Aquesta tesi està dividida asimètricament en dues parts: la primera desenvolupa una teoria per transport òptim quàntic, la segona estableix una regla de la cadena per l'entropia relativa quàntica. Aquests dos temes, aparentment independents, es connecten en aquesta tesi mitjançant la noció d'estats en el temps (''states over time''). Aquest concepte té l'objectiu de caracteritzar les propietats de l'evolució de sistemes quàntics, en contrast amb el concepte de ''estats en l'espai'', més familiar, que descriu les correlacions entre estats espacialment separats. Descriure correlacions quàntiques en el temps resulta ser considerablement més subtil i intricat, cosa que requereix noves estructures matemàtiques per capturar la composició i transformació d'aquests sistemes. En la primera part, dedicada a transport òptim quàntic (''quantum optimal transport''), busquem un anàleg quàntic a la teoria clàssica mitjançant la identificació la codificació adequada dels elements del problema---en particular, l'estat inicial (una matriu densitat) i els plans de transport admissibles (canals quàntics)---en un sol objecte matemàtic anomenat acoblament (''coupling''). Comencem amb una formulació ingènua, inspirada per la formulació clàssica, basada en l'ús d'estats quàntics conjunts com a acoblament. Desenvolupem aquest acoblament i identifiquem les seves peculiars (indesitjables) propietats per motivar la nostra cerca amb un enfocament diferent. En el nou enfocament, que constitueix el tema principal d'aquest treball, busquem un acoblament bilineal que permeti la composició natural de canals, per tal d'obtenir una noció consistent d'estat en el temps. Amb aquesta restricció, el producte de Jordan emergeix com a noció físicament motivada d'acoblament. Partint d'això, definim el cost òptim de transport quàntic com la minimització d'un funcional de cost sobre tots els canals admissibles que connecten els dos estats i estudiem les seves propietats físiques i matemàtiques. Parem especial atenció a costos invariants sota accions unitàries, cosa que permet simplificar i resoldre analíticament el problema per estats que commuten o amb altres estructures. Aquests exemples revelen profundes diferències estructurals entre les nocions clàssiques i quàntiques de transport òptim. En la segona part, dedicada a regles de la cadena per l'entropia relativa quàntica, revisitem una de les mesures de distingibilitat més fonamentals en teoria de la informació quàntica, que destaca per la seva significança operacional en tests d'hipòtesi. En teoria de probabilitat clàssica, l'entropia relativa compleix una regla de la cadena que descompon el canvi total en entropia relativa sota l'acció de dos processos estocàstics en una mitjana divergències de les distribucions puntuals sota l'acció dels processos. Tanmateix, en el cas quàntic només es coneixien versions asimptòtiques, regularitzades d'aquesta regla de la cadena. En aquesta obra, derivem dues regles de la cadena quàntiques basades en un sol sistema. La primera generalitza la noció clàssica de distribucions puntuals a un conjunt d'estats quàntics construïts per l'acció d'operadors de mesura sobre estats en el temps. La segona manté projectors ortonormals de rang u, però imposa una condició suficient que restringeix la generalitat de l'equació. Junts, aquests resultats mostren que és possible obtenir regles de la cadena significatives en el règim d'un sol sistema, però també ressalten els obstacles fonamentals a una generalització total i la necessitat per desigualtats més ajustades.
