Vom Ising-Modell, das man als eine gewisse Spezialisierung des allgemeinen Heisenberg-Modells auffassen kann, wird zunächst eine Ubersicht über den recht weiten Anwendungsbereich dieses Modells und über seine Lösungsmöglichkeiten gegeben. Das große Interesse, das diesem Modell entgegengebracht wird, beruht letztlich darauf, daß es das einzige realistische Vielteilchenmodell ist, das einen Phasenübergang zeigt und mit mathematischer Strenge gelöst werden kann. Wir berechnen die Zustandssumme des eindimensionalen Ising-Modells ohne äußeres Feld und zeigen, daß die spontane Magnetisierung nur für T = 0 von Null verschieden ist. Die Zustandssumme für den Fall, daß sich das System in einem äußeren Magnetfeld befindet, wird nach der Transfer-Matrix-Methode berechnet. Aus ihr werden einige wichtige thermodynamische Größen wie die freie Enthalpie, die temperaturund feldabhängige Magnetisierung, die isotherme magnetische Suszeptibilität, die Entropie und die spezifische Wärme abgeleitet und diskutiert. Im Gegensatz zum eindimensionalen vollzieht das zweidimensionale Ising-Modell einen Phasenübergang zwischen paramagnetischer und ferromagnetischer Spinordnung bei einer endlichen Temperatur Tc. Die Existenz einer spontanen Mag-netisierung wird zunächst mit Hilfe des sog. „Peierls-Arguments“ bewiesen. Der Beweis gelingt auf der Basis von Abschätzungen mit einem Minimalaufwand an Mathematik. Die exakte Berechnung der freien Energie (ohne Feld) führt zu einem konkreten Resultat für die Übergangstemperatur Tc. Der Phasenübergang manifestiert sich in einer logarithmischen Singularität der spezifischen Wärme.
Vom Ising-Modell, das man als eine gewisse Spezialisierung des allgemeinen Heisenberg-Modells auffassen kann, wird zunächst eine Ubersicht über den recht weiten Anwendungsbereich dieses Modells und über seine Lösungsmöglichkeiten gegeben. Das große Interesse, das diesem Modell entgegengebracht wird, beruht letztlich darauf, daß es das einzige realistische Vielteilchenmodell ist, das einen Phasenübergang zeigt und mit mathematischer Strenge gelöst werden kann. Wir berechnen die Zustandssumme des eindimensionalen Ising-Modells ohne äußeres Feld und zeigen, daß die spontane Magnetisierung nur für T = 0 von Null verschieden ist. Die Zustandssumme für den Fall, daß sich das System in einem äußeren Magnetfeld befindet, wird nach der Transfer-Matrix-Methode berechnet. Aus ihr werden einige wichtige thermodynamische Größen wie die freie Enthalpie, die temperaturund feldabhängige Magnetisierung, die isotherme magnetische Suszeptibilität, die Entropie und die spezifische Wärme abgeleitet und diskutiert. Im Gegensatz zum eindimensionalen vollzieht das zweidimensionale Ising-Modell einen Phasenübergang zwischen paramagnetischer und ferromagnetischer Spinordnung bei einer endlichen Temperatur Tc. Die Existenz einer spontanen Mag-netisierung wird zunächst mit Hilfe des sog. „Peierls-Arguments“ bewiesen. Der Beweis gelingt auf der Basis von Abschätzungen mit einem Minimalaufwand an Mathematik. Die exakte Berechnung der freien Energie (ohne Feld) führt zu einem konkreten Resultat für die Übergangstemperatur Tc. Der Phasenübergang manifestiert sich in einer logarithmischen Singularität der spezifischen Wärme.
