A supercompleteza da base de estados coerentes gera uma multiplicidade de representacoes da integral de trajetoria de Feynman. Estas diferentes representacoes, embora equivalentes quanticamente, levam a diferentes limites semiclassicos. Baranger et al calcularam o limite semiclassico de duas formas para a integral de trajetoria, sugeridas por Klauder e Skagerstam. Cada uma destas formulas envolve trajetorias governadas por uma diferente representacao classica do operador Hamiltoniano: a representacao P em um caso e a representacao Q no outro. Nesta tese, nos construimos outras duas representacoes da integral de trajetoria, cujos limites semiclassicos envolvem diretamente a representacao de Weyl do operador Hamiltoniano, isto e, a propria Hamiltoniana classica. Mostramos que, no limite semiclassico, a dinâmica na representacao de Weyl e independente da largura dos estados coerentes e o propagador e tambem livre das correcoes de fase encontradas em todos os outros casos. Alem disto, fornecemos uma conexao explicita entre as representacoes quânticas de Weyl e de Husimi no espaco de fases
Abstract
A supercompleteza da base de estados coerentes gera uma multiplicidade de representacoes da integral de trajetoria de Feynman. Estas diferentes representacoes, embora equivalentes quanticamente, levam a diferentes limites semiclassicos. Baranger et al calcularam o limite semiclassico de duas formas para a integral de trajetoria, sugeridas por Klauder e Skagerstam. Cada uma destas formulas envolve trajetorias governadas por uma diferente representacao classica do operador Hamiltoniano: a representacao P em um caso e a representacao Q no outro. Nesta tese, nos construimos outras duas representacoes da integral de trajetoria, cujos limites semiclassicos envolvem diretamente a representacao de Weyl do operador Hamiltoniano, isto e, a propria Hamiltoniana classica. Mostramos que, no limite semiclassico, a dinâmica na representacao de Weyl e independente da largura dos estados coerentes e o propagador e tambem livre das correcoes de fase encontradas em todos os outros casos. Alem disto, fornecemos uma conexao explicita entre as representacoes quânticas de Weyl e de Husimi no espaco de fases
Abstract
A propagacao semiclassica consiste na elaboracao e aplicacao de metodos para a resolucao aproximada da equacao de Schrodinger dependente do tempo, assumindo como hipotese que a acao classica do sistema possui valor bastante superior a constante de Planck. Dentro deste contexto, o propagador quântico representa um elemento de interesse central, uma vez que esta grandeza corresponde a amplitude de probabilidade para a transicao entre dois estados do sistema fisico. Em um estagio preliminar de nosso trabalho, empregamos o conceito generalizado de estados coerentes para reformular o propagador quântico em termos de uma integral de caminho. Em seguida, com a utilizacao do metodo do ponto de sela, realizamos uma deducao detalhada para a aproximacao semiclassica do propagador correspondente a uma ampla classe de grupos dinâmicos. A aplicacao deste resultado formal esta subordinada a resolucao de equacoes classicas de movimento sob condicoes de contorno, considerando um espaco de fase com dimensao duplicada. De maneira geral, a busca por trajetorias classicas sujeitas a valores de contorno demonstra elevado custo computacional e complexidade tecnica. Por esta razao, desenvolvemos tres diferentes aproximacoes semiclassicas determinadas exclusivamente por condicoes iniciais. Em uma primeira situacao, elaboramos um metodo de propagacao constituido por uma integral sobre solucoes classicas no espaco de fase duplicado. No segundo caso, com a formulacao do operador semiclassico de evolucao temporal, eliminamos a necessidade pela duplicacao dos graus de liberdade classicos. A terceira abordagem, designada por propagador classico corrigido, esta definida pela contribuicao de uma unica trajetoria. Com o proposito de avaliar a precisao e eficiencia das expressoes semiclassicas adquiridas, exemplificamos a aplicacao destas ferramentas teoricas para os estados coerentes de SU(2) e SU(3). Por fim, apresentamos uma extensa discussao sobre as vantagens introduzidas pelo espaco de fase duplicado na implementacao de uma aproximacao semiclassica. Deste modo, verificamos que solucoes classicas tunelantes possuem uma importante participacao na descricao precisa da penetracao parcial de um pacote de onda em uma barreira de potencial finita. Alem disto, mostramos que o fenomeno quântico de reflexao por um potencial atrativo esta diretamente associado a ocorrencia de trajetorias com comportamento nao-classico
