Esta tese aborda diversos aspectos da propagacao semiclassica de estados coerentes. Determinamos uma expressao bastante geral para o propagador entre tais estados que, ao contrario das formulas existentes na literatura, e valida para pacotes de larguras quaisquer. O resultado, obtido via integracao funcional, depende de trajetorias classicas num espaco de fase complexificado. Aproximacoes baseadas em orbitas reais sao tambem analisadas e demonstra-se a origem comum dos propagadores gaussianos de Heller e BAKKS. Em seguida, e feito um estudo bastante completo da propagacao semiclassica de estados coerentes na representacao de posicao. Os resultados formais obtidos sao aplicados explicitamente para o caso de um pacote gaussiano sob a influencia de um potencial repulsivo suave. Para este sistema, a solucao das equacoes de Hamilton e a propria funcao de onda semiclassica podem ser determinadas analiticamente. O problema das solucoes nao contribuintes, que se origina da aplicacao do metodo do expoente estacionario, e resolvido atraves de imposicoes de consistencia fisica. Os efeitos das causticas no espaco de fase, pontos onde a aproximacao semiclassica de ordem quadratica diverge, sao controlados atraves de correcoes envolvendo funcoes de Airy
Abstract
Esta tese aborda diversos aspectos da propagacao semiclassica de estados coerentes. Determinamos uma expressao bastante geral para o propagador entre tais estados que, ao contrario das formulas existentes na literatura, e valida para pacotes de larguras quaisquer. O resultado, obtido via integracao funcional, depende de trajetorias classicas num espaco de fase complexificado. Aproximacoes baseadas em orbitas reais sao tambem analisadas e demonstra-se a origem comum dos propagadores gaussianos de Heller e BAKKS. Em seguida, e feito um estudo bastante completo da propagacao semiclassica de estados coerentes na representacao de posicao. Os resultados formais obtidos sao aplicados explicitamente para o caso de um pacote gaussiano sob a influencia de um potencial repulsivo suave. Para este sistema, a solucao das equacoes de Hamilton e a propria funcao de onda semiclassica podem ser determinadas analiticamente. O problema das solucoes nao contribuintes, que se origina da aplicacao do metodo do expoente estacionario, e resolvido atraves de imposicoes de consistencia fisica. Os efeitos das causticas no espaco de fase, pontos onde a aproximacao semiclassica de ordem quadratica diverge, sao controlados atraves de correcoes envolvendo funcoes de Airy
Abstract
A propagacao semiclassica consiste na elaboracao e aplicacao de metodos para a resolucao aproximada da equacao de Schrodinger dependente do tempo, assumindo como hipotese que a acao classica do sistema possui valor bastante superior a constante de Planck. Dentro deste contexto, o propagador quântico representa um elemento de interesse central, uma vez que esta grandeza corresponde a amplitude de probabilidade para a transicao entre dois estados do sistema fisico. Em um estagio preliminar de nosso trabalho, empregamos o conceito generalizado de estados coerentes para reformular o propagador quântico em termos de uma integral de caminho. Em seguida, com a utilizacao do metodo do ponto de sela, realizamos uma deducao detalhada para a aproximacao semiclassica do propagador correspondente a uma ampla classe de grupos dinâmicos. A aplicacao deste resultado formal esta subordinada a resolucao de equacoes classicas de movimento sob condicoes de contorno, considerando um espaco de fase com dimensao duplicada. De maneira geral, a busca por trajetorias classicas sujeitas a valores de contorno demonstra elevado custo computacional e complexidade tecnica. Por esta razao, desenvolvemos tres diferentes aproximacoes semiclassicas determinadas exclusivamente por condicoes iniciais. Em uma primeira situacao, elaboramos um metodo de propagacao constituido por uma integral sobre solucoes classicas no espaco de fase duplicado. No segundo caso, com a formulacao do operador semiclassico de evolucao temporal, eliminamos a necessidade pela duplicacao dos graus de liberdade classicos. A terceira abordagem, designada por propagador classico corrigido, esta definida pela contribuicao de uma unica trajetoria. Com o proposito de avaliar a precisao e eficiencia das expressoes semiclassicas adquiridas, exemplificamos a aplicacao destas ferramentas teoricas para os estados coerentes de SU(2) e SU(3). Por fim, apresentamos uma extensa discussao sobre as vantagens introduzidas pelo espaco de fase duplicado na implementacao de uma aproximacao semiclassica. Deste modo, verificamos que solucoes classicas tunelantes possuem uma importante participacao na descricao precisa da penetracao parcial de um pacote de onda em uma barreira de potencial finita. Alem disto, mostramos que o fenomeno quântico de reflexao por um potencial atrativo esta diretamente associado a ocorrencia de trajetorias com comportamento nao-classico
Abstract
Na presente tese, estudamos o oscilador harmonico generalizado com massa e frequencia
dependentes do tempo e submetido a uma forca de friccao linear na velocidade cujo coeficiente de friccao depende do tempo, do ponto de vista classico e quântico. Obtivemos as
solucoes da equacao de movimento classica deste sistema para alguns casos particulares e
derivamos uma equacao de movimento que descreve simultaneamente tres sistemas diferentes.
