Sur les rapports entre le principe de Maupertuis-Lagrange et celui de Fermat d’une part et la théorie de la Relativité restreinte et la mécanique ondulatoire d’autre part
En 1924 Louis de Broglie a fondé la Mécanique Ondulatoire. Dans ses profondes considérations il a supposé que l’énergie de corpuscule est égale hv, et qu’au corpuscule en mouvement est associée une onde. De Broglie est parti de certaines formules fondamentales de la théorie de la Relativité restreinte et a ainsi déduit la relation fondamentale uv = c2, à l’aide de laquelle le principe de Maupertuis-Lagrange se transforme en principe de Fermat et inversement. Nous montrerons ici que l’inverse est aussi possible, c’est-à-dire, qu’on peut déduire. les lois fondamentales de la théorie de la Relativité restreinte d’Einstein et la Mécanique Ondulatoire de de Broglie, des deux principes classiques, celui de Fermat et celui de Maupertuis-Lagrange et de quelques autres hypothèses se rapportant aux corpuscules matériels et ondes associées à eux, sans supposer le principe de la constance de la vitesse de la lumière.
En 1924 Louis de Broglie a fondé la Mécanique Ondulatoire. Dans ses profondes considérations il a supposé que l’énergie de corpuscule est égale hv, et qu’au corpuscule en mouvement est associée une onde. De Broglie est parti de certaines formules fondamentales de la théorie de la Relativité restreinte et a ainsi déduit la relation fondamentale uv = c2, à l’aide de laquelle le principe de Maupertuis-Lagrange se transforme en principe de Fermat et inversement. Nous montrerons ici que l’inverse est aussi possible, c’est-à-dire, qu’on peut déduire. les lois fondamentales de la théorie de la Relativité restreinte d’Einstein et la Mécanique Ondulatoire de de Broglie, des deux principes classiques, celui de Fermat et celui de Maupertuis-Lagrange et de quelques autres hypothèses se rapportant aux corpuscules matériels et ondes associées à eux, sans supposer le principe de la constance de la vitesse de la lumière.
Ce travail fait suite à un article que nous avons publié l'an dernier dans ce Journal sur la définition du centre de gravité en Mécanique Ondulatoire. Etudiant d'abord certaines de ses prcpriétés, nous précisons en quoi il est assimilable à un corpuscule lourd, et s'il existe des relations d'incertitude plus précises que celles de Heisenberg auquel il satisfasse, dans quelles conditions il se comporte rigoureusement comme un corpuscule lourd, et quels cas s'en rapprochent suffisamment. Puis nous examinons s'il est possible comme en Mécanique classique de constituer une cinétique logiquement indépendante de la Mécanique Ondulatoire et d'y faire rentrer les théorèmes liés aux grandeurs cinétiques du centre de gravité. Nous trouvons qu'on peut le faire sous deux formes : la « cinétique opératorielle » donnant seulement des relations entre opérateurs, la « cinétique quantique » donnant des relations entre les valeurs des diverses grandeurs cinétiques. Nous cherchons ensuite dans quels cas on peut étendre à la mécanique de Dirac les divers théorèmes concernant le centre de gravité. Nous les appliquons alors à la théorie du photon de Louis de Broglie, au spin d'un système, à un noyau atomique, à un proton supposé complexe pour lequel nous donnons une équation de mouvement.
La theorie de Bohr a permis de calculer entierement les niveaux d’energie dans l’atome H, mais elle ne s’applique malheureusement pas a d’autres atomes ! Il fallait donc trouver autre chose tout en gardant l’idee fondamentale de la nature a la fois ondulatoire et corpusculaire de la lumiere. Deux physiciens, Albert Einstein et Louis de Broglie ont eu l’idee temeraire, apres le bouleversement qu’avait subi la theorie de la lumiere, de s’attaquer serieusement aux idees qu’on se faisait au sujet de la matiere : Matiere et energie Einstein a trouve qu’il n’existe pas de difference fondamentale entre la matiere et energie : Une masse m de matiere peut etre convertie en une quantite d’energie egale a
La notion de dualité onde-particule a été centrale dans le développement de la mécanique quantique. Introduite principalement par Louis DE BROGLIE dans sa thèse de 1924, elle a permis à ce dernier d’ébaucher une nouvelle théorie pour décrire le monde microscopique : la mécanique ondulatoire. Néanmoins, cette description mécanique ainsi que sa forme plus rigoureuse, nommée théorie de la double solution, ont été rapidement abandonnées en raison de leur complexité, en faveur du formalisme quantique moderne et de l’interprétation de l’École de Copenhague.Un regain d’intérêt pour ces questions est survenu au cours des deux dernières décennies, qui ont vu apparaître des expériences mettant en œuvre de possibles analogues macroscopiques de la mécanique quantique. On pense en particulier aux expériences de Yves COUDER de 2005, ayant permis de reproduire une forme de dualité onde-particule, ainsi que les phénomènes quantiques associés. L’objectif de cette thèse est donc double : d’une part, construire un modèle analogue de la dualité onde-particule, qui sera entièrement classique et mécanique et, d’autre part, utiliser ce modèle pour poursuivre les travaux de Louis DE BROGLIE sur la mécanique ondulatoire, en cherchant à construire une théorie d’onde pilote couplant deux ondes à une particule.Nous explorerons ainsi, à la fois les considérations mécaniques d’un tel modèle et les généralisations et abstractions nécessaires pour appliquer ce modèle macroscopique à l’échelle des particules quantiques. Ce second point nous permettra d’aborder des discussions plus fondamentales, sur la question de l’interprétation de la mécanique quantique, dans le contexte du théorème de Bell, des expériences d’Aspect, ainsi que de la théorie de de Broglie-Bohm.
