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Transfer matrix approach to thermodynamics and dynamics of one-dimensional quantum systems

Jesko Sirker

Published Dec 6, 2002• 4 citations
Publisher

Abstract

In dieser Arbeit wird die Thermodynamik eindimensionaler Quantensysteme untersucht, indem das eindimensionale quantenmechanische Modell auf ein zweidimensionales klassisches System mittels einer Trotter-Suzuki Zerlegung abgebildet wird. Neben der häufig angewandten Schachbrettzerlegung wird eine neue Trotter-Suzuki Abbildung vorgestellt, die zu einem klassischen Modell mit alternierenden Reihen führt und die Definition einer einspaltigen Quantentransfermatrix erlaubt. Innerhalb des Transfermatrix-Zugangs kann der thermodynamische Limes exakt durchgeführt werden. Um die Transfermatrix insbesondere für tiefe Temperaturen zu untersuchen, wird eine Variante der Dichtematrix-Renormierungsgruppe, die sog. TMRG, verwendet. Mit dieser Methode wird das t-J Modell untersucht, wobei besonderer Wert auf die Berechnung von Korrelationslängen gelegt wird, um den Übergang vom Hochtemperaturbereich in den quantenkritischen Bereich zu studieren. Zusätzlich wird das reichhaltige Phasendiagramm untersucht. Die numerischen Resultate werden detailliert mit analytischen Ergebnissen aus konformer Feldtheorie verglichen. Ferner wird ein für das Übergangsmetalloxid YVO_3 relevantes Spin-Orbital Modell untersucht. Es wird eine Dimerisierung bei endlicher Temperatur gefunden, die durch den zugehörigen Entropiegewinn getrieben wird. Dieser Mechanismus scheint die bisher unverstandene Stabilität der C-Phase in YVO_3 zu erklären. Im letzten Teil wird eine neue Gitter-Pfadintegraldarstellung vorgestellt, die es erlaubt, dynamische Korrelationsfunktionen zu reellen Zeiten ohne analytische Fortsetzung zu berechnen. Erste Resultate für die Spin-Autokorrelationsfunktion des XXZ-Modells bei unendlicher Temperatur werden vorgestellt.

DOI
10.17877/de290r-14806

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Spin Ladder Models with Cyclic Exchange: A Finite Temperature DMRG Study

Erik Bartel

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit den thermodynamischen Eigenschaften von Spinleitern. Spinleitern bestehen aus zwei über Sprossenverbindungen miteinander wechselwirkenden Spinketten, die als topologische Struktur in komplexen Übergangsmetallverbindungen auftreten und die relevante Tieftemperaturphysik bestimmen. Die Tatsache, dass für eindimensionale Systeme eine ganze Reihe hochentwickelter analytischer und numerischer Methoden zur Verfügung stehen, macht Spinleitern zu einem attraktiven Forschungsgebiet im Bereich stark korrelierter Elektronensysteme. In jüngerer Zeit wurde entdeckt, dass zahlreiche experimentell realisierte Substanzen nur verlässlich durch die Einbeziehung eines zyklischen Vier-Spin-Wechselwirkungsterms (Ringaustausch) theoretisch modelliert werden können. In der vorliegenden Arbeit wurden thermodynamische Größen für Spinleitern mit beliebigem Ringaustausch numerisch mit Hilfe der Transfermatrix-Dichtematrix-Renormierungsgruppe (TMRG) berechnet. In der TMRG-Methode wird ein eindimensionales Quantensystem mit kurzreichweitiger Wechselwirkung auf ein zweidimensionales klassisches Gittermodell abgebildet. Die freie Energie des zugrundeliegenden Systems wird durch den höchsten Eigenwert einer geeigneten Transfermatrix codiert, welche durch eine iterative Prozedur vergrößert wird. Unwichtige Freiheitsgrade werden dabei durch Dichtematrixprojektion verworfen. Eine Weiterentwicklung der TMRG-Methode wird in dieser Arbeit vorgestellt, die die Idee der so genannten Corner-Transfermatrix-Methode für die zweidimensionale Trotterzerlegung anwendet. In dieser Methode fehlt die zeitaufwändige Berechnung von Eigenwerten großer Systeme. Im Prinzip ist daher ein hoher Geschwindigkeitsvorteil gegenüber der TMRG in der Berechnung von thermischen Eigenschaften von eindimensionalen Quantensystemen zu erwarten. Testberechnungen am klassischen Ising-Modell und am Heisenbergmodell zeigen jedoch zwei bis lang ungelöste inhärente Schwierigkeiten, die mit der Struktur der zweidimensionalen Trotterzerlegung zusammenhängen. Im Rahmen der vorliegenden Arbeit ist ein TMRG-Programm entstanden, das sowohl die Methoden der objektorientierten Programmierung als auch hohe numerische Effizienz in den relevanten Routinen umsetzt. Verläßliche numerische Daten konnten so bis in einen Temperaturbereich von 0,02 in Einheiten der Kopplungskonstanten mit hoher Genauigkeit erzielt werden. Mit dieser Methode wurden spezifische Wärmekapazität, verallgemeinerte Suszeptibilitäten und thermische Erwartungwerte berechnet. Wir fanden damit eine Reihe von Hinweisen, welche das reichhaltige Phasenverhalten des vorhergesagten Phasendiagramms für verschwindende Temperatur bestätigen. In der Nähe eines Quantenphasenübergangs erster Ordnung sahen wir bei endlichen Temperaturen die Karikatur eines Phasenübergangs, das heißt ein scharfes Tieftemperaturmaximum in der spezifischen Wärme, dessen Position über ein Potenzgesetz vom Abstand zum Punkt des Phasenübergangs abhängt. Darüberhinaus ermittelten wir in den Phasen mit gebrochener diskreter Symmetrie eine charakteristische Struktur mit zwei Maxima in der spezifischen Wärme. Die gebrochenen Symmetrien konnten wir als Divergenzen in entsprechenden verallgemeinerten Suszeptibilitäten klar erkennen.

