1926, schon zwei Jahre, bevor Dirac die Dirac-Gleichung aufstellte, wurde von O. Klein und W. Gordon eine Gleichung für die relativistische Quantendynamik von Teilchen angegeben.1 Aufgrund von Schwierigkeiten, die wir erörtern werden, wurde sie jedoch vorübergehend aufgegeben. Einige dieser Schwierigkeiten lassen sich auf einfache Weise beseitigen, andere, denen man in ähnlicher Weise auch bei der Dirac-Gleichung begegnet, können erst im Rahmen einer Quantenfeldtheorie, dort aber vollständig, behoben werden. Der letzte Umstand macht die Klein-Gordon-Schrödinger-Gleichung zu einer nützlichen relativistischen “Wellengleichung“, deren Untersuchung sich lohnt.
1926, schon zwei Jahre, bevor Dirac die Dirac-Gleichung aufstellte, wurde von O. Klein und W. Gordon eine Gleichung für die relativistische Quantendynamik von Teilchen angegeben.1 Aufgrund von Schwierigkeiten, die wir erörtern werden, wurde sie jedoch vorübergehend aufgegeben. Einige dieser Schwierigkeiten lassen sich auf einfache Weise beseitigen, andere, denen man in ähnlicher Weise auch bei der Dirac-Gleichung begegnet, können erst im Rahmen einer Quantenfeldtheorie, dort aber vollständig, behoben werden. Der letzte Umstand macht die Klein-Gordon-Schrödinger-Gleichung zu einer nützlichen relativistischen “Wellengleichung“, deren Untersuchung sich lohnt.
Aus dem Korrespondenzprinzip folgt, daß es in Analogie zur relativistischen Mechanik auch eine relativistische Quantenmechanik geben muß. Interessanterweise hat E. Schrödinger noch vor der Schrödinger-Gleichung als erstes eine relativistische “Wellengleichung“ aufgestellt. Er publizierte diese jedoch nicht, weil sie nicht die richtige Feinstruktur der Energieniveaus des Wasserstoffatoms lieferte. Erst, nachdem er bemerkt hatte, daß sie einen brauchbaren nicht-relativistischen Limes liefert, wollte er das nachholen, doch da waren ihm bereits O. Klein und W. Gordon zuvorgekommen. Aus diesem Grund wird die auch von ihm entdeckte Gleichung heute meist als Klein-Gordon-Gleichung bezeichnet. Sie hat sich als korrekte relativistische Gleichung für Spin-0-Teilchen erwiesen und wird daher ausführlich in Kapitel 4 untersucht. Dabei soll der frühere Usus, sie als Klein-Gordon-Schrödinger-Gleichung zu bezeichnen, wieder aufleben. Anders als die Schrödinger-Gleichung enthält die Klein-Gordon-Schrödinger-Gleichung Zeitableitungen zweiter Ordnung. Sie paßt daher zunächst nicht nicht in das in Kapitel Q6 entwickelte allgemeine Schema der Quantenmechanik, kann jedoch durch eine geeignete Umformulierung in dieses eingepaßt werden.
Aufgrund der beobachteten Welleneigenschaften eines Teilchens stellt sich die Frage, wie sich das Teilchen beschreiben läßt. In Abschn. 1.2.3 wurde bereits erläutert, daß dem Teilchen eine Wellenfunktion ψ(r,t) zugeordnet wird, deren Absolutquadrat nach der Deutung von Max Born die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens angibt. Von welcher Gestalt diese Welle ist, ob es sich z.B. um eine ebene Welle, eine Kugelwelle oder um andere Wellen handelt, hängt sicher vom jeweils gestellten physikalischen Problem ab. In der klassischen Physik werden Wellenphänomene durch Lösungen einer Differentialgleichung — Wellengleichung — beschrieben. So ist es plausibel, daß auch in der Quantenphysik eine Differentialgleichung, nämlich die Schrödinger—Gleichung, die Ausgangsbasis für eine Materiewelle ist. Sie wurde von Schrödinger 1925 aufgrund der allgemeinen Eigenschaften der Materiewellen aufgestellt. Die Schrödinger—Gleichung läßt sich nicht herleiten, sondern nur plausibel machen. Diese Eigenschaft hat sie mit allen grundlegenden Gleichungen der Physik, z.B. mit den Maxwell—Gleichungen der Elektrodynamik gemeinsam. Die Bedeutung der Schrödinger—Gleichung liegt ebenso wie bei den Maxwell—Gleichungen darin, daß die aus ihr hergeleiteten Ergebnisse mit den Experimenten übereinstimmen.
