Thermodynamics traditionally deals with macroscopic systems at thermal equilibrium. However, since the very beginning of the theory, its range of applicability has only increased, nowadays being applied to virtually every field of science, and to systems of extremely different size. This thesis is devoted to the study of thermodynamics in the quantum regime. It contains original results on topics that include: Work extraction from quantum systems, fluctuations of work, the energetic value of correlations and entanglement, and the thermodynamics of closed quantum many body systems. First, we study work extraction from thermally isolated systems. Here the notion of passive states naturally arises, as those quantum states from which no work can be extracted. We start by characterising the set of passive states, and find the most energetic passive states, a dual family to the well known Gibbs (or thermal) states. Remarkably, passive states have the property of activation: When considered as a whole, several copies of passive states can become nonpassive. We study the dynamics of activation processes, and find a relation between the entanglement generated and the speed of the process. Next, we consider the possibility of extracting work from a system using an auxiliary thermal bath. In this case, according to the second law of thermodynamics, the amount of work is bounded by the free energy difference. We develop corrections to this law which arise from the finite size and the structure of the bath. We go on by studying the fluctuations of work. Fluctuations are particularly relevant for small systems, where their relative size is comparable to the average value itself. However, characterising the fluctuations in the quantum regime is particularly difficult, as measurements generically disturb the state. In fact, we derive a no go result, showing that it is not possible to exactly measure the fluctuations of work in quantum coherent processes. Despite this result, we develop a new scheme that allows for their approximate measurement. An important part of this thesis is devoted to the relation between quantum correlations and work. We start by considering a set of correlated states which are thermal at the local level, in which case the extractable work can only come from the correlations. We compute the amount of work that can be stored in entangled, separable and correlated states with a fixed entropy, by finding the corresponding optimal states and protocols. These results provide fundamental bounds on the potential of different type of correlations for work storage and extraction. Next, we consider the converse scenario, and study the creation of correlations from thermal states. We find thresholds on the maximal temperature for the generation of entanglement. We also work out the minimal work cost of creating different types of correlations, including total correlations, entanglement, and genuine multipartite entanglement. Finally, we study the thermodynamics of closed quantum systems. Here we use one of the most important recent insights from the study of equilibration in quantum systems: Closed many body systems do not equilibrate, but can be effectively described as if they had equilibrated when looking at a restricted, physically relevant, class of observables. Importantly, the corresponding equilibrium state is not necessarily a Gibbs state, but may be very well given by a Generalized Gibbs ensemble state. With this in mind, we develop a framework for studying entropy production and work extraction in closed quantum systems. La termodinàmica va néixer com una teoria dedicada a l'estudi de cossos macroscòpics en equilibri tèrmic. A partir d'aquell moment, l'abast de la teoria no ha deixat d'augmentar, aplicant-se en l'actualitat a gran part de les disciplines científiques, així com a objectes de mides extremadament diferents. La present tesis està dedicada a l'estudi de la termodinàmica de sistemes quàntics. Conté resultats originals en diferents temes, que inclouen l'extracció de treball de sistemes quàntics, les fluctuacions de treball, la relació entre l'energia i les correlacions quàntiques, i la termodinàmica de sistemes de molts cossos. La primera part de la tesis està dedicada a l'estudi de l'extracció de treball de sistemes quàntics. En aquest context la noció d'estat passiu (un estat del qual no es pot extreure treball) és fonamental. Primer de tot, caracteritzem el conjunt d'estats passius, i en particular trobem els més energètics, que es troben a l'altre extrem dels estats tèrmics (o de Gibbs). Notablement, els estats passius poden ser activats, en el sentit que es pot extreure treball d'un conjunt suficientment gran de còpies d'un estat passiu. Estudiant en detall l'esmentat procés d'activació, trobem una relació entre la velocitat del procés i l'entrellaçament generat. Seguidament, considerem la possibilitat d'extreure