•Jan 1, 2005•0 citations

Finite temperature dynamics of one-dimensional quantum magnets

C. Luckmann

In der vorliegenden Arbeit wird die Dynamik ein-bzw.quasi-eindimensionaler, antiferromagnetischer S = ½ Quantenspinsysteme über einen großen Bereich von Frequenzen, externen Magnetfeldern und insbesondere endlichen Temperaturen untersucht.Die dynamischen Strukturfaktoren werden durch numerische Berechnung von Spinoperator-Matrixelementen basierend auf allen Eigenenergien und Eigenfunktionen, die durch vollständige, exakte Diagonalisierung gewonnen werden, bestimmt.Der erste Teil dieser Arbeit untersucht die Dynamik der alternierenden, antiferromagnetischen Heisenberg-Kette anhand von spezifischer Wärme und dynamischen Strukturfaktoren für Ketten mit bis zu  Spins.Die Auswertung der Ergebnisse erfolgt unter Anlehnung an die analytischen Ergebnisse des Grenzfalls der nicht wechselwirkenden Dimer, was bis zu einem Verhältnis λ 0.3 der Kopplungsstärken qualitativ gültig ist.Den Betrachtungen der spezifischen Wärme und des integrierten Strukturfaktors folgt die Analyse des Verhalten des zentralen, des Ein-und des Zweimagnonen-Peaks des longitudinalen und transversalen Strukturfaktors in Abhängigkeit von Impulsübertrag, Temperatur und Magnetfeld.Der zweite Teil untersucht die rautenförmige Kette (engl.: distorted diamond chain), eine Variante der antiferromagnetischen Heiseberg-Kette mit übernächster-Nachbar-Wechselwirkung mit bis zu  Spins.Die Auswertung stützt sich dabei auf die elementaren Blöcke Dimer und Tetramer und behandelt sowohl die spin-flüssigen Phase als auch die Tetramer-Dimer Phase.Die spin-flüssige Phase wird durch eine niederenergetische, effektive antiferromagnetische Heisenberg-Kette und hochenergetischen Dimeranregungen charakterisiert, die durch ein Magnetisierungsplateau bei 1 /3 charakterisiert wird.Die Tetramer-Dimer Phase besitzt einen zweifach (3N gerade) bzw.N /3-fach (3N ungerade) entarteten Grundzustand und weist Solitonen als elementare Anregungen auf.Das Verhalten wird auf zwei Pfaden im Phasendiagramm, die den Kosterlitz-ouless Phasenübergang überqueren, anhand der spezifischen Wärme untersucht.