In den letzten Jahren haben Quantenpunkte viel Aufmerksamkeit erhalten, da ihre magnetischen Eigenschaften für Spintronik Geräte benutzt oder ein in einem Quantenpunkt eingesperrter Spin als Qubit für einen Quantencomputer verwendet werden könnte. In dieser Arbeit untersuchen wir die Gleichgewichts- und Nichtgleichgewichtseigenschaften von verschiedenen Quantenstörstellensystemen (QIS). Als erstes wird das Kondo-Modell betrachtet, in dem das lokale magnetische Moment einer Störstelle über eine Heisenberg-Wechselwirkung an ein fermionisches Bad gekoppelt ist. Wir untersuchen, wie die Kondokorrelationen aufgebaut werden und wie sie sich durch das Leitungsband ausbreiten. Die Nichtgleichgewichtsergebnisse zeigen, dass die meisten Korrelationen sich innerhalb eines Lichtkegels ausbreiten, der bestimmt ist durch die Fermi-Geschwindigkeit. Interessanterweise sehen wir auch Korrelationen außerhalb des Lichtkegels. Mittels einer Störungstheorie in zweiter Ordnung in der Kopplung, können wir zeigen, dass diese Korrelationen mit den intrinsischen Korrelationen des Fermi-Sees zusammenhängen. Weiterhin stellen wir ein Experiment vor, in dem Metall-Molekül-Komplexe durch Reaktion von einem PTCDA Molekül, das auf einer Au(111) Oberfläche adsorbiert, mit einem einzelnen Au Atom gebildet werden. Dies führt zur Entstehung von Radikalen. Der beobachtete Kondoeffekt in den Rastertunnelmikroskopie (STM) Spektren ist ein eindeutiger Beweis für die Bildung eines lokalen Momentes. Die physikalisch korrekte Beschreibung der Bildung des lokalen Momentes und des Kondoeffekt ist jedoch mit der Dichtefunktionaltheorie (DFT) nicht möglich. Daher verwenden wir einen kombinierten DFT + Numerische Renormierungsgruppen (NRG) Ansatz, in dem wir die Ergebnisse der DFT als “ab initio” Eingangs-Parameter für unsere NRG verwenden. Wir zeigen, dass die Ergebnisse des Experiments und der NRG ohne Anpassungen der Modellparameter sehr gut übereinstimmen. Wenn zwei Au Atome auf benachbarten PTCDA Molekülen adsorbieren, weist das Spektrum in manchen Fällen eine Lücke um die Fermi-Energie, anstatt einer Kondoresonanz auf. Indem wir das System auf ein Zwei-Störstellen-Anderson-Modell (TIAM) abbilden, können wir zeigen, dass diese Lücke durch die starke nichtmagnetische chemische Wechselwirkung zwischen den beiden Komplexen entsteht. Mittels unserer NRG Ergebnisse liefern wir eine ausführliche Analyse des auftretenden Quantenphasenübergangs (QPT). Am Schluss betrachten wir die Gleichgewichts- und Nichtgleichgewichtseigenschaften des Zwei-Störstellen-Kondo-Modells (TIKM), welches einen QPT aufweist, wenn man die Energieabhängigkeit der Kopplungen an das Leitungsband vernachlässigt. Wir zeigen, dass es möglich ist, diesen QPT in dem voll energieabhängigen Modell mittels passenden Potentialstreutermen wiederherzustellen. Danach wird die Zeitdynamik nach einem Quench in der direkten Spin-Spin-Wechselwirkung zwischen den beiden Störstellenspins untersucht. Es wird gezeigt, dass eine ausreichend große antiferromagnetische Wechselwirkung die Thermalisierung der Spin-Spin-Korrelationsfunktion verhindert, da in diesem Fall die Störstellen vom Leitungsband entkoppeln.
Der erste Teil dieser Arbeit ist dem Kondogittermodell gewidmet. Für ein Elektron, das in einen ferromagnetisch gesättigten Hintergrund aus lokalen Spinmomenten eingebracht wird (ferromagnetisches Polaron), wird die stationäre Schrödingergleichung gelöst und das vollständige Eigenwertspektrum im endlichen und unendlichen Gitter abgeleitet. Danach wird die zeitabhängige Schrödingergleichung für beliebige Anfangsbedingungen gelöst und eine detaillierte Analyse des Down-Elektron-Zerfalls vorgenommen. Für endliche Bandfüllungen wird im Anschluss das magnetische Grundzustandsphasendiagramm mit Hilfe einer Molekularfeldtheorie bestimmt. Der Einfluss von Verdünnung/Unordnung im lokalen Momentensystem auf die auftretenden Phasen wird analysiert. Im zweiten Teil der Arbeit wird das Hubbardmodell untersucht. Für dieses wird mit Hilfe einer modifizierten Störungstheorie (englisch: modified perturbation theory, MPT) eine wellenzahlabhängige (nicht-lokale) Selbstenergie abgeleitet, die sowohl für schwache als auch für starke Coulombwechselwirkungen gute Ergebnisse liefert. Mit dieser werden dann Spektraldichten und Quasiteilchenzustandsdichten berechnet, wobei insbesondere die nicht-lokalen Korrelationseffekte im Fokus stehen. Daneben werden Ergebnisse für die optische Leitfähigkeit, die in einer renormierten diagrammatischen Ein-Schleifen-Näherung berechnet wurden, besprochen. Es wird dann gezeigt, dass nur unter Beachtung der nicht-lokalen Korrelationseffekte ein ferromagnetisches Phasendiagramm konstruiert werden kann, das in Einklang mit dem Mermin-Wagner-Theorem steht.