treball d'un sistema utilitzant un bany tèrmic. En aquest cas, d'acord amb la segona llei de la termodinàmica, la quantitat de treball està limitada per l'energia lliure. Per sistemes quàntics, en molts casos no és possible extreure tota l'energia lliure, i desenvolupem correccions de la segona llei que depenen només de la mida del bany i de la seva estructura. A continuació estudiem les fluctuacions termodinàmiques (en particular del treball), que són especialment rellevants per sistemes microscòpics. La seva descripció en el règim quàntic és especialment difícil, donat que les mesures tenen un efecte invasiu en l'estat. De fet, mostrem que és impossible mesurar exactament les fluctuacions d'energia en processos que involucren coherència quàntica. Malgrat aquest resultat, també desenvolupem un sistema per mesurar les fluctuacions del treball de forma aproximada. Una part important d'aquesta tesis està dedicada a la relació entre les correlacions (quàntiques) i el treball. Comencem considerant un conjunt d'estats correlacionats, que individualment es troben en un estat tèrmic. La motivació és que en aquest cas el treball contingut en els estats prové únicament de les correlacions. En aquest escenari, calculem la quantitat de treball que es pot extreure d'estats entrellaçats, estats separables i estats correlacionats amb una determinada entropia. És a dir, calculem el treball màxim que es pot extreure de les correlacions, tan clàssiques com quàntiques. A continuació, considerem el procés invers, és a dir, la creació de correlacions en estats tèrmics. En aquest cas derivem límits en la temperatura màxima per poder crear diferents tipus entrellaçament, i el corresponent cost energètic. Finalment, estudiem la termodinàmica de sistemes de molts cossos. Aquí fem servir un dels resultats més importants relacionats amb l'equilibració en sistemes quàntics: sistemes quàntics tancats que involucren moltes partícules no arriben a l'equilibri, però es comporten com si hi haguessin arribat per la majoria d'observables (incloent observables rellevants des d'un punt de vista físic com l'energia). Tanmateix, el corresponent estat d'equilibri no és sempre tèrmic, i a vegades només es pot descriure mitjançant un estat generalitzat de Gibbs (GGE). La nostra contribució consisteix en desenvolupar un formalisme que permet estudiar la producció d'entropia i l'extracció del treball en estats GGE, el qual apliquem a sistemes de fermions.
Thermodynamics traditionally deals with macroscopic systems at thermal equilibrium. However, since the very beginning of the theory, its range of applicability has only increased, nowadays being applied to virtually every field of science, and to systems of extremely different size. This thesis is devoted to the study of thermodynamics in the quantum regime. It contains original results on topics that include: Work extraction from quantum systems, fluctuations of work, the energetic value of correlations and entanglement, and the thermodynamics of closed quantum many body systems. First, we study work extraction from thermally isolated systems. Here the notion of passive states naturally arises, as those quantum states from which no work can be extracted. We start by characterising the set of passive states, and find the most energetic passive states, a dual family to the well known Gibbs (or thermal) states. Remarkably, passive states have the property of activation: When considered as a whole, several copies of passive states can become nonpassive. We study the dynamics of activation processes, and find a relation between the entanglement generated and the speed of the process. Next, we consider the possibility of extracting work from a system using an auxiliary thermal bath. In this case, according to the second law of thermodynamics, the amount of work is bounded by the free energy difference. We develop corrections to this law which arise from the finite size and the structure of the bath. We go on by studying the fluctuations of work. Fluctuations are particularly relevant for small systems, where their relative size is comparable to the average value itself. However, characterising the fluctuations in the quantum regime is particularly difficult, as measurements generically disturb the state. In fact, we derive a no go result, showing that it is not possible to exactly measure the fluctuations of work in quantum coherent processes. Despite this result, we develop a new scheme that allows for their approximate measurement. An important part of this thesis is devoted to the relation between quantum correlations and work. We start by considering a set of correlated states which are thermal at the local level, in which case the extractable work can only come from the correlations. We compute the amount of work that can be stored in entangled, separable and correlated states with a fixed entropy, by finding the