•Jan 1, 2008•1 citation

Tensor networks in strongly correlated matter

Valentin Stauber

Diese Dissertation beschaftigt sich mit der Frage, inwiefern es moglich ist, Aussagen uber glo- bale Eigenschaften eines komplexen Vielteilchensystems im thermodynamischen Limes aus der Sicht einer lokalen Beschreibung seines aktuellen Zustandes zu treffen. Im Besonderen werden Tensornetzwerkdarstellungen von klassischen oder Quantenzustanden verwendet, um ein- oder zweidimensionale, stark korrelierte Vielteilchensysteme im Gleich- oder Ungleichgewicht zu untersuchen. Dabei wird der Fokus auf Matrixproduktzustande (MPS) gelegt, einer speziell fur eindimensionale Quantengitter geeignete Variante von Tensornetzwerken. Die lokalen Tensoren als Bausteine solch einer Beschreibung werden verwendet, um lokale Objekte oder Grosen zu konstruieren, anhand derer Aussagen uber generelle globale Eigenschaften des Systems getrof- fen werden konnen. Als gute Grundlage solcher Untersuchungen wird zunachst ein neuartiger und effizienter Algorithmus fur die Optimierung einer MPS-Grundzustandsnaherung fur stark korrelierte ein- dimensionale Spinketten im thermodynamischen Limes vorgestellt. Es wird gezeigt, dass dieser Algorithmus bestehende Methoden in puncto Geschwindigkeit und Genauigkeit der Ergebnisse bei weitem ubertrifft. Mit dieser Methode errechnete Grundzustandsnaherungen werden nun verwendet, um die aus den elementaren Tensoren konstruierte MPS-Transfermatrix zu untersuchen. Eine Betrach- tung ihres Eigenspektrums zeigt verbluffende Verbindungen zwischen statischen Korrelations- funktionen im Grundzustand und elementaren Anregungen eines Systems. Im Speziellen kon- nen die Impulse und die Grose der Minima in der Energiedispersion der elementaren Anre- gungen sehr genau uber die dominanten Eigenwerte der Transfermatrix bestimmt werden. Man kann daher Informationen uber angeregte Zustande eines Systems blos aus einer lokalen Dar- stellung des Grundzustandes gewinnen. Des weiteren wird gezeigt, dass sich die Existenz von symmetriebrechenden Phasenuber- gangen in einem bestimmten physikalischen System auf die Geometrie der konvexen Menge aller moglichen reduzierten Dichtematrizen in diesem System zuruckfuhren lasst. Nichtanalyti- zitaten auf der Oberflache solcher Mengen signalisieren das Auftreten von Symmetriebrechung und eines zugehorigen (lokalen) Ordnungsparameters. Die Frage, ob ein System Symmetriebre- chung zeigt, lasst sich daher uber eine Menge von lokalen Objekten (namlich den reduzierten Dichtematrizen) beantworten. Zu guter Letzt wird eine Variante des neu entwickelten Grundzustandsalgorithmus – ad- aptiert fur die Berechnung reeller Zeitentwicklung – dazu verwendet, um dynamische Phasen- ubergange in Spinketten mit langreichweitigen Wechselwirkungen im Rahmen eines globalen Quenches zu untersuchen. Solche Phasenubergange zeigen charakteristische Nichtanalytizita- ten in der Zeit in der Form von Zacken in der globalen Uberlagerung von zeitentwickeltem und Ausgangszustand. Es wird gezeigt, dass diese Zacken von Kreuzungen im Spektrum der ge- mischten Transfermatrix, welche aus den elementaren Tensoren einer MPS-Beschreibung bei- der Zustande besteht, herruhren. Es ist also wiederholt ein Attribut eines lokalen Objektes, das Zugang zu einer globalen Grose, namlich der Uberlappung zweier Quantenzustande, gewahrt.

•Jan 1, 2017•0 citations

Ising-Modell

Wolfgang Nolting

Vom Ising-Modell, das man als eine gewisse Spezialisierung des allgemeinen Heisenberg-Modells auffassen kann, wird zunächst eine Ubersicht über den recht weiten Anwendungsbereich dieses Modells und über seine Lösungsmöglichkeiten gegeben. Das große Interesse, das diesem Modell entgegengebracht wird, beruht letztlich darauf, daß es das einzige realistische Vielteilchenmodell ist, das einen Phasenübergang zeigt und mit mathematischer Strenge gelöst werden kann. Wir berechnen die Zustandssumme des eindimensionalen Ising-Modells ohne äußeres Feld und zeigen, daß die spontane Magnetisierung nur für T = 0 von Null verschieden ist. Die Zustandssumme für den Fall, daß sich das System in einem äußeren Magnetfeld befindet, wird nach der Transfer-Matrix-Methode berechnet. Aus ihr werden einige wichtige thermodynamische Größen wie die freie Enthalpie, die temperaturund feldabhängige Magnetisierung, die isotherme magnetische Suszeptibilität, die Entropie und die spezifische Wärme abgeleitet und diskutiert. Im Gegensatz zum eindimensionalen vollzieht das zweidimensionale Ising-Modell einen Phasenübergang zwischen paramagnetischer und ferromagnetischer Spinordnung bei einer endlichen Temperatur Tc. Die Existenz einer spontanen Mag-netisierung wird zunächst mit Hilfe des sog. „Peierls-Arguments“ bewiesen. Der Beweis gelingt auf der Basis von Abschätzungen mit einem Minimalaufwand an Mathematik. Die exakte Berechnung der freien Energie (ohne Feld) führt zu einem konkreten Resultat für die Übergangstemperatur Tc. Der Phasenübergang manifestiert sich in einer logarithmischen Singularität der spezifischen Wärme.

