur letztere werden zu Beginn der Arbeit neue, im Trotterlimes gultige analytische Ausdrucke angegeben. Diese Ergebnisse werden im weiteren Verlauf im Tieftemperaturlimes analysiert. In der masselosen Phase stimmt die Form der Asymptotik mit den Vorhersagen der konformen Feldtheorie bzw. Tomonaga-Luttinger-Flussigkeitstheorie uberein. Zusatzlich ergeben sich exakte Ausdrucke fur die nicht-universellen Amplituden, die numerisch ausgewertet werden konnen. In der massiven Phase ergibt sich eine im Vergleich zum Vertex-Operator-Zugang aquivalente, jedoch strukturell deutlich einfachere Formfaktorentwicklung, wodurch erstmals Beitrage von vier und mehr Spinonen zu Korrelationsfunktionen berechnet werden konnen.

•Jan 22, 2018•1 citation

Bestimmung und Faktorisierung von Korrelationsfunktionen der integrablen Spin-1 Heisenberg-Kette bei endlicher Temperatur

Dominic Nawrath

Das in der vorliegenden Arbeit behandelte Modell, die integrable anisotrope Spin-1XXZ-Kette im antiferromagnetischen Regime, lasst sich uber die Fusionsprozedur aus der trigonometrischen Losung des Sechs- Vertexmodells konstruieren (siehe (3.1.3), (3.1.9) und (2.0.2)). Fur die Spin-1-Kette lasst sich, basierend auf der Trotter-Suzuki-Abbildung, ein zweidimensionales klassisches Neunzehn-Vertexmodell finden, mit dem die thermodynamischen Eigenschaften des Systems uber die Quantentransfer-Matrix beschrieben werden konnen. Im thermodynamischen Limes lasst sich die Freie Energie lediglich durch den betragsmasig grosten Eigenwert dieser Transfer-Matrix und somit alle weiteren globalen thermodynamischen Eigenschaften angegeben. Die Bestimmung des Eigenwertes fur endliche Temperatur erfordert das (numerische) Losen eines nichtlinearen Integralgleichungs-Systems dreier Hilfsfunktionen (siehe (3.2.24) sowie (4.1.25) bis (4.1.29)). Um Aussagen uber lokale Eigenschaften treffen zu konnen, wird die (reduzierte) Dichte-Matrix benotigt, damit die Erwartungswerte eines lokal wirkenden Operators bestimmt werden konnen (siehe (2.6.6)). Ziel dieser Arbeit war es eine adaquate Beschreibung fur die Dichte-Matrixeintrage zu finden.

•Jan 22, 2018•0 citations

Die XXZ-Kette: Statische Korrelationen bei endlichen Temperaturen

Alexander Seel

Die Freie Energie der anisotropen Heisenberg-Kette kann im thermodynamischen Limes durch den fuhrenden Eigenwert einer Quantentransfermatrix dargestellt werden. Diese ist eine spezielle Darstellung der Yang-Baxter-Algebra zur R-Matrix der XXZ -Kette und ist mit dem algebraischen Bethe-Ansatz diagonalisierbar. Am Beispiel einer erzeugenden Funktion der zz-Korrelation soll gezeigt werden, dass der zugeordnete Eigenvektor zum fuhrenden Eigenwert alle statischen Korrelationen umfasst: Die Erzeugende wird durch Bildung von Skalarprodukten im Sinne des algebraischen Bethe-Ansatzes mit dem fuhrenden Eigenvektor bestimmt und in einer Vielfachintegraldarstellung angegeben. Die Ergebnisse sind gultig fur endliche Temperaturen und endliche, longitudinale Magnetfelder.

•Jan 26, 2006•1 citation

Transfer matrix approach to thermodynamics and dynamics of one-dimensional quantum systems

