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Vieweg+Teubner eBooks

Die Schrödinger-Gleichung

Gerd Otter, Raimund Honecker

Published Jan 1, 1993• 0 citations
Publisher

Abstract

Aufgrund der beobachteten Welleneigenschaften eines Teilchens stellt sich die Frage, wie sich das Teilchen beschreiben läßt. In Abschn. 1.2.3 wurde bereits erläutert, daß dem Teilchen eine Wellenfunktion $$\psi \left( {\vec r,t} \right)$$ zugeordnet wird, deren Absolutquadrat nach der Deutung von Max Born die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens angibt. Von welcher Gestalt diese Welle ist, ob es sich z.B. um eine ebene Welle, eine Kugelwelle oder um andere Wellen handelt, hängt sicher vom jeweils gestellten physikalischen Problem ab. In der klassischen Physik werden Wellenphänomene durch Lösungen einer Differentialgleichung — Wellengleichung — beschrieben. So ist es plausibel, daß auch in der Quantenphysik eine Differentialgleichung, nämlich die Schrödinger—Gleichung, die Ausgangsbasis für eine Materiewelle ist. Sie wurde von Schrödinger 1925 aufgrund der allgemeinen Eigenschaften der Materiewellen aufgestellt. Die Schrödinger—Gleichung läßt sich nicht herleiten, sondern nur plausibel machen. Diese Eigenschaft hat sie mit allen grundlegenden Gleichungen der Physik, z.B. mit den Maxwell—Gleichungen der Elektrodynamik gemeinsam. Die Bedeutung der Schrödinger—Gleichung liegt ebenso wie bei den Maxwell—Gleichungen darin, daß die aus ihr hergeleiteten Ergebnisse mit den Experimenten übereinstimmen.

DOI
10.1007/978-3-322-94764-2_3

Related papers

Bemerkung

Bernard d’Espagnat

ZusammenfassungWenn man es mit Korpuskeln hoher Relativgeschwindigkeit zu tun hat — d.h. in dem Fall, wo die klassische Physik an Stelle der Newtonschen Gleichungen die relativistischen Gleichungen verwenden würde — kann die Quantenmechanik nicht mehr so ohne weiteres herangezogen werden. Ihre Formulierung muß erweitert werden. Jedoch bleiben ihre Basisaxiome gültig, und die grundsätzlichen Probleme bei ihrer Deutung sind dieselben wie in der nicht-relativistischen Physik. Der einzige wesentliche Punkt, den man hier erwähnen muß, ist der, daß allein die relativistischen Phänomene der Materie die Möglichkeit geben, sich in Energie umzuwandeln und umgekehrt. Es ist folglich nicht mehr gestattet, die Elementarteilchen als stabile Bestandteile des Universums aufzufassen, die in Ewigkeit existieren und agieren. Es ist daher nicht mehr möglich, zwischen der Existenz eines Teilchens und seinen übrigen Eigenschaften eine deutliche, ebenso qualitative wie fundamentale Unterscheidung zu treffen. Von nun ab hat die Theorie selbst in der Existenz eines Teilchens (oder eines Teilchenpaares) genauso wie in seiner Lage, seiner Geschwindigkeit usw. nahezu eine Art physikalische Eigenschaft zu sehen (nicht des Teilchens, sondern irgendeines Grundelementes). Die Teilchen sind selbst „physikalische Eigenschaften“. Diese Tatsache — daß unter die Eigenschaften eines physikalischen Systems auf gewisse Art auch dessen Existenz zu zählen ist — ist in der Folge beizubehalten. Dies ist genau genommen von allen aus der relativistischen Quantenmechanik herrührenden Tatsachen die einzige, die man zu berücksichtigen hat.

