Na presente dissertação, serão estudados e construídos estados semiclássicos de sistemas em movimento infinito, apresentando e discutindo diferentes abordagens para sua construção. Dentre essas abordagens, no caso de partículas massivas, analisaremos a evolução temporal de uma solução particular da equação de Schrödinger. Essa solução corresponde a um pacote de onda que se propaga com uma velocidade, e cujo valor esperado da posição é equivalente ao seu análogo clássico. Para a construção desses pacotes de onda, adotaremos o método de Malkin, Man\'ko e Dodonov. Com base nesse arcabouço matemático, estudaremos os estados semiclássicos no caso de uma partícula livre e, como estudo original, construiremos os estados semiclássicos de uma partícula com aceleração, representando dois sistemas com movimento infinito. A partir dessa fundamentação, interpretaremos como a condição de semiclassicalidade pode ser útil para a análise física do sistema. Como exemplo, construiremos estados semiclássicos para uma partícula sujeita a uma força de atrito e para uma partícula sujeita a uma força de atrito e uma força constante, com modelos do tipo Caldirola-Kanai, com o objetivo de compará-los com as condições semiclássicas da partícula livre e partícula acelerada, assim, permitindo oferecer uma possível interpretação física do Hamiltoniano que incorpora forças dissipativas em modelos tipo Caldirola-Kanai. Será construído também os estados semiclássicos para o oscilador harmônico invertido. Além disso, no contexto de sistemas não massivos, estudaremos as autofunções do operador potencial vetor como estados semiclássicos, e suas diferenças em relação aos estados semiclássicos do campo eletromagnético, que são autofunções da parte positiva do operador do campo elétrico, estes, já bem consolidados na literatura.
Na presente dissertação, serão estudados e construídos estados semiclássicos de sistemas em movimento infinito, apresentando e discutindo diferentes abordagens para sua construção. Dentre essas abordagens, no caso de partículas massivas, analisaremos a evolução temporal de uma solução particular da equação de Schrödinger. Essa solução corresponde a um pacote de onda que se propaga com uma velocidade, e cujo valor esperado da posição é equivalente ao seu análogo clássico. Para a construção desses pacotes de onda, adotaremos o método de Malkin, Man'ko e Dodonov. Com base nesse arcabouço matemático, estudaremos os estados semiclássicos no caso de uma partícula livre e, como estudo original, construiremos os estados semiclássicos de uma partícula com aceleração, representando dois sistemas com movimento infinito. A partir dessa fundamentação, interpretaremos como a condição de semiclassicalidade pode ser útil para a análise física do sistema. Como exemplo, construiremos estados semiclássicos para uma partícula sujeita a uma força de atrito e para uma partícula sujeita a uma força de atrito e uma força constante, com modelos do tipo Caldirola-Kanai, com o objetivo de compará-los com as condições semiclássicas da partícula livre e partícula acelerada, assim, permitindo oferecer uma possível interpretação física do Hamiltoniano que incorpora forças dissipativas em modelos tipo Caldirola-Kanai. Será construído também os estados semiclássicos para o oscilador harmônico invertido. Além disso, no contexto de sistemas não massivos, estudaremos as autofunções do operador potencial vetor como estados semiclássicos, e suas diferenças em relação aos estados semiclássicos do campo eletromagnético, que são autofunções da parte positiva do operador do campo elétrico, estes, já bem consolidados na literatura.
pela orientac ¸ão neste projeto, pelo conhecimento adquirido durante esta dissertac ¸ão e pelas conversas enriquecedoras.Expresso minha gratidão a minha mãe, Dilma Alves de Oliveira e ao meu pai, Paulo Derolle (in memoriam), pelo apoio incondicional ao longo de todos os anos.Agradec ¸o ao IFUSP pela infraestrutura oferecida e ao Ricardo Castro pelo auxílio durante o curso do mestrado. ResumoNa presente dissertac ¸ão, serão estudados e construídos estados semiclássicos de sistemas em movimento infinito, apresentando e discutindo diferentes abordagens para sua construc ¸ão.Dentre essas abordagens, no caso de partículas massivas, analisaremos a evoluc ¸ão temporal de uma soluc ¸ão particular da equac ¸ão de Schrödinger.Essa soluc ¸ão corresponde a um pacote de onda que se propaga com uma velocidade, e cujo valor esperado da posic ¸ão é equivalente ao seu análogo clássico.Para a construc ¸ão desses pacotes de onda, adotaremos o método de Malkin, Man'ko e Dodonov.Com base nesse arcabouc ¸o matemático, estudaremos os estados semiclássicos no caso de uma partícula livre e, como estudo original, construiremos os estados semiclássicos de uma partícula com acelerac ¸ão, representando dois sistemas com movimento infinito.A partir dessa fundamentac ¸ão, interpretaremos como a condic ¸ão de semiclassicalidade pode ser útil para a análise física do sistema.Como exemplo, construiremos estados semiclássicos para uma partícula sujeita a uma forc ¸a de atrito e para uma partícula sujeita a uma forc ¸a de atrito e uma forc ¸a constante, com modelos do tipo Caldirola-Kanai, com o objetivo de compará-los com as condic ¸ões semiclássicas da partícula livre e partícula acelerada, assim, permitindo oferecer uma possível interpretac ¸ão física do Hamiltoniano que incorpora forc ¸as dissipativas em modelos tipo Caldirola-Kanai.Será construído também os estados semiclássicos para o oscilador harmônico invertido.Além disso, no contexto de sistemas não massivos, estudaremos as autofunc ¸ões do operador potencial vetor como estados semiclássicos, e suas diferenc ¸as em relac ¸ão aos estados semiclássicos do campo eletromagnético, que são autofunc ¸ões da parte positiva do operador do campo elétrico, estes, já bem consolidados na literatura.