Jesko Sirker

In dieser Arbeit wird die Thermodynamik eindimensionaler Quantensysteme untersucht, indem das eindimensionale quantenmechanische Modell auf ein zweidimensionales klassisches System mittels einer Trotter-Suzuki Zerlegung abgebildet wird. Neben der häufig angewandten Schachbrettzerlegung wird eine neue Trotter-Suzuki Abbildung vorgestellt, die zu einem klassischen Modell mit alternierenden Reihen führt und die Definition einer einspaltigen Quantentransfermatrix erlaubt. Innerhalb des Transfermatrix-Zugangs kann der thermodynamische Limes exakt durchgeführt werden. Um die Transfermatrix insbesondere für tiefe Temperaturen zu untersuchen, wird eine Variante der Dichtematrix-Renormierungsgruppe, die sog. TMRG, verwendet. Mit dieser Methode wird das t-J Modell untersucht, wobei besonderer Wert auf die Berechnung von Korrelationslängen gelegt wird, um den Übergang vom Hochtemperaturbereich in den quantenkritischen Bereich zu studieren. Zusätzlich wird das reichhaltige Phasendiagramm untersucht. Die numerischen Resultate werden detailliert mit analytischen Ergebnissen aus konformer Feldtheorie verglichen. Ferner wird ein für das Übergangsmetalloxid YVO_3 relevantes Spin-Orbital Modell untersucht. Es wird eine Dimerisierung bei endlicher Temperatur gefunden, die durch den zugehörigen Entropiegewinn getrieben wird. Dieser Mechanismus scheint die bisher unverstandene Stabilität der C-Phase in YVO_3 zu erklären. Im letzten Teil wird eine neue Gitter-Pfadintegraldarstellung vorgestellt, die es erlaubt, dynamische Korrelationsfunktionen zu reellen Zeiten ohne analytische Fortsetzung zu berechnen. Erste Resultate für die Spin-Autokorrelationsfunktion des XXZ-Modells bei unendlicher Temperatur werden vorgestellt.

•Dec 6, 2002•4 citations

Anwendung von Funktionalintegralen auf Transport- und Relaxationsphänomene in dissipativen Quantensystemen

Gert‐Ludwig Ingold

Funktionalintegrale erfreuen sich in letzter Zeit großer Beliebtheit bei der Untersuchung dissipativer Quantensysteme, da es mit ihrer Hilfe möglich ist, auch den Bereich tiefer Temperaturen und starker Dämpfung zu erfassen. Nach der Elimination des Wärmebades, das für die Dissipation verantwortlich ist, erfolgt eine effektive Beschreibung des relevanten Freiheitsgrades mittels des Influenzfunktionals. In dieser Arbeit werden Anwendungen der Funktionalintegralmethode sowohl in Imaginärzeit als auch in Realzeit dargestellt. Zunächst wird das Imaginärzeitfunktionalintegral dazu benutzt, die Zerfallsrate eines metastabilen Zustands für Temperaturen zu berechnen, bei denen das thermische Hüpfen dominiert. Es werden die Quantenkorrekturen zum klassischen Arrhenius-Gesetz bestimmt und besonders die Rolle von frequenzabhängiger Dämpfung diskutiert. Anschließend werden aus Josephsonkontakten bestehende Netzwerke mit der Imaginärzeitmethode untersucht. Eine Variationsrechnung zeigt, dass Dissipation für den Phasenübergang zwischen lokaler und globaler Supraleitung verantwortlich sein kann. Dies ist für die Interpretation von Experimenten an granularen Supraleitern von Interesse. Die Beschreibung der Dynamik eines freien Brownschen Teilchens und eines Teilchens an einer parabolischen Barriere erfordert den Einsatz von Realzeitmethoden. Dabei wird die Verwendung faktorisierter Anfangszustände vermieden, um anfängliche Korrelationen zwischen System und Wärmebad zu berücksichtigen. Das freie Brownsche Teilchen zeigt in Abhängigkeit vom angekoppelten Wärmebad eine Vielfalt verschiedener Verhaltensweisen. Beispielsweise findet man anomale Diffusion, und unter bestimmten Bedingungen kann ein anfänglich lokalisierter Zustand für alle Zeiten lokalisiert bleiben. Zum Transport über eine parabolische Barriere wird eine quantenmechanische Theorie vorgestellt, die sich als Verallgemeinerung der klassischen Kramers-Theorie verstehen lässt. Damit kann man, im Rahmen des Gültigkeitsbereichs dieser Theorie, das Resultat für die Zerfallsrate aus der Imaginärzeitrechnung bestätigen.

