L'idée que les particules de spin différent de 1/2 ((en unité h/2π) sont complexes a été émise par l'auteur dès 1933-1934 lorsqu'il a commencé à développer sa Mécanique ondulatoire du photon. Elle a été reprise récemment, notamment dans un travail de M. Frenkel et dans un article de MM. Fermi et Yang. Nous avons étudié à nouveau cette question depuis quelque temps avec la collaboration de Mme Tonnelat et nous donnons ici un exposé de nos dernières idées à ce sujet. Après avoir rappelé une tentative assez imparfaite que nous avions faite dans ce sens en 1936, nous la reprenons d'une manière qui paraît plus satisfaisante. Raisonnant sur le cas d'une particule de spin 1 considérée comme formée de deux constituants de spin 1/2, nous montrons comment on peut séparer le mouvement du centre de gravité de la particule du mouvement « interne » et nous explicitons les solutions relatives au mouvement interne, qui sont étudiées d'autre part avec plus de détails par Mme Tonnelat. Nous montrons ensuite comment il est possible de transporter sur le centre de gravité les propriétés de spin de l'ensemble des deux constituants et de retrouver ainsi les équations bien connues qui représentent le mouvement des particules de spin 1 considérées comme des unités. On obtient également ainsi une interprétation de la forme non définie positive de la densité de probabilité de présence dans la théorie de la particule de spin 1. Ces considérations, qui sont vraisemblablement susceptibles de généralisations pour les particules de spin supérieur à 1, semblent justifier les idées qui ont servi de points de départ à la Mécanique ondulatoire du photon et qui nous ont permis d'écrire les équations de la particule de spin 1, puis de les généraliser par la même méthode aux cas des particules de spin supérieur à 1.
L'idée que les particules de spin différent de 1/2 ((en unité h/2π) sont complexes a été émise par l'auteur dès 1933-1934 lorsqu'il a commencé à développer sa Mécanique ondulatoire du photon. Elle a été reprise récemment, notamment dans un travail de M. Frenkel et dans un article de MM. Fermi et Yang. Nous avons étudié à nouveau cette question depuis quelque temps avec la collaboration de Mme Tonnelat et nous donnons ici un exposé de nos dernières idées à ce sujet. Après avoir rappelé une tentative assez imparfaite que nous avions faite dans ce sens en 1936, nous la reprenons d'une manière qui paraît plus satisfaisante. Raisonnant sur le cas d'une particule de spin 1 considérée comme formée de deux constituants de spin 1/2, nous montrons comment on peut séparer le mouvement du centre de gravité de la particule du mouvement « interne » et nous explicitons les solutions relatives au mouvement interne, qui sont étudiées d'autre part avec plus de détails par Mme Tonnelat. Nous montrons ensuite comment il est possible de transporter sur le centre de gravité les propriétés de spin de l'ensemble des deux constituants et de retrouver ainsi les équations bien connues qui représentent le mouvement des particules de spin 1 considérées comme des unités. On obtient également ainsi une interprétation de la forme non définie positive de la densité de probabilité de présence dans la théorie de la particule de spin 1. Ces considérations, qui sont vraisemblablement susceptibles de généralisations pour les particules de spin supérieur à 1, semblent justifier les idées qui ont servi de points de départ à la Mécanique ondulatoire du photon et qui nous ont permis d'écrire les équations de la particule de spin 1, puis de les généraliser par la même méthode aux cas des particules de spin supérieur à 1.