Aquesta tesi està dividida asimètricament en dues parts: la primera desenvolupa una teoria per transport òptim quàntic, la segona estableix una regla de la cadena per l'entropia relativa quàntica. Aquests dos temes, aparentment independents, es connecten en aquesta tesi mitjançant la noció d'estats en el temps (''states over time''). Aquest concepte té l'objectiu de caracteritzar les propietats de l'evolució de sistemes quàntics, en contrast amb el concepte de ''estats en l'espai'', més familiar, que descriu les correlacions entre estats espacialment separats. Descriure correlacions quàntiques en el temps resulta ser considerablement més subtil i intricat, cosa que requereix noves estructures matemàtiques per capturar la composició i transformació d'aquests sistemes. En la primera part, dedicada a transport òptim quàntic (''quantum optimal transport''), busquem un anàleg quàntic a la teoria clàssica mitjançant la identificació la codificació adequada dels elements del problema---en particular, l'estat inicial (una matriu densitat) i els plans de transport admissibles (canals quàntics)---en un sol objecte matemàtic anomenat acoblament (''coupling''). Comencem amb una formulació ingènua, inspirada per la formulació clàssica, basada en l'ús d'estats quàntics conjunts com a acoblament. Desenvolupem aquest acoblament i identifiquem les seves peculiars (indesitjables) propietats per motivar la nostra cerca amb un enfocament diferent. En el nou enfocament, que constitueix el tema principal d'aquest treball, busquem un acoblament bilineal que permeti la composició natural de canals, per tal d'obtenir una noció consistent d'estat en el temps. Amb aquesta restricció, el producte de Jordan emergeix com a noció físicament motivada d'acoblament. Partint d'això, definim el cost òptim de transport quàntic com la minimització d'un funcional de cost sobre tots els canals admissibles que connecten els dos estats i estudiem les seves propietats físiques i matemàtiques. Parem especial atenció a costos invariants sota accions unitàries, cosa que permet simplificar i resoldre analíticament el problema per estats que commuten o amb altres estructures. Aquests exemples revelen profundes diferències estructurals entre les nocions clàssiques i quàntiques de transport òptim. En la segona part, dedicada a regles de la cadena per l'entropia relativa quàntica, revisitem una de les mesures de distingibilitat més fonamentals en teoria de la informació quàntica, que destaca per la seva significança operacional en tests d'hipòtesi. En teoria de probabilitat clàssica, l'entropia relativa compleix una regla de la cadena que descompon el canvi total en entropia relativa sota l'acció de dos processos estocàstics en una mitjana divergències de les distribucions puntuals sota l'acció dels processos. Tanmateix, en el cas quàntic només es coneixien versions asimptòtiques, regularitzades d'aquesta regla de la cadena. En aquesta obra, derivem dues regles de la cadena quàntiques basades en un sol sistema. La primera generalitza la noció clàssica de distribucions puntuals a un conjunt d'estats quàntics construïts per l'acció d'operadors de mesura sobre estats en el temps. La segona manté projectors ortonormals de rang u, però imposa una condició suficient que restringeix la generalitat de l'equació. Junts, aquests resultats mostren que és possible obtenir regles de la cadena significatives en el règim d'un sol sistema, però també ressalten els obstacles fonamentals a una generalització total i la necessitat per desigualtats més ajustades.
Aquesta tesi estudia la verificació de sistemes quàntics en escenaris on l'accés a informació crucial és limitat. Mentre que en el control de qualitat clàssic els defectes poden, en principi, detectar-se de manera determinista, la naturalesa probabilística de la mecànica quàntica imposa limitacions inherents. Aquest fet planteja la pregunta: fins a quin punt és possible identificar de manera fiable defectes en estats i processos quàntics? Per respondre aquesta pregunta s'estudia la discriminació d'estats i canals quàntics en contextos universals, és a dir, quan no es coneix la forma específica de les hipòtesis. L'objectiu és establir rendiments de referència i dissenyar protocols òptims que continuïn sent vàlids sota condicions d'ignorància parcial. La manera d'abordar l'objectiu és mitjançant la combinació d'eines d'optimització convexa amb mètodes de teoria de representacions. La programació semidefinida ofereix el marc per formular els problemes de discriminació com a problemes d'optimització sobre operadors. Per la seva banda, la dualitat de Schur-Weyl i els esquemes d'associació permeten captar la simetria dels problemes