•Jan 1, 1988•1 citation

Geometrieabhängigkeit fluktuationsinduzierter Wechselwirkungen

Oppenberg Hendrik

In dieser Arbeit werden zwei Arten von Systemen und deren Verbindung untersucht: Zum einen das zweidimensionale Isingmodell auf dem Zylinder mit unterschiedlichen Randbedingungen, insbesondere die Abhängigkeit des Skalenverhaltens unter Variation des Seitenverhältnisses und der Temperatur, zum anderen kolloidale Suspensionen, welche mittels kritischen Casimir-Kräften wechselwirken. Die am kritischen Punkt gültige konforme Invarianz des Isingmodells wird im ersten Teil diskutiert. Da diese genutzt werden kann, um den kritischen Zylinder auf ein System von zwei Teilchen in einem unendlichen Medium abzubilden, werden Methoden diskutiert, den Zylinder auch auf andere Geometrien abzubilden, die mathematisch zweifach-zusammenhängende Gebiete bilden. Darauf aufbauend wird eine Approximation für Dreiteilchen-Wechselwirkungen entwickelt und diese mit Monte-Carlo-Simulationen verglichen. Um endliche Systeme mit unterschiedlichen Randbedingungen zu untersuchen, wird im zweiten Teil die von Kasteleyn und Fisher entwickelte Abbildung zwischen einem System von dicht-gepackten Dimeren und der Hochtemperaturreihe des zweidimensionalen Isingmodells diskutiert. Diese wird auf beliebige Kopplungsverteilungen erweitert, sodass Oberflächen in das System eingebracht werden können. Anschlie- ßend werden zwei Möglichkeiten präsentiert, die Anzahl an Freiheitsgraden systematisch und sukzessiv zu verringern. Bei der ersten Methode wird die aus der Kasteleyn-Fisher-Abbildung stammende Matrix mithil- fe von zwei direkt aufeinander folgenden Schur-Reduktionen in eine schiefsymmetrische und tridiagonale Blockform gebracht. Die Determinante der resultierenden Matrix wird mit der Transfermatrixmethode von Molinari berechnet, wofür im letzten Schritt die Eigenwerte und -vektoren dieser Transfermatrix bestimmt werden müssen. Die zweite Methode führt unter der Annahme von Translationsinvarianz eine Blockdiagonalisierung zur Berechnung der auftretenden Determinanten durch, wodurch sich das restliche Problem mithilfe einer 2 × 2-Transfermatrix lösen lässt. Um die temperaturabhängigen Skalenfunktionen für endliche Seitenverhältnisse zu bestimmen, wird eine anisotrope Skalentheorie für das zweidimensionale Isingmodell entwickelt. Die auftretenden divergenten Summen werden über komplexe Kurvenintegrale und mithilfe einer hyperbolischen Parametrisierung, sowie weiteren Methoden, die hauptsächlich auf der komplexen Funktionentheorie beruhen, regularisiert. Die Skalenfunktionen für den Torus mit allen vier Kombinationen von periodischen und antiperiodischen Randbedingungen bilden den Anfang der Berechnungen, und auf ihnen aufbauend werden anschließend die Skalenfunktionen für den offenen Zylinder mit sowohl periodischen als auch antiperiodischen Rändern, sowie die zugehörigen Oberflächenspannungen bestimmt. Abgeschlossen wird dieser letzte Teil mit der Einführung von Oberflächenfeldern, mit deren Hilfe die Skalenfunktionen für (++)-, (+−)-, und Brascamp-Kunz-Randbedingungen bestimmt werden.