Les diagrammes sont omniprésents en physique et ont catalysé le progrès à de nombreuses reprises. Des réseaux tensoriels aux circuits quantiques en passant par les diagrammes de Feynman, rares sont les domaines de la physique qui ne font pas appel à un raisonnement informel par l'image. Ces diagrammes représentent les opérations mathématiques sous-jacentes et facilitent l'interprétation physique, mais ne peuvent généralement pas être calculés directement. Dans cette thèse, le ZXH-calcul, un langage graphique basé sur le ZX-calcul, est proposé comme prototype d'un outil de calcul diagrammatique formel pour la physique théorique impliquant le spin. Cela permet d'étendre le calcul ZXH (et plus largement la famille de calculs ZX à laquelle il appartient) au-delà de son domaine traditionnel qui a été largement dominé par l'informatique quantique. Pour ce faire, les réseaux de spin issus de la physique de la matière condensée sont étudiés. Il est également montré comment les réseaux de spins de la forme souvent considérée comme l'espace d'état de la gravité quantique à boucles (LQG) peuvent être diagrammatisés avec les opérateurs qui agissent sur eux.Pour y parvenir, une forme diagrammatique de la théorie des représentations SU(2) est exposée. Un certain nombre de résultats sont ensuite présentés dans la matière condensée. L'état 1D AKLT, un état topologique protégé par symétrie, est exprimé dans le calcul ZXH en développant une représentation des spins supérieurs à 1/2 dans le calcul. En exploitant le pouvoir de simplification des règles du calcul ZXH, on montre comment cette représentation permet de retrouver directement la représentation de l'état AKLT par produit de matrice, l'existence d'états de bord topologiquement protégés et la non-vanie d'un paramètre d'ordre de chaîne. Au-delà de ces propriétés connues, l'approche diagrammatique permet également de dériver analytiquement que la phase de Berry de toute chaîne AKLT 1D de longueur finie est π. En outre, une preuve alternative que l'état AKLT 2D sur un réseau hexagonal peut être réduit à un état de graphe, démontrant qu'il s'agit d'une ressource universelle de calcul quantique. En continuant sur le thème de la matière condensée, on montre ensuite comment on peut construire des phases topologiques d'ordre supérieur en 2D de manière schématique, ce qui est utilisé pour illustrer une transition de phase avec rupture de symétrie.En ce qui concerne la LQG, la première étape est l'analyse des diagrammes de Yutsis, un calcul graphique standard utilisé en chimie quantique et en gravité quantique, qui capture les principales caractéristiques de la théorie des représentations SU(2). Ensuite, on montre comment il s'intègre dans le calcul de binor de Penrose. Les deux sont ensuite subsumés et réécrits en diagrammes ZXH. Dans ce processus, nous montrons comment l'invariance SU(2) des symboles de Wigner peut être prouvée de manière triviale dans le calcul ZXH. En outre, nous montrons comment nous pouvons calculer explicitement les symboles 3jm, 4jm et 6j dans le diagramme. On pense depuis longtemps que la gravité quantique devrait être étroitement liée à la théorie de l'information quantique. Dans cet article, nous présentons une façon de rendre cette connexion exacte, en écrivant les réseaux de spin de la gravité quantique à boucles dans le langage ZX-diagrammatique du calcul quantique. Enfin, après avoir exposé les raisons de considérer les réseaux de spins comme la quantification de l'espace, nous discutons des opérateurs géométriques et, dans des cas spécifiques, nous fournissons des versions diagrammatiques des opérateurs. Plus généralement, ce qui est fait ici montre une voie par laquelle LQG peut être interprété en termes d'information quantique en réécrivant ses états cinématiques comme des réseaux de qubits dans ZXH.
Ce travail fait suite à un article que nous avons publié l'an dernier dans ce Journal sur la définition du centre de gravité en Mécanique Ondulatoire. Etudiant d'abord certaines de ses prcpriétés, nous précisons en quoi il est assimilable à un corpuscule lourd, et s'il existe des relations d'incertitude plus précises que celles de Heisenberg auquel il satisfasse, dans quelles conditions il se comporte rigoureusement comme un corpuscule lourd, et quels cas s'en rapprochent suffisamment. Puis nous examinons s'il est possible comme en Mécanique classique de constituer une cinétique logiquement indépendante de la Mécanique Ondulatoire et d'y faire rentrer les théorèmes liés aux grandeurs cinétiques du centre de gravité. Nous trouvons qu'on peut le faire sous deux formes : la « cinétique opératorielle » donnant seulement des relations entre opérateurs, la « cinétique quantique » donnant des relations entre les valeurs des diverses grandeurs cinétiques. Nous cherchons ensuite dans quels cas on peut étendre à la mécanique de Dirac les divers théorèmes concernant le centre de gravité. Nous les appliquons alors à la théorie du photon de Louis de Broglie, au spin d'un système, à un noyau atomique, à un proton supposé complexe pour lequel nous donnons une équation de mouvement.