Teubner-Studienbücher. Physik•Jan 1, 1986•0 citations

Nonlinear Integral Equations for the Thermodynamics of Integrable Quantum Chains

Jens Damerau

Die vorliegende Arbeit beschaftigt sich mit der Berechnung der Thermodynamik integrabler Quantenketten vom Uimin-Sutherland-Typ mit Hilfe nichtlinearer Integralgleichungen (NLIEs). Es gibt verschiedene Typen derartiger Gleichungen, jedoch erlaubt nur ein Typ die effiziente und hochprazise numerische Losung bei beliebiger Temperatur und allgemeinen chemischen Potentialen. Die Herleitung basiert auf dem Quanten-Transfermatrix-Zugang, wobei die sich ergebenden Bethe-Ansatz-Gleichungen in einen geschlossenen Satz von lediglich endlich vielen NLIEs transformiert werden. Um dies zu erreichen, mussen geeignete Hilfsfunktionen mit bestimmten Analytizitatseigenschaften gefunden werden. Die notwendigen Hilfsfunktionen waren zuvor lediglich fur Uimin-Sutherland-Modelle mit zwei bzw. drei Komponenten bekannt. In der vorliegenden Arbeit wird der Zugang auf alle moglichen Falle mit vier Komponenten erweitert, fur die viele weitere Anwendungen, wie z.B. das SU(4) Spin-Orbital-Modell, eine Spin-1/2 Doppelleiter und das Essler-Korepin-Schoutens Modell, bekannt sind. Verschiedene Grenzfalle der neuen Satze von NLIEs werden betrachtet. Weiterhin wird gezeigt, wie die Hilfsfunktionen zu modifizieren sind, um den exakten Abschlus der NLIEs des TBA-Zugangs auf beliebiger Ebene zu erreichen. Obwohl kein allgemeines Konstruktionsschema fur die Hilfsfunktionen bekannt ist, kann ein Grosteil der Struktur der endgultigen NLIEs fur die sl(n)- und sl(n|1)-symmetrischen Falle des Uimin-Sutherland-Modells auf Basis der bekannten Ergebnisse abgeleitet werden. Fur den sl(5)- und den sl(4|1)-symmetrischen Fall ist es sogar moglich, fur den kompletten Satz von NLIEs eine fundierte Vermutung abzugeben. Letzterer Fall findet bei der Behandlung des SU(4|1) Spin-Orbital-Modells mit beweglichen Lochern Anwendung. Abschliesend werden numerische Ergebnisse fur alle betrachteten Modelle geliefert.

•Jul 8, 2008•4 citations

Bestimmung und Faktorisierung von Korrelationsfunktionen der integrablen Spin-1 Heisenberg-Kette bei endlicher Temperatur

Dominic Nawrath

Das in der vorliegenden Arbeit behandelte Modell, die integrable anisotrope Spin-1XXZ-Kette im antiferromagnetischen Regime, lasst sich uber die Fusionsprozedur aus der trigonometrischen Losung des Sechs- Vertexmodells konstruieren (siehe (3.1.3), (3.1.9) und (2.0.2)). Fur die Spin-1-Kette lasst sich, basierend auf der Trotter-Suzuki-Abbildung, ein zweidimensionales klassisches Neunzehn-Vertexmodell finden, mit dem die thermodynamischen Eigenschaften des Systems uber die Quantentransfer-Matrix beschrieben werden konnen. Im thermodynamischen Limes lasst sich die Freie Energie lediglich durch den betragsmasig grosten Eigenwert dieser Transfer-Matrix und somit alle weiteren globalen thermodynamischen Eigenschaften angegeben. Die Bestimmung des Eigenwertes fur endliche Temperatur erfordert das (numerische) Losen eines nichtlinearen Integralgleichungs-Systems dreier Hilfsfunktionen (siehe (3.2.24) sowie (4.1.25) bis (4.1.29)). Um Aussagen uber lokale Eigenschaften treffen zu konnen, wird die (reduzierte) Dichte-Matrix benotigt, damit die Erwartungswerte eines lokal wirkenden Operators bestimmt werden konnen (siehe (2.6.6)). Ziel dieser Arbeit war es eine adaquate Beschreibung fur die Dichte-Matrixeintrage zu finden.

