The time evolution of quantum states is studied in the semiclassical limit using the semiclassical propagator in the coherent-state representation.In the semiclassical limit the quantum propagator can be calculated with complex solutions of Hamilton's equations satisfying appropriate boundary conditions.However, not all these solutions can be used in the expression for the propagator.Some trajectories, called non contributing trajectories, give incorrect contributions to the propagator and should be excluded.In this work the issue of non-contributing trajectories, which is one of the most serious problems in the systematic application of semiclassical expression involving complex orbits, is studied.We explore a class of nonlinear one-dimensional problems for which classical and quantum solutions can be analytically obtained.For these problems, the semiclassical propagator can be written explicitty allowing a detailed analisys of the contribution of each trajectory.In this work we will focus on the "squared harmonic oscillator", it can be solved analytically and it is present in problems of nonlinear optics. ResumoA evolução temporal de estados quânticos é estudada do ponto de vista semiclássico usando o propagador na representação de estados coerentes.No limite semiclássico o propagador pode ser calculado em termos de soluções complexas das equações de Hamilton que devem satisfazer condições de contorno apropriadas.No entanto, nem todas as soluções podem ser utilizadas no cálculo do propagador.Certas trajetórias, denominadas não contribuintes devem ser descartadas, pois dão contribuições incorretas ao propagador.Aqui, exploramos a questão das trajetórias não contribuintes, que é um dos problemas mais sérios na aplicação sistemática das expressões semiclássicas envolvendo órbitas complexas.Para isso consideramos uma classe de problemas unidimensionais não-lineares onde as soluções clássicas e quânticas poder ser obtidas analiticamente.Dessa forma, o propagador semiclássico pode ser escrito de forma explícita, o que permite uma análise detalhada da contribuição de cada trajetória.Definimos então um critério mais preciso para a exclusão de soluções espúrias e, enfim, melhorar o cálculo semiclássico.O sistema foco neste estudo foi o oscilador harmônico ao quadrado, cuja dinâmica tem solução analítica e está presente em problemas de óptica não linear.vi vii
The time evolution of quantum states is studied in the semiclassical limit using the semiclassical propagator in the coherent-state representation.In the semiclassical limit the quantum propagator can be calculated with complex solutions of Hamilton's equations satisfying appropriate boundary conditions.However, not all these solutions can be used in the expression for the propagator.Some trajectories, called non contributing trajectories, give incorrect contributions to the propagator and should be excluded.In this work the issue of non-contributing trajectories, which is one of the most serious problems in the systematic application of semiclassical expression involving complex orbits, is studied.We explore a class of nonlinear one-dimensional problems for which classical and quantum solutions can be analytically obtained.For these problems, the semiclassical propagator can be written explicitty allowing a detailed analisys of the contribution of each trajectory.In this work we will focus on the "squared harmonic oscillator", it can be solved analytically and it is present in problems of nonlinear optics. ResumoA evolução temporal de estados quânticos é estudada do ponto de vista semiclássico usando o propagador na representação de estados coerentes.No limite semiclássico o propagador pode ser calculado em termos de soluções complexas das equações de Hamilton que devem satisfazer condições de contorno apropriadas.No entanto, nem todas as soluções podem ser utilizadas no cálculo do propagador.Certas trajetórias, denominadas não contribuintes devem ser descartadas, pois dão contribuições