corresponding optimal states and protocols. These results provide fundamental bounds on the potential of different type of correlations for work storage and extraction. Next, we consider the converse scenario, and study the creation of correlations from thermal states. We find thresholds on the maximal temperature for the generation of entanglement. We also work out the minimal work cost of creating different types of correlations, including total correlations, entanglement, and genuine multipartite entanglement. Finally, we study the thermodynamics of closed quantum systems. Here we use one of the most important recent insights from the study of equilibration in quantum systems: Closed many body systems do not equilibrate, but can be effectively described as if they had equilibrated when looking at a restricted, physically relevant, class of observables. Importantly, the corresponding equilibrium state is not necessarily a Gibbs state, but may be very well given by a Generalized Gibbs ensemble state. With this in mind, we develop a framework for studying entropy production and work extraction in closed quantum systems. La termodinàmica va néixer com una teoria dedicada a l'estudi de cossos macroscòpics en equilibri tèrmic. A partir d'aquell moment, l'abast de la teoria no ha deixat d'augmentar, aplicant-se en l'actualitat a gran part de les disciplines científiques, així com a objectes de mides extremadament diferents. La present tesis està dedicada a l'estudi de la termodinàmica de sistemes quàntics. Conté resultats originals en diferents temes, que inclouen l'extracció de treball de sistemes quàntics, les fluctuacions de treball, la relació entre l'energia i les correlacions quàntiques, i la termodinàmica de sistemes de molts cossos. La primera part de la tesis està dedicada a l'estudi de l'extracció de treball de sistemes quàntics. En aquest context la noció d'estat passiu (un estat del qual no es pot extreure treball) és fonamental. Primer de tot, caracteritzem el conjunt d'estats passius, i en particular trobem els més energètics, que es troben a l'altre extrem dels estats tèrmics (o de Gibbs). Notablement, els estats passius poden ser activats, en el sentit que es pot extreure treball d'un conjunt suficientment gran de còpies d'un estat passiu. Estudiant en detall l'esmentat procés d'activació, trobem una relació entre la velocitat del procés i l'entrellaçament generat. Seguidament, considerem la possibilitat d'extreure treball d'un sistema utilitzant un bany tèrmic. En aquest cas, d'acord amb la segona llei de la termodinàmica, la quantitat de treball està limitada per l'energia lliure. Per sistemes quàntics, en molts casos no és possible extreure tota l'energia lliure, i desenvolupem correccions de la segona llei que depenen només de la mida del bany i de la seva estructura. A continuació estudiem les fluctuacions termodinàmiques (en particular del treball), que són especialment rellevants per sistemes microscòpics. La seva descripció en el règim quàntic és especialment difícil, donat que les mesures tenen un efecte invasiu en l'estat. De fet, mostrem que és impossible mesurar exactament les fluctuacions d'energia en processos que involucren coherència quàntica. Malgrat aquest resultat, també desenvolupem un sistema per mesurar les fluctuacions del treball de forma aproximada. Una part important d'aquesta tesis està dedicada a la relació entre les correlacions (quàntiques) i el treball. Comencem considerant un conjunt d'estats correlacionats, que individualment es troben en un estat tèrmic. La motivació és que en aquest cas el treball contingut en els estats prové únicament de les correlacions. En aquest escenari, calculem la quantitat de treball que es pot extreure d'estats entrellaçats, estats separables i estats correlacionats amb una determinada entropia. És a dir, calculem el treball màxim que es pot extreure de les correlacions, tan clàssiques com quàntiques. A continuació, considerem el procés invers, és a dir, la creació de correlacions en estats tèrmics. En aquest cas derivem límits en la temperatura màxima per poder crear diferents tipus entrellaçament, i el corresponent cost energètic. Finalment, estudiem la termodinàmica de sistemes de molts cossos. Aquí fem servir un dels resultats més importants relacionats amb l'equilibració en sistemes quàntics: sistemes quàntics tancats que involucren moltes partícules no arriben a l'equilibri, però es comporten com si hi haguessin arribat per la majoria d'observables (incloent observables rellevants des d'un punt de vista físic com l'energia). Tanmateix, el corresponent estat d'equilibri no és sempre tèrmic, i a vegades només es pot descriure mitjançant un estat generalitzat de Gibbs (GGE). La nostra contribució consisteix en desenvolupar un formalisme que permet estudiar la producció d'entropia i l'extracció del treball en estats GGE, el qual apliquem a sistemes de fermions.