•Jan 22, 2018•0 citations
In dieser Arbeit wird die Thermodynamik eindimensionaler Quantensysteme untersucht, indem das eindimensionale quantenmechanische Modell auf ein zweidimensionales klassisches System mittels einer Trotter-Suzuki Zerlegung abgebildet wird. Neben der häufig angewandten Schachbrettzerlegung wird eine neue Trotter-Suzuki Abbildung vorgestellt, die zu einem klassischen Modell mit alternierenden Reihen führt und die Definition einer einspaltigen Quantentransfermatrix erlaubt. Innerhalb des Transfermatrix-Zugangs kann der thermodynamische Limes exakt durchgeführt werden. Um die Transfermatrix insbesondere für tiefe Temperaturen zu untersuchen, wird eine Variante der Dichtematrix-Renormierungsgruppe, die sog. TMRG, verwendet. Mit dieser Methode wird das t-J Modell untersucht, wobei besonderer Wert auf die Berechnung von Korrelationslängen gelegt wird, um den Übergang vom Hochtemperaturbereich in den quantenkritischen Bereich zu studieren. Zusätzlich wird das reichhaltige Phasendiagramm untersucht. Die numerischen Resultate werden detailliert mit analytischen Ergebnissen aus konformer Feldtheorie verglichen. Ferner wird ein für das Übergangsmetalloxid YVO_3 relevantes Spin-Orbital Modell untersucht. Es wird eine Dimerisierung bei endlicher Temperatur gefunden, die durch den zugehörigen Entropiegewinn getrieben wird. Dieser Mechanismus scheint die bisher unverstandene Stabilität der C-Phase in YVO_3 zu erklären. Im letzten Teil wird eine neue Gitter-Pfadintegraldarstellung vorgestellt, die es erlaubt, dynamische Korrelationsfunktionen zu reellen Zeiten ohne analytische Fortsetzung zu berechnen. Erste Resultate für die Spin-Autokorrelationsfunktion des XXZ-Modells bei unendlicher Temperatur werden vorgestellt.
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit den thermodynamischen Eigenschaften von Spinleitern. Spinleitern bestehen aus zwei über Sprossenverbindungen miteinander wechselwirkenden Spinketten, die als topologische Struktur in komplexen Übergangsmetallverbindungen auftreten und die relevante Tieftemperaturphysik bestimmen. Die Tatsache, dass für eindimensionale Systeme eine ganze Reihe hochentwickelter analytischer und numerischer Methoden zur Verfügung stehen, macht Spinleitern zu einem attraktiven Forschungsgebiet im Bereich stark korrelierter Elektronensysteme. In jüngerer Zeit wurde entdeckt, dass zahlreiche experimentell realisierte Substanzen nur verlässlich durch die Einbeziehung eines zyklischen Vier-Spin-Wechselwirkungsterms (Ringaustausch) theoretisch modelliert werden können. In der vorliegenden Arbeit wurden thermodynamische Größen für Spinleitern mit beliebigem Ringaustausch numerisch mit Hilfe der Transfermatrix-Dichtematrix-Renormierungsgruppe (TMRG) berechnet. In der TMRG-Methode wird ein eindimensionales Quantensystem mit kurzreichweitiger Wechselwirkung auf ein zweidimensionales klassisches Gittermodell abgebildet. Die freie Energie des zugrundeliegenden Systems wird durch den höchsten Eigenwert einer geeigneten Transfermatrix codiert, welche durch eine iterative Prozedur vergrößert wird. Unwichtige Freiheitsgrade werden dabei durch Dichtematrixprojektion verworfen. Eine Weiterentwicklung der TMRG-Methode wird in dieser Arbeit vorgestellt, die die Idee der so genannten Corner-Transfermatrix-Methode für die zweidimensionale Trotterzerlegung anwendet. In dieser Methode fehlt die zeitaufwändige Berechnung von Eigenwerten großer Systeme. Im Prinzip ist daher ein hoher Geschwindigkeitsvorteil gegenüber der TMRG in der Berechnung von thermischen Eigenschaften von eindimensionalen Quantensystemen zu erwarten. Testberechnungen am klassischen Ising-Modell und am Heisenbergmodell zeigen jedoch zwei bis lang ungelöste inhärente Schwierigkeiten, die mit der Struktur der