Vieweg+Teubner eBooks•Jan 1, 1971•0 citations

Einleitung zur Relativistischen Quantenmechanik

Eckhard Rebhan

Aus dem Korrespondenzprinzip folgt, daß es in Analogie zur relativistischen Mechanik auch eine relativistische Quantenmechanik geben muß. Interessanterweise hat E. Schrödinger noch vor der Schrödinger-Gleichung als erstes eine relativistische “Wellengleichung“ aufgestellt. Er publizierte diese jedoch nicht, weil sie nicht die richtige Feinstruktur der Energieniveaus des Wasserstoffatoms lieferte. Erst, nachdem er bemerkt hatte, daß sie einen brauchbaren nicht-relativistischen Limes liefert, wollte er das nachholen, doch da waren ihm bereits O. Klein und W. Gordon zuvorgekommen. Aus diesem Grund wird die auch von ihm entdeckte Gleichung heute meist als Klein-Gordon-Gleichung bezeichnet. Sie hat sich als korrekte relativistische Gleichung für Spin-0-Teilchen erwiesen und wird daher ausführlich in Kapitel 4 untersucht. Dabei soll der frühere Usus, sie als Klein-Gordon-Schrödinger-Gleichung zu bezeichnen, wieder aufleben. Anders als die Schrödinger-Gleichung enthält die Klein-Gordon-Schrödinger-Gleichung Zeitableitungen zweiter Ordnung. Sie paßt daher zunächst nicht nicht in das in Kapitel Q6 entwickelte allgemeine Schema der Quantenmechanik, kann jedoch durch eine geeignete Umformulierung in dieses eingepaßt werden.

Spektrum Akademischer Verlag eBooks•Jan 1, 2010•0 citations

Schrödingergleichung und einfache Beispiele

W. Schultz

So wie man das Verhalten von elektromagnetischen Wellen -und Feldern aus den Maxwellschen Gleichungen berechnen kann, läßt sich analog das Verhalten eines Elektrons aus der Schrödinger-gleichung ermitteln. Die Maxwellschen Gleichungen muß man letzten Endes als Erfahrungsgesetz auffassen, welches die Experimente richtig beschreibt; dasselbe gilt auch für die Schrödin-gergleichung: man kann diese zwar nicht ableiten, wohl aber aufgrund der vorliegenden Experimente plausibel machen. Das soll in diesem Abschnitt geschehen.

Vieweg+Teubner eBooks•Jan 1, 1969•0 citations

Wellenquantelung

Paul Gombás

Bekanntlich gelangt man von der elektromagnetischen Maxwellschen Wellentheorie des Lichtes zur Existenz der Lichtkorpuskeln durch eine Quantelung des elektromagnetischen Feldes, indem man die elektrische und magnetische Feldstärke E und H als Matrizen auffaßt. Ausgehend von dieser Erkenntnis erhebt sich die Frage, ob sich nicht eine Theorie entwickeln läßt, die das Mehrteilchenproblem mit dreidimensionalen Wellenvorgängen in der Weise in Verbindung bringt, daß aus den dreidimensionalen Wellen die Korpuskeln in ähnlicher Weise durch eine Quantelung entstehen wie die Lichtteilchen durch eine Quantelung des elektromagnetischen Feldes. Dies ist tatsächlich möglich, und den Bemühungen von Jordan, Pauli, Klein, Wigner, Dirac und Heisenberg gelang es, auf dieser Grundlage eine konsequente Mehrteilchentheorie zu entwickeln1). Der Gedanke ist der, daß man die der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung genügende Wellenfunktion Ψ ganz analog den Feldstärken der elektromagnetischen Wellentheorie als Matrix einführt. Man türmt also zwei Quantelungen aufeinander: erstens indem man beim Einkörperproblem von der klassischen Hamilton-Jacobischen Gleichung zur Schrödinger-Gleichung übergeht und zweitens indem man dann die Schrödinger-Gleichung ihrerseits als klassische Gleichung auffaßt, aus der man erst durch eine weitere Quante-lung, d. h. Einführung von Matrizen, zur endgültigen Mehrteilchentheorie gelangt. Dem entspricht die Bezeichnung Wellenquantelung, zweite Quantelung oder Supraquantelung.