Na presente tese, estudamos o oscilador harmonico generalizado com massa e frequencia
dependentes do tempo e submetido a uma forca de friccao linear na velocidade cujo coeficiente de friccao depende do tempo, do ponto de vista classico e quântico. Obtivemos as
solucoes da equacao de movimento classica deste sistema para alguns casos particulares e
derivamos uma equacao de movimento que descreve simultaneamente tres sistemas diferentes.
Em seguida, com a ajuda dos operadores invariantes quadraticos e a luz do metodo
de invariantes dinâmicos encontramos as solucoes exatas da equacao de Schrodinger para
este sistema. Tambem derivamos as fases geometrica, dinâmica e de Berry para este
sistema nao-estacionario e as avaliamos para tres casos especiais. Ainda construimos estados
coerentes para este sistema quantizado e os empregamos para investigar algumas
propriedades quânticas tais como
utuacoes quânticas da coordenada e momento bem
como do produto das incertezas. Em seguida, utilizamos um operador invariante linear
e usamos o metodo de invariantes dinâmicos para encontrar solucoes exatas da equacao
de Schrodinger para um oscilador harmonico amortecido e forcado dependente do tempo.
Com as solucoes desta equacao, construimos solucoes na forma de pacotes de onda Gaussianos
assim como calculamos as
utuacoes quânticas das coordenadas e momentos, bem
como as correlacoes entre ambos. Finalmente, mostramos que a largura das
utuacoes e
correlacoes do pacote Gaussiano nao dependem da forca externa.
Na presente tese, usamos operadores invariantes lineares a luz do metodo de invariantes
dinâmicos para encontrar as solucoes exatas da equacao de Schrodinger para um
oscilador harmonico forcado generalizado dependente do tempo em termos das solucoes
de uma equacao diferencial de segunda ordem que descreve a amplitude de um oscilador
harmonico amortecido nao-for¸cado. Construimos as solucoes do tipo pacotes de ondas
gaussianos e calculamos as flutuacoes quânticas das coordenadas e momentos, bem como
da correlacao entre ambos. Como destaque, mostramos que a largura das flutuacoes e as
correlacoes do pacote gaussiano nao dependem da forca externa. Como caso particular,
aplicamos nosso formalismo ao conhecido oscilador forcado de Caldirola-Kanai. Depois,
fazemos uma descricao quântica da propagacao da luz num meio condutor, homogeneo,
linear e com densidade de carga nula, usando o modelo de oscilador harmonico dependente
de tempo numa abordagem fenomenologica usando o gauge de Coulomb, invariantes lineares
e o metodo do invariante dinâmico. Obtemos as funcoes de onda exatas para este
problema em termos de solucoes de uma equacao diferencial de segunda ordem que descreve
a amplitude do oscilador amortecido classico. Alem disso, construimos solucoes do
tipo pacotes de onda gaussianos e calculamos as flutuacoes e as correlacoes quânticas para
cada modo do campo eletromagnetico quantizado. Em seguida, estendemos nossa investiga
cao utilizando tambem um operador invariante quadratico. Encontramos as funcoes de
onda exatas para a equacao de Schrodinger para a luz num meio condutor com frequencia
dependente do tempo. Concluimos a presente tese abordando o problema de encontrar
funcoes de onda (solucoes da equacao de Schrodinger) exatas, com dependencia temporal,
para uma particula aprisionada por campos oscilantes.
Este artigo aborda a equação de Schrödinger relacionada a função de onda , com foco em sua aplicação a dois sistemas físicos específicos: poços quadrados infinitos e partículas livres. O objetivo geral consiste em compreender os fundamentos matemáticos e físicos e explorar como a solução da equação descreve o comportamento quântico de partículas em diferentes potenciais elétricos. Os métodos utilizados são teóricos e analíticos, baseados em uma revisão da literatura pertinente a mecânica quântica. O caso unidimensional da equação transitória e sua forma estacionária são analisados para um poço quadrado infinito com enfase na quantização da energia e a determinação das condições de contorno para os estados estacionários permitidos. Para partículas livres, examina-se como uma superposição de ondas planas associadas a um espectro de energia contínuo. Os resultados mostram que em poços infinitos as soluções apresentam quantização de energia e estados discretos, enquanto para partículas livres as soluções apresentam graus de liberdade de movimento com energia contínua. A conclusão é que a equação de Schrödinger é crucial para descrever fenômenos quânticos, fornecendo uma base matemática sólida para a compreensão de sistemas confinados e livres destacando a partir de exemplos, a importância das funções de onda na previsão e explicação do comportamento das partículas em sistemas quânticos, contribuindo para o avanço da física moderna.