zweidimensionalen Trotterzerlegung zusammenhängen. Im Rahmen der vorliegenden Arbeit ist ein TMRG-Programm entstanden, das sowohl die Methoden der objektorientierten Programmierung als auch hohe numerische Effizienz in den relevanten Routinen umsetzt. Verläßliche numerische Daten konnten so bis in einen Temperaturbereich von 0,02 in Einheiten der Kopplungskonstanten mit hoher Genauigkeit erzielt werden. Mit dieser Methode wurden spezifische Wärmekapazität, verallgemeinerte Suszeptibilitäten und thermische Erwartungwerte berechnet. Wir fanden damit eine Reihe von Hinweisen, welche das reichhaltige Phasenverhalten des vorhergesagten Phasendiagramms für verschwindende Temperatur bestätigen. In der Nähe eines Quantenphasenübergangs erster Ordnung sahen wir bei endlichen Temperaturen die Karikatur eines Phasenübergangs, das heißt ein scharfes Tieftemperaturmaximum in der spezifischen Wärme, dessen Position über ein Potenzgesetz vom Abstand zum Punkt des Phasenübergangs abhängt. Darüberhinaus ermittelten wir in den Phasen mit gebrochener diskreter Symmetrie eine charakteristische Struktur mit zwei Maxima in der spezifischen Wärme. Die gebrochenen Symmetrien konnten wir als Divergenzen in entsprechenden verallgemeinerten Suszeptibilitäten klar erkennen.
In der vorliegenden Arbeit wird die Dynamik ein-bzw.quasi-eindimensionaler, antiferromagnetischer S = ½ Quantenspinsysteme über einen großen Bereich von Frequenzen, externen Magnetfeldern und insbesondere endlichen Temperaturen untersucht.Die dynamischen Strukturfaktoren werden durch numerische Berechnung von Spinoperator-Matrixelementen basierend auf allen Eigenenergien und Eigenfunktionen, die durch vollständige, exakte Diagonalisierung gewonnen werden, bestimmt.Der erste Teil dieser Arbeit untersucht die Dynamik der alternierenden, antiferromagnetischen Heisenberg-Kette anhand von spezifischer Wärme und dynamischen Strukturfaktoren für Ketten mit bis zu  Spins.Die Auswertung der Ergebnisse erfolgt unter Anlehnung an die analytischen Ergebnisse des Grenzfalls der nicht wechselwirkenden Dimer, was bis zu einem Verhältnis λ 0.3 der Kopplungsstärken qualitativ gültig ist.Den Betrachtungen der spezifischen Wärme und des integrierten Strukturfaktors folgt die Analyse des Verhalten des zentralen, des Ein-und des Zweimagnonen-Peaks des longitudinalen und transversalen Strukturfaktors in Abhängigkeit von Impulsübertrag, Temperatur und Magnetfeld.Der zweite Teil untersucht die rautenförmige Kette (engl.: distorted diamond chain), eine Variante der antiferromagnetischen Heiseberg-Kette mit übernächster-Nachbar-Wechselwirkung mit bis zu  Spins.Die Auswertung stützt sich dabei auf die elementaren Blöcke Dimer und Tetramer und behandelt sowohl die spin-flüssigen Phase als auch die Tetramer-Dimer Phase.Die spin-flüssige Phase wird durch eine niederenergetische, effektive antiferromagnetische Heisenberg-Kette und hochenergetischen Dimeranregungen charakterisiert, die durch ein Magnetisierungsplateau bei 1 /3 charakterisiert wird.Die Tetramer-Dimer Phase besitzt einen zweifach (3N gerade) bzw.N /3-fach (3N ungerade) entarteten Grundzustand und weist Solitonen als elementare Anregungen auf.Das Verhalten wird auf zwei Pfaden im Phasendiagramm, die den Kosterlitz-ouless Phasenübergang überqueren, anhand der spezifischen Wärme untersucht.