(English) The modern understanding of physics is deeply linked with the concept of information. The revival of the study of quantum mechanics in the form of quantum information is just an example of a more general trend showing how the incorporation of ideas from information theory into the practice of physics is not simply a fertile opportunity to find new results, but it also offers a radically new understanding of what physics should be describing: emblematic of this paradigm shift is the transition from the infinite dimensional space associated to the wave functions appearing in the Schrödinger equation, to the extreme simplicity of the modern cornerstone of quantum mechanics, the qubit. A special place in this context is taken by thermodynamics: on the one hand, because it was one of the first branches of physics in which the role of information was explicitly recognised; on the other, as the formal correspondence between Shannon and Boltzmann entropy hints at a deep connection between the two. Ultimately, it almost feels like these two theories will end up coinciding, and one will speak about thermodynamics just as information theory with erasure. We are still far away from this claim, but the continuous appearance of information quantifiers in genuinely thermodynamics setting, especially when characterising the dissipation, cannot but corroborate this belief. The aim of this thesis is to move further in the identification of the two theories, by focusing on some aspects of information geometry and showing how these naturally apply to the study of thermodynamic transformations. In particular, the main object of interest is the family of quantum Fisher information metrics, thoroughly studied in the first part of the thesis. In there we prove a fact that motivates the interest in this quantity: despite the statistical setting in which it was originally formulated, it has such a deep dynamical nature that all physical evolutions can actually be defined just in terms of their behaviour with respect to the Fisher information. In the second part of the thesis, we connect this discussion to the field of thermodynamics. In this context, we show that the Fisher information metrics naturally emerge in the description of the dissipation in near-isothermal transformations, that is whenever the driving is slow enough for the system to be close to equilibrium during the whole protocol. This shows another example of what seems to be a general rule: the naturality with which structures developed in the context of statistical inference and information theory apply to the study of entropy production. (Català) La comprensió moderna de la física està profundament relacionada amb el concepte d'informació. El renaixement de l'estudi de la mecànica quàntica en forma d'informació quàntica és només un exemple d'una tendència més general que mostra com la incorporació d'idees de la teoria de la informació a la pràctica de la física no és simplement una oportunitat fèrtil per trobar nous resultats, sinó que també ofereix una comprensió radicalment nova del que hauria de descriure la física: emblemàtica d'aquest canvi de paradigma és la transició de l'espai dimensional infinit associat a les funcions d'ona que apareixen a l'equació de Schrödinger, a l'extrema simplicitat de la pedra angular moderna de la mecànica quàntica, la qubit. Un lloc especial en aquest context ocupa la termodinàmica: d'una banda, perquè va ser una de les primeres branques de la física en què es va reconèixer explícitament el paper de la informació; de l'altra, ja que la correspondència formal entre l'entropia de Shannon i Boltzmann deixa entreveure una connexió profunda entre tots dos. En última instància, gairebé sembla que aquestes dues teories acabaran coincidint, i es parlarà de termodinàmica igual que de teoria de la informació amb esborrat. Encara estem lluny d'aquesta afirmació, però l'aparició contínua de quantificadors d'informació en un entorn genuïnament termodinàmic, especialment quan es caracteritza la dissipació, no pot deixar de corroborar aquesta creença. L'objectiu d'aquesta tesi és avançar més en la identificació de les dues teories, centrant-se en alguns aspectes de la geometria de la informació i mostrant com aquestes s'apliquen de manera natural a l'estudi de les transformacions termodinàmiques. En particular, el principal objecte d'interès és la família de mètriques d'informació quàntiques de Fisher, estudiades a fons a la primera part de la tesi. Allà demostrem un fet que motiva l'interès per aquesta magnitud: malgrat l'entorn estadístic en què es va formular originalment, té una naturalesa dinàmica tan profunda que totes les evolucions físiques es poden definir en realitat només en termes del seu comportament respecte a la Informació de Fisher. En la segona part de la tesi, connectem aquesta discussió amb el camp de la termodinàmica. En aquest context, mostrem que les mètriques d'informació de Fisher sorgeixen de manera natural en la descripció de la dissipació en transformacions gairebé isotèrmiques, és a dir, sempre que la conducció és prou lenta perquè el sistema estigui a prop de l'equilibri durant tot el protocol. Això mostra un altre exemple del que sembla ser una regla general: la naturalitat amb què les estructures desenvolupades en el context de la inferència estadística i la teoria de la informació s'apliquen a l'estudi de la producció d'entropia. (Español) La comprensión moderna de la física está enlazada al