•Aug 11, 2020•0 citations
In der vorliegenden Arbeit werden thermodynamische Eigenschaften
und statische Korrelationsfunktionen eindimensionaler Quantensysteme,
die in Beziehung zum Sechs-Vertex-Modell der Statistischen Mechanik
stehen, untersucht.
Im ersten Teil wird eine alternative, auf dem Sechs-Vertex-Modell
beruhende Gitterregularisierung des Sine-Gordon- bzw. des dazu
aquivalenten massiven Thirring-Modells entwickelt. Dieses Verfahren erlaubt
es, Transfermatrizen sowohl mit reeller als auch mit imaginarer Zeit zu
behandeln. Daraus ergibt sich ein alternativer Zugang zur Thermodynamik
mit Hilfe der Quantentransfermatrix, der auch fur die Bestimmung
von Korrelationsfunktionen bei endlichen Temperaturen geeignet ist. Fur
das Gittermodell werden nichtlineare Integralgleichungen zur Berechnung
der freien Energie hergeleitet. Im Kontinuumslimes gehen diese in die
bekannten Gleichungen fur das Sine-Gordon-Modell uber. Des Weiteren wird
fur das Gittermodell eine Vielfachintegraldarstellung fur eine erzeugende
Funktion von Korrelationsfunktionen hergeleitet. Der Kontinuumslimes am
Punkt freier Fermionen fuhrt auf eine Verallgemeinerung einer bekannten
Fredholm-Determinanten-Darstellung auf endliche Temperaturen.
Im zweiten Teil werden temperatur- und magnetfeldabhangige
Korrelationsfunktionen der massiven XXZ-Kette bei kurzen Abstanden
explizit berechnet. Die Rechnungen beruhen auf dem kurzlich entdeckten
Phanomen der Faktorisierung der Korrelationsfunktionen der XXZ-Kette.
Faktorisierung bedeutet, dass alle Korrelationsfunktionen polynomial
von speziellen Ein- und Nachbar-Zweipunktfunktionen eines verallgemeinerten
Modells abhangen. Fur letztere gab es im massiven Bereich des
Phasendiagramms keine numerisch effiziente Formulierung. In der vorliegenden
Arbeit werden die entsprechenden linearen und nichtlinearen
Integralgleichungen hergeleitet und fur den gesamten massiven Bereich
des Phasendiagramms numerisch ausgewertet. Im Grenzfall groser Anisotropie
stellt sich der magnetfeldgetriebene Phasenubergang der klassischen
Isingkette als Tripelpunkt des quantenmechanischen Systems dar. Die
exponentiell hohe Entartung der Isingkette wird durch quantenmechanische
Restwechselwirkungen aufgehoben. In der Arbeit wird die Umgebung des
Tripelpunkts zum einen exakt, zum anderen mit Hilfe entarteter
Storungsrechnung untersucht. Die Betrachtung des effektiven
Hamiltonoperators aus der Storungsrechnung gestattet es, das
Skalenverhalten in der Nahe des Tripelpunkts zu verstehen und damit die
Integralgleichungen im Limes analytisch zu losen. Dies resultiert in
expliziten Ergebnissen fur die Korrelationsfunktionen bei kurzen
Abstanden in der Nahe des Tripelpunkts.
In der vorliegenden Arbeit werden die thermischen Korrelationsfunktionen der Heisenbergkette mit Hilfe des Formfaktorzugangs untersucht. Bei dieser Methode werden die Korrelatoren in ihrer Spektraldarstellung bezuglich der Eigenzustande der Quantentransfermatrix betrachtet. Die resultierende Formfaktorreihe ist eine Summe exponentiell zerfallender Terme und liefert somit in naturlicher Weise die Abstandsasymptotik der Korrelationsfunktionen bei endlicher Temperatur. Jeder Term ist charakterisiert durch eine Korrelationslange und eine Amplitude. Fur letztere werden zu Beginn der Arbeit neue, im Trotterlimes gultige analytische Ausdrucke angegeben. Diese Ergebnisse werden im weiteren Verlauf im Tieftemperaturlimes analysiert. In der masselosen Phase stimmt die Form der Asymptotik mit den Vorhersagen der konformen Feldtheorie bzw. Tomonaga-Luttinger-Flussigkeitstheorie uberein. Zusatzlich ergeben sich exakte Ausdrucke fur die nicht-universellen Amplituden, die numerisch ausgewertet werden konnen. In der massiven Phase ergibt sich eine im Vergleich zum Vertex-Operator-Zugang aquivalente, jedoch strukturell deutlich einfachere Formfaktorentwicklung, wodurch erstmals Beitrage von vier und mehr Spinonen zu Korrelationsfunktionen berechnet werden konnen.