Diese Dissertation beschaftigt sich mit der Frage, inwiefern es moglich ist, Aussagen uber glo- bale Eigenschaften eines komplexen Vielteilchensystems im thermodynamischen Limes aus der Sicht einer lokalen Beschreibung seines aktuellen Zustandes zu treffen. Im Besonderen werden Tensornetzwerkdarstellungen von klassischen oder Quantenzustanden verwendet, um ein- oder zweidimensionale, stark korrelierte Vielteilchensysteme im Gleich- oder Ungleichgewicht zu untersuchen. Dabei wird der Fokus auf Matrixproduktzustande (MPS) gelegt, einer speziell fur eindimensionale Quantengitter geeignete Variante von Tensornetzwerken. Die lokalen Tensoren als Bausteine solch einer Beschreibung werden verwendet, um lokale Objekte oder Grosen zu konstruieren, anhand derer Aussagen uber generelle globale Eigenschaften des Systems getrof- fen werden konnen. Als gute Grundlage solcher Untersuchungen wird zunachst ein neuartiger und effizienter Algorithmus fur die Optimierung einer MPS-Grundzustandsnaherung fur stark korrelierte ein- dimensionale Spinketten im thermodynamischen Limes vorgestellt. Es wird gezeigt, dass dieser Algorithmus bestehende Methoden in puncto Geschwindigkeit und Genauigkeit der Ergebnisse bei weitem ubertrifft. Mit dieser Methode errechnete Grundzustandsnaherungen werden nun verwendet, um die aus den elementaren Tensoren konstruierte MPS-Transfermatrix zu untersuchen. Eine Betrach- tung ihres Eigenspektrums zeigt verbluffende Verbindungen zwischen statischen Korrelations- funktionen im Grundzustand und elementaren Anregungen eines Systems. Im Speziellen kon- nen die Impulse und die Grose der Minima in der Energiedispersion der elementaren Anre- gungen sehr genau uber die dominanten Eigenwerte der Transfermatrix bestimmt werden. Man kann daher Informationen uber angeregte Zustande eines Systems blos aus einer lokalen Dar- stellung des Grundzustandes gewinnen. Des weiteren wird gezeigt, dass sich die Existenz von symmetriebrechenden Phasenuber- gangen in einem bestimmten physikalischen System auf die Geometrie der konvexen Menge aller moglichen reduzierten Dichtematrizen in diesem System zuruckfuhren lasst. Nichtanalyti- zitaten auf der Oberflache solcher Mengen signalisieren das Auftreten von Symmetriebrechung und eines zugehorigen (lokalen) Ordnungsparameters. Die Frage, ob ein System Symmetriebre- chung zeigt, lasst sich daher uber eine Menge von lokalen Objekten (namlich den reduzierten Dichtematrizen) beantworten. Zu guter Letzt wird eine Variante des neu entwickelten Grundzustandsalgorithmus – ad- aptiert fur die Berechnung reeller Zeitentwicklung – dazu verwendet, um dynamische Phasen- ubergange in Spinketten mit langreichweitigen Wechselwirkungen im Rahmen eines globalen Quenches zu untersuchen. Solche Phasenubergange zeigen charakteristische Nichtanalytizita- ten in der Zeit in der Form von Zacken in der globalen Uberlagerung von zeitentwickeltem und Ausgangszustand. Es wird gezeigt, dass diese Zacken von Kreuzungen im Spektrum der ge- mischten Transfermatrix, welche aus den elementaren Tensoren einer MPS-Beschreibung bei- der Zustande besteht, herruhren. Es ist also wiederholt ein Attribut eines lokalen Objektes, das Zugang zu einer globalen Grose, namlich der Uberlappung zweier Quantenzustande, gewahrt.
Vom Ising-Modell, das man als eine gewisse Spezialisierung des allgemeinen Heisenberg-Modells auffassen kann, wird zunächst eine Ubersicht über den recht weiten Anwendungsbereich dieses Modells und über seine Lösungsmöglichkeiten gegeben. Das große Interesse, das diesem Modell entgegengebracht wird, beruht letztlich darauf, daß es das einzige realistische Vielteilchenmodell ist, das einen Phasenübergang zeigt und mit mathematischer Strenge gelöst werden kann. Wir berechnen die Zustandssumme des eindimensionalen Ising-Modells ohne äußeres Feld und zeigen, daß die spontane Magnetisierung nur für T = 0 von Null verschieden ist. Die Zustandssumme für den Fall, daß sich das System in einem äußeren Magnetfeld befindet, wird nach der Transfer-Matrix-Methode berechnet. Aus ihr werden einige wichtige thermodynamische Größen wie die freie Enthalpie, die temperaturund feldabhängige Magnetisierung, die isotherme magnetische Suszeptibilität, die Entropie und