concepto de información. El renacimiento en el interés por la mecánica cuántica causado por el nacimiento de la información cuántica es solo un ejemplo de una tendencia más general que muestra cómo la incorporación de ideas de la teoría de la información en la práctica de la física no es simplemente una oportunidad fértil para encontrar nuevos resultados, sino que también ofrece una comprensión radicalmente nueva de lo que la física debería describir: emblemático de este cambio de paradigma es la transición del espacio de dimensión infinita asociado a las funciones de onda que aparecen en la ecuación de Schrödinger, a la extrema simplicidad de la reciente piedra angular de la mecánica cuántica, el qubit. Un espacio especial en este contexto lo ocupa la termodinámica: por un lado, porque fue una de las primeras ramas de la física en la que se reconoció explícitamente el papel de la información; por el otro, por el hecho que la correspondencia formal entre la entropía de Shannon y la de Boltzmann sugiere una conexión profunda entre las dos. En última instancia, casi parece que estas dos teorías terminarán coincidiendo, y se hablará sobre termodinámica como la teoría de la información con pérdidas. Todavía estamos lejos de esta afirmación, pero la continua aparición de cuantificadores de información en contextos genuinamente termodinámico, especialmente al momento de caracterizar la disipación, no puede no corroborar esta creencia. El objetivo de esta tesis es avanzar en la identificación de las dos teorías, centrándose en algunos aspectos de la geometría de la informa- ción y mostrando cómo se aplican naturalmente al estudio de las transformaciones termodinámicas. En particular, el principal objeto de interés es la familia de métricas de información cuántica de Fisher, ampliamente estudiada en la primera parte de la tesis. Allí probamos un hecho que motiva el interés en esta cantidad: a pesar del contexto estadístico en el que se formuló originalmente, tiene una natura dinámica tan profunda que todas las evoluciones físicas pueden definirse solo en términos de sus comportamientos con respecto a la Información de Fisher. En la segunda parte de la tesis, conectamos esta discusión con el campo de la termodinámica. En este contexto, mostramos que las métricas de información de Fisher emergen naturalmente en la descripción de la disipación en transformaciones casi-isotérmicas, es decir, siempre que el desplazamiento sea lo suficientemente lento como para que el sistema esté cerca del equilibrio durante todo el protocolo. Esto muestra otro ejemplo de lo que parece ser una regla general: la naturalidad con la que estructuras desarrolladas en el contexto de la inferencia estadística y de la teoría de la información se aplican al estudio de la producción de entropía.
To understand in detail the relation between unitary quantum theory that describes our world at the microscopic scale and thermodynamics, which was long believed only to apply to macroscopic objects, is one of the most interesting and long-standing problems in physics. Recently, this problem has received renewed attention, in particular from the community of quantum information theory, but also from the field of statistical mechanics, inspired from stochastic thermodynamics. These results suggest that thermodynamics is also relevant for individual quantum systems, provided that they can be brought into contact with thermal baths. In this thesis, I use recently developed tools to provide new results both on fundamental questions, but also on questions which are of practical relevance for potential miniaturized thermal machines. In terms of fundamental questions, the results in this thesis contribute to understanding how the basic laws of thermodynamics and statistical mechanics can be understood directly from unitary quantum mechanics. In particular, I discuss and answer the following questions: i) How can we quantify the third law of thermodynamics using information theoretic methods? ii) How can we quantify the "thermodynamic value" of a state-transition in quantum systems? iii) How can we axiomatically characterize the non-equilibrium free energy and relative entropy? iv) How can we justify statistical ensembles from an operational perspective, without having to introduce either some probability measures or an information theoretic entropy measure? v) How can we understand the equilibration of closed quantum systems, how long does it take and how difficult is it to avoid? In the second part of the thesis I discuss in detail how experimental restrictions, which become important at the quantum scale, influence the ultimate thermodynamic bounds for thermal machines. In particular, the results in this thesis provide thermodynamic bounds on work-extraction and efficiencies of thermal machines in situations where 1.) an experimenter only has limited field strengths available, 2.) an experimenter cannot control the interactions between particles, but external fields arbitrarily well, and 3.) situations in which a small quantum system can only be strongly coupled to heat baths. These bounds are tight and I provide explicit examples illustrating the different behaviours. Finally, I come back to a classic problem in statistical physics: The emergence of spontaneous symmetry breaking. Here, I provide general and rigorous new results that show how symmetry-breaking stationary states emerge from fluctuations in order parameters in dissipative lattice models.