Abstract
A formulacao da mecânica quântica por integrais de caminho de Feynman surge como uma terceira representacao da teoria quântica, analoga as outras duas representacoes, de Schrodinger e de Heisenberg, de forma que sao matematicamente equivalentes. Entretanto, na representacao de Feynman o formalismo hamiltoniano e substituido pelo formalismo lagrangiano como ferramenta matematica utilizada na construcao da teoria quântica. Na integracao funcional da mecânica quântica, os operadores deixam de ser os principais objetos de estudo, tal como sao nas outras duas representacoes, dando lugar aos propagadores, que tem uma relacao intrinseca com o operador de evolucao temporal, sendo responsavel direto pela evolucao do estado quântico. Este estudo inicia-se com uma analise matematica do formalismo lagrangiano, fundamental para o desenvolvimento da teoria quântica por integrais de caminho de Feynman. Segue-se com a introducao do propagador quântico a partir da definicao do operador de evolucao temporal para uma hamiltoniana independente do tempo (sistema autonomo isolado). A partir desses conceitos, introduz-se a ideia da integral de caminho, onde agora tem-se que todos os caminhos sao possiveis, ao contrario da acao classica na qual o unico caminho possivel seria aquele em que a acao e um minimo. O estudo continua com a integral de trajetoria e sua analogia com a integral de Riemann. Em seguida, investiga-se as regras para dois eventos sucessivos, e tambem, as regras para varios eventos sucessivos. Por um, utiliza-se os conhecimentos obtidos da Integral de Caminho de Feynman para resolver o Oscilador Harmonico Simples e o Oscilador Harmonico Forcado, calculando-se suas autofuncoes e autovalores atraves do propagador quântico, obtendo-se resultados semelhantes aos encontrados por Schrodinger e Heisenberg, comprovando-se a equivalencia dessa representacao com as outras duas representacoes da mecânica quântica.
Esta tese aborda diversos aspectos da propagacao semiclassica de estados coerentes. Determinamos uma expressao bastante geral para o propagador entre tais estados que, ao contrario das formulas existentes na literatura, e valida para pacotes de larguras quaisquer. O resultado, obtido via integracao funcional, depende de trajetorias classicas num espaco de fase complexificado. Aproximacoes baseadas em orbitas reais sao tambem analisadas e demonstra-se a origem comum dos propagadores gaussianos de Heller e BAKKS. Em seguida, e feito um estudo bastante completo da propagacao semiclassica de estados coerentes na representacao de posicao. Os resultados formais obtidos sao aplicados explicitamente para o caso de um pacote gaussiano sob a influencia de um potencial repulsivo suave. Para este sistema, a solucao das equacoes de Hamilton e a propria funcao de onda semiclassica podem ser determinadas analiticamente. O problema das solucoes nao contribuintes, que se origina da aplicacao do metodo do expoente estacionario, e resolvido atraves de imposicoes de consistencia fisica. Os efeitos das causticas no espaco de fase, pontos onde a aproximacao semiclassica de ordem quadratica diverge, sao controlados atraves de correcoes envolvendo funcoes de Airy
Abstract
processo de formação, em especial a Érico (tico), que sem sua ajuda não estaria em São Paulo, e Adiel (mago vei... srrs) por mostrar uma paciência innita em me ajudar.Agradeço aos amigos que z no IFUSP, em especial o Tiago Adorno, João Assirati, Eder Hernandez, Luiz Oliveira, Maria Resende, Ricardo Castro, Marcelo Santos.Agradeço a todos os funcionários da USP, em especial a Maria Isabel que é uma pena não trabalhar mais no IFUSP, ao Éber Lima, a Paula Mondini e Andrea Wirkus.Também gostaria de agradecer a assistente social Carla Cucolo, responsável por minha permanência no CRUSP, por sempre está disposta a me ajudar.Por m, agradeço o apoio nanceiro da FAPESP.Resumo Nesta tese, obtemos estados quânticos que satisfazem a equação de Schrödinger, para Hamiltonianos quadráticos de forma geral e, ao mesmo tempo, permitem de maneira natural obter a correspondência com a descrição clássica.Usamos o método de integrais de movimento para construir operadores de criação e aniquilação, que satisfazem a álgebra de Weyl-Heisenberg.Dessa forma, construímos os estados de número generalizados (ENG) de maneira análoga ao que é feito para os estados de Fock.Obtemos