O limite semiclássico de propagador em estados coerentes: o papel das trajetórias complexas

A. D. Ribeiro

Matheus Veronez

Orientador: Marcus Aloizio Martinez de Aguiar

Wendell Pereira Barreto

The time evolution of quantum states is studied in the semiclassical limit using the semiclassical propagator in the coherent-state representation.In the semiclassical limit the quantum propagator can be calculated with complex solutions of Hamilton's equations satisfying appropriate boundary conditions.However, not all these solutions can be used in the expression for the propagator.Some trajectories, called non contributing trajectories, give incorrect contributions to the propagator and should be excluded.In this work the issue of non-contributing trajectories, which is one of the most serious problems in the systematic application of semiclassical expression involving complex orbits, is studied.We explore a class of nonlinear one-dimensional problems for which classical and quantum solutions can be analytically obtained.For these problems, the semiclassical propagator can be written explicitty allowing a detailed analisys of the contribution of each trajectory.In this work we will focus on the "squared harmonic oscillator", it can be solved analytically and it is present in problems of nonlinear optics. ResumoA evolução temporal de estados quânticos é estudada do ponto de vista semiclássico usando o propagador na representação de estados coerentes.No limite semiclássico o propagador pode ser calculado em termos de soluções complexas das equações de Hamilton que devem satisfazer condições de contorno apropriadas.No entanto, nem todas as soluções podem ser utilizadas no cálculo do propagador.Certas trajetórias, denominadas não contribuintes devem ser descartadas, pois dão contribuições incorretas ao propagador.Aqui, exploramos a questão das trajetórias não contribuintes, que é um dos problemas mais sérios na aplicação sistemática das expressões semiclássicas envolvendo órbitas complexas.Para isso consideramos uma classe de problemas unidimensionais não-lineares onde as soluções clássicas e quânticas poder ser obtidas analiticamente.Dessa forma, o propagador semiclássico pode ser escrito de forma explícita, o que permite uma análise detalhada da contribuição de cada trajetória.Definimos então um critério mais preciso para a exclusão de soluções espúrias e, enfim, melhorar o cálculo semiclássico.O sistema foco neste estudo foi o oscilador harmônico ao quadrado, cuja dinâmica tem solução analítica e está presente em problemas de óptica não linear.vi vii

Luis Coelho dos Santos

A supercompleteza da base de estados coerentes gera uma multiplicidade de representacoes da integral de trajetoria de Feynman. Estas diferentes representacoes, embora equivalentes quanticamente, levam a diferentes limites semiclassicos. Baranger et al calcularam o limite semiclassico de duas formas para a integral de trajetoria, sugeridas por Klauder e Skagerstam. Cada uma destas formulas envolve trajetorias governadas por uma diferente representacao classica do operador Hamiltoniano: a representacao P em um caso e a representacao Q no outro. Nesta tese, nos construimos outras duas representacoes da integral de trajetoria, cujos limites semiclassicos envolvem diretamente a representacao de Weyl do operador Hamiltoniano, isto e, a propria Hamiltoniana classica. Mostramos que, no limite semiclassico, a dinâmica na representacao de Weyl e independente da largura dos estados coerentes e o propagador e tambem livre das correcoes de fase encontradas em todos os outros casos. Alem disto, fornecemos uma conexao explicita entre as representacoes quânticas de Weyl e de Husimi no espaco de fases Abstract

Fernando Roberto de Luna Parisio Filho

Wendell Pereira Barreto, Marcus A. M. de Aguiar

Para Hamiltonianas analiticas, e possivel estender equacoes de movimento reais para coordenadas complexas q = q1 + ip2 e p = p1 + iq2 . Dessa forma obtemos H(q,p) = H1 (q1 ,p1 ,q2 ,p2 ) + iH2 (q1 ,p1 ,q2 ,p2 ), onde H1 e H2 sao funcoes reais das variaveis reais q1 ,p1 ,q2 ,p2 e cujas equacoes de movimento sao geradas apenas por H1. Neste trabalho, utilizamos tais coordenadas para calcular as trajetorias complexas do oscilador harmonico, para o qual obtivemos trajetorias periodicas analogas as do caso real para dois graus de liberdade. Para a Hamiltoniana do oscilador harmonico ao quadrado obtivemos um comportamento mais rico, com trajetorias periodicas em apenas em alguns casos especiais. Essas trajetorias tem papel importante no calculo do limite semiclassico na representacao de estados coerentes.