EQUAÇÃO DE SCHROEDINGER: FUNÇÃO DE ONDA COM APLICAÇÃO NO POÇO QUADRADO INFINITO E EM PARTÍCULA LIVRE.
José Francisco da Silva Costa Costa, Marinaldo Carvalho Lobato, José Wilton Serrão Nascimento Nascimento, Cardoso José Augusto dos Santos Cardoso, Mário dos Santos Torres Torres, Eliezer Pereira Cavalheiro, Ilan de Jesus Baia Pinheiro, Antonio Maia de Jesus Chaves Neto; Neto
Este artigo aborda a equação de Schrödinger relacionada a função de onda , com foco em sua aplicação a dois sistemas físicos específicos: poços quadrados infinitos e partículas livres. O objetivo geral consiste em compreender os fundamentos matemáticos e físicos e explorar como a solução da equação descreve o comportamento quântico de partículas em diferentes potenciais elétricos. Os métodos utilizados são teóricos e analíticos, baseados em uma revisão da literatura pertinente a mecânica quântica. O caso unidimensional da equação transitória e sua forma estacionária são analisados para um poço quadrado infinito com enfase na quantização da energia e a determinação das condições de contorno para os estados estacionários permitidos. Para partículas livres, examina-se como uma superposição de ondas planas associadas a um espectro de energia contínuo. Os resultados mostram que em poços infinitos as soluções apresentam quantização de energia e estados discretos, enquanto para partículas livres as soluções apresentam graus de liberdade de movimento com energia contínua. A conclusão é que a equação de Schrödinger é crucial para descrever fenômenos quânticos, fornecendo uma base matemática sólida para a compreensão de sistemas confinados e livres destacando a partir de exemplos, a importância das funções de onda na previsão e explicação do comportamento das partículas em sistemas quânticos, contribuindo para o avanço da física moderna.
Este artigo aborda a equação de Schrödinger relacionada a função de onda , com foco em sua aplicação a dois sistemas físicos específicos: poços quadrados infinitos e partículas livres. O objetivo geral consiste em compreender os fundamentos matemáticos e físicos e explorar como a solução da equação descreve o comportamento quântico de partículas em diferentes potenciais elétricos. Os métodos utilizados são teóricos e analíticos, baseados em uma revisão da literatura pertinente a mecânica quântica. O caso unidimensional da equação transitória e sua forma estacionária são analisados para um poço quadrado infinito com enfase na quantização da energia e a determinação das condições de contorno para os estados estacionários permitidos. Para partículas livres, examina-se como uma superposição de ondas planas associadas a um espectro de energia contínuo. Os resultados mostram que em poços infinitos as soluções apresentam quantização de energia e estados discretos, enquanto para partículas livres as soluções apresentam graus de liberdade de movimento com energia contínua. A conclusão é que a equação de Schrödinger é crucial para descrever fenômenos quânticos, fornecendo uma base matemática sólida para a compreensão de sistemas confinados e livres destacando a partir de exemplos, a importância das funções de onda na previsão e explicação do comportamento das partículas em sistemas quânticos, contribuindo para o avanço da física moderna.
Neste trabalho o método das séries de potências é utilizado na resolução da equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula livre em uma dimensão, e no problema da partícula confinada num poço infinito de potencial quadrado, novamente em uma dimensão. São analisadas as condições que levam à divergência tanto da sequência de autofunções quanto da sequência de densidades de probabilidade que descrevem os estados quânticos desta partícula. Para este propósito foram utilizados os teoremas fundamentais da análise sobre sequências e séries de funções.
A inserção de tópicos de Mecânica Quântica no ensino de Física exige uma transposição didática que capacite os estudantes a compreenderem não apenas os conceitos fundamentais envolvendo soluções exatas em poços quânticos, mas também de métodos aproximados que utilizem ferramentas computacionais utilizadas na modelagem de novos materiais, como o IDE GNU Octave (Matlab) e Wxmaxima. Este trabalho apresenta uma proposta didática centrada na resolução da Equação de Schrödinger independente do tempo, ferramenta fundamental para descrever o comportamento ondulatório de elétrons confinados em nanoestruturas. Exploramos dois sistemas unidimensionais que funcionam como modelos simplificados para dispositivos reais: (I) o Oscilador Harmônico sob potencial linear, que simula o confinamento em Pontos Quânticos (Quantum Dots) submetidos a campos elétricos externos, e (II) um poço de potencial infinito com um potencial delta de Dirac no centro. Mostraremos duas formas distintas de se resolver cada problema bem como a equivalência entre elas: a solução direta da equação diferencial e a solução na forma matricial. Fundamentado na teoria de aproximações e -métodos numéricos, o estudo compara as soluções analíticas exatas para os dois sistemas envolvendo poços infinitos, obtidas via equações transcendentais e completamento de quadrados, com a diagonalização numérica de matrizes Hamiltonianas. Os resultados demonstram a rápida convergência do método matricial, oferecendo um modelo acessível para discutir em sala de aula como a engenharia de estados quânticos é operada na prática da nanociência.