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit den thermodynamischen Eigenschaften von Spinleitern. Spinleitern bestehen aus zwei über Sprossenverbindungen miteinander wechselwirkenden Spinketten, die als topologische Struktur in komplexen Übergangsmetallverbindungen auftreten und die relevante Tieftemperaturphysik bestimmen. Die Tatsache, dass für eindimensionale Systeme eine ganze Reihe hochentwickelter analytischer und numerischer Methoden zur Verfügung stehen, macht Spinleitern zu einem attraktiven Forschungsgebiet im Bereich stark korrelierter Elektronensysteme. In jüngerer Zeit wurde entdeckt, dass zahlreiche experimentell realisierte Substanzen nur verlässlich durch die Einbeziehung eines zyklischen Vier-Spin-Wechselwirkungsterms (Ringaustausch) theoretisch modelliert werden können. In der vorliegenden Arbeit wurden thermodynamische Größen für Spinleitern mit beliebigem Ringaustausch numerisch mit Hilfe der Transfermatrix-Dichtematrix-Renormierungsgruppe (TMRG) berechnet. In der TMRG-Methode wird ein eindimensionales Quantensystem mit kurzreichweitiger Wechselwirkung auf ein zweidimensionales klassisches Gittermodell abgebildet. Die freie Energie des zugrundeliegenden Systems wird durch den höchsten Eigenwert einer geeigneten Transfermatrix codiert, welche durch eine iterative Prozedur vergrößert wird. Unwichtige Freiheitsgrade werden dabei durch Dichtematrixprojektion verworfen. Eine Weiterentwicklung der TMRG-Methode wird in dieser Arbeit vorgestellt, die die Idee der so genannten Corner-Transfermatrix-Methode für die zweidimensionale Trotterzerlegung anwendet. In dieser Methode fehlt die zeitaufwändige Berechnung von Eigenwerten großer Systeme. Im Prinzip ist daher ein hoher Geschwindigkeitsvorteil gegenüber der TMRG in der Berechnung von thermischen Eigenschaften von eindimensionalen Quantensystemen zu erwarten. Testberechnungen am klassischen Ising-Modell und am Heisenbergmodell zeigen jedoch zwei bis lang ungelöste inhärente Schwierigkeiten, die mit der Struktur der zweidimensionalen Trotterzerlegung zusammenhängen. Im Rahmen der vorliegenden Arbeit ist ein TMRG-Programm entstanden, das sowohl die Methoden der objektorientierten Programmierung als auch hohe numerische Effizienz in den relevanten Routinen umsetzt. Verläßliche numerische Daten konnten so bis in einen Temperaturbereich von 0,02 in Einheiten der Kopplungskonstanten mit hoher Genauigkeit erzielt werden. Mit dieser Methode wurden spezifische Wärmekapazität, verallgemeinerte Suszeptibilitäten und thermische Erwartungwerte berechnet. Wir fanden damit eine Reihe von Hinweisen, welche das reichhaltige Phasenverhalten des vorhergesagten Phasendiagramms für verschwindende Temperatur bestätigen. In der Nähe eines Quantenphasenübergangs erster Ordnung sahen wir bei endlichen Temperaturen die Karikatur eines Phasenübergangs, das heißt ein scharfes Tieftemperaturmaximum in der spezifischen Wärme, dessen Position über ein Potenzgesetz vom Abstand zum Punkt des Phasenübergangs abhängt. Darüberhinaus ermittelten wir in den Phasen mit gebrochener diskreter Symmetrie eine charakteristische Struktur mit zwei Maxima in der spezifischen Wärme. Die gebrochenen Symmetrien konnten wir als Divergenzen in entsprechenden verallgemeinerten Suszeptibilitäten klar erkennen.
