Nous proposons un modèle non ponctuel de particule en dimension 2: la particule étendue est représentée par quatre points qui définissent la structure d'une petite corde élastique qui vibre, en alternant entre un processus de création et un processus d'annihilation. Nous montrons d'abord comment le spin et les relations d'incertitude d'Heisenberg émergent de cette particule étendue. Nous montrons ensuite comment l'action complexe, associée à cette particule étendue, vérifie, à partir d'un principe de moindre action généralisé, une équation d'Hamilton-Jacobi complexe du second ordre. Alors la fonction, qui admet cette action comme une phase complexe, vérifie l'équation de Schrödinger. Finalement, nous montrons que le centre de gravité de cette particule étendue suit une trajectoire de Broglie-Bohm. Ce modèle est construit sur deux concepts mathématiques nouveaux: une mécanique analytique complexe généralisant l'analyse non linéaire Minplus que nous avons introduit [2,3] à la suite de Maslov [1] et les processus déterministes périodiques que nous avons développé [9,10].
Nous proposons un modèle non ponctuel de particule en dimension 2: la particule étendue est représentée par quatre points qui définissent la structure d'une petite corde élastique qui vibre, en alternant entre un processus de création et un processus d'annihilation. Nous montrons d'abord comment le spin et les relations d'incertitude d'Heisenberg émergent de cette particule étendue. Nous montrons ensuite comment l'action complexe, associée à cette particule étendue, vérifie, à partir d'un principe de moindre action généralisé, une équation d'Hamilton-Jacobi complexe du second ordre. Alors la fonction, qui admet cette action comme une phase complexe, vérifie l'équation de Schrödinger. Finalement, nous montrons que le centre de gravité de cette particule étendue suit une trajectoire de Broglie-Bohm. Ce modèle est construit sur deux concepts mathématiques nouveaux: une mécanique analytique complexe généralisant l'analyse non linéaire Minplus que nous avons introduit [2,3] à la suite de Maslov [1] et les processus déterministes périodiques que nous avons développé [9,10].
Dans l'optique de la mecanique stochastique, une formulation probabiliste de la mecanique quantique dans l'espace des phases est proposee. Notre approche utilise la fonction de wigner qui offre, dans un cadre general, une description d'un systeme quantique dans l'espace des phases. Alors que la mecanique stochastique ne considere que les etats purs du systeme, les proprietes de la fonction introduite par wigner nous permettent de traiter les etats de melange aussi bien que les etats purs. Apres avoir precise, en premiere partie, les proprietes essentielles de cette fonction et rappele son lien avec les operateurs de weyl, nous donnons dans une deuxieme partie une analyse heuristique de la mecanique quantique en terme de fluide. L'interpretation habituelle de la fonction de wigner comme etant une densite dans l'espace des phases, nous amene a considerer le cas d'un systeme soumis a l'action d'une force derivant d'un potentiel qui est la transformee de fourier d'une mesure bornee. Nous montrons que l'on peut alors envisager la fonction de wigner comme une difference de deux fonctions positives telles qu'a chacune de ces fonctions soit associe un processus de markov. Notre conception de fluide quantique consiste a interpreter ces deux fonctions comme etant les densites d'un fluide compose de deux types de particules differents mais dans lequel seule la difference de ces densites est observee. L'evolution de chaque type de particule est alors donnee par le processus de markov associe. Dans le cas particulier ou l'espace de hilbert du systeme est de dimension finie, une telle construction de processus peut alors rigoureusement etre effectuee. Cette etude est realisee dans une troisieme partie ou la dimension n de l'espace de hilbert est supposee impaire. La raison d'un tel choix est due au fait que le groupe des residus modulo n, que nous utilisons, possede dans ce cas une racine carree. Nous construisons, en premier lieu, une theorie des operateurs de weyl et des fonctions de wigner discretises. En augmentant l'espace des phases discretise d'une variable dichotomique egale a +1 ou -1, nous prouvons l'existence d'un processus de markov evoluant dans cet espace, tel que la fonction de wigner soit egale a la valeur moyenne partielle de cette variable dichotomique. Dans un article ecrit en collaboration avec p. Combe, m. Sirugue et m. Sirugue-collin, nous montcrons que ce formalisme peut etre applique a l'etude d'un spin entier. Enfin, en appendice, nous donnons les proprietes des processus de markov qui sont utiles a notre expose