L'estudi de propietats de sistemes quantics formats per moltes particules es inherentment una tasca dificil. De fet, la solucio de problemes classics similars ja es un problema desafiant, encara mes complicat per la naturalesa quantica de les interaccions. Els recursos necessaris per l'estudi d'estats quantics en un espai de Hilbert creix exponencialment amb el nombre de particules. Resultats analitics son restringits a situacions particulars, i els resultats numerics son possibles nomes pera a poques particules. La teoria de la informacio quantica (QIT) proporciona una nova perspectiva per estudiar i explicar conceptes fonamentals de mecanica quantica, aprofitant aquest fenomens per dissenyar noves tecniques pel processat i manipulacio de la informacio. El desenvolupament de la QIT te una connexio directa amb els recents avencos experimental principalment en la interaccio de llum i la materia. Tot i tractar-se d'un camp relativament jove, aquest resultat teorics i experimental ja s'han traduit en aplicacions tecnologiques. La tesi s'ubica enmig de totes aquestes disciplines, actualment un camp de recerca molt fertil. Es centra en l'estudi de hamiltonians locals des de la perspectiva de la QIT, amb resultats en materia condensada. Es centra en metodes numerics per l'estudi de sistemes quantics formats per moltes particules, mostrant com resultats de QIT poden ser emprats en l'estudi de sistemes complexos. Es tracta d'un treball principalment numeric, amb resultats teorics pera a alguns casos particulars. Tot i aixo identifiquem propietats fonamentals dels sistemes quantics que apareixen indistintament en sistemes formats per especies completament diferents, fermions i bosons. Hem explorat les propietats fisiques dels estats termics de sistemes de moltes particules corresponents a situacions amb soroll termic. Estats termics son tipicament presents e escenaris experimentals, pero el seu estudi en llenguatge de la QIT es veu limitat per la dificultat de caracteritzar l' entanglement en estats mescla. Hem presentat un metode constructiu per mostrar la presencia de correlacions quantiques al sistema. A baixes temperatures, la fisica dels sistemes de moltes particules es dominada per les propietats de l'estat fonamental. Els hamiltonians locals poden ser simulats eficientment amb mitjans classics gracies a les propietats de l' entanglement de l'estat fonamental. Mostrem en aquesta tesi com la distancia d'interaccio juga un paper menor en aquest escenari, permetent una simulacio eficient en escenaris mes connectats que l'estandard regim d'interaccio al primers veins. La generalitat d'alguns dels resultats de la tesi permet una extensio directa. La nostra recerca actual es centra en la continuacio d'aquests resultats. Per una banda, la termodinamica quantica es un camp tan ampli que pot ser estes a multiples escenaris, en concret les geometries 2D permeten un millor estudi de la relacio entre lleis d'area i correlacions. Per altra banda, els metodes SDP desenvolupats en la tesi es poden adaptar a diferents problemes quantics, gracies a la seva generalitat basada en l' anticommutacio d'operadors.
