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Analise e construção de codigos quanticos topologicos sobre variedades bidimensionais

Clarice Dias de Albuquerque

Published Mar 4, 2009• 1 citation
Publisher

Abstract

Neste trabalho apresentamos um amplo estudo de codigos quânticos topologicos, trazendo inovacao para esta area. Inicialmente geramos novos codigos quânticos teoricos, dentre os quais se destaca a classe [[d2,2,d]] cujos parâmetros sao os melhores ate entao apresentados para este tipo de codigo. Nesta proposta sistematizamos a construcao de codigos teoricos baseados em teoria de grupos e tambem em analise combinatoria. Com respeito aos codigos quânticos topologicos em superficies com genero g = 2, apresentamos uma construcao baseada em geometria hiperbolica, generalizando a construcao de Kitaev. Reproduzimos e ampliamos a classe de codigos quânticos com distancia 3 decorrentes de mergulhos de grafos completos em superficies com generos especificos obtidos primeiramente por Bombin e Martin-Delgado, com o diferencial de descreve-los geometricamente e exibir claramente seus parâmetros. Obtemos uma classe de codigos MDS Maximum Distance Separable). Explicitamos em tabelas os melhores codigos para superficies com genero g = 2,3,4 e 5 obtidos a partir dessa construcao, e analisamos esses resultados. Abstract

DOI
10.47749/t/unicamp.2009.445732

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Construção de Novos Códigos Quânticos Tóricos

Clarice Dias de Albuquerque, Reginaldo Palazzo, Eduardo Brandani da Silva

Resumo-Este artigo apresenta um método para obter códigos quânticos tóricos através de uma abordagem de teoria de grupos, usando tesselac ¸ões no reticulado quadrado do toro.Com essa construc ¸ão é possível reproduzir códigos já conhecidos e gerar outras in úmeras classes de códigos quânticos tóricos, dentre os quais destaca-se a classe [[d 2 , 2, d]] que fornece a melhor taxa de codificac ¸ão até então encontrada para esses tipos de códigos.Palavras-Chave-Códigos quânticos, códigos tóricos, códigos quânticos topológicos, códigos reticulados.

Anais de XXXV Simpósio Brasileiro de Telecomunicações e Processamento de Sinais•Jan 1, 2009•0 citations

Algebraic-geometric codes and their applications to code theory quantum.

Francisco Revson F. Pereira

Nesta tese de doutorado são investigadas aplicações de códigos algébrico-geométricos na construção de códigos estabilizadores, códigos quânticos assistidos por emaranhamento e códigos convolucionais clássicos e quânticos. Uma análise comparativa dos códigos criados com os códigos presentes na literatura também é feita. O primeiro resultado mostrado é sobre a obtenção de novos códigos algébrico-geométricos a partir de considerações sobre divisores de corpos de funções. Posteriormente, para a classe de códigos estabilizadores, dois tipos de métodos de construções de códigos estabilizadores com comprimento finito, e um para análise assintótica de códigos derivados de uma torre de códigos algébrico-gemétricos, são apresentados. Essa análise assintótica é feita sobre expansão de códigos algébrico- geométricos, o que difere dos trabalhos anteriores da literatura. Partindo para os códigos quânticos assistidos por emaranhamento, é mostrado que a utilização de códigos algébrico- geométricos na construção de códigos quânticos assistidos por emaranhamento é possível através de um resultado mostrado também nesta tese. Com isso, são construídas três famílias de códigos quânticos assistidos por emaranhamento utilizando a construção euclidiana destes códigos quânticos, além de mais uma pela construção hermitiana. Também é mostrado a existência de uma família assintoticamente boa, em termos de taxa e emaranhamento relativo, de códigos quânticos assistidos por emaranhamento. Códigos cíclicos também são aplicados na construção de códigos quânticos assistidos por emaranhamento. Descrevendo códigos cíclicos via conjunto de definição é possível diminuir a complexidade de criação e descrição dos códigos quânticos criados. Duas famílias com parâmetros ótimos são construídas através da utilização de códigos cíclicos. Por fim, para a construção de códigos convolucionais clássicos via códigos de blocos, é utilizado o método de construção proposto inicialmente por Piret. Uma análise deste método é feita por meio da construção de uma matriz geradora na forma canônica controladora e pelo cálculo da identidade de MacWilliams. Aplicando códigos algébrico- geométricos ao método de Piret são criados novos códigos convolucionais com parâmetros melhores que os códigos convolucionais existentes na literatura. Também são construídos códigos convolucionais quânticos a partir de códigos algébrico-geométricos.

