Para Hamiltonianas analiticas, e possivel estender equacoes de movimento reais para coordenadas complexas q = q1 + ip2 e p = p1 + iq2 . Dessa forma obtemos H(q,p) = H1 (q1 ,p1 ,q2 ,p2 ) + iH2 (q1 ,p1 ,q2 ,p2 ), onde H1 e H2 sao funcoes reais das variaveis reais q1 ,p1 ,q2 ,p2 e cujas equacoes de movimento sao geradas apenas por H1. Neste trabalho, utilizamos tais coordenadas para calcular as trajetorias complexas do oscilador harmonico, para o qual obtivemos trajetorias periodicas analogas as do caso real para dois graus de liberdade. Para a Hamiltoniana do oscilador harmonico ao quadrado obtivemos um comportamento mais
rico, com trajetorias periodicas em apenas em alguns casos especiais. Essas trajetorias tem papel importante no calculo do limite semiclassico na representacao de estados coerentes.
Para Hamiltonianas analiticas, e possivel estender equacoes de movimento reais para coordenadas complexas q = q1 + ip2 e p = p1 + iq2 . Dessa forma obtemos H(q,p) = H1 (q1 ,p1 ,q2 ,p2 ) + iH2 (q1 ,p1 ,q2 ,p2 ), onde H1 e H2 sao funcoes reais das variaveis reais q1 ,p1 ,q2 ,p2 e cujas equacoes de movimento sao geradas apenas por H1. Neste trabalho, utilizamos tais coordenadas para calcular as trajetorias complexas do oscilador harmonico, para o qual obtivemos trajetorias periodicas analogas as do caso real para dois graus de liberdade. Para a Hamiltoniana do oscilador harmonico ao quadrado obtivemos um comportamento mais
rico, com trajetorias periodicas em apenas em alguns casos especiais. Essas trajetorias tem papel importante no calculo do limite semiclassico na representacao de estados coerentes.
Nesta tese, obtemos estados quânticos que satisfazem a equação de Schrödinger, para Hamiltonianos quadráticos de forma geral e, ao mesmo tempo, permitem de maneira natural obter a correspondência com a descrição clássica. Usamos o método de integrais de movimento para construir operadores de criação e aniquilação, que satisfazem a álgebra de Weyl-Heisenberg. Dessa forma, construímos os estados de número generalizados (ENG) de maneira análoga ao que é feito para os estados de Fock. Obtemos diferentes famílias de estados coerentes (EC), através de uma superposição dos ENG, que chamamos de estados coerentes generalizados (ECG). Esses estados são rotulados pela constante complexa z escrita em termos do valor esperado inicial da coordenada e do momento. Escrevemos os ECG em função do desvio padrão inicial na coordenada, sigmaq, de modo a minimizar a relação de incerteza de Heisenberg no instante de tempo inicial. Obtemos, de forma pioneira, os ECG para partícula livre e discutimos em detalhes suas propriedades, tal como a relação de completeza, a minimização das relações de incerteza e a evolução da correspondente densidade de probabilidade. Mostramos que o valor esperado da coordenada e do momento segue ao longo da trajetória clássica no espaço de fase. Mostramos que, quando o comprimento de onda da partícula livre é muito menor que sigmaq, os EC se comportam como estados semiclássicos. Além da partícula livre, construímos pela primeira vez, os ECG para o oscilador invertido e discutimos em detalhes suas propriedades. Mostramos que os ECG de sistemas diferentes podem ser relacionados, impondo condições sobre os parâmetros do Hamiltoniano. Por fim, consideramos Hamiltonianos dependentes do tempo, em particular, construímos os ECG, de forma exata, para um oscilador harmônico cuja frequência varia explicitamente no tempo. Mostramos ainda modelos úteis para obter solução exata de sistemas dependentes do tempo, fazendo analogia com a equação de spin ou equação de Schrödinger unidimensional independente do tempo. Além disso, desenvolvemos um método próprio, que fixa a solução e em seguida determinamos a forma da frequência.
Na presente tese, estudamos o oscilador harmonico generalizado com massa e frequencia
dependentes do tempo e submetido a uma forca de friccao linear na velocidade cujo coeficiente de friccao depende do tempo, do ponto de vista classico e quântico. Obtivemos as
solucoes da equacao de movimento classica deste sistema para alguns casos particulares e
derivamos uma equacao de movimento que descreve simultaneamente tres sistemas diferentes.
Em seguida, com a ajuda dos operadores invariantes quadraticos e a luz do metodo
de invariantes dinâmicos encontramos as solucoes exatas da equacao de Schrodinger para
este sistema. Tambem derivamos as fases geometrica, dinâmica e de Berry para este
sistema nao-estacionario e as avaliamos para tres casos especiais. Ainda construimos estados
coerentes para este sistema quantizado e os empregamos para investigar algumas
propriedades quânticas tais como
utuacoes quânticas da coordenada e momento bem
como do produto das incertezas. Em seguida, utilizamos um operador invariante linear
e usamos o metodo de invariantes dinâmicos para encontrar solucoes exatas da equacao
de Schrodinger para um oscilador harmonico amortecido e forcado dependente do tempo.
Com as solucoes desta equacao, construimos solucoes na forma de pacotes de onda Gaussianos
assim como calculamos as
utuacoes quânticas das coordenadas e momentos, bem
como as correlacoes entre ambos. Finalmente, mostramos que a largura das
utuacoes e
correlacoes do pacote Gaussiano nao dependem da forca externa.
