Abstract Die relativistische Wellengleichung von Schrödinger und Gordon wird nach der Methode der statistischen Gesamtheit behandelt. Es stellt sich heraus, daß sie als völlig einwandfreie relativistisch‐spinlose „Ein‐Teilchen Wellengleichung”︁ betrachtet werden kann, die ihren Sinn, im Gegensatz zur bestehenden Auffassung, nicht erst durch die zweite Quantelung erhält.
Abstract Die relativistische Wellengleichung von Schrödinger und Gordon wird nach der Methode der statistischen Gesamtheit behandelt. Es stellt sich heraus, daß sie als völlig einwandfreie relativistisch‐spinlose „Ein‐Teilchen Wellengleichung”︁ betrachtet werden kann, die ihren Sinn, im Gegensatz zur bestehenden Auffassung, nicht erst durch die zweite Quantelung erhält.
Aus dem Korrespondenzprinzip folgt, daß es in Analogie zur relativistischen Mechanik auch eine relativistische Quantenmechanik geben muß. Interessanterweise hat E. Schrödinger noch vor der Schrödinger-Gleichung als erstes eine relativistische “Wellengleichung“ aufgestellt. Er publizierte diese jedoch nicht, weil sie nicht die richtige Feinstruktur der Energieniveaus des Wasserstoffatoms lieferte. Erst, nachdem er bemerkt hatte, daß sie einen brauchbaren nicht-relativistischen Limes liefert, wollte er das nachholen, doch da waren ihm bereits O. Klein und W. Gordon zuvorgekommen. Aus diesem Grund wird die auch von ihm entdeckte Gleichung heute meist als Klein-Gordon-Gleichung bezeichnet. Sie hat sich als korrekte relativistische Gleichung für Spin-0-Teilchen erwiesen und wird daher ausführlich in Kapitel 4 untersucht. Dabei soll der frühere Usus, sie als Klein-Gordon-Schrödinger-Gleichung zu bezeichnen, wieder aufleben. Anders als die Schrödinger-Gleichung enthält die Klein-Gordon-Schrödinger-Gleichung Zeitableitungen zweiter Ordnung. Sie paßt daher zunächst nicht nicht in das in Kapitel Q6 entwickelte allgemeine Schema der Quantenmechanik, kann jedoch durch eine geeignete Umformulierung in dieses eingepaßt werden.
Aufgrund der beobachteten Welleneigenschaften eines Teilchens stellt sich die Frage, wie sich das Teilchen beschreiben läßt. In Abschn. 1.2.3 wurde bereits erläutert, daß dem Teilchen eine Wellenfunktion ψ(r,t) zugeordnet wird, deren Absolutquadrat nach der Deutung von Max Born die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens angibt. Von welcher Gestalt diese Welle ist, ob es sich z.B. um eine ebene Welle, eine Kugelwelle oder um andere Wellen handelt, hängt sicher vom jeweils gestellten physikalischen Problem ab. In der klassischen Physik werden Wellenphänomene durch Lösungen einer Differentialgleichung — Wellengleichung — beschrieben. So ist es plausibel, daß auch in der Quantenphysik eine Differentialgleichung, nämlich die Schrödinger—Gleichung, die Ausgangsbasis für eine Materiewelle ist. Sie wurde von Schrödinger 1925 aufgrund der allgemeinen Eigenschaften der Materiewellen aufgestellt. Die Schrödinger—Gleichung läßt sich nicht herleiten, sondern nur plausibel machen. Diese Eigenschaft hat sie mit allen grundlegenden Gleichungen der Physik, z.B. mit den Maxwell—Gleichungen der Elektrodynamik gemeinsam. Die Bedeutung der Schrödinger—Gleichung liegt ebenso wie bei den Maxwell—Gleichungen darin, daß die aus ihr hergeleiteten Ergebnisse mit den Experimenten übereinstimmen.
1926, schon zwei Jahre, bevor Dirac die Dirac-Gleichung aufstellte, wurde von O. Klein und W. Gordon eine Gleichung für die relativistische Quantendynamik von Teilchen angegeben.1 Aufgrund von Schwierigkeiten, die wir erörtern werden, wurde sie jedoch vorübergehend aufgegeben. Einige dieser Schwierigkeiten lassen sich auf einfache Weise beseitigen, andere, denen man in ähnlicher Weise auch bei der Dirac-Gleichung begegnet, können erst im Rahmen einer Quantenfeldtheorie, dort aber vollständig, behoben werden. Der letzte Umstand macht die Klein-Gordon-Schrödinger-Gleichung zu einer nützlichen relativistischen “Wellengleichung“, deren Untersuchung sich lohnt.