•Nov 26, 2019•0 citations

Construção de Códigos Assimétricos de Superfície sobre Superfícies não Orientáveis

Waldir Silva Soares, Eduardo B. da Silva, Giuliano G. La Guardia +1 more

O primeiro código quântico corretor de erros (CQCE) foi proposto por Shor [11]. A partir dessa publicação, muitos pesquisadores têm focado atenção na construção e/ou investigação de propriedades de novas famílias de códigos quânticos. Os códigos assimétricos têm a propriedade de proteção desigual para diferentes tipos de erros: a distância mínima para erros do tipo Z (dz ) é diferente da distância mínima para erros do tipo X (dx ). No que concerne ao código de superfície, este é um tipo particular da classe de códigos Calderbank-Shor-Steane (CSS) [5]. No código de superfície, tanto os qubits quanto os operadores estabilizadores estão associados a elementos geométricos da respectiva superfície e dependem fortemente da topologia da mesma. Neste trabalho, utilizamos a formulação dos códigos quânticos assimétricos de superfície (CQAS) proposta por Al- buquerque et. al. [1], definidos sobre superfícies orientáveis, e construímos CQAS sobre superfícies não orientáveis. Verificamos que alguns CQAS propostos neste artigo possuem taxa de codificação melhores que os correspondentes obtidos em [1], os quais são derivados de superfícies orientáveis de mesmo gênero.

Proceeding Series of the Brazilian Society of Computational and Applied Mathematics•Dec 18, 2023•0 citations

Um estudo sobre códigos quânticos topológicos

Rafaela Cristina Oliveira da Cunha

Nesse trabalho, estamos interessados em explorar os fundamentos no estudo dos códigos corretores de erros, tanto no contexto clássico quanto no quântico. Para isso, buscamos contextualizar os desafios da informação quântica em relação à informação clássica e a necessidade de técnicas específicas para lidar com a fragilidade dos estados quânticos. Apresentamos os códigos quânticos coloridos, uma classe promissora de códigos quânticos que combina elementos topológicos para oferecer maior robustez e eficiência na correção de erros.

•Mar 11, 2025•0 citations

Análise assintótica de passeios quânticos para algoritmos de busca com múltiplos marcados

Pedro H. G. Lugão

Dado um grafo qualquer é possível definir um operador que representa a evolução de estados respeitando a localidade do grafo. A busca quântica, representada por uma pequena perturbação em alguns nós nesse operador de evolução para marcá-los, se baseia em evoluir o estado quântico por um determinado número de passos até que a probabilidade de encontrar um dos nós marcados seja máxima. Encontrar o número de passos e a probabilidade de sucesso final em grafos de interesse com um número qualquer de marcados é o principal objetivo deste trabalho. Para tal, desenvolvemos um método analítico que obtém uma expressão assintótica no número de nós para as quantidades desejadas a partir da análise de dois autovetores principais da matriz de evolução. O método foi desenvolvido para o caso de passeios discretos e contínuos, com exemplos na malha bidimensional e em grafos de Johnson, respectivamente e ambos com dois elementos marcados. Para um exemplo ainda mais geral é apresentada a análise de passeios contínuos em t-designs, uma abstração matemática que nos gera diferentes grafos bipartidos. Neste último caso obtemos expressões analíticas dependendo não apenas dos parâmetros do grafo, como também do número de marcados. Os exemplos estudados são casos onde não há uma teoria tão precisa a respeito da probabilidade de sucesso e tempo ótimo de passeios quânticos e também mostram o potencial do método desenvolvido para lidar com problemas mais gerais.

•Dec 13, 2023•0 citations

Códigos Convolucionais Quânticos Derivados de Códigos Algébrico-Geométricos

Francisco Pereira, Giuliano G. La Guardia, Francisco de Assis

Resumo-Neste artigo, novas famílias de códigos convolucionais quânticos são construídas a partir de códigos algébricogeométricos (AG).Os códigos convolucionais quânticos apresentados são novos no sentido que seus parâmetros são diferentes dos parâmetros dos códigos disponíveis na literatura.Em particular, uma família de códigos com máxima distância de separac ¸ão é apresentada.