A supercompleteza da base de estados coerentes gera uma multiplicidade de representacoes da integral de trajetoria de Feynman. Estas diferentes representacoes, embora equivalentes quanticamente, levam a diferentes limites semiclassicos. Baranger et al calcularam o limite semiclassico de duas formas para a integral de trajetoria, sugeridas por Klauder e Skagerstam. Cada uma destas formulas envolve trajetorias governadas por uma diferente representacao classica do operador Hamiltoniano: a representacao P em um caso e a representacao Q no outro. Nesta tese, nos construimos outras duas representacoes da integral de trajetoria, cujos limites semiclassicos envolvem diretamente a representacao de Weyl do operador Hamiltoniano, isto e, a propria Hamiltoniana classica. Mostramos que, no limite semiclassico, a dinâmica na representacao de Weyl e independente da largura dos estados coerentes e o propagador e tambem livre das correcoes de fase encontradas em todos os outros casos. Alem disto, fornecemos uma conexao explicita entre as representacoes quânticas de Weyl e de Husimi no espaco de fases
Abstract
processo de formação, em especial a Érico (tico), que sem sua ajuda não estaria em São Paulo, e Adiel (mago vei... srrs) por mostrar uma paciência innita em me ajudar.Agradeço aos amigos que z no IFUSP, em especial o Tiago Adorno, João Assirati, Eder Hernandez, Luiz Oliveira, Maria Resende, Ricardo Castro, Marcelo Santos.Agradeço a todos os funcionários da USP, em especial a Maria Isabel que é uma pena não trabalhar mais no IFUSP, ao Éber Lima, a Paula Mondini e Andrea Wirkus.Também gostaria de agradecer a assistente social Carla Cucolo, responsável por minha permanência no CRUSP, por sempre está disposta a me ajudar.Por m, agradeço o apoio nanceiro da FAPESP.Resumo Nesta tese, obtemos estados quânticos que satisfazem a equação de Schrödinger, para Hamiltonianos quadráticos de forma geral e, ao mesmo tempo, permitem de maneira natural obter a correspondência com a descrição clássica.Usamos o método de integrais de movimento para construir operadores de criação e aniquilação, que satisfazem a álgebra de Weyl-Heisenberg.Dessa forma, construímos os estados de número generalizados (ENG) de maneira análoga ao que é feito para os estados de Fock.Obtemos diferentes famílias de estados coerentes (EC), através de uma superposição dos ENG, que chamamos de estados coerentes generalizados (ECG).Esses estados são rotulados pela constante complexa z escrita em termos do valor esperado inicial da coordenada e do momento.Escrevemos os ECG em função do desvio padrão inicial na coordenada, σ q , de modo a minimizar a relação de incerteza de Heisenberg no instante de tempo inicial.Obtemos, de forma pioneira, os ECG para partícula livre e discutimos em detalhes suas propriedades, tal como a relação de completeza, a minimização das relações de incerteza e a evolução da correspondente densidade de probabilidade.Mostramos que o valor esperado da coordenada e do momento segue ao longo da trajetória clássica no espaço de fase.Mostramos que, quando o comprimento de onda da partícula livre é muito menor que σ q , os EC se comportam como estados semiclássicos.Além da partícula livre, construímos pela primeira vez, os ECG para o oscilador invertido e discutimos em detalhes suas propriedades.Mostramos que os ECG de sistemas diferentes podem ser relacionados, impondo condições sobre os parâmetros do Hamiltoniano.Por m, consideramos Hamiltonianos dependentes do tempo, em particular, construímos os ECG, de forma exata, para um oscilador harmônico cuja frequência varia explicitamente no tempo.Mostramos ainda modelos úteis para obter solução exata de sistemas dependentes do tempo, fazendo analogia com a equação de spin ou equação de Schrödinger unidimensional independente do tempo.Além disso, desenvolvemos um método próprio, que xa a solução e em seguida determinamos a forma da frequência.
Sendo sempre possível calcular a dinâmica exata de Sistemas fermiônicos com poucos graus de liberdade para quais quer conjuntos de condições iniciais, pois obedecem ao princípio de exclusão de Pauli, o que garante a finitude da base do sistema. O objetivo deste trabalho foi calcular a dinâmica exata do modelo fermiônico de uma partícula de spin ½ para o caso em que os campos externos possuem amplitude constante e a dependência temporal é da forma harmônica com frequência angular constante w0. Inicialmente escrevemos a representação matricial da hamiltoniana na qual possui toda a informação do sistema; com a representação matricial da hamiltoniana nesta base, que é uma matriz quadrada 2 x 2, podemos calcular seus autovalores (energias) e seus respectivos autoestados. Ao obter os autoestados instantâneos da hamiltoniana, podemos escrever a representação de um vetor de estado físico na base completa desses autoestados, que deve satisfazer a equação de Schrodinger. Após os cálculos, foi possível encontrar os coeficientes que representam a amplitude de probabilidade de, ao realizar uma medida de energia, encontrar o sistema com energia igual aos autovalores.
Apresentamos uma revisão do cálculo dos estados coerentes para um grupo de Lie G compacto como forma de se estabelecer um espaço de fase e uma dinâmica Hamiltoniana (no limite semiclássico) para um sistema quântico com a simetria de G. As propriedades desses estados são investigadas no caso geral e nos exemplos tradicionais do oscilador harmônico e do momento angular. O material apresentado foi parte do primeiro mini-curso de verão em física teórica do Instituto de Física de São Carlos, Universidade de São Paulo.