Les diagrammes sont omniprésents en physique et ont catalysé le progrès à de nombreuses reprises. Des réseaux tensoriels aux circuits quantiques en passant par les diagrammes de Feynman, rares sont les domaines de la physique qui ne font pas appel à un raisonnement informel par l'image. Ces diagrammes représentent les opérations mathématiques sous-jacentes et facilitent l'interprétation physique, mais ne peuvent généralement pas être calculés directement. Dans cette thèse, le ZXH-calcul, un langage graphique basé sur le ZX-calcul, est proposé comme prototype d'un outil de calcul diagrammatique formel pour la physique théorique impliquant le spin. Cela permet d'étendre le calcul ZXH (et plus largement la famille de calculs ZX à laquelle il appartient) au-delà de son domaine traditionnel qui a été largement dominé par l'informatique quantique. Pour ce faire, les réseaux de spin issus de la physique de la matière condensée sont étudiés. Il est également montré comment les réseaux de spins de la forme souvent considérée comme l'espace d'état de la gravité quantique à boucles (LQG) peuvent être diagrammatisés avec les opérateurs qui agissent sur eux.Pour y parvenir, une forme diagrammatique de la théorie des représentations SU(2) est exposée. Un certain nombre de résultats sont ensuite présentés dans la matière condensée. L'état 1D AKLT, un état topologique protégé par symétrie, est exprimé dans le calcul ZXH en développant une représentation des spins supérieurs à 1/2 dans le calcul. En exploitant le pouvoir de simplification des règles du calcul ZXH, on montre comment cette représentation permet de retrouver directement la représentation de l'état AKLT par produit de matrice, l'existence d'états de bord topologiquement protégés et la non-vanie d'un paramètre d'ordre de chaîne. Au-delà de ces propriétés connues, l'approche diagrammatique permet également de dériver analytiquement que la phase de Berry de toute chaîne AKLT 1D de longueur finie est π. En outre, une preuve alternative que l'état AKLT 2D sur un réseau hexagonal peut être réduit à un état de graphe, démontrant qu'il s'agit d'une ressource universelle de calcul quantique. En continuant sur le thème de la matière condensée, on montre ensuite comment on peut construire des phases topologiques d'ordre supérieur en 2D de manière schématique, ce qui est utilisé pour illustrer une transition de phase avec rupture de symétrie.En ce qui concerne la LQG, la première étape est l'analyse des diagrammes de Yutsis, un calcul graphique standard utilisé en chimie quantique et en gravité quantique, qui capture les principales caractéristiques de la théorie des représentations SU(2). Ensuite, on montre comment il s'intègre dans le calcul de binor de Penrose. Les deux sont ensuite subsumés et réécrits en diagrammes ZXH. Dans ce processus, nous montrons comment l'invariance SU(2) des symboles de Wigner peut être prouvée de manière triviale dans le calcul ZXH. En outre, nous montrons comment nous pouvons calculer explicitement les symboles 3jm, 4jm et 6j dans le diagramme. On pense depuis longtemps que la gravité quantique devrait être étroitement liée à la théorie de l'information quantique. Dans cet article, nous présentons une façon de rendre cette connexion exacte, en écrivant les réseaux de spin de la gravité quantique à boucles dans le langage ZX-diagrammatique du calcul quantique. Enfin, après avoir exposé les raisons de considérer les réseaux de spins comme la quantification de l'espace, nous discutons des opérateurs géométriques et, dans des cas spécifiques, nous fournissons des versions diagrammatiques des opérateurs. Plus généralement, ce qui est fait ici montre une voie par laquelle LQG peut être interprété en termes d'information quantique en réécrivant ses états cinématiques comme des réseaux de qubits dans ZXH.
Le théorème de l'impulsion, qui peut servir à caractériser le centre de gravité en mécanique classique, reste vrai en mécanique ondulatoire, même si l'on ne suppose plus aucune relation entre les masses servant à définir le centre de gravité et les masses dynamiques des corpuscules. En mécanique ondulatoire non relativiste, il est possible d'identifier les deux sortes de masses grâce à une condition de séparation du mouvement du centre de gravité et du mouvement relatif. En mécanique ondulatoire relativiste, cette condition ne s'applique plus, mais on peut en énoncer une autre en attribuant au centre de gravité une coordonnée de temps. La considération du centre de gravité d'espace-temps d'un système de corpuscules de spin ½ permet de retrouver simplement l'ensemble des équations d'une particule de spin supérieur, et d'expliquer certaines difficultés rencontrées dans la définition d'une densité de probabilité de présence pour des particules comme le photon.
