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Journal de physique

Théorie du centre de gravité en mécanique ondulatoire et applications

Jean-Louis Destouches

Published Jan 1, 1935• 0 citations
Publisher

Abstract

Ce travail fait suite à un article que nous avons publié l'an dernier dans ce Journal sur la définition du centre de gravité en Mécanique Ondulatoire. Etudiant d'abord certaines de ses prcpriétés, nous précisons en quoi il est assimilable à un corpuscule lourd, et s'il existe des relations d'incertitude plus précises que celles de Heisenberg auquel il satisfasse, dans quelles conditions il se comporte rigoureusement comme un corpuscule lourd, et quels cas s'en rapprochent suffisamment. Puis nous examinons s'il est possible comme en Mécanique classique de constituer une cinétique logiquement indépendante de la Mécanique Ondulatoire et d'y faire rentrer les théorèmes liés aux grandeurs cinétiques du centre de gravité. Nous trouvons qu'on peut le faire sous deux formes : la « cinétique opératorielle » donnant seulement des relations entre opérateurs, la « cinétique quantique » donnant des relations entre les valeurs des diverses grandeurs cinétiques. Nous cherchons ensuite dans quels cas on peut étendre à la mécanique de Dirac les divers théorèmes concernant le centre de gravité. Nous les appliquons alors à la théorie du photon de Louis de Broglie, au spin d'un système, à un noyau atomique, à un proton supposé complexe pour lequel nous donnons une équation de mouvement.

DOI
10.1051/jphysrad:0193500608032900

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Nous donnons d'abord une définition du centre de gravité d'un système de corpuscules en Mécanique Ondulatoire, puis nous étudions sa position moyenne et son écart quadratique moyen. Ayant constaté qu'il se comporte comme un corpuscule lourd et que son mouvement satisfait aux relations d'incertitude de Heisenberg, nous cherchons à décrire son mouvement au moyen d'une équation d'ondes. A l'aide de la notion d'opérateurs « correspondamment égaux », nous établissons en mécanique ondulatoire des systèmes un certain nombre de théorèmes analogues par la forme de leur énoncé à des théorèmes de mécanique classique, parmi lesquels des théorèmes analogues à ceux de Koenig. Puis nous établissons l'équation d'ondes du mouvement du centre de gravité, ainsi que celle du mouvement relatif autour du centre de gravité. Nous citons comme exemple le cas d'un système de deux corpuscules et montrons comment s'introduit la masse réduite. Enfin, grâce à la notion de centre de gravité, nous pouvons définir d'une façon précise un « corps solide parfait » ainsi que les différents systèmes de la mécanique classique, et poser nettement le problème de leur existence.

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On ne peut, d'après le principe de la Relativité générale, supposer en toute généralité que l'espace métrique dans lequel se passent les phénomènes physiques soit identique à l'espace pseudo-euclidien de Minkowski. Il est donc utile de développer le plus possible la théorie de la Mécanique ondulatoire sous une forme complètement invariante. C'est ce que nous avons fait dans le présent travail. Signalons la démonstration très simple des théorèmes de conservation de l'électricité et de l'impulsion et de l'énergie, ainsi que le théorème d'équivalence entre le principe variationnel — qui fournit les équations fondamentales de la Mécanique ondulatoire — et le principe des opérateurs. Nous exposons enfin une théorie relativiste de l'électron — ou positon — magnétique qui e présente comme une généralisation naturelle de la théorie de l'électron sans spin.