Aquesta tesi tracta l’estudi de xarxes quantiques amb una estructura complexa, les implicacions que aquesta estructura te en la distribucio d’entrellacament i com el seu funcionament pot ser millorat mitjancant operacions en el regim quantic. Primer considerem xarxes complexes d’estats bipartits, tant purs com mescla, i estudiem la distribucio d’entrellacament a llargues distancies. Despres passem a analitzar xarxes de canals sorollosos i estudiem la creacio i distribucio de grans estats multipartits. El treball contingut en aquesta tesi esta motivat principalment per la idea que la interaccio entre la informacio quantica i les xarxes complexes pot donar lloc a una nova comprensio i caracteritzacio dels sistemes naturals. Les xarxes complexes tenen una importancia particular en les infraestructures de comunicacio, ja que la majoria de xarxes de telecomunicacio tenen una estructura complexa. En el cas de xarxes quantiques, que son el marc necessari per al processament distribuit d’informacio i comunicacio quantica, es ben possible que en el futur adquireixin una topologia complexa semblant a la de les xarxes existents, o que fins i tot es desenvolupin metodes per a utilitzar les infraestructures actuals en el regim quantic. Una tasca central en les xarxes quantiques es dissenyar estrategies per distribuir entrellacament entre els seus nodes. En la primera part d’aquesta tesi, considerem la distribucio d’entrellacament bipartit com un proces de percolacio d’entrellacament en una xarxa complexa. Des d’aquest enfocament, s’estableix entrellacament perfecte de manera probabilistica entre dos nodes arbitraris. Veiem que, per a xarxes grans, la probabilitat d’aconseguir-ho es una constant estrictament major que zero (i independent de la mida de la xarxa) si la quantitat inicial d’entrellacament esta per sobre d’un cert valor critic. La mecanica quantica ofereix aqui la possibilitat de canviar l’estructura de la xarxa sense necessitat d’establir nous canals “fisics”. Mitjancant una transformacio local adequada de la xarxa, es pot disminuir l’entrellacament critic i augmentar la probabilitat. Apliquem aquesta transformacio a models de xarxes complexes amb una distribucio de graus arbitraria. En el cas de xarxes sorolloses d’estats mescla, veiem que per algunes classes d’estat es pot utilitzar el mateix enfocament de percolacio d’entrellacament. Per a estats mescla generals considerem una percolacio de llargada de cami limitada per la quantitat de soroll de les connexions. Veiem com les xarxes complexes ofereixen encara un gran avantatge en la probabilitat de connectar dos nodes. En la segona part, passem a l’escenari multipartit. Estudiem la creacio i distribucio d’estats graf amb una estructura que imita la de la xarxa de comuicacio subjacent. En aquest cas, utilitzem una xarxa complexa arbitraria amb canals sorollosos, i considerem que les operacions i mesures son tambe sorolloses. Proposem un metode eficient per a distribuir i purificar petits subgrafs, que despres es fusionen per a reproduir l’estat desitjat. Comparem aquest enfocament amb dos protocols bipartits basats en un node central i coneixement complet de l’estructura de la xarxa. Mostrem que la fidelitat dels estats graf generats es pot escriure com la funcio de particio d’un sistema desordenat de spins classics (un vidre de spins), i la seva taxa de decaiment es l’analeg de l’energia lliure. Utilitzant els tres protocols en una xarxa unidimensional i en xarxes complexes veiem que son tots comparables, i que en alguns casos el protocol de subgrafs proposat, que necessita nomes informacio local de la xarxa, te inclus un comportament millor.
