Neste trabalho foram resolvidos, através da Equação de Schrödinger Independente do tempo, o potencial biestável para um sistema de dois níveis do Poço Duplo Quadrado Unidimensional Simétrico, de forma exata e por métodos aproximativos. Também é apresentada a solução da equação radial para o potencial coulombiano usando um formalismo de operadores escada, através dos conceitos de supersimetria em mecânica quântica e shape invariance. O tunelamento em um potencial biestável é proporcional à diferença entre os dois níveis de energia mais baixos. O presente estudo mostra os resultados dessa diferença obtida para três abordagens distintas para o poço quadrado biestável analisado. Os primeiros resultados são obtidos por uma solução analítica para a Equação de Schrödinger Independente do tempo. Uma combinação linear das autofunções do estado fundamental dos poços individuais é usada também é usada, juntamente com o método variacional em uma segunda abordagem. Outra abordagem usada é a aproximação WKB. A solução radial do problema coulombiano quântico é determinada de forma exata/analítica através dos operadores de criação e destruição.
Neste trabalho foram resolvidos, através da Equação de Schrödinger Independente do tempo, o potencial biestável para um sistema de dois níveis do Poço Duplo Quadrado Unidimensional Simétrico, de forma exata e por métodos aproximativos. Também é apresentada a solução da equação radial para o potencial coulombiano usando um formalismo de operadores escada, através dos conceitos de supersimetria em mecânica quântica e shape invariance. O tunelamento em um potencial biestável é proporcional à diferença entre os dois níveis de energia mais baixos. O presente estudo mostra os resultados dessa diferença obtida para três abordagens distintas para o poço quadrado biestável analisado. Os primeiros resultados são obtidos por uma solução analítica para a Equação de Schrödinger Independente do tempo. Uma combinação linear das autofunções do estado fundamental dos poços individuais é usada também é usada, juntamente com o método variacional em uma segunda abordagem. Outra abordagem usada é a aproximação WKB. A solução radial do problema coulombiano quântico é determinada de forma exata/analítica através dos operadores de criação e destruição.
Este artigo aborda a equação de Schrödinger relacionada a função de onda , com foco em sua aplicação a dois sistemas físicos específicos: poços quadrados infinitos e partículas livres. O objetivo geral consiste em compreender os fundamentos matemáticos e físicos e explorar como a solução da equação descreve o comportamento quântico de partículas em diferentes potenciais elétricos. Os métodos utilizados são teóricos e analíticos, baseados em uma revisão da literatura pertinente a mecânica quântica. O caso unidimensional da equação transitória e sua forma estacionária são analisados para um poço quadrado infinito com enfase na quantização da energia e a determinação das condições de contorno para os estados estacionários permitidos. Para partículas livres, examina-se como uma superposição de ondas planas associadas a um espectro de energia contínuo. Os resultados mostram que em poços infinitos as soluções apresentam quantização de energia e estados discretos, enquanto para partículas livres as soluções apresentam graus de liberdade de movimento com energia contínua. A conclusão é que a equação de Schrödinger é crucial para descrever fenômenos quânticos, fornecendo uma base matemática sólida para a compreensão de sistemas confinados e livres destacando a partir de exemplos, a importância das funções de onda na previsão e explicação do comportamento das partículas em sistemas quânticos, contribuindo para o avanço da física moderna.
A equação de Schrödinger foi um marco no desenvolvimento da Mecânica Quântica, e continua sendo até hoje imprescindível no estudo de sistemas não-relativísticos. Livros-texto de Mecânica Quântica geralmente abordam problemas em que é possível encontrar expressões analíticas para as autoenergias e autoestados do sistema. No entanto, existem inúmeros sistemas físicos de interesse para os quais não conhecemos soluções analíticas. Assim, métodos numéricos mostram-se essenciais para complementar as abordagens analíticas. Nesse trabalho, apresentamos métodos numéricos para a solução de problemas de Mecânica Quântica. Começamos discutindo aspectos da teoria, os quais usamos para motivar as diferentes abordagens numéricas. Em seguida, introduzimos a discretização e a adimensionalização dos problemas, visando empregá-las nas simulações numéricas. Apresentamos os métodos da tentativa, do encontro, matricial e variacional de Monte Carlo. Aplicamos os métodos em diferentes sistemas físicos e discutimos as vantagens e desvantagens de cada um deles. Esperamos que os alunos sejam capazes de reproduzir os resultados apresentados e estendê-los para as suas aplicações de interesse.