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Ce travail fait suite à un article que nous avons publié l'an dernier dans ce Journal sur la définition du centre de gravité en Mécanique Ondulatoire. Etudiant d'abord certaines de ses prcpriétés, nous précisons en quoi il est assimilable à un corpuscule lourd, et s'il existe des relations d'incertitude plus précises que celles de Heisenberg auquel il satisfasse, dans quelles conditions il se comporte rigoureusement comme un corpuscule lourd, et quels cas s'en rapprochent suffisamment. Puis nous examinons s'il est possible comme en Mécanique classique de constituer une cinétique logiquement indépendante de la Mécanique Ondulatoire et d'y faire rentrer les théorèmes liés aux grandeurs cinétiques du centre de gravité. Nous trouvons qu'on peut le faire sous deux formes : la « cinétique opératorielle » donnant seulement des relations entre opérateurs, la « cinétique quantique » donnant des relations entre les valeurs des diverses grandeurs cinétiques. Nous cherchons ensuite dans quels cas on peut étendre à la mécanique de Dirac les divers théorèmes concernant le centre de gravité. Nous les appliquons alors à la théorie du photon de Louis de Broglie, au spin d'un système, à un noyau atomique, à un proton supposé complexe pour lequel nous donnons une équation de mouvement.
Nous donnons d'abord une définition du centre de gravité d'un système de corpuscules en Mécanique Ondulatoire, puis nous étudions sa position moyenne et son écart quadratique moyen. Ayant constaté qu'il se comporte comme un corpuscule lourd et que son mouvement satisfait aux relations d'incertitude de Heisenberg, nous cherchons à décrire son mouvement au moyen d'une équation d'ondes. A l'aide de la notion d'opérateurs « correspondamment égaux », nous établissons en mécanique ondulatoire des systèmes un certain nombre de théorèmes analogues par la forme de leur énoncé à des théorèmes de mécanique classique, parmi lesquels des théorèmes analogues à ceux de Koenig. Puis nous établissons l'équation d'ondes du mouvement du centre de gravité, ainsi que celle du mouvement relatif autour du centre de gravité. Nous citons comme exemple le cas d'un système de deux corpuscules et montrons comment s'introduit la masse réduite. Enfin, grâce à la notion de centre de gravité, nous pouvons définir d'une façon précise un « corps solide parfait » ainsi que les différents systèmes de la mécanique classique, et poser nettement le problème de leur existence.
Le théorème de l'impulsion, qui peut servir à caractériser le centre de gravité en mécanique classique, reste vrai en mécanique ondulatoire, même si l'on ne suppose plus aucune relation entre les masses servant à définir le centre de gravité et les masses dynamiques des corpuscules. En mécanique ondulatoire non relativiste, il est possible d'identifier les deux sortes de masses grâce à une condition de séparation du mouvement du centre de gravité et du mouvement relatif. En mécanique ondulatoire relativiste, cette condition ne s'applique plus, mais on peut en énoncer une autre en attribuant au centre de gravité une coordonnée de temps. La considération du centre de gravité d'espace-temps d'un système de corpuscules de spin ½ permet de retrouver simplement l'ensemble des équations d'une particule de spin supérieur, et d'expliquer certaines difficultés rencontrées dans la définition d'une densité de probabilité de présence pour des particules comme le photon.
On ne peut, d'après le principe de la Relativité générale, supposer en toute généralité que l'espace métrique dans lequel se passent les phénomènes physiques soit identique à l'espace pseudo-euclidien de Minkowski. Il est donc utile de développer le plus possible la théorie de la Mécanique ondulatoire sous une forme complètement invariante. C'est ce que nous avons fait dans le présent travail. Signalons la démonstration très simple des théorèmes de conservation de l'électricité et de l'impulsion et de l'énergie, ainsi que le théorème d'équivalence entre le principe variationnel — qui fournit les équations fondamentales de la Mécanique ondulatoire — et le principe des opérateurs. Nous exposons enfin une théorie relativiste de l'électron — ou positon — magnétique qui e présente comme une généralisation naturelle de la théorie de l'électron sans spin.
En 1924 Louis de Broglie a fondé la Mécanique Ondulatoire. Dans ses profondes considérations il a supposé que l’énergie de corpuscule est égale hv, et qu’au corpuscule en mouvement est associée une onde. De Broglie est parti de certaines formules fondamentales de la théorie de la Relativité restreinte et a ainsi déduit la relation fondamentale uv = c2, à l’aide de laquelle le principe de Maupertuis-Lagrange se transforme en principe de Fermat et inversement. Nous montrerons ici que l’inverse est aussi possible, c’est-à-dire, qu’on peut déduire. les lois fondamentales de la théorie de la Relativité restreinte d’Einstein et la Mécanique Ondulatoire de de Broglie, des deux principes classiques, celui de Fermat et celui de Maupertuis-Lagrange et de quelques autres hypothèses se rapportant aux corpuscules matériels et ondes associées à eux, sans supposer le principe de la constance de la vitesse de la lumière.