Em seguida, com a ajuda dos operadores invariantes quadraticos e a luz do metodo
de invariantes dinâmicos encontramos as solucoes exatas da equacao de Schrodinger para
este sistema. Tambem derivamos as fases geometrica, dinâmica e de Berry para este
sistema nao-estacionario e as avaliamos para tres casos especiais. Ainda construimos estados
coerentes para este sistema quantizado e os empregamos para investigar algumas
propriedades quânticas tais como
utuacoes quânticas da coordenada e momento bem
como do produto das incertezas. Em seguida, utilizamos um operador invariante linear
e usamos o metodo de invariantes dinâmicos para encontrar solucoes exatas da equacao
de Schrodinger para um oscilador harmonico amortecido e forcado dependente do tempo.
Com as solucoes desta equacao, construimos solucoes na forma de pacotes de onda Gaussianos
assim como calculamos as
utuacoes quânticas das coordenadas e momentos, bem
como as correlacoes entre ambos. Finalmente, mostramos que a largura das
utuacoes e
correlacoes do pacote Gaussiano nao dependem da forca externa.
A supercompleteza da base de estados coerentes gera uma multiplicidade de representacoes da integral de trajetoria de Feynman. Estas diferentes representacoes, embora equivalentes quanticamente, levam a diferentes limites semiclassicos. Baranger et al calcularam o limite semiclassico de duas formas para a integral de trajetoria, sugeridas por Klauder e Skagerstam. Cada uma destas formulas envolve trajetorias governadas por uma diferente representacao classica do operador Hamiltoniano: a representacao P em um caso e a representacao Q no outro. Nesta tese, nos construimos outras duas representacoes da integral de trajetoria, cujos limites semiclassicos envolvem diretamente a representacao de Weyl do operador Hamiltoniano, isto e, a propria Hamiltoniana classica. Mostramos que, no limite semiclassico, a dinâmica na representacao de Weyl e independente da largura dos estados coerentes e o propagador e tambem livre das correcoes de fase encontradas em todos os outros casos. Alem disto, fornecemos uma conexao explicita entre as representacoes quânticas de Weyl e de Husimi no espaco de fases
Abstract
Nesta tese, inicialmente apresentamos um experimento para a geração de estados emaranhados de sistemas quânticos D-dimensionais, qudits, explorando a correlação transversal dos fótons gerados no processo da conversão paramétrica. Aberturas com D-fendas, colocadas ao longo dos braços dos fótons gêmeos, definem o espaço de Hilbert destes qudits. Devido a uma manipulação adequada do perfil transversal do feixe do laser, os fótons gêmeos irão passar somente através de fendas simetricamente opostas, gerando estados emaranhados entre os diferentes caminhos possíveis para a transmissão do par através destas aberturas. Resultados experimentais para qudits com D = 4 e 8 são mostrados. Nós demonstramos também que a correlação entre os qudits gerados é quântica. Em seguida, mostramos que estes estados de qudits podem ser propagados. Sua distribuição ao longo do espaço livre foi realizada em nosso laboratório e os estados propagados mantiveram uma fidelidade muito alta quando comparados com a sua forma original. Estudos sobre a propagação de estados de qudits são importantes porque seu uso permite um aumento na quantidade da informação que pode ser transmitida por par compartilhado e pode também garantir mais privacidade para as partes que se comunicam. No terceiro trabalho descrito nesta tese, demonstramos como uma pequena modificação do esquema adotado nos trabalhos anteriores, pode ser usada para se gerar estados mistos de qudits. Investigamos, também, a discriminação dos estado quânticos de sistemas compostos de dois qubits espaciais, motivados pelo fato de que os protocolos de Informação Quântica podem ser mais fáceis de serem implementados neste caso. Por meio de operações locais nos fótons gêmeos, realizamos o processo da tomografia quântica para reconstruir a matriz densidade de um estado misto de dois qubits espaciais. As matrizes densidade reconstruídas são úteis porque quantidades tais como a entropia e a concurrência de um sistema quântico, podem ser calculadas a partir delas. E em nosso último trabalho, depois de ter tido demonstrado a geração de estados puros e mistos de qudits espaciais, a sua propagação através do espaço livre e sua reconstrução através de técnica da tomografia quântica, mostramos que este tipo de estado espacial pode ser usado na prática, para se fazer um teste das desigualdades da Bell.