Nous montrons que la longue et âpre querelle sur l’interprétation de la mécanique quantique s’explique par le fait que chacun des pères fondateurs fonde sa conviction sur une vérité indiscutable, mais partielle. Pour proposer une interprétation synthétique de la mécanique quantique, nous devons tenir compte de la façon dont les particules quantiques sont préparées et de la validité de l’approximation semi-classique, c’est-à-dire si les actions ont des valeurs très supérieures ou non à la constante de Planck. On parlera de particules discernées quand la fonction d’onde représente complètement la particule et de particules indiscernées lorsque la fonction d’onde n’est plus suffisante. Dans le cas indiscerné semi-classique où la fonction d’onde ne suffit pas pour représenter les particules quantiques, il est obligatoire de lui ajouter les positions initiales des particules et l’interprétation de Broglie-Bohm-Bell s’impose. Bien qu’il existe un déterminisme pour ces particules, on se trouve, à l’échelle de notre représentation, devant un indéterminisme empirique lié à la non-connaissance de la position initiale de la particule. Dans le cas discerné semi-classique où la fonction d’onde suffit pour représenter les particules quantiques, l’interprétation de Schrödinger semble s’imposer. À l’échelle de notre représentation, il existe un déterminisme ontologique pour ces particules. Dans le cas où l’approximation semi-classique n’est plus valable, comme lors de la transition entre deux nivaux de l’atome d’hydrogène, les deux interprétations précédentes de la fonction d’onde de Schrödinger s’avèrent fausses comme le pensaient Einstein et Heisenberg. L’interprétation statistique de Born est alors la seule interprétation possible de l’équation de Schrödinger. L’interprétation déterministe doit alors se faire à partir des opérateurs de création et d’annihilation de la théorie quantique des champs et non à partir de l’équation de Schrödinger. Nous appelons cette interprétation synthétique de la mécanique quantique l’interprétation EB 5 SH (Einstein, de Broglie, Bohm, Bell, Bohr, Born, Schrödinger, Heisenberg).
La notion de dualité onde-particule a été centrale dans le développement de la mécanique quantique. Introduite principalement par Louis DE BROGLIE dans sa thèse de 1924, elle a permis à ce dernier d’ébaucher une nouvelle théorie pour décrire le monde microscopique : la mécanique ondulatoire. Néanmoins, cette description mécanique ainsi que sa forme plus rigoureuse, nommée théorie de la double solution, ont été rapidement abandonnées en raison de leur complexité, en faveur du formalisme quantique moderne et de l’interprétation de l’École de Copenhague.Un regain d’intérêt pour ces questions est survenu au cours des deux dernières décennies, qui ont vu apparaître des expériences mettant en œuvre de possibles analogues macroscopiques de la mécanique quantique. On pense en particulier aux expériences de Yves COUDER de 2005, ayant permis de reproduire une forme de dualité onde-particule, ainsi que les phénomènes quantiques associés. L’objectif de cette thèse est donc double : d’une part, construire un modèle analogue de la dualité onde-particule, qui sera entièrement classique et mécanique et, d’autre part, utiliser ce modèle pour poursuivre les travaux de Louis DE BROGLIE sur la mécanique ondulatoire, en cherchant à construire une théorie d’onde pilote couplant deux ondes à une particule.Nous explorerons ainsi, à la fois les considérations mécaniques d’un tel modèle et les généralisations et abstractions nécessaires pour appliquer ce modèle macroscopique à l’échelle des particules quantiques. Ce second point nous permettra d’aborder des discussions plus fondamentales, sur la question de l’interprétation de la mécanique quantique, dans le contexte du théorème de Bell, des expériences d’Aspect, ainsi que de la théorie de de Broglie-Bohm.
La notion de dualité onde-particule a été centrale dans le développement de la mécanique quantique. Introduite principalement par Louis DE BROGLIE dans sa thèse de 1924, elle a permis à ce dernier d’ébaucher une nouvelle théorie pour décrire le monde microscopique : la mécanique ondulatoire. Néanmoins, cette description mécanique ainsi que sa forme plus rigoureuse, nommée théorie de la double solution, ont été rapidement abandonnées en raison de leur complexité, en faveur du formalisme quantique moderne et de l’interprétation de l’École de Copenhague.Un regain d’intérêt pour ces questions est survenu au cours des deux dernières décennies, qui ont vu apparaître des expériences mettant en œuvre de possibles analogues macroscopiques de la mécanique quantique. On pense en particulier aux expériences de Yves COUDER de 2005, ayant permis de reproduire une forme de dualité onde-particule, ainsi que les phénomènes quantiques associés. L’objectif de cette thèse est donc double : d’une part, construire un modèle analogue de la dualité onde-particule, qui sera entièrement classique et mécanique et, d’autre part, utiliser ce modèle pour poursuivre les travaux de Louis DE BROGLIE sur la mécanique ondulatoire, en cherchant à construire une théorie d’onde pilote couplant deux ondes à une particule.Nous explorerons ainsi, à la fois les considérations mécaniques d’un tel modèle et les généralisations et abstractions nécessaires pour appliquer ce modèle macroscopique à l’échelle des particules quantiques. Ce second point nous permettra d’aborder des discussions plus fondamentales, sur la question de l’interprétation de la mécanique quantique, dans le contexte du théorème de Bell, des expériences d’Aspect, ainsi que de la théorie de de Broglie-Bohm.