Im Gegensatz zu den meisten Quantentheoretikern der 20er Jahre war Erwin Schrödinger ähnlich wie Albert Einstein ein Einzelgänger geblieben, der sich weder der Kopenhagener noch den Schulen von Göttingen und München anschließen mochte.Außerdem gehörte Schrödinger einer älteren Physikergeneration an, welche in der klassischen Tradition aufgewachsen war und welche den Welle- Teilchen-Dualismus des Lichtes und die durch die ältere Quantentheorie aufgezwungenen Quantisierungsvorschriften nur mit Widerstreben akzep- tierteh Als die Nachrichten über den berühmten Versuch von Arthur H.Compton nach Europa gelangten, der von den meisten Physikern als Bestätigung für die korpuskulare Natur der Lichtstrahlen angesehen wurde, schrieb er am 21.Juli 1925 kritisierend an Arnold Sommerfeld^: «Sie haben mit [Walther] Bothe und [Hans] Geiger, und den fast noch schöneren Versuchen von Compton alles, was nach klassischen Wellen riecht, zu Grabe getragen?Sie werden mich unverbesserlich nennen, aber ich kann mich dazu noch nicht so schnell entschließen.Ich habe schon das Gefühl: da ist irgend etwas ganz, ganz anderes als man bisher gedacht Man müßte trachten diese leerlaufenden Räder zu entfernen, eine Theorie zu machen, welche die Wellenphänomene nur liefert, wenn sie wirklich da sind.»Zu diesem Zeitpunkt hatte Werner Heisenberg diese neue Theorie bereits in den Händen, allerdings nicht in der Form, wie sie hier von Schrödinger gewünscht wurde.In Zürich, wo Schrödinger schon seit dem Wintersemester 1921/22 wirkte, arbeitete er insbesondere mit Hermann Weyl und Peter Debye zusammen.Außerdem verband ihn ein freundschaftliches Verhältnis mit den Experimentalphysikern Edgar Meyer, Paul Scherrer und Richard Bär. Weniger sagte ihm dagegen das gesellschaftliche Lehen der Stadt zu, wie auch aus folgendem Bericht hervorgeht, den er am 7. März 1925 Sommerfeld übermittelte zeitweilig von ihr zu trennen und die Beziehung zu seinen ehemaligen Jugendbekanntschaften zu erneuern.Bemerkenswert ist, daß Schrödinger gerade zu diesem Zeitpunkt seine berühmte Wellenmechanik ausarbeitete.Über die näheren Umstände, wie Schrödinger dann auf Louis de Broglies Idee der Materiewellen aufmerksam gemacht wurde und wie er daraus im Winter 1925/26 seine Wellenmcchanik in kürzester Zeit entwickelte, wollen wir hier nicht eingehen; darüber wurde schon des öfteren berichtet®.Interessant ist aber, was Schrödinger ursprünglich über das «Verhältnis zu Heisenbergs» Theorie dachte.Am 22. Februar 1926 äußerte er sich darüber in einem Schreiben an Wilhelm Wien: «Ich bin mit Geheimrat Sommerfeld von einer innerlich nahen Beziehung überzeugt.Sie muß aber ziemlich tief liegen, denn Weyl, der die Heisenbergsche Theorie gründlich studiert und selbst weiterentwickelt hat, sagt, er weiß das Verbindungsglied nicht zu finden.Deshalb hab' ich es aufgegeben, meinerseits zu suchen.Und das um so lieber, als mir der Matrixkalkül unerträglich war, lange bevor ich an meine Theorie auch nur entfernt dachte Jetzt hoffe ich natürlich fest, daß der Matrixkalkül, nach Aufsaugung seiner wertvollen Resultate, durch die Eigenwerttheorie wieder verschwinden wird ...» Und einen Monat später, am 19.März, kommt Schrödinger nochmals auf diesen Punkt zurück: Die Hoffnung, die ich aussprach, hat sich viel rascher erfüllt als ich dachte.Das Verhältnis zu Heisenberg ist nun restlos abgeklärt, und zwar in dem Sinn, daß, wer nicht will, nicht mit Matrizen rechnen braucht, weil die beiden Darstellungen vom rein mathematischen Standpunkt äquivalent sind.