Neste trabalho foram resolvidos, através da Equação de Schrödinger Independente do tempo, o potencial biestável para um sistema de dois níveis do Poço Duplo Quadrado Unidimensional Simétrico, de forma exata e por métodos aproximativos. Também é apresentada a solução da equação radial para o potencial coulombiano usando um formalismo de operadores escada, através dos conceitos de supersimetria em mecânica quântica e shape invariance. O tunelamento em um potencial biestável é proporcional à diferença entre os dois níveis de energia mais baixos. O presente estudo mostra os resultados dessa diferença obtida para três abordagens distintas para o poço quadrado biestável analisado. Os primeiros resultados são obtidos por uma solução analítica para a Equação de Schrödinger Independente do tempo. Uma combinação linear das autofunções do estado fundamental dos poços individuais é usada também é usada, juntamente com o método variacional em uma segunda abordagem. Outra abordagem usada é a aproximação WKB. A solução radial do problema coulombiano quântico é determinada de forma exata/analítica através dos operadores de criação e destruição.
Na presente dissertação, serão estudados e construídos estados semiclássicos de sistemas em movimento infinito, apresentando e discutindo diferentes abordagens para sua construção. Dentre essas abordagens, no caso de partículas massivas, analisaremos a evolução temporal de uma solução particular da equação de Schrödinger. Essa solução corresponde a um pacote de onda que se propaga com uma velocidade, e cujo valor esperado da posição é equivalente ao seu análogo clássico. Para a construção desses pacotes de onda, adotaremos o método de Malkin, Man\'ko e Dodonov. Com base nesse arcabouço matemático, estudaremos os estados semiclássicos no caso de uma partícula livre e, como estudo original, construiremos os estados semiclássicos de uma partícula com aceleração, representando dois sistemas com movimento infinito. A partir dessa fundamentação, interpretaremos como a condição de semiclassicalidade pode ser útil para a análise física do sistema. Como exemplo, construiremos estados semiclássicos para uma partícula sujeita a uma força de atrito e para uma partícula sujeita a uma força de atrito e uma força constante, com modelos do tipo Caldirola-Kanai, com o objetivo de compará-los com as condições semiclássicas da partícula livre e partícula acelerada, assim, permitindo oferecer uma possível interpretação física do Hamiltoniano que incorpora forças dissipativas em modelos tipo Caldirola-Kanai. Será construído também os estados semiclássicos para o oscilador harmônico invertido. Além disso, no contexto de sistemas não massivos, estudaremos as autofunções do operador potencial vetor como estados semiclássicos, e suas diferenças em relação aos estados semiclássicos do campo eletromagnético, que são autofunções da parte positiva do operador do campo elétrico, estes, já bem consolidados na literatura.
Este trabalho trata sobre as aplicações na Física de dois conceitos fundamentais da Análise Real: funções lipschitzianas e continuidade uniforme. As principais aplicações investigadas pertencem ao campo da Mecânica Quântica, no estudo das funções e autofunções de onda. Em particular, foi explorado o caso da partícula confinada em um poço finito de potencial quadrado. Foi demonstrando, utilizando a equação de Schrödinger, que a solução deste problema produz um par de autofunções (soluções) que são caracterizadas como lipschitzianas e, portanto, são uniformemente contínuas, donde foi possível extrair uma série de interessantes conclusões.