Es wird untersucht, in wie weit Spekulationen über die Statistik willkürlicher, hypothetischer Teilchen in einer relativistisch invarianten Theorie möglich sind, wenn alle oder ein Teil der folgenden drei Postulate vorausgesetzt werden: (I) die Energie ist positiv; (II) Observable an verschiedenen Raum-Zeitpunkten mit raumartiger Verbindungslinie sind kommutativ; (III) es gibt zwei äquivalente Beschreibungen der Natur, in welchen die Elementarladungen entgegengesetzte Vorzeichen haben und in welchen einander entsprechende Feldgrössen sich bei Lorentz-Transformationen in gleicher Weise transformieren. Der eine von uns (P.) hatte bereits gezeigt, dass allgemein bei ganzzahligem Spin aus (II) allein Einstein-Bose-Statistik, bei halbzahligem Spin aus (I) allein Fermi-Dirac-Statistik folgt. Ferner hatte der andere von uns (B.) gezeigt, dass für eine gewisse Klasse von Teilchen, (die alle bisher in der Natur beobachteten umfasst, und die dadurch charakterisiert ist, dass sie höchstens durch einen Undor von gegebener Stufe beschricben wird), aus dem durch cin spezielles Transformationsgesetz spezialisierten Postulat (III) für ganzen Spin E.-B.-Statistik, für halbzahligen Spin F.-D.-Statistik gefolgert werden kann. In der vorliegenden Note wird in den typischen Fällen von Spin 0 und Spin ½ durch Beispiele gezeigt, dass im allgemeinen Fall mehrerer Undoren von gleicher Stufe aus (III) nicht mehr eindeutig auf die Statistik der Teilchen geschlossen werden kann, während (II) bzw. (I) für ganzen bzw. halben Spin hiezu stets hinreichend bleiben. In den speziellen Fällen des Skalarfeldes, des Vektorfeldes und des Dira c-Elektrons, wo nur ein einziger Undor gegebener Stufe in die Theorie eingeht, folgt dagegen das Transformationsgesetz der Ladungskonjugierung eindeutig, so dass hier (III) zur Festlegung der Statistik ausreicht.
Abstract In der Quantentheorie relativistischer Felder (Klein‐Gordon‐Feld, Dirac‐Feld) werden mit Hilfe der dreidimensionalen Fourier‐Transformation Zustände eingeführt, die Teilchen an definierten Orten beschreiben. Diese im Sinne von Newton und Wigner lokalisierten Zustände sind Eigenzustände eines Teilchendichteoperators mit Deltafunktionen als Eigenwerten und bilden somit eine orthogonale Basis des Hilbert‐Raums. Die Entwicklungskoeffizienten des allgemeinen Zustandes nach diesen Basisvektoren sind dann Amplituden der Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Anzahl von Teilchen an bestimmten Stellen des Raumes zu finden. Bei Anwendung der Lorentz‐Transformation werden die lokalisierten Zustände nicht lokal transformiert, im Gegensatz zu den Vektoren der kovarianten Basis. Daher ist dieser Begriff des lokalisierten Teilchens (Einteilchenzustandes) nur in einem bestimmten Lorentz‐System sinnvoll. Beim Übergang zur Quantenmechanik eines Teilchens erhält man zwangsläufig die von Newton und Wigner angegebenen Ortsoperatoren.
ZusammenfassungIn physikalischen Veröffentlichungen ist es sein Name, der am häufigsten zitiert wird. Die heutige Physik und Chemie sind undenkbar ohne die Schrödinger-Gleichung und die Schrödingersche Wellenfunktion. Beide bilden das Kernstück der sogenannten Wellenmechanik, die 1926 in Form von vier Mitteilungen über die Quantisierung als Eigenwertproblem veröffentlicht wurde. Sch. versuchte mit seiner Theorie ein klassisches und anschauliches Bild der Atome zu skizzieren und die im Jahr zuvor von Werner Heisenberg konzipierte Atommechanik zu überwinden, von der er sich »abgeschreckt, um nicht zu sagen abgestoßen« fühlte. Sch. wollte sich nicht mit den Unstetigkeiten, jenen »Quantensprüngen« abfinden, zu denen Atome als Konsequenz der Plankschen Quantenhypothese gezwungen wurden. Als sich zur allgemeinen Überraschung noch 1926 herausstellte, daß die Theorien von Sch. und Heisenberg äquivalent waren, wurde der Weg frei für die philosophische Interpretation der Quantenmechanik, die vor allem auf Niels Bohr zurückgeht und durch den Begriff der Komplementarität charakterisiert werden kann. Sch. konnte die in diesem Rahmen erfolgte Aufhebung einer kausalen Determiniertheit im atomaren Geschehen nicht akzeptieren. Unter seinen Bemühungen, die erkenntnistheoretische Lektion der Atome zu lernen, ragt eine Diskussion über Die gegenwärtige Situation in der Quantenmechanik (1935) hervor.