processo de formação, em especial a Érico (tico), que sem sua ajuda não estaria em São Paulo, e Adiel (mago vei... srrs) por mostrar uma paciência innita em me ajudar.Agradeço aos amigos que z no IFUSP, em especial o Tiago Adorno, João Assirati, Eder Hernandez, Luiz Oliveira, Maria Resende, Ricardo Castro, Marcelo Santos.Agradeço a todos os funcionários da USP, em especial a Maria Isabel que é uma pena não trabalhar mais no IFUSP, ao Éber Lima, a Paula Mondini e Andrea Wirkus.Também gostaria de agradecer a assistente social Carla Cucolo, responsável por minha permanência no CRUSP, por sempre está disposta a me ajudar.Por m, agradeço o apoio nanceiro da FAPESP.Resumo Nesta tese, obtemos estados quânticos que satisfazem a equação de Schrödinger, para Hamiltonianos quadráticos de forma geral e, ao mesmo tempo, permitem de maneira natural obter a correspondência com a descrição clássica.Usamos o método de integrais de movimento para construir operadores de criação e aniquilação, que satisfazem a álgebra de Weyl-Heisenberg.Dessa forma, construímos os estados de número generalizados (ENG) de maneira análoga ao que é feito para os estados de Fock.Obtemos diferentes famílias de estados coerentes (EC), através de uma superposição dos ENG, que chamamos de estados coerentes generalizados (ECG).Esses estados são rotulados pela constante complexa z escrita em termos do valor esperado inicial da coordenada e do momento.Escrevemos os ECG em função do desvio padrão inicial na coordenada, σ q , de modo a minimizar a relação de incerteza de Heisenberg no instante de tempo inicial.Obtemos, de forma pioneira, os ECG para partícula livre e discutimos em detalhes suas propriedades, tal como a relação de completeza, a minimização das relações de incerteza e a evolução da correspondente densidade de probabilidade.Mostramos que o valor esperado da coordenada e do momento segue ao longo da trajetória clássica no espaço de fase.Mostramos que, quando o comprimento de onda da partícula livre é muito menor que σ q , os EC se comportam como estados semiclássicos.Além da partícula livre, construímos pela primeira vez, os ECG para o oscilador invertido e discutimos em detalhes suas propriedades.Mostramos que os ECG de sistemas diferentes podem ser relacionados, impondo condições sobre os parâmetros do Hamiltoniano.Por m, consideramos Hamiltonianos dependentes do tempo, em particular, construímos os ECG, de forma exata, para um oscilador harmônico cuja frequência varia explicitamente no tempo.Mostramos ainda modelos úteis para obter solução exata de sistemas dependentes do tempo, fazendo analogia com a equação de spin ou equação de Schrödinger unidimensional independente do tempo.Além disso, desenvolvemos um método próprio, que xa a solução e em seguida determinamos a forma da frequência.
O objetivo desta Tese foi a aplicação da teoria dos estados coerentes para sistemas quânticos não-triviais. A partir da definição de estados coerentes para grupos de Lie compactos em geral, nos dedicamos a uma investigação detalhada da construção de tais estados e de suas propriedades no caso do grupo simplético unitário Sp(4), que é extremamente importante tanto em mecânica quântica quanto em mecânica clássica. Esse grupo possui uma complexidade intermediária, que permite um tratamento analítico ainda que apresente propriedades não-triviais do ponto de vista de teoria de representação de álgebras de Lie. Os estados coerentes obtidos nos permitiram uma investigação do limite clássico para sistemas com simetria Sp(4) e uma conexão com a teoria do caos em mecânica quântica. Além disso, tratamos uma proposta recente de generalização do conceito de estados coerentes para sistemas de espectro discreto não-degenerado, os estados de Gazeau-Klauder. Esses estados foram aplicados a um problema de magnetização bidimensional e também ao potencial unidimensional de mínimos duplos, onde observamos o aparecimento dos estados chamados \\"Gatos de Schrödinger\\", que consistem na superposição de dois estados de mínima incerteza.