On a cherché de façon générale à raccorder les expressions classiques et quantique pour l'énergie émise par un système accéléré, par exemple au cours d'un choc. On sait qu'en mécanique quantique intervient la constante de la stucture fine. Après avoir rappelé (§ 2) les différents problèmes qui amènent à son introduction, on rappelle les bases de la théorie du rayonnement des particules accélérées en mécanique classique en particulier sous forme relativiste (§ 3). Ceci amène à discuter la notion d'accélération en mécanique quantique. On indique une démonstration particulièrement simple du théorème d'Ehrenfest (§ 4). Un exemple simple (choc d'un électron et d'un neutron) montre la nécessité de faire intervenir le quantum élémentaire d'action (§ 5). Ceci amène à discuter les limites d'applicabilité de la théorie classique au cours des chocs (§ 6). La longueur déterminante se trouve être non la longueur d'onde de de Broglie h/(mv) mais bien h/2mv sin(θ/2), θ etant l'angle de choc. La discussion d'une mesure du rayonnement au cours d'un choc amène alors à l'introduction cherchée de la constante de Planck (§ 7). L'expression trouvée, relativement indépendante de la loi de choc, permet de suivre le passage entre théorie classique et théorie quantique. Une première application des résultats précédents est faite à la loi de Coulomb dans le domaine des faibles vitesses (§ 8). Des difficultés inhérentes aux propriétés du champ de Coulomb s'y présentent qu'on discute On retrouve la formule de Kramers, à un facteur numérique près. On discute ensuite le cas des chocs à grande vitesse, tels qu'ils se présentent dans les questions relatives au rayonnement cosmique (§ 9). On montre que le rayonnement devient fort important lorsque l'énergie des particules incidentes est de l'ordre de (137)² m0 c². On insiste sur le fait que des passages vers les états d'énergie négative sont alors possibles, ce qui peut avoir certaines vérifications expérimentales. Une application d'ordre très différent est faite à la mesure des champs électrique et magnétique (§ 10). On y discute de manière approfondie les possibilités de mesure au moyen d'un corps d'épreuve dont on mesure l'impulsion. On montre que, contrairement à ce qu'ont prétendu Landau et Peierls, une telle expérience donne une erreur supérieure à celle qu'exige la théorie électromagnétique quantique de Heisenberg et Pauli. On discute les raisons de ce désaccord. On discute enfin (§ 11) la possibilité de suivre d'encore plus près la théorie classique, en particulier d'introduire la notion de force de rayonnement en mécanique quantique.
L'hypothèse des sauts quantiques (qu'un point matériel ne peut émettre ou recevoir d'actions extérieures qu'à des intervalles d'action hamiltonienne égaux à h) impose au champ ambiant des forces électromagnétiques une propagation apparente régie par une équation d'ondes où intervient l'action hamiltonienne de l'électron-explorateur nécessaire pour déceler le champ. Cette action hamiltonienne étant d'autre part déterminée par le champ extérieur à la manière classique, l'équation définitive qui régit le champ ambiant résulte de l'élimination de l'action hamiltonienne entre l'équation d'ondes et les équations de la mécanique classique. Cette élimination, immédiate dans le cas de l'approximation de Schrodinger, ne peut se faire dans le cas de la mécanique relativiste qu'en passant des équations du second ordre (des ondes et d'Hamilton-Jacobi) à des équations du premier ordre équivalentes et donne alors le système d'équations de Dirac. Ces équations de Dirac une fois résolues, on peut calculer en fonction de leurs solutions, au moyen des équations précédentes du premier ordre, la quantité de mouvement et l'énergie d'un électron-explorateur en un point quelconque du champ ambiant. Le fait que la position initiale d'un électron vrai est indéterminée dans les données du problème ne permet alors de traiter l'étude de la trajectoire de l'électron que statistiquement, par les méthodes classiques de la mécanique statistique. On retrouve ainsi, dans le cas des trajectoires « possibles » de la mécanique classique, les interprétations statistiqnes prises en hypothèse par Dirac. Un appendice revient sur l'approximation de Schrödinger, précise la différence des électrons vrais et des électrons explorateurs, et interprète l'expérience de Davisson et Germer.