Nesta tese, obtemos estados quânticos que satisfazem a equação de Schrödinger, para Hamiltonianos quadráticos de forma geral e, ao mesmo tempo, permitem de maneira natural obter a correspondência com a descrição clássica. Usamos o método de integrais de movimento para construir operadores de criação e aniquilação, que satisfazem a álgebra de Weyl-Heisenberg. Dessa forma, construímos os estados de número generalizados (ENG) de maneira análoga ao que é feito para os estados de Fock. Obtemos diferentes famílias de estados coerentes (EC), através de uma superposição dos ENG, que chamamos de estados coerentes generalizados (ECG). Esses estados são rotulados pela constante complexa z escrita em termos do valor esperado inicial da coordenada e do momento. Escrevemos os ECG em função do desvio padrão inicial na coordenada, sigmaq, de modo a minimizar a relação de incerteza de Heisenberg no instante de tempo inicial. Obtemos, de forma pioneira, os ECG para partícula livre e discutimos em detalhes suas propriedades, tal como a relação de completeza, a minimização das relações de incerteza e a evolução da correspondente densidade de probabilidade. Mostramos que o valor esperado da coordenada e do momento segue ao longo da trajetória clássica no espaço de fase. Mostramos que, quando o comprimento de onda da partícula livre é muito menor que sigmaq, os EC se comportam como estados semiclássicos. Além da partícula livre, construímos pela primeira vez, os ECG para o oscilador invertido e discutimos em detalhes suas propriedades. Mostramos que os ECG de sistemas diferentes podem ser relacionados, impondo condições sobre os parâmetros do Hamiltoniano. Por fim, consideramos Hamiltonianos dependentes do tempo, em particular, construímos os ECG, de forma exata, para um oscilador harmônico cuja frequência varia explicitamente no tempo. Mostramos ainda modelos úteis para obter solução exata de sistemas dependentes do tempo, fazendo analogia com a equação de spin ou equação de Schrödinger unidimensional independente do tempo. Além disso, desenvolvemos um método próprio, que fixa a solução e em seguida determinamos a forma da frequência.
A propagacao semiclassica consiste na elaboracao e aplicacao de metodos para a resolucao aproximada da equacao de Schrodinger dependente do tempo, assumindo como hipotese que a acao classica do sistema possui valor bastante superior a constante de Planck. Dentro deste contexto, o propagador quântico representa um elemento de interesse central, uma vez que esta grandeza corresponde a amplitude de probabilidade para a transicao entre dois estados do sistema fisico. Em um estagio preliminar de nosso trabalho, empregamos o conceito generalizado de estados coerentes para reformular o propagador quântico em termos de uma integral de caminho. Em seguida, com a utilizacao do metodo do ponto de sela, realizamos uma deducao detalhada para a aproximacao semiclassica do propagador correspondente a uma ampla classe de grupos dinâmicos. A aplicacao deste resultado formal esta subordinada a resolucao de equacoes classicas de movimento sob condicoes de contorno, considerando um espaco de fase com dimensao duplicada. De maneira geral, a busca por trajetorias classicas sujeitas a valores de contorno demonstra elevado custo computacional e complexidade tecnica. Por esta razao, desenvolvemos tres diferentes aproximacoes semiclassicas determinadas exclusivamente por condicoes iniciais. Em uma primeira situacao, elaboramos um metodo de propagacao constituido por uma integral sobre solucoes classicas no espaco de fase duplicado. No segundo caso, com a formulacao do operador semiclassico de evolucao temporal, eliminamos a necessidade pela duplicacao dos graus de liberdade classicos. A terceira abordagem, designada por propagador classico corrigido, esta definida pela contribuicao de uma unica trajetoria. Com o proposito de avaliar a precisao e eficiencia das expressoes semiclassicas adquiridas, exemplificamos a aplicacao destas ferramentas teoricas para os estados coerentes de SU(2) e SU(3). Por fim, apresentamos uma extensa discussao sobre as vantagens introduzidas pelo espaco de fase duplicado na implementacao de uma aproximacao semiclassica. Deste modo, verificamos que solucoes classicas tunelantes possuem uma importante participacao na descricao precisa da penetracao parcial de um pacote de onda em uma barreira de potencial finita. Alem disto, mostramos que o fenomeno quântico de reflexao por um potencial atrativo esta diretamente associado a ocorrencia de trajetorias com comportamento nao-classico
Abstract