Birkhäuser Basel eBooks•Jan 1, 1950•0 citations

Zum Problem der Komplementarität

Lothar von Strauss, Torney

Kurzlich hat Louis de Broglie, ein Mitbegrunder der modernen Physik, die durch gewisse neuere Arbeiten von Bohr u. A. hervorgerufene Lage in der Beurteilung des Komplementaritatsbegriffes einer enneuten Priifung unterzogen und sieht sich dadurch auf Moglichkeiten gefuhrt, die im Gegensatz zur bisherigen Entwicklung, insbesondere auch zur Einstellung des Schopfers des Komplementaritatsbegriffes, Niels Bohr, stehen, den er gelegentlich den ,,Rembrandt der Physik" nennt, weil ihm das ,,clair-obscur" seiner Entwicklungen bedenklich erscheintalles selbstredend, ohne die grandiose Leistung des danischen Forschers zu verkennenl).Vielleicht sind zwei Grunde hieran beteiligt: Einmal ist der franzosische wisscnschaftliche Geist, zu dessen groBen Vertretern de Broglie zu rechnen ist, von jeher an begrifflich klarem Denken orientiert, wie schon die klassischen franzosischen Physiker: Lagrange, Laplace, Arago, Amp&e, Fresnel u.A,, beweisen; ferner ist aber die Problematik der Komplementaritat, wie die vieler anderer Begriffe von hochster Allgemeinheit, von der Art, daB auch die Philosophie daran ein berechtigtes Interesse nimmt.Die Einstellung Einsteins, auf den de Broglie Bezug nimmt, hat ja in der Tat gezeigt, daR die heutige Physik in zwei nach ihren Intentionen getrennte Lager zerfallt, deren eines sich an der allgemeinen Relativitatstheorie orientiert, wahrend das andere die quantenmechanische Einstellung bevorzugt.Das erste, dessen Fuhrer bis zu seinem Tode Einstein selbst gewesen ist, hat die strenge Logik der Grundeinstel- lung fur sich; es darf aber nicht verkannt werden, daR auch ihr ein grundsatzlich philosophischer Zug anhaftet.Bei Einsteins gegensatzlicher Einstellung zu Niels Bohrs Physik geht es geradezu um den Relativitatsbegriff der Physik, wie v .Weizsacker in seiner Arbeit ,,Einstein und Bohr" in klarster Formulierung herausgearbeitet hat2).Jenen philosophischen Grundzug der Relativitatstheorie hat Einstein selbst bekannt.An der Spitze der a11cenieinen Theorie steht ein Satz von philosophischer Allgeneinheit: In der Tat, wenn Bewegung etwas Reelles ist, wenn nur von Bewegung der Korper zueinander gesprochen werden kann, ist die Folgerung, daB Naturgesetze invariant gegenuber allen Koordinatentransformationen sein mussen, eine denknotwendige.Andererseits hat sich gezeigt, daR die philosophische Einstellung der fuhrenden Physiker im allgemeinen weitgehend ,,ihre eigene Erfindung" ist.Das muR zur Folge haben, daB sich der Philosophie gegenuber ein gewisses MiBtrauen einstellt.Die Komplementaritat in der von Bohr und Heisenberg vertretenen Form laBt eine Abhangigkeit vom beobachtenden Subjekt erkennen, insofern es vom Experiment abhangt, ob ein Elementarteilchen einen bestimmten Ort oder einen bestimmten Impuls hat.Dieses in den Unbestimmtheitsrelationen begrundete Verhaltnis ist die Grundlage der Quantenmechanik, wird aber von Einstein bekanntlich abgelehnt.Einstein erwartete eine kunftige Physik, die den Begriff einer an 1 ) 2)

Physikalische Blätter•Dec 1, 1955•1 citation

Die Schrödinger-Gleichung

Joanne C. Baker

Wie können wir wissen, wo sich ein Teilchen wirklich aufhält, wenn es als Welle über den ganzen Raum verteilt ist? Erwin Schrödinger formulierte eine Gleichung, mit der man die Wahrscheinlichkeit berechnen kann, ein solches Wellen-Teilchen an einem bestimmten Ort zu finden. Mit ihrer Hilfe lassen sich auch die Energieniveaus von Elektronen in Atomen erklären. Damit bereitete Schrödinger sowohl der Quantenmechanik als auch der modernen Chemie den Weg.