In dieser Arbeit wird die Thermodynamik eindimensionaler Quantensysteme untersucht, indem das eindimensionale quantenmechanische Modell auf ein zweidimensionales klassisches System mittels einer Trotter-Suzuki Zerlegung abgebildet wird. Neben der häufig angewandten Schachbrettzerlegung wird eine neue Trotter-Suzuki Abbildung vorgestellt, die zu einem klassischen Modell mit alternierenden Reihen führt und die Definition einer einspaltigen Quantentransfermatrix erlaubt. Innerhalb des Transfermatrix-Zugangs kann der thermodynamische Limes exakt durchgeführt werden. Um die Transfermatrix insbesondere für tiefe Temperaturen zu untersuchen, wird eine Variante der Dichtematrix-Renormierungsgruppe, die sog. TMRG, verwendet. Mit dieser Methode wird das t-J Modell untersucht, wobei besonderer Wert auf die Berechnung von Korrelationslängen gelegt wird, um den Übergang vom Hochtemperaturbereich in den quantenkritischen Bereich zu studieren. Zusätzlich wird das reichhaltige Phasendiagramm untersucht. Die numerischen Resultate werden detailliert mit analytischen Ergebnissen aus konformer Feldtheorie verglichen. Ferner wird ein für das Übergangsmetalloxid YVO_3 relevantes Spin-Orbital Modell untersucht. Es wird eine Dimerisierung bei endlicher Temperatur gefunden, die durch den zugehörigen Entropiegewinn getrieben wird. Dieser Mechanismus scheint die bisher unverstandene Stabilität der C-Phase in YVO_3 zu erklären. Im letzten Teil wird eine neue Gitter-Pfadintegraldarstellung vorgestellt, die es erlaubt, dynamische Korrelationsfunktionen zu reellen Zeiten ohne analytische Fortsetzung zu berechnen. Erste Resultate für die Spin-Autokorrelationsfunktion des XXZ-Modells bei unendlicher Temperatur werden vorgestellt.
Funktionalintegrale erfreuen sich in letzter Zeit großer Beliebtheit bei der Untersuchung dissipativer Quantensysteme, da es mit ihrer Hilfe möglich ist, auch den Bereich tiefer Temperaturen und starker Dämpfung zu erfassen. Nach der Elimination des Wärmebades, das für die Dissipation verantwortlich ist, erfolgt eine effektive Beschreibung des relevanten Freiheitsgrades mittels des Influenzfunktionals. In dieser Arbeit werden Anwendungen der Funktionalintegralmethode sowohl in Imaginärzeit als auch in Realzeit dargestellt. Zunächst wird das Imaginärzeitfunktionalintegral dazu benutzt, die Zerfallsrate eines metastabilen Zustands für Temperaturen zu berechnen, bei denen das thermische Hüpfen dominiert. Es werden die Quantenkorrekturen zum klassischen Arrhenius-Gesetz bestimmt und besonders die Rolle von frequenzabhängiger Dämpfung diskutiert. Anschließend werden aus Josephsonkontakten bestehende Netzwerke mit der Imaginärzeitmethode untersucht. Eine Variationsrechnung zeigt, dass Dissipation für den Phasenübergang zwischen lokaler und globaler Supraleitung verantwortlich sein kann. Dies ist für die Interpretation von Experimenten an granularen Supraleitern von Interesse. Die Beschreibung der Dynamik eines freien Brownschen Teilchens und eines Teilchens an einer parabolischen Barriere erfordert den Einsatz von Realzeitmethoden. Dabei wird die Verwendung faktorisierter Anfangszustände vermieden, um anfängliche Korrelationen zwischen System und Wärmebad zu berücksichtigen. Das freie Brownsche Teilchen zeigt in Abhängigkeit vom angekoppelten Wärmebad eine Vielfalt verschiedener Verhaltensweisen. Beispielsweise findet man anomale Diffusion, und unter bestimmten Bedingungen kann ein anfänglich lokalisierter Zustand für alle Zeiten lokalisiert bleiben. Zum Transport über eine parabolische Barriere wird eine quantenmechanische Theorie vorgestellt, die sich als Verallgemeinerung der klassischen Kramers-Theorie verstehen lässt. Damit kann man, im Rahmen des Gültigkeitsbereichs dieser Theorie, das Resultat für die Zerfallsrate aus der Imaginärzeitrechnung bestätigen.