La notion de dualité onde-particule a été centrale dans le développement de la mécanique quantique. Introduite principalement par Louis DE BROGLIE dans sa thèse de 1924, elle a permis à ce dernier d’ébaucher une nouvelle théorie pour décrire le monde microscopique : la mécanique ondulatoire. Néanmoins, cette description mécanique ainsi que sa forme plus rigoureuse, nommée théorie de la double solution, ont été rapidement abandonnées en raison de leur complexité, en faveur du formalisme quantique moderne et de l’interprétation de l’École de Copenhague.Un regain d’intérêt pour ces questions est survenu au cours des deux dernières décennies, qui ont vu apparaître des expériences mettant en œuvre de possibles analogues macroscopiques de la mécanique quantique. On pense en particulier aux expériences de Yves COUDER de 2005, ayant permis de reproduire une forme de dualité onde-particule, ainsi que les phénomènes quantiques associés. L’objectif de cette thèse est donc double : d’une part, construire un modèle analogue de la dualité onde-particule, qui sera entièrement classique et mécanique et, d’autre part, utiliser ce modèle pour poursuivre les travaux de Louis DE BROGLIE sur la mécanique ondulatoire, en cherchant à construire une théorie d’onde pilote couplant deux ondes à une particule.Nous explorerons ainsi, à la fois les considérations mécaniques d’un tel modèle et les généralisations et abstractions nécessaires pour appliquer ce modèle macroscopique à l’échelle des particules quantiques. Ce second point nous permettra d’aborder des discussions plus fondamentales, sur la question de l’interprétation de la mécanique quantique, dans le contexte du théorème de Bell, des expériences d’Aspect, ainsi que de la théorie de de Broglie-Bohm.
L'indiscernabilité des corpuscules de même espèce entraînant l'indéterminisme, on en étudie les répercussions sur les lois générales de prévisions. Une condition générale est obtenue. En adjoignant le principe des interférences et le principe de linéarité de l'opérateur hamiltonien, on est conduit à diviser les corpuscules en deux classes : ceux pour lesquels les fonctions d'onde sont symétriques et ceux pour lesquels les fonctions d'onde sont antisymétriques. On retrouve ainsi un résultat de la mécanique ondulatoire sans avoir fait intervenir de conditions quantiques. Puis le passage à la mécanique macroscopique est examiné ; celui-ci ne se présente pas de la même façon qu'en mécanique quantique, car la constante de Planck n'intervient pas. On montre qu'à l'échelle macroscopique les localisations sont telles que l'indiscernabilité n'a plus lieu.
On sait à quelle hypothèse M. Planck a été conduit par ses re- cherches sur les lois du rayonnement.D'après lui, l'énergie des ra- diateurs lumineux varierait d'une manière discontinue, et c'est ce qu'on appelle la théorie des Quanta.Il est à peine nécessaire de faire remarquer combien cette conception s'écarte de tout ce qu'on avait imaginé jusqu'ici ; les phénomènes physiques cesseraient d'obéir à des lois exprimables par des équations différentielles, et ce serait là, sans aucun doute, la plus grande révolution et la plus pro- fonde que la philosophie naturelle ait subie depuis Newton.Je ne parlerai pas des difficultés de détail, elles sautent à tous les yeux et M. Planck est le premier à s'en préoccuper.Peut-on néanmoins échapper à cette conséquence ?Bien des per- sonnes l'ont pensé; lors du récent Congrès de Bruxelles, M. Nernst m'avait communiqué certaines suggestions ; il pensait qu'on pourrait rendre compte des faits, en supposant que les masses, au lieu d'être constantes comme dans la mécanique classique, au lieu de dépendre seulement de la vitesse, comme dans la mécanique nouvelle fondée sur le principe de relativité, soient dépendantes à la fois des compo- santes de la vitesse et de celles de l'accélération.Ce sont ces suggestions de M. Nernst qui m'ont déterminé à entreprendre ce tra- vail, et je dois dire tout de suite que j'ai été conduit à répondre négativement à la question posée par l'éminent physicien.M. Planck se représente le rayonnement des solides comme dû à un très grand nombre de résonnateurs hertziens.Chacun de ces réson-