Paul Adrien Maurice Dirac wurde am 8. August 1902 in Bristol/England geboren.Sein Vater war Schweizer, der in [ungen Jahren nach England gekommen war und dort als Franzosisch-Lehrer an einer Oberschule in Bristol arbeitete.Seine Mutter war EngHinderin.Als Dirac 1918 in Bristol zu studieren begann, plante sein Landsmann A. S. Eddington den ersten erfolgreichen Test der Allgemeinen Relativitatstheorie. Nach AbschluI3 im Fache Elektrotechnik besehaftigte sich Dirac mangels einer geeigneten Anstellung mit angewandter Mathematik.Erst im Herbst 1923 kam er nach Cambridge zu R. H. Fowler und lernte bald die komplizierte Theorie der Atomsysteme kennen.1m Sommer 1925 erschien Heisenbergs neue Quantenkinematik.Wenige Wochen darauf fand Dirac auf einem seiner vielen einsamen Spaziergange in die Umgebung von Cambridge die Algebra der q-Zahlen, die die Beobachtungsgroflen der Mikrophysik aufs allgemeinste darstellen.Seither gehort er zu den Begriindern der neuen Physik.Seine Arbeit kreist um vier Hauptthemen: um die Quantentheorie, um die relativistische Quantentheorie, um neue Konzepte und um das Raum-Zeit-Problem.Wer mit Tausenden von Studenten seit der Herausgabe der ersten Auflage im Jahre 1930 Diracs "The Principles of Quantum Mechanics" durchgearbeitet hat, kann ermessen, wie groI3 der Anteil des Verfassers an der endgultigen Fassung der Quantentheorie ist.Er deckte die Strukturverwandtschaft von klassischer und mikroskopischer Theorie durch den Vergleich von Poisson-Klammern und Kommutatoren auf.SchlieI3lich gelang ihm Ende 1926 in seiner Transformationstheorie der vollstandigste Aquivalenzbeweis aller quantenmechanischen Formulierungen: der Matrizenmechanik, der q-Zahlentheorie, des Operatorenschemas von Lanczos, Born und Wiener und der Wellenmechanik.Symmetriebetrachtungen fiihrten Dirac gleichzeitig und unabhangig von Fermi zur Entdeckung einer neuen Statistik, die mikroskopische Teilchen befolgen, deren Wellenfunktionen antisymmetrisch in den einzelnen Teilchenkoordinaten sind (1926).Die genaue Analyse kanonischer GroBen erlaubte ihm die Formulierung einer Theorie mit veranderlicher Teilchenzahl, die die relativistische Verallgemeinerung vorbereitet (1927).Die Suche nach einer widerspruchsfreien relativistischen Sehrodinger-Gleichung zwang Dirac wieder, neuartige Begriffe zu erfinden, die vierkomponentigen Spinoren der Elektronentheorie (1928).Damit war nicht nur die erste vollstandige Rechnung des Wasserstoffspektrums ermoglieht, sondern auch zugleich der Spin des Elektrons aufs natiirlichste "erklart".Zwar
Teilchen mit halbzahligem Spin werden als Fermionen bezeichnet. Nach dem Pauli-Verbot dürfen sich zwei Fermionen nicht im selben quantenmechanischen Zustand befinden. Diese Einschränkung gilt jedoch nicht für Teilchen mit ganzzahligem Spin, auch Bosonen genannt. Durch den Wegfall dieser Einschränkung tritt in bosonischen Gasen bei sehr tiefen Temperaturen ein Phasenübergang auf, der so in einem Fermi-Gas oder einem klassischen Gas nicht zu beobachten ist. Die Teilchen des Bose-Gases kondensieren unterhalb einer kritischen Temperatur in den Grundzustand, wodurch dieser makroskopisch besetzt wird. Die Teilchen im Kondensat sind vollständig delokalisiert und können durch eine einzige Wellenfunktion beschrieben werden. Vorhergesagt wurde dieser neue Aggregatzustand von Albert Einstein im Jahre 1924 auf Grundlage der Arbeit von Satyendranath Bose und wird als Bose-Einstein-Kondensat bezeichnet. Der experimentelle Nachweis blieb über 70 Jahre aus und folgte im Jahr 1995. In der vorliegenden Arbeit werden Bose-Einstein-Kondensate untersucht, die sich entlang einer Richtung frei bewegen können. Zwischen den Teilchen besteht eine attraktive Kontaktwechselwirkung. In Mean-Field-Näherung, die Korrelationen zwischen den Teilchen vernachlässigt, können die Kondensate durch die nichtlineare Gross-Pitaevskii-Gleichung beschrieben werden. Stationäre analytische Lösungen der eindimensionalen Gross-Pitaevskii-Gleichung sind bekannt und werden für den Fall attraktiver Wechselwirkung als helle Solitonen bezeichnet. Allgemein sind Solitonen Wellenpakete, die sich ohne Änderung ihrer Form fortbewegen. Sie treten als Lösung von nichtlinearen Wellengleichungen auf und somit auch als Lösung der Gross-Pitaevskii-Gleichung. Ziel der Arbeit ist es jedoch nicht nur stationäre Lösungen zu untersuchen, sondern auch auf die Dynamik von Solitonen sowie deren Stöße untereinander einzugehen. Dazu werden die hellen Solitonen durch Gaußfunktionen approximiert, für die nach dem Variationsprinzip nach McLachlan Bewegungsgleichungen aufgestellt werden. Es gilt zum einen zu untersuchen, inwieweit sich die stationären Solitonen als Superposition von Gaußfunktionen beschreiben lassen und zum anderen wie effektiv sich die Dynamik von Stößen zwischen Solitonen mit gekoppelten Gaußfunktionen behandeln lässt. Für die Veranschaulichung der Dynamik wurden für einige Abbildungen der Arbeit zusätzlich Animationen angefertigt.