incorretas ao propagador.Aqui, exploramos a questão das trajetórias não contribuintes, que é um dos problemas mais sérios na aplicação sistemática das expressões semiclássicas envolvendo órbitas complexas.Para isso consideramos uma classe de problemas unidimensionais não-lineares onde as soluções clássicas e quânticas poder ser obtidas analiticamente.Dessa forma, o propagador semiclássico pode ser escrito de forma explícita, o que permite uma análise detalhada da contribuição de cada trajetória.Definimos então um critério mais preciso para a exclusão de soluções espúrias e, enfim, melhorar o cálculo semiclássico.O sistema foco neste estudo foi o oscilador harmônico ao quadrado, cuja dinâmica tem solução analítica e está presente em problemas de óptica não linear.vi vii
A propagacao semiclassica consiste na elaboracao e aplicacao de metodos para a resolucao aproximada da equacao de Schrodinger dependente do tempo, assumindo como hipotese que a acao classica do sistema possui valor bastante superior a constante de Planck. Dentro deste contexto, o propagador quântico representa um elemento de interesse central, uma vez que esta grandeza corresponde a amplitude de probabilidade para a transicao entre dois estados do sistema fisico. Em um estagio preliminar de nosso trabalho, empregamos o conceito generalizado de estados coerentes para reformular o propagador quântico em termos de uma integral de caminho. Em seguida, com a utilizacao do metodo do ponto de sela, realizamos uma deducao detalhada para a aproximacao semiclassica do propagador correspondente a uma ampla classe de grupos dinâmicos. A aplicacao deste resultado formal esta subordinada a resolucao de equacoes classicas de movimento sob condicoes de contorno, considerando um espaco de fase com dimensao duplicada. De maneira geral, a busca por trajetorias classicas sujeitas a valores de contorno demonstra elevado custo computacional e complexidade tecnica. Por esta razao, desenvolvemos tres diferentes aproximacoes semiclassicas determinadas exclusivamente por condicoes iniciais. Em uma primeira situacao, elaboramos um metodo de propagacao constituido por uma integral sobre solucoes classicas no espaco de fase duplicado. No segundo caso, com a formulacao do operador semiclassico de evolucao temporal, eliminamos a necessidade pela duplicacao dos graus de liberdade classicos. A terceira abordagem, designada por propagador classico corrigido, esta definida pela contribuicao de uma unica trajetoria. Com o proposito de avaliar a precisao e eficiencia das expressoes semiclassicas adquiridas, exemplificamos a aplicacao destas ferramentas teoricas para os estados coerentes de SU(2) e SU(3). Por fim, apresentamos uma extensa discussao sobre as vantagens introduzidas pelo espaco de fase duplicado na implementacao de uma aproximacao semiclassica. Deste modo, verificamos que solucoes classicas tunelantes possuem uma importante participacao na descricao precisa da penetracao parcial de um pacote de onda em uma barreira de potencial finita. Alem disto, mostramos que o fenomeno quântico de reflexao por um potencial atrativo esta diretamente associado a ocorrencia de trajetorias com comportamento nao-classico
Abstract
Para Hamiltonianas analiticas, e possivel estender equacoes de movimento reais para coordenadas complexas q = q1 + ip2 e p = p1 + iq2 . Dessa forma obtemos H(q,p) = H1 (q1 ,p1 ,q2 ,p2 ) + iH2 (q1 ,p1 ,q2 ,p2 ), onde H1 e H2 sao funcoes reais das variaveis reais q1 ,p1 ,q2 ,p2 e cujas equacoes de movimento sao geradas apenas por H1. Neste trabalho, utilizamos tais coordenadas para calcular as trajetorias complexas do oscilador harmonico, para o qual obtivemos trajetorias periodicas analogas as do caso real para dois graus de liberdade. Para a Hamiltoniana do oscilador harmonico ao quadrado obtivemos um comportamento mais
rico, com trajetorias periodicas em apenas em alguns casos especiais. Essas trajetorias tem papel importante no calculo do limite semiclassico na representacao de estados coerentes.