introduçãoCálculos de estrutura eletrônica representam um desafio e um dos primeiros sucessos no estabelecimento da mecânica quântica.A solução do espectro eletrônico do átomo de hidrogênio por Bohr foi um dos marcos da ciência do século XX.Apesar do modelo equivocado, a utilização das hipóteses de quantização da energia e do momento angular, desenvolvidas por Planck 2 e Einstein, 3 indicava que o universo deveria ser representado por uma nova visão mecânica.A teoria capaz de descrever rigorosamente todos os fenômenos vem confirmando a formulação de Schrödinger/Heisenberg 4 como a representação fundamental a ser utilizada para representar, por exemplo, a distribuição eletrônica.Em resumo, a natureza do universo deve ser resolvida a partir da equação de Schrödinger, independente ou dependentemente do tempo.Especificamente em relação aos problemas de estrutura eletrônica, o que se pretende é encontrar uma função de onda que represente da melhor maneira possível o sistema físico em questão e por meio da qual serão determinadas suas propriedades estacionárias e/ou dinâmicas.De acordo com os postulados da mecânica quântica, as exigências fundamentais para que se tenha uma função de onda aceitável são que seja bem comportada e que satisfaça a equação de Schrödinger.5 Usualmente, analisa-se o problema físico em questão, constrói-se a equação de Schrödinger apropriada ao sistema, definem-se as condições de contorno apropriadas e procuram-se as soluções bem comportadas.No tratamento de elétrons, é necessário, ainda, que a função de onda represente um estado que caracterize uma distribuição de férmions.Matematicamente, essa restrição determina que a função 2 Planck (1901).3 Einstein (1905).4 Heisenberg (1925), Schrödinger (1926a).5 Levine (2008), McQuarrie (1997), Pilar (2001).Aplicações de química teórica no estudo de materiais 66 de onda troque de sinal quando dois elétrons quaisquer tenham suas coordenadas trocadas.Quando se considera mais de um estado eletrônico, ou seja, mais de uma função de onda para representar cada um desses estados, essas funções de onda devem ainda ser ortogonais entre si.Tais condições são sempre consideradas para se desenhar a função de onda ideal ou aproximada a fim de representar um sistema eletrônico qualquer.Não existe um único caminho para o desenvolvimento de uma função de onda ideal.Em alguns casos, busca-se a solução por meio da equação diferencial de Schrödinger ou considera-se o uso do princípio variacional, que determina que qualquer função de onda tentativa produzirá uma energia maior do que a energia exata do sistema e, na melhor das hipóteses, reproduzirá a energia exata.Grande parte dos métodos matemáticos utilizados para descrever estados eletrônicos teve seu desenvolvimento inicial nos primeiros 15 anos após as formulações de Heisenberg, em 1925, 6 e de Schrödinger, em 1926, 7 sobre a mecânica quântica.Essa afirmação pode ser verificada na literatura nos trabalhos seminais da teoria do funcional de densidade desenvolvidos por Thomas 8 e Fermi, 9 o método autoconsistente de Hartree, 10 o modelo de ligação de valência de Heitler 11 e a teoria de orbitais moleculares por meio da combinação linear de orbitais atômicos por Mulliken, em 1927, 12 e Hückel, em 1930, 13 a formulação relativística de Dirac, em 1928, 14 o método de interação de configurações por Hylleraas, em 1929, 15 a teoria de perturbação desenvolvida por Schrödinger 16 e Møller e Plesset, 17 o método multiconfiguracional de Hartree, em 1939, 18 etc.Muitos dos desenvolvimentos que ocorreram na tentativa de resolver a equação de Schrödinger estão associados com a evolução dos recursos computacionais.Pode-se dizer que a escala de evolução dos métodos de solução teve um avanço considerável a partir do desenvolvimento de computadores.Diferente do método Hartree-Fock, 19 algumas alternativas numéricas ficaram esquecidas por falta de recursos computacionais para sua solução.Uma dessas alternativas foi indicada pelo próprio Schrödinger, que observou uma enorme semelhança entre sua equação dependente do tempo e a equação de difusão definida pelas leis de Fick.20 Essa percepção levou Schrödinger a considerar a possibilidade de tratar sistemas quânticos 6 Heisenberg (1925).7 Schrödinger (1926a).8 Thomas (2008).9 Fermi (1927, 1928).10 Hartree (1927a, 1927b).11 Heitler e London (1927), Heitler (1931).12 Mulliken (1927, 1928).13 Hückel (1930, 1931).14 Dirac (1928).15 Hylleraas (1928).16 Schrödinger (1926b).17 Møller e Plesset (1934).18