Nous nous proposons d’etudier le modele de Luttinger en utilisant le groupe de renormalisation dans l’espace interne. Cette extension du groupe de renormalisation permet la construction de la fonctionnelle action effective en resommant les modes selon leur importance dans l’espace interne, caracteristique de l’amplitude des champs de la theorie. Elle s’effectue a l’ordre une boucle et semble indiquer clairement qu’au voisinage des points de Fermi, le systeme est fortement couple. Nous mettons aussi en evidence quelques problemes potentiels lies a la bosonisation du hamiltonien de Luttinger. L’etude des systemes dissipatifs est un autre probleme fondamental en physique. La description la plus simple de ces phenomenes consiste a faire l’hypothese que le systeme et son environnement une fois regroupes forment un systeme isole, et l’on procede alors a l’etude du systeme etendu. Nous nous evertuerons a construire une methode systematique qui permet de d’obtenir l’action effective, comme fonctionnelle de la densite, d’un tel systeme. Nous procedons a une etude classique qui montre alors l’apparition d’une derivee temporelle symetrisee, qui se traduit au niveau quantique par l’utilisation des fonctions de Green causales. Nous travaillons ensuite sur un modele de theorie des champs qui decrit la dynamique d’un systeme a deux niveaux en contact avec un bain d’oscillateurs harmoniques. Le developpement des structures de communication comme le reseau Internet revele que les reseaux complexes presentent de proprietes tres interessantes. Nous avons realise un modele susceptible de decrire ce comportement particulier comme une consequence de correlations subtiles entre les relations physiques qu’ont les individus de tels reseaux et un effet memoire a court-terme. Nous conduisons cette etude numeriquement et observons alors le comportement scale-free caracteristique de ces systemes.
Durant cette thèse, je me suis intéressé à deux thématiques générales qui peuvent être explorées dans des systèmes d atomes froids : d une part, la dynamique hors-équilibre d un système quantique isolé, et d autre part l influence du désordre sur un système fortement corrélé à basse température. Dans un premier temps, nous avons développé une méthode de champ moyen, qui permet de résoudre la dynamique unitaire dans un modèle à géométrie particulière, le réseau complètement connecté. Cette approche permet d établir une correspondance entre la dynamique unitaire du système quantique et des équations du mouvement classique. Nous avons mis à profit cette méthode pour étudier le phénomène de transition dynamique qui se signale, dans des modèles de champ moyen, par une singularité des observables aux temps longs, en fonction des paramètres initiaux ou finaux de la trempe. Nous avons montré l existence d une transition dynamique quantique dans les modèle de Bose-Hubbard, d Ising en champ transverse et le modèle de Jaynes-Cummings. Ces résultats confirment l existence d un lien fort entre la présence d une transition de phase quantique et d une transition dynamique.Dans un second temps, nous avons étudié un modèle de théorie des champs relativiste avec symétrie O(N) afin de comprendre l influence des fluctuations sur ces singularités. À l ordre dominant en grand N, nous avons montré que la transition dynamique s apparente à un phénomène critique. En effet, à la transition dynamique, les fonctions de corrélations suivent une loi d échelle à temps égaux et à temps arbitraires. Il existe également une longueur caractéristique qui diverge à l approche du point de transition. D autre part, il apparaît que le point fixe admet une interprétation en terme de particules sans masse se propageant librement. Enfin, nous avons montré que la dynamique asymptotique au niveau du point fixe s apparente à celle d une trempe d un état symétrique dans la phase de symétrie brisée. Le troisième volet de cette thèse apporte des éléments nouveaux pour la compréhension du diagramme des phases du modèle de Bose-Hubbard en présence de désordre. Pour ce faire,nous avons utilisé et étendu la méthode de la cavité quantique en champ moyen de Ioffe et Mézard, qui doit être utilisée avec la méthode des répliques. De cette manière, il est possible d obtenir des résultats analytiques pour les exposants des lois de probabilité de la susceptibilité.Nos résultats indiquent que dans les différents régimes de la transition de phase de superfluide vers isolant, les lois d échelle conventionnelles sont tantôt applicables, tantôt remplacées par une loi d activation. Enfin, les exposants critiques varient continûment à la transition conventionnelle.