Esta tese aborda diversos aspectos da propagacao semiclassica de estados coerentes. Determinamos uma expressao bastante geral para o propagador entre tais estados que, ao contrario das formulas existentes na literatura, e valida para pacotes de larguras quaisquer. O resultado, obtido via integracao funcional, depende de trajetorias classicas num espaco de fase complexificado. Aproximacoes baseadas em orbitas reais sao tambem analisadas e demonstra-se a origem comum dos propagadores gaussianos de Heller e BAKKS. Em seguida, e feito um estudo bastante completo da propagacao semiclassica de estados coerentes na representacao de posicao. Os resultados formais obtidos sao aplicados explicitamente para o caso de um pacote gaussiano sob a influencia de um potencial repulsivo suave. Para este sistema, a solucao das equacoes de Hamilton e a propria funcao de onda semiclassica podem ser determinadas analiticamente. O problema das solucoes nao contribuintes, que se origina da aplicacao do metodo do expoente estacionario, e resolvido atraves de imposicoes de consistencia fisica. Os efeitos das causticas no espaco de fase, pontos onde a aproximacao semiclassica de ordem quadratica diverge, sao controlados atraves de correcoes envolvendo funcoes de Airy
Abstract
A supercompleteza da base de estados coerentes gera uma multiplicidade de representacoes da integral de trajetoria de Feynman. Estas diferentes representacoes, embora equivalentes quanticamente, levam a diferentes limites semiclassicos. Baranger et al calcularam o limite semiclassico de duas formas para a integral de trajetoria, sugeridas por Klauder e Skagerstam. Cada uma destas formulas envolve trajetorias governadas por uma diferente representacao classica do operador Hamiltoniano: a representacao P em um caso e a representacao Q no outro. Nesta tese, nos construimos outras duas representacoes da integral de trajetoria, cujos limites semiclassicos envolvem diretamente a representacao de Weyl do operador Hamiltoniano, isto e, a propria Hamiltoniana classica. Mostramos que, no limite semiclassico, a dinâmica na representacao de Weyl e independente da largura dos estados coerentes e o propagador e tambem livre das correcoes de fase encontradas em todos os outros casos. Alem disto, fornecemos uma conexao explicita entre as representacoes quânticas de Weyl e de Husimi no espaco de fases
Abstract
Na presente dissertação, serão estudados e construídos estados semiclássicos de sistemas em movimento infinito, apresentando e discutindo diferentes abordagens para sua construção. Dentre essas abordagens, no caso de partículas massivas, analisaremos a evolução temporal de uma solução particular da equação de Schrödinger. Essa solução corresponde a um pacote de onda que se propaga com uma velocidade, e cujo valor esperado da posição é equivalente ao seu análogo clássico. Para a construção desses pacotes de onda, adotaremos o método de Malkin, Man\'ko e Dodonov. Com base nesse arcabouço matemático, estudaremos os estados semiclássicos no caso de uma partícula livre e, como estudo original, construiremos os estados semiclássicos de uma partícula com aceleração, representando dois sistemas com movimento infinito. A partir dessa fundamentação, interpretaremos como a condição de semiclassicalidade pode ser útil para a análise física do sistema. Como exemplo, construiremos estados semiclássicos para uma partícula sujeita a uma força de atrito e para uma partícula sujeita a uma força de atrito e uma força constante, com modelos do tipo Caldirola-Kanai, com o objetivo de compará-los com as condições semiclássicas da partícula livre e partícula acelerada, assim, permitindo oferecer uma possível interpretação física do Hamiltoniano que incorpora forças dissipativas em modelos tipo Caldirola-Kanai. Será construído também os estados semiclássicos para o oscilador harmônico invertido. Além disso, no contexto de sistemas não massivos, estudaremos as autofunções do operador potencial vetor como estados semiclássicos, e suas diferenças em relação aos estados semiclássicos do campo eletromagnético, que são autofunções da parte positiva do operador do campo elétrico, estes, já bem consolidados na literatura.
O exemplo de Mecânica Quântica Supersimétrica que apresentamos neste trabalho propõe uma abordagem mais atual para compreender sistemas quânticos complexos, utilizando métodos baseados em integrais de trajetória. O oscilador harmônico é um sistema modelar amplamente estudado nos cursos introdutórios de Mecânica Quântica, e a aplicação da supersimetria nesse contexto oferece uma ferramenta eficiente para explorar relações não-triviais entre diferentes estados quânticos. A combinação da supersimetria com o formalismo de integrais de trajetória possibilita uma visão clara das flutuações quânticas e das transições entre estados, proporcionando considerações valiosas sobre a natureza intrínseca dos sistemas físicos em sua abordagem quântica.