Das in der vorliegenden Arbeit behandelte Modell, die integrable anisotrope Spin-1XXZ-Kette im antiferromagnetischen Regime, lasst sich uber die Fusionsprozedur aus der trigonometrischen Losung des Sechs- Vertexmodells konstruieren (siehe (3.1.3), (3.1.9) und (2.0.2)). Fur die Spin-1-Kette lasst sich, basierend auf der Trotter-Suzuki-Abbildung, ein zweidimensionales klassisches Neunzehn-Vertexmodell finden, mit dem die thermodynamischen Eigenschaften des Systems uber die Quantentransfer-Matrix beschrieben werden konnen. Im thermodynamischen Limes lasst sich die Freie Energie lediglich durch den betragsmasig grosten Eigenwert dieser Transfer-Matrix und somit alle weiteren globalen thermodynamischen Eigenschaften angegeben. Die Bestimmung des Eigenwertes fur endliche Temperatur erfordert das (numerische) Losen eines nichtlinearen Integralgleichungs-Systems dreier Hilfsfunktionen (siehe (3.2.24) sowie (4.1.25) bis (4.1.29)). Um Aussagen uber lokale Eigenschaften treffen zu konnen, wird die (reduzierte) Dichte-Matrix benotigt, damit die Erwartungswerte eines lokal wirkenden Operators bestimmt werden konnen (siehe (2.6.6)). Ziel dieser Arbeit war es eine adaquate Beschreibung fur die Dichte-Matrixeintrage zu finden.
Die Freie Energie der anisotropen Heisenberg-Kette kann im thermodynamischen Limes durch den fuhrenden Eigenwert einer Quantentransfermatrix dargestellt werden. Diese ist eine spezielle Darstellung der Yang-Baxter-Algebra zur R-Matrix der XXZ -Kette und ist mit dem algebraischen Bethe-Ansatz diagonalisierbar. Am Beispiel einer erzeugenden Funktion der zz-Korrelation soll gezeigt werden, dass der zugeordnete Eigenvektor zum fuhrenden Eigenwert alle statischen Korrelationen umfasst: Die Erzeugende wird durch Bildung von Skalarprodukten im Sinne des algebraischen Bethe-Ansatzes mit dem fuhrenden Eigenvektor bestimmt und in einer Vielfachintegraldarstellung angegeben. Die Ergebnisse sind gultig fur endliche Temperaturen und endliche, longitudinale Magnetfelder.
In dieser Arbeit wird die Thermodynamik eindimensionaler Quantensysteme untersucht, indem das eindimensionale quantenmechanische Modell auf ein zweidimensionales klassisches System mittels einer Trotter-Suzuki Zerlegung abgebildet wird. Neben der häufig angewandten Schachbrettzerlegung wird eine neue Trotter-Suzuki Abbildung vorgestellt, die zu einem klassischen Modell mit alternierenden Reihen führt und die Definition einer einspaltigen Quantentransfermatrix erlaubt. Innerhalb des Transfermatrix-Zugangs kann der thermodynamische Limes exakt durchgeführt werden. Um die Transfermatrix insbesondere für tiefe Temperaturen zu untersuchen, wird eine Variante der Dichtematrix-Renormierungsgruppe, die sog. TMRG, verwendet. Mit dieser Methode wird das t-J Modell untersucht, wobei besonderer Wert auf die Berechnung von Korrelationslängen gelegt wird, um den Übergang vom Hochtemperaturbereich in den quantenkritischen Bereich zu studieren. Zusätzlich wird das reichhaltige Phasendiagramm untersucht. Die numerischen Resultate werden detailliert mit analytischen Ergebnissen aus konformer Feldtheorie verglichen. Ferner wird ein für das Übergangsmetalloxid YVO_3 relevantes Spin-Orbital Modell untersucht. Es wird eine Dimerisierung bei endlicher Temperatur gefunden, die durch den zugehörigen Entropiegewinn getrieben wird. Dieser Mechanismus scheint die bisher unverstandene Stabilität der C-Phase in YVO_3 zu erklären. Im letzten Teil wird eine neue Gitter-Pfadintegraldarstellung vorgestellt, die es erlaubt, dynamische Korrelationsfunktionen zu reellen Zeiten ohne analytische Fortsetzung zu berechnen. Erste Resultate für die Spin-Autokorrelationsfunktion des XXZ-Modells bei unendlicher Temperatur werden vorgestellt.
Funktionalintegrale erfreuen sich in letzter Zeit großer Beliebtheit bei der Untersuchung dissipativer Quantensysteme, da es mit ihrer Hilfe möglich ist, auch den Bereich tiefer Temperaturen und starker Dämpfung zu erfassen. Nach der Elimination des Wärmebades, das für die Dissipation verantwortlich ist, erfolgt eine effektive Beschreibung des relevanten Freiheitsgrades mittels des Influenzfunktionals. In dieser Arbeit werden Anwendungen der Funktionalintegralmethode sowohl in Imaginärzeit als auch in Realzeit dargestellt. Zunächst wird das Imaginärzeitfunktionalintegral dazu benutzt, die Zerfallsrate eines metastabilen Zustands für Temperaturen zu berechnen, bei denen das thermische Hüpfen dominiert. Es werden die Quantenkorrekturen zum klassischen Arrhenius-Gesetz bestimmt und besonders die Rolle von frequenzabhängiger