A inserção de tópicos de Mecânica Quântica no ensino de Física exige uma transposição didática que capacite os estudantes a compreenderem não apenas os conceitos fundamentais envolvendo soluções exatas em poços quânticos, mas também de métodos aproximados que utilizem ferramentas computacionais utilizadas na modelagem de novos materiais, como o IDE GNU Octave (Matlab) e Wxmaxima. Este trabalho apresenta uma proposta didática centrada na resolução da Equação de Schrödinger independente do tempo, ferramenta fundamental para descrever o comportamento ondulatório de elétrons confinados em nanoestruturas. Exploramos dois sistemas unidimensionais que funcionam como modelos simplificados para dispositivos reais: (I) o Oscilador Harmônico sob potencial linear, que simula o confinamento em Pontos Quânticos (Quantum Dots) submetidos a campos elétricos externos, e (II) um poço de potencial infinito com um potencial delta de Dirac no centro. Mostraremos duas formas distintas de se resolver cada problema bem como a equivalência entre elas: a solução direta da equação diferencial e a solução na forma matricial. Fundamentado na teoria de aproximações e -métodos numéricos, o estudo compara as soluções analíticas exatas para os dois sistemas envolvendo poços infinitos, obtidas via equações transcendentais e completamento de quadrados, com a diagonalização numérica de matrizes Hamiltonianas. Os resultados demonstram a rápida convergência do método matricial, oferecendo um modelo acessível para discutir em sala de aula como a engenharia de estados quânticos é operada na prática da nanociência.
Na presente tese, usamos operadores invariantes lineares a luz do metodo de invariantes
dinâmicos para encontrar as solucoes exatas da equacao de Schrodinger para um
oscilador harmonico forcado generalizado dependente do tempo em termos das solucoes
de uma equacao diferencial de segunda ordem que descreve a amplitude de um oscilador
harmonico amortecido nao-for¸cado. Construimos as solucoes do tipo pacotes de ondas
gaussianos e calculamos as flutuacoes quânticas das coordenadas e momentos, bem como
da correlacao entre ambos. Como destaque, mostramos que a largura das flutuacoes e as
correlacoes do pacote gaussiano nao dependem da forca externa. Como caso particular,
aplicamos nosso formalismo ao conhecido oscilador forcado de Caldirola-Kanai. Depois,
fazemos uma descricao quântica da propagacao da luz num meio condutor, homogeneo,
linear e com densidade de carga nula, usando o modelo de oscilador harmonico dependente
de tempo numa abordagem fenomenologica usando o gauge de Coulomb, invariantes lineares
e o metodo do invariante dinâmico. Obtemos as funcoes de onda exatas para este
problema em termos de solucoes de uma equacao diferencial de segunda ordem que descreve
a amplitude do oscilador amortecido classico. Alem disso, construimos solucoes do
tipo pacotes de onda gaussianos e calculamos as flutuacoes e as correlacoes quânticas para
cada modo do campo eletromagnetico quantizado. Em seguida, estendemos nossa investiga
cao utilizando tambem um operador invariante quadratico. Encontramos as funcoes de
onda exatas para a equacao de Schrodinger para a luz num meio condutor com frequencia
dependente do tempo. Concluimos a presente tese abordando o problema de encontrar
funcoes de onda (solucoes da equacao de Schrodinger) exatas, com dependencia temporal,
para uma particula aprisionada por campos oscilantes.
Neste trabalho o método das séries de potências é utilizado na resolução da equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula livre em uma dimensão, e no problema da partícula confinada num poço infinito de potencial quadrado, novamente em uma dimensão. São analisadas as condições que levam à divergência tanto da sequência de autofunções quanto da sequência de densidades de probabilidade que descrevem os estados quânticos desta partícula. Para este propósito foram utilizados os teoremas fundamentais da análise sobre sequências e séries de funções.
Na presente tese, estudamos o oscilador harmonico generalizado com massa e frequencia
dependentes do tempo e submetido a uma forca de friccao linear na velocidade cujo coeficiente de friccao depende do tempo, do ponto de vista classico e quântico. Obtivemos as
solucoes da equacao de movimento classica deste sistema para alguns casos particulares e
derivamos uma equacao de movimento que descreve simultaneamente tres sistemas diferentes.
Em seguida, com a ajuda dos operadores invariantes quadraticos e a luz do metodo
de invariantes dinâmicos encontramos as solucoes exatas da equacao de Schrodinger para
este sistema. Tambem derivamos as fases geometrica, dinâmica e de Berry para este
sistema nao-estacionario e as avaliamos para tres casos especiais. Ainda construimos estados
coerentes para este sistema quantizado e os empregamos para investigar algumas
propriedades quânticas tais como
utuacoes quânticas da coordenada e momento bem
como do produto das incertezas. Em seguida, utilizamos um operador invariante linear
e usamos o metodo de invariantes dinâmicos para encontrar solucoes exatas da equacao
de Schrodinger para um oscilador harmonico amortecido e forcado dependente do tempo.
Com as solucoes desta equacao, construimos solucoes na forma de pacotes de onda Gaussianos
assim como calculamos as
utuacoes quânticas das coordenadas e momentos, bem
como as correlacoes entre ambos. Finalmente, mostramos que a largura das
utuacoes e
correlacoes do pacote Gaussiano nao dependem da forca externa.