estudiats, així com reduir de manera significativa la seva complexitat. Més enllà de la discriminació d'estats, l'isomorfisme de Choi-Jamiołkowski i el formalisme de xarxes quàntiques estenen aquestes tècniques a l'anàlisi de canals quàntics. La primera contribució se centra en el problema anomenat edge detection. Una seqüència de sistemes es divideix en dos dominis, cadascun preparat en un estat desconegut però diferent, i l'objectiu consisteix a identificar la frontera que els separa. Es presenta un protocol òptim per a aquest problema, juntament amb un càlcul eficient de la seva probabilitat d'èxit basat en la dualitat de Schur-Weyl i el formalisme de matrius de Gram. A més, s'explora un escenari mixt, en què els estats passen de ser coneguts a desconeguts, cosa que pot resultar útil per detectar defectes en processos de producció d'estats quàntics. La segona contribució introdueix la detecció quàntica d'anomalies múltiples, en què un conjunt de fonts ha de produir un estat de referència, encara que algunes poden fallar i generar estats anòmals. Es consideren dos casos. En el primer, tant l'estat de referència com els estats anòmals són coneguts; aquest problema es resol analíticament aprofitant l'estructura algebraica dels esquemes d'associació de Johnson, la qual cosa permet obtenir estratègies òptimes tant en el règim d'error mínim com en el d'identificació sense error (inequívoca). En el segon cas, ambdues classes d'estats són desconegudes, i es desenvolupa un protocol universal la optimalitat del qual s'estableix a través de la dualitat de Schur-Weyl. Finalment, la tercera contribució estén la detecció d'anomalies a l'àmbit dels canals quàntics. S'assumeix que els dispositius implementen una operació unitària donada, encara que un subconjunt d'aquests aplica en el seu lloc unitàries desconegudes. Es deriven protocols òptims sense error per identificar aquests dispositius defectuosos, emprant l'isomorfisme de Choi-Jamiołkowski i el formalisme de xarxes quàntiques. L'anàlisi mitjançant teoria de representació i la dualitat mixta de Schur-Weyl demostra que el rendiment òptim pot assolir-se amb estats d'entrada entrellaçats, sistemes auxiliars i estratègies paral·leles.
Aquest treball s'emmarca en el camp de l'estudi i simulació del comportament de sistemes quàntics complexos, les propietats dels quals vénen dictades per les lleis de la física quàntica. Aquestes juguen un paper fonamental en una varietat de sistemes físics, des de matèria condensada, sistemes superfluids i superconductors, líquids quàntics com l'He a molt baixa temperatura o trampes d'àtoms freds formant condensats de Bose - Einstein. En l'estudi de tots aquests sistemes han adquirit un paper de gran rellevància les tècniques de Quantum Monte Carlo, que es basen en la simulació directa de les partícules que componen el sistema, que es regeixen universalment per l'equació de Schrödinger, que descriu exactament, excepte per efectes relativistes, el comportament quàntic de la matèria. En aquest projecte ens dedicarem a crear una eina que apliqui mètodes estocàstics actuals, i permeti comparar-los amb la nostra implementació d'un mètode molt recent que aconsegueix extreure informació molt precisa del sistema basant-se en postulats de la mecànica quàntica.
Podria dir-se que la termodinàmica ha sigut una de les rames més poderoses de la física, i la més universal per la seva varietat d'aplicacions. Des de motors de vapor fins a forats negres, les lleis de la termodinàmica semblen regir-ho tot. Tot i així, fins i tot els conceptes més bàsics de termodinàmica ràpidament es compliquen per a la mecànica quàntica. La definició de conceptes senzills com el treball és paradoxalment un problema obert amb múltiples respostes incompatibles. I encara pitjor: la definició més acceptada de treball per la termòdinàmica quàntica, l'esquema "two-point measurement" (TPM) generalment viola la primera llei. Mirant des de la perspectiva de la teoria quàntica de camps, la situació és encara pitjor, perquè l'esquema TPM hi està mal definit. Nosaltres analitzarem definicions de distribucions de treball alternatives per a la teoria quàntica de camps tals que a) estiguin ben definides b) tinguin una interpretació física c) permetin fer càlculs no perturbatius i d) compleixin la primera llei de la termodinàmica per a les mitjanes i les variàncies a més d'alguns dels teoremes de fluctuacions més importants, com el teorema de Crooks o la igualtat de Jarzynski. Ensenyarem com, per a estats KMS (tèrmics), podem proporcionar els estadístics exactes de treball i increment d'energia interna per a operacions unitàries sobre un camp quàntic que estan localitzades en l'espai i en el temps.