Dämpfung diskutiert. Anschließend werden aus Josephsonkontakten bestehende Netzwerke mit der Imaginärzeitmethode untersucht. Eine Variationsrechnung zeigt, dass Dissipation für den Phasenübergang zwischen lokaler und globaler Supraleitung verantwortlich sein kann. Dies ist für die Interpretation von Experimenten an granularen Supraleitern von Interesse. Die Beschreibung der Dynamik eines freien Brownschen Teilchens und eines Teilchens an einer parabolischen Barriere erfordert den Einsatz von Realzeitmethoden. Dabei wird die Verwendung faktorisierter Anfangszustände vermieden, um anfängliche Korrelationen zwischen System und Wärmebad zu berücksichtigen. Das freie Brownsche Teilchen zeigt in Abhängigkeit vom angekoppelten Wärmebad eine Vielfalt verschiedener Verhaltensweisen. Beispielsweise findet man anomale Diffusion, und unter bestimmten Bedingungen kann ein anfänglich lokalisierter Zustand für alle Zeiten lokalisiert bleiben. Zum Transport über eine parabolische Barriere wird eine quantenmechanische Theorie vorgestellt, die sich als Verallgemeinerung der klassischen Kramers-Theorie verstehen lässt. Damit kann man, im Rahmen des Gültigkeitsbereichs dieser Theorie, das Resultat für die Zerfallsrate aus der Imaginärzeitrechnung bestätigen.
In dieser Arbeit werden zwei Arten von Systemen und deren Verbindung untersucht: Zum einen das zweidimensionale Isingmodell auf dem Zylinder mit unterschiedlichen Randbedingungen, insbesondere die Abhängigkeit des Skalenverhaltens unter Variation des Seitenverhältnisses und der Temperatur, zum anderen kolloidale Suspensionen, welche mittels kritischen Casimir-Kräften wechselwirken. Die am kritischen Punkt gültige konforme Invarianz des Isingmodells wird im ersten Teil diskutiert. Da diese genutzt werden kann, um den kritischen Zylinder auf ein System von zwei Teilchen in einem unendlichen Medium abzubilden, werden Methoden diskutiert, den Zylinder auch auf andere Geometrien abzubilden, die mathematisch zweifach-zusammenhängende Gebiete bilden. Darauf aufbauend wird eine Approximation für Dreiteilchen-Wechselwirkungen entwickelt und diese mit Monte-Carlo-Simulationen verglichen. Um endliche Systeme mit unterschiedlichen Randbedingungen zu untersuchen, wird im zweiten Teil die von Kasteleyn und Fisher entwickelte Abbildung zwischen einem System von dicht-gepackten Dimeren und der Hochtemperaturreihe des zweidimensionalen Isingmodells diskutiert. Diese wird auf beliebige Kopplungsverteilungen erweitert, sodass Oberflächen in das System eingebracht werden können. Anschlie- ßend werden zwei Möglichkeiten präsentiert, die Anzahl an Freiheitsgraden systematisch und sukzessiv zu verringern. Bei der ersten Methode wird die aus der Kasteleyn-Fisher-Abbildung stammende Matrix mithil- fe von zwei direkt aufeinander folgenden Schur-Reduktionen in eine schiefsymmetrische und tridiagonale Blockform gebracht. Die Determinante der resultierenden Matrix wird mit der Transfermatrixmethode von Molinari berechnet, wofür im letzten Schritt die Eigenwerte und -vektoren dieser Transfermatrix bestimmt werden müssen. Die zweite Methode führt unter der Annahme von Translationsinvarianz eine Blockdiagonalisierung zur Berechnung der auftretenden Determinanten durch, wodurch sich das restliche Problem mithilfe einer 2 × 2-Transfermatrix lösen lässt. Um die temperaturabhängigen Skalenfunktionen für endliche Seitenverhältnisse zu bestimmen, wird eine anisotrope Skalentheorie für das zweidimensionale Isingmodell entwickelt. Die auftretenden divergenten Summen werden über komplexe Kurvenintegrale und mithilfe einer hyperbolischen Parametrisierung, sowie weiteren Methoden, die hauptsächlich auf der komplexen Funktionentheorie beruhen, regularisiert. Die Skalenfunktionen für den Torus mit allen vier Kombinationen von periodischen und antiperiodischen Randbedingungen bilden den Anfang der Berechnungen, und auf ihnen aufbauend werden anschließend die Skalenfunktionen für den offenen Zylinder mit sowohl periodischen als auch antiperiodischen Rändern, sowie die zugehörigen Oberflächenspannungen bestimmt. Abgeschlossen wird dieser letzte Teil mit der Einführung von Oberflächenfeldern, mit deren Hilfe die Skalenfunktionen für (++)-, (+−)-, und Brascamp-Kunz-Randbedingungen bestimmt werden.