die spezifische Wärme abgeleitet und diskutiert. Im Gegensatz zum eindimensionalen vollzieht das zweidimensionale Ising-Modell einen Phasenübergang zwischen paramagnetischer und ferromagnetischer Spinordnung bei einer endlichen Temperatur Tc. Die Existenz einer spontanen Mag-netisierung wird zunächst mit Hilfe des sog. „Peierls-Arguments“ bewiesen. Der Beweis gelingt auf der Basis von Abschätzungen mit einem Minimalaufwand an Mathematik. Die exakte Berechnung der freien Energie (ohne Feld) führt zu einem konkreten Resultat für die Übergangstemperatur Tc. Der Phasenübergang manifestiert sich in einer logarithmischen Singularität der spezifischen Wärme.
Die vorliegende Arbeit beschaftigt sich mit der Berechnung der Thermodynamik integrabler Quantenketten vom Uimin-Sutherland-Typ mit Hilfe nichtlinearer Integralgleichungen (NLIEs). Es gibt verschiedene Typen derartiger Gleichungen, jedoch erlaubt nur ein Typ die effiziente und hochprazise numerische Losung bei beliebiger Temperatur und allgemeinen chemischen Potentialen. Die Herleitung basiert auf dem Quanten-Transfermatrix-Zugang, wobei die sich ergebenden Bethe-Ansatz-Gleichungen in einen geschlossenen Satz von lediglich endlich vielen NLIEs transformiert werden. Um dies zu erreichen, mussen geeignete Hilfsfunktionen mit bestimmten Analytizitatseigenschaften gefunden werden. Die notwendigen Hilfsfunktionen waren zuvor lediglich fur Uimin-Sutherland-Modelle mit zwei bzw. drei Komponenten bekannt. In der vorliegenden Arbeit wird der Zugang auf alle moglichen Falle mit vier Komponenten erweitert, fur die viele weitere Anwendungen, wie z.B. das SU(4) Spin-Orbital-Modell, eine Spin-1/2 Doppelleiter und das Essler-Korepin-Schoutens Modell, bekannt sind. Verschiedene Grenzfalle der neuen Satze von NLIEs werden betrachtet. Weiterhin wird gezeigt, wie die Hilfsfunktionen zu modifizieren sind, um den exakten Abschlus der NLIEs des TBA-Zugangs auf beliebiger Ebene zu erreichen. Obwohl kein allgemeines Konstruktionsschema fur die Hilfsfunktionen bekannt ist, kann ein Grosteil der Struktur der endgultigen NLIEs fur die sl(n)- und sl(n|1)-symmetrischen Falle des Uimin-Sutherland-Modells auf Basis der bekannten Ergebnisse abgeleitet werden. Fur den sl(5)- und den sl(4|1)-symmetrischen Fall ist es sogar moglich, fur den kompletten Satz von NLIEs eine fundierte Vermutung abzugeben. Letzterer Fall findet bei der Behandlung des SU(4|1) Spin-Orbital-Modells mit beweglichen Lochern Anwendung. Abschliesend werden numerische Ergebnisse fur alle betrachteten Modelle geliefert.
Das in der vorliegenden Arbeit behandelte Modell, die integrable anisotrope Spin-1XXZ-Kette im antiferromagnetischen Regime, lasst sich uber die Fusionsprozedur aus der trigonometrischen Losung des Sechs- Vertexmodells konstruieren (siehe (3.1.3), (3.1.9) und (2.0.2)). Fur die Spin-1-Kette lasst sich, basierend auf der Trotter-Suzuki-Abbildung, ein zweidimensionales klassisches Neunzehn-Vertexmodell finden, mit dem die thermodynamischen Eigenschaften des Systems uber die Quantentransfer-Matrix beschrieben werden konnen. Im thermodynamischen Limes lasst sich die Freie Energie lediglich durch den betragsmasig grosten Eigenwert dieser Transfer-Matrix und somit alle weiteren globalen thermodynamischen Eigenschaften angegeben. Die Bestimmung des Eigenwertes fur endliche Temperatur erfordert das (numerische) Losen eines nichtlinearen Integralgleichungs-Systems dreier Hilfsfunktionen (siehe (3.2.24) sowie (4.1.25) bis (4.1.29)). Um Aussagen uber lokale Eigenschaften treffen zu konnen, wird die (reduzierte) Dichte-Matrix benotigt, damit die Erwartungswerte eines lokal wirkenden Operators bestimmt werden konnen (siehe (2.6.6)). Ziel dieser Arbeit war es eine adaquate Beschreibung fur die Dichte-Matrixeintrage zu finden.