diferentes famílias de estados coerentes (EC), através de uma superposição dos ENG, que chamamos de estados coerentes generalizados (ECG).Esses estados são rotulados pela constante complexa z escrita em termos do valor esperado inicial da coordenada e do momento.Escrevemos os ECG em função do desvio padrão inicial na coordenada, σ q , de modo a minimizar a relação de incerteza de Heisenberg no instante de tempo inicial.Obtemos, de forma pioneira, os ECG para partícula livre e discutimos em detalhes suas propriedades, tal como a relação de completeza, a minimização das relações de incerteza e a evolução da correspondente densidade de probabilidade.Mostramos que o valor esperado da coordenada e do momento segue ao longo da trajetória clássica no espaço de fase.Mostramos que, quando o comprimento de onda da partícula livre é muito menor que σ q , os EC se comportam como estados semiclássicos.Além da partícula livre, construímos pela primeira vez, os ECG para o oscilador invertido e discutimos em detalhes suas propriedades.Mostramos que os ECG de sistemas diferentes podem ser relacionados, impondo condições sobre os parâmetros do Hamiltoniano.Por m, consideramos Hamiltonianos dependentes do tempo, em particular, construímos os ECG, de forma exata, para um oscilador harmônico cuja frequência varia explicitamente no tempo.Mostramos ainda modelos úteis para obter solução exata de sistemas dependentes do tempo, fazendo analogia com a equação de spin ou equação de Schrödinger unidimensional independente do tempo.Além disso, desenvolvemos um método próprio, que xa a solução e em seguida determinamos a forma da frequência.
Estudamos a evolução temporal de um sistema quântico, sob o regime adiabático, através da formulação de integrais de trajetória. Reobtemos as fases de Berry para sistemas de espectros de energia não-degenerado e degenerado, recuperando os resultados conhecidos na literatura, inclusive verificamos o comportamento das fases por uma mudança de base de autoestados instantâneos da hamiltoniana. Apresentamos também uma demonstração do Teorema Adiabático[1] usando uma notação atual. Temos um resumo comparativo das representações de Schrödinger e de Heisenberg para uma hamiltoniana que varia no tempo e descrevemos como aplicar o Teorema Adiabático a um operador qualquer na representação de Heisenberg sob o regime adiabático
Nesta tese, obtemos estados quânticos que satisfazem a equação de Schrödinger, para Hamiltonianos quadráticos de forma geral e, ao mesmo tempo, permitem de maneira natural obter a correspondência com a descrição clássica. Usamos o método de integrais de movimento para construir operadores de criação e aniquilação, que satisfazem a álgebra de Weyl-Heisenberg. Dessa forma, construímos os estados de número generalizados (ENG) de maneira análoga ao que é feito para os estados de Fock. Obtemos diferentes famílias de estados coerentes (EC), através de uma superposição dos ENG, que chamamos de estados coerentes generalizados (ECG). Esses estados são rotulados pela constante complexa z escrita em termos do valor esperado inicial da coordenada e do momento. Escrevemos os ECG em função do desvio padrão inicial na coordenada, sigmaq, de modo a minimizar a relação de incerteza de Heisenberg no instante de tempo inicial. Obtemos, de forma pioneira, os ECG para partícula livre e discutimos em detalhes suas propriedades, tal como a relação de completeza, a minimização das relações de incerteza e a evolução da correspondente densidade de probabilidade. Mostramos que o valor esperado da coordenada e do momento segue ao longo da trajetória clássica no espaço de fase. Mostramos que, quando o comprimento de onda da partícula livre é muito menor que sigmaq, os EC se comportam como estados semiclássicos. Além da partícula livre, construímos pela primeira vez, os ECG para o oscilador invertido e discutimos em detalhes suas propriedades. Mostramos que os ECG de sistemas diferentes podem ser relacionados, impondo condições sobre os parâmetros do Hamiltoniano. Por fim, consideramos Hamiltonianos dependentes do tempo, em particular, construímos os ECG, de forma exata, para um oscilador harmônico cuja frequência varia explicitamente no tempo. Mostramos ainda modelos úteis para obter solução exata de sistemas dependentes do tempo, fazendo analogia com a equação de spin ou equação de Schrödinger unidimensional independente do tempo. Além disso, desenvolvemos um método próprio, que fixa a solução e em seguida determinamos a forma da frequência.