Thermodynamics typically concerns the physical behaviour of macroscopic systems comprised of many particles. However, recent theoretical progress has extended the theory to both the classical-stochastic and quantum regimes, where systems are comprised of just a small number of particles. In this thesis I investigate a range of situations in which new thermodynamic phenomena emerge due to the reduced size of the systems involved. One central assumption in macroscopic thermodynamics is the weak coupling approximation, which posits that the equilibrium properties of a system are not influenced by the interactions with its surrounding environment. However, for microscopic systems this assumption can break down, and I derive new fluctuation relations that provide a refined form of the second law of thermodynamics in this strong-coupling regime, taking into account corrections stemming from these interactions. In this work I provide a characterisation of stochastic heat and entropy production for small scale classical systems that are defined regardless of the strength of interaction. I then show that these definitions lead to a consistent thermodynamic framework valid beyond the usual weak-coupling regime. The thesis also concerns the effect of interactions on the equilibrium properties of strongly-coupled quantum systems, and I investigate how these interactions can influence the resulting temperature fluctuations in this regime. Using tools from quantum estimation theory, I derive an uncertainty relation between energy and temperature valid at all coupling strengths and system sizes. The relation reveals how quantum energy coherences contribute to statistical fluctuations in the estimated temperature of small- scale systems. Finally, I investigate how quantum fluctuations influence the statistics of work extracted from slowly-driven quantum systems. I prove that, unlike in classical systems, the work dissipated by a general quantum system is no longer proportional to its statistical fluctuations. This result reveals new subtleties involved in designing optimal quantum thermodynamic processes.
Aquesta tesi està dividida asimètricament en dues parts: la primera desenvolupa una teoria per transport òptim quàntic, la segona estableix una regla de la cadena per l'entropia relativa quàntica. Aquests dos temes, aparentment independents, es connecten en aquesta tesi mitjançant la noció d'estats en el temps (''states over time''). Aquest concepte té l'objectiu de caracteritzar les propietats de l'evolució de sistemes quàntics, en contrast amb el concepte de ''estats en l'espai'', més familiar, que descriu les correlacions entre estats espacialment separats. Descriure correlacions quàntiques en el temps resulta ser considerablement més subtil i intricat, cosa que requereix noves estructures matemàtiques per capturar la composició i transformació d'aquests sistemes. En la primera part, dedicada a transport òptim quàntic (''quantum optimal transport''), busquem un anàleg quàntic a la teoria clàssica mitjançant la identificació la codificació adequada dels elements del problema---en particular, l'estat inicial (una matriu densitat) i els plans de transport admissibles (canals quàntics)---en un sol objecte matemàtic anomenat acoblament (''coupling''). Comencem amb una formulació ingènua, inspirada per la formulació clàssica, basada en l'ús d'estats quàntics conjunts com a acoblament. Desenvolupem aquest acoblament i identifiquem les seves peculiars (indesitjables) propietats per motivar la nostra cerca amb un enfocament diferent. En el nou enfocament, que constitueix el tema principal d'aquest treball, busquem un acoblament bilineal que permeti la composició natural de canals, per tal d'obtenir una noció consistent d'estat en el temps. Amb aquesta restricció, el producte de Jordan emergeix com a noció físicament motivada d'acoblament. Partint d'això, definim el cost òptim de transport quàntic com la minimització d'un funcional de cost sobre tots els canals admissibles que connecten els dos estats i estudiem les seves propietats físiques i matemàtiques. Parem especial atenció a costos invariants sota accions unitàries, cosa que permet simplificar i resoldre analíticament el problema per estats que commuten o amb altres estructures. Aquests exemples revelen profundes diferències estructurals entre les nocions clàssiques i quàntiques de transport òptim. En la segona part, dedicada a regles de la cadena per l'entropia relativa quàntica, revisitem una de les mesures de distingibilitat més fonamentals en teoria de la informació quàntica, que destaca per la seva significança operacional en tests d'hipòtesi. En teoria de probabilitat clàssica, l'entropia relativa compleix una regla de la cadena que descompon el canvi total en entropia relativa sota l'acció de dos processos estocàstics en una mitjana divergències de les distribucions puntuals sota l'acció dels processos. Tanmateix, en el cas quàntic només es coneixien versions asimptòtiques, regularitzades d'aquesta regla de la cadena. En aquesta obra, derivem dues regles de la cadena quàntiques basades en un sol sistema. La primera generalitza la noció clàssica de distribucions puntuals a un conjunt d'estats quàntics construïts per l'acció d'operadors de mesura sobre estats en el temps. La segona manté projectors ortonormals de rang u, però imposa una condició suficient que restringeix la generalitat de l'equació. Junts, aquests resultats mostren que és possible obtenir regles de la cadena significatives en el règim d'un sol sistema, però també ressalten els obstacles fonamentals a una generalització total i la necessitat per desigualtats més ajustades.