Fa més d'un segle els físics de tot el món desenvolupaven una teoria per descriure comportaments estranys recentment descobertes d'alguns sistemes físics, això marca el naixement de la Teoria Quàntica. Algunes dècades més tard, la idea revolucionària de separar la informació de la seva companyia física va conduir a l'establiment de la Teoria de la Informació. Aquests al principi es van unir les teories independents en les últimes dècades del segle anterior deixant-nos de Teoria de la Informació Quàntica. Aquesta tesi explorarà una intersecció entre matemàtiques, física i informàtica, tractant d'aclarir l'entrellaçat de l'anterior. Tot seguit, es van establir els resultats que es van establir durant els anys d'estudis que van dur a aquest treball. La pregunta plantejada en el títol no es respondrà plenament ja que pot ser massa aviat per donar una resposta definitiva a aquesta àmplia pregunta.
El treball presentat en aquesta tesi es dedica a la comprensió de desafiaments pràctics i conceptuals en la simulació de propietats dinàmiques més enllà de l'aproximació quasi-estàtica en dispositius quàntics d'estat sòlid en escenaris on és necessari un tractament mecànic quàntic complet. Els resultats d'aquesta tesi són particularment rellevants per al càlcul de les fluctuacions del corrent elèctric en el règim de THz, per a l'avaluació dels temps de túnel que defineixen la freqüència de tall dels dispositius operats a alta freqüència, o per a l'avaluació del treball termodinàmic per a la realització de motors tèrmics quàntics. Les propietats dinàmiques esmentades impliquen mesures en diversos temps i, per tant, són sensibles a la ""retracció"" quàntica de la mesura. En el context de la mecànica quàntica ortodoxa, la definició d'aquestes propietats dinàmiques no es pot desvincular de l'especificació de l'aparell de mesura. És a dir, definir propietats dinàmiques intrínseques o independents dels aparells de mesura és incompatible amb els postulats de la mecànica quàntica ortodoxa. Per tot plegat, un enginyer de dispositius com jo, que treballa en problemes pràctics relacionats amb els dispositius d'estat sòlid actuals i futurs, es veu obligat a aprofundir en els fonaments de la mecànica quàntica. En aquest sentit, mostraré que les dificultats associades a la comprensió de propietats dinàmiques de sistemes quàntics es poden resoldre mirant més enllà de la mecànica quàntica ortodoxa. En particular, he explorat la interpretació modal de la mecànica quàntica, que és una teoria quàntica matemàticament precisa que reprodueix tots els fenòmens de la mecànica quàntica. Mostraré que les propietats intrínseques es poden definir fàcilment en aquest nou context (no ortodox). Demostraré també que les propietats intrínseques es poden identificar amb la mesura de "weak values" i, per tant, que es poden mesurar. Centrat en una teoria modal particular, viz., la mecànica de Bohm, es discutirà i s'aplicarà un simulador de transport d'electrons per abordar qüestions tant metodològiques com pràctiques relacionades amb la simulació del transport quàntic d'electrons. L'ontologia de la mecànica de Bohmian permet descriure de manera natural sistemes quàntics oberts monitoritzats contínuament amb una descripció precisa dels estats condicionals per als règims markovians i no markovians. Això ajuda a proporcionar un enfocament alternatiu a la matriu densitat en la descripció de sistemes quàntics oberts, que escala exponencialment amb el nombre de graus de llibertat. Tantmateix, l'estratègia d'estats condicionals Bohmians, que ha conduït al desenvolupament del simulador de transport d'electrons BITLLES, es demostrarà en el càlcul dels temps de permanència dels electrons en una barrera de grafè de dos terminals. Es demostrarà que les trajectòries de Bohmian són molt adequades per proporcionar una descripció inequívoca dels temps de trànsit (túnel) i la seva relació amb les freqüències de tall en dispositius electrònics pràctics. Finalment, es discutirà un protocol que incorpora mesures similars als "collective measurements" per eludir la incertesa de mesura en dispositius electrònics de computació clàssica i quàntica.
[CA] Els qubits, les unitats bàsiques de la informació en la computació quàntica, no són sistemes aïllats sinó que interactuen amb el seu entorn. Aquesta interacció genera errors de decoherència i dissipació, que afecten el processament quàntic. La teoria dels sistemes quàntics oberts proporciona un marc matemàtic per estudiar aquestes interaccions i modelar diferents tipus de soroll. Emprarem l'equació mestra de Lindblad, resultat d'aquesta teoria, per a modelar la dissipació i la decoherència, i establir l'origen dels temps T_1 i T_2 que són dues mètriques que caracteritzen el temps màxim que un qubit pot realitzar operacions.