Anais de XXXV Simpósio Brasileiro de Telecomunicações e Processamento de Sinais•Jan 1, 2018•0 citations
Neste trabalho apresentamos um amplo estudo de codigos quânticos topologicos, trazendo inovacao para esta area. Inicialmente geramos novos codigos quânticos teoricos, dentre os quais se destaca a classe [[d2,2,d]] cujos parâmetros sao os melhores ate entao apresentados para este tipo de codigo. Nesta proposta sistematizamos a construcao de codigos teoricos baseados em teoria de grupos e tambem em analise combinatoria. Com respeito aos codigos quânticos topologicos em superficies com genero g = 2, apresentamos uma construcao baseada em geometria hiperbolica, generalizando a construcao de Kitaev. Reproduzimos e ampliamos a classe de codigos quânticos com distancia 3 decorrentes de mergulhos de grafos completos em superficies com generos especificos obtidos primeiramente por Bombin e Martin-Delgado, com o diferencial de descreve-los geometricamente e exibir claramente seus parâmetros. Obtemos uma classe de codigos MDS Maximum Distance Separable). Explicitamos em tabelas os melhores codigos para superficies com genero g = 2,3,4 e 5 obtidos a partir dessa construcao, e analisamos esses resultados.
Abstract
Resumo-Este artigo apresenta um método para obter códigos quânticos tóricos através de uma abordagem de teoria de grupos, usando tesselac ¸ões no reticulado quadrado do toro.Com essa construc ¸ão é possível reproduzir códigos já conhecidos e gerar outras in úmeras classes de códigos quânticos tóricos, dentre os quais destaca-se a classe [[d 2 , 2, d]] que fornece a melhor taxa de codificac ¸ão até então encontrada para esses tipos de códigos.Palavras-Chave-Códigos quânticos, códigos tóricos, códigos quânticos topológicos, códigos reticulados.
Nesta tese de doutorado são investigadas aplicações de códigos algébrico-geométricos na construção de códigos estabilizadores, códigos quânticos assistidos por emaranhamento e códigos convolucionais clássicos e quânticos. Uma análise comparativa dos códigos criados com os códigos presentes na literatura também é feita. O primeiro resultado mostrado é sobre a obtenção de novos códigos algébrico-geométricos a partir de considerações sobre divisores de corpos de funções. Posteriormente, para a classe de códigos estabilizadores, dois tipos de métodos de construções de códigos estabilizadores com comprimento finito, e um para análise assintótica de códigos derivados de uma torre de códigos algébrico-gemétricos, são apresentados. Essa análise assintótica é feita sobre expansão de códigos algébrico- geométricos, o que difere dos trabalhos anteriores da literatura. Partindo para os códigos quânticos assistidos por emaranhamento, é mostrado que a utilização de códigos algébrico- geométricos na construção de códigos quânticos assistidos por emaranhamento é possível através de um resultado mostrado também nesta tese. Com isso, são construídas três famílias de códigos quânticos assistidos por emaranhamento utilizando a construção euclidiana destes códigos quânticos, além de mais uma pela construção hermitiana. Também é mostrado a existência de uma família assintoticamente boa, em termos de taxa e emaranhamento relativo, de códigos quânticos assistidos por emaranhamento. Códigos cíclicos também são aplicados na construção de códigos quânticos assistidos por emaranhamento. Descrevendo códigos cíclicos via conjunto de definição é possível diminuir a complexidade de criação e descrição dos códigos quânticos criados. Duas famílias com parâmetros ótimos são construídas através da utilização de códigos cíclicos. Por fim, para a construção de códigos convolucionais clássicos via códigos de blocos, é utilizado o método de construção proposto inicialmente por Piret. Uma análise deste método é feita por meio da construção de uma matriz geradora na forma canônica controladora e pelo cálculo da identidade de MacWilliams. Aplicando códigos algébrico- geométricos ao método de Piret são criados novos códigos convolucionais com parâmetros melhores que os códigos convolucionais existentes na literatura. Também são construídos códigos convolucionais quânticos a partir de códigos algébrico-geométricos.
O primeiro código quântico corretor de erros (CQCE) foi proposto por Shor [11]. A partir dessa publicação, muitos pesquisadores têm focado atenção na construção e/ou investigação de propriedades de novas famílias de códigos quânticos. Os códigos assimétricos têm a propriedade de proteção desigual para diferentes tipos de erros: a distância mínima para erros do tipo Z (dz ) é diferente da distância mínima para erros do tipo X (dx ). No que concerne ao código de superfície, este é um tipo particular da classe de códigos Calderbank-Shor-Steane (CSS) [5]. No código de superfície, tanto os qubits quanto os operadores estabilizadores estão associados a elementos geométricos da respectiva superfície e dependem fortemente da topologia da mesma. Neste trabalho, utilizamos a formulação dos códigos quânticos assimétricos de superfície (CQAS) proposta por Al- buquerque et. al. [1], definidos sobre superfícies orientáveis, e construímos CQAS sobre superfícies não orientáveis. Verificamos que alguns CQAS propostos neste artigo possuem taxa de codificação melhores que os correspondentes obtidos em [1], os quais são derivados de superfícies orientáveis de mesmo gênero.
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