L'introduction dans l'équation d'ondes de l'électron de Dirac, représentant, d'une façon générale, les corpuscules de spin 1/2.h/2π d'un terme d'interaction électromagnétique s'exerçant directement par les champs et non plus seulement par les potentiels, permet de représenter un corpuscule possédant un moment magnétique propre non lié à l'existence de la charge. Nous examinons ici quelques propriétés de ce corpuscule que l'on peut déduire de l'équation d'ondes. Après avoir défini un opérateur vitesse généralisé, nous montrons comment l'introduction d'un tenseur d'impulsion généralisé permet d'étudier les forces résultant de l'action du champ sur le corpuscule, celles-ci se décomposant en une force correspondant à la force de Lorentz classique et en une force due au moment électromagnétique propre ou force de spin dont nous discutons la possibilité de mise en évidence. Les résultats obtenus sont ensuite retrouvés dans l'étude de l'approximation non relativiste de l'équation d'ondes considérée, d'abord dans le cas du champ électromagnétique quelconque puis, plus en détail, dans le cas du champ électrique central.
Cette thèse est divisée en trois parties et s'étend sur sept chapitres compris entre l'introduction et la conclusion générales. En effet, la première partie, constituée de quatre chapitres est surtout axée sur une étude statique des modèles de Richardson-Gaudin du spin 1/2 avec champ magnétique arbitraire incluant la possibilité d'un couplage XYZ totalement anisotrope tel que les termes SjxSkx,SjySkymathrmetSjzSkz ont tous des forces de couplage distinctes. Dans cette partie on détermine de manière générique le spectre en énergie, les valeurs moyennes de spin central, les fonctions d'ondes et les fonctions de corrélation à deux points du modèles considéré; lesquels seront utiles pour une analyse dynamique poussée de ces modèles. Le calcul du spectre en énergie du système courant peut exploiter son intégrabilité qui se matérialise par un ensemble d'équations constituant la condition d'intégrabilité. Ce calcul se fait indépendamment de la symétrie du modèle considéré et passe par la résolution d'un système d'équations quadratiques relativement simple à résoudre numériquement.La seconde partie quant à elle est focalisée sur quelques exemples d'applications qu'on pourrait implémenter sur la base des résultats obtenus dans la partie I. En effet, Il a récemment été démontré que le modèle à spin central XX est intégrable. Il décrit un spin particulier couplé via des couplages spin-spin XX à un bain d'autres spins tout en ressentant un champ magnétique le long de l'axe hatz, c'est-à-dire perpendiculaire au plan dans lequel le couplage existe. Ce qui nous intéresse ici est dans un premier temps de démontrer que le modèle à spin central XX reste intégrable en présence d'un champ magnétique orienté arbitrairement. Dans un second temps nous étudions si les états sombres subsistent dans ce cas. La symétrie U(1) du modèle considéré est brisée par l'ajout d'une composante du champ externe dans le plan XY, ce qui pourrait conduire à une physique radicalement différente. Néanmoins, nous montrons que, pour un couplage suffisamment fort, la structure des états sombres réapparaît même en présence d'un champ magnétique dans le plan. Un autre exemple d'application qui clôture cette deuxième partie est celui des états sombres XXX avec champ magnétique arbitraire. Ces états bien qu'ayant une physique différentes de celle rencontrée dans les modèles précédemment étudiés existent et une loi générique à été établie pour les compter.Cette loi à été vérifiée jusqu'à 12 spins dans le bain, donc nous pouvons supposer qu'elle fonctionne aussi au delà de 12 spins dans le bain, nous pouvons conjecturer qu'elle soit valide pour n'importe quelle valeur de N.La troisième partie de ce projet quant à lui est dédié à une étude dynamique des modèles non intégrables se rapprochant de ceux étudiés dans la première partie de ce manuscrit. En effet, ces modèles sont juste la représentation des modèles de Richardson-Gaudin plongés dans un champ magnétique dépendant du temps et orienté suivant hatz.Dans un processus de rotation autour de l'axe hatz du champ magnétique associé au spin central, il est possible de définir une base dépendant du temps dans laquelle le problème dépendant temps se réduit a un problème indépendant. Le hamiltonien obtenu peut alors être intégrable et nécessiter l'utilisation des résultats trouvés dans la première partie pour être résolu. Pour ces modèles, en imaginant par exemple que le système soit initialement préparé dans un état sombre du hamiltonien statique, on constate clairement que sa dynamique n'est pas triviale et conduit à des oscillations parfaites de cet état.Les systèmes de tailles finies issus des modèles de spin central traités dans cette thèse dépendent fortement de la distribution des couplages entre le spin central et chaque spin nucléaire constituant le bain.