Spektrum Akademischer Verlag eBooks•Jan 1, 2009•0 citations
Aufgrund der beobachteten Welleneigenschaften eines Teilchens stellt sich die Frage, wie sich das Teilchen beschreiben läßt. In Abschn. 1.2.3 wurde bereits erläutert, daß dem Teilchen eine Wellenfunktion ψ(r⃗,t)\psi \left( {\vec r,t} \right)ψ(r,t) zugeordnet wird, deren Absolutquadrat nach der Deutung von Max Born die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens angibt. Von welcher Gestalt diese Welle ist, ob es sich z.B. um eine ebene Welle, eine Kugelwelle oder um andere Wellen handelt, hängt sicher vom jeweils gestellten physikalischen Problem ab. In der klassischen Physik werden Wellenphänomene durch Lösungen einer Differentialgleichung — Wellengleichung — beschrieben. So ist es plausibel, daß auch in der Quantenphysik eine Differentialgleichung, nämlich die Schrödinger—Gleichung, die Ausgangsbasis für eine Materiewelle ist. Sie wurde von Schrödinger 1925 aufgrund der allgemeinen Eigenschaften der Materiewellen aufgestellt. Die Schrödinger—Gleichung läßt sich nicht herleiten, sondern nur plausibel machen. Diese Eigenschaft hat sie mit allen grundlegenden Gleichungen der Physik, z.B. mit den Maxwell—Gleichungen der Elektrodynamik gemeinsam. Die Bedeutung der Schrödinger—Gleichung liegt ebenso wie bei den Maxwell—Gleichungen darin, daß die aus ihr hergeleiteten Ergebnisse mit den Experimenten übereinstimmen.
ZusammenfassungWenn man es mit Korpuskeln hoher Relativgeschwindigkeit zu tun hat — d.h. in dem Fall, wo die klassische Physik an Stelle der Newtonschen Gleichungen die relativistischen Gleichungen verwenden würde — kann die Quantenmechanik nicht mehr so ohne weiteres herangezogen werden. Ihre Formulierung muß erweitert werden. Jedoch bleiben ihre Basisaxiome gültig, und die grundsätzlichen Probleme bei ihrer Deutung sind dieselben wie in der nicht-relativistischen Physik. Der einzige wesentliche Punkt, den man hier erwähnen muß, ist der, daß allein die relativistischen Phänomene der Materie die Möglichkeit geben, sich in Energie umzuwandeln und umgekehrt. Es ist folglich nicht mehr gestattet, die Elementarteilchen als stabile Bestandteile des Universums aufzufassen, die in Ewigkeit existieren und agieren. Es ist daher nicht mehr möglich, zwischen der Existenz eines Teilchens und seinen übrigen Eigenschaften eine deutliche, ebenso qualitative wie fundamentale Unterscheidung zu treffen. Von nun ab hat die Theorie selbst in der Existenz eines Teilchens (oder eines Teilchenpaares) genauso wie in seiner Lage, seiner Geschwindigkeit usw. nahezu eine Art physikalische Eigenschaft zu sehen (nicht des Teilchens, sondern irgendeines Grundelementes). Die Teilchen sind selbst „physikalische Eigenschaften“. Diese Tatsache — daß unter die Eigenschaften eines physikalischen Systems auf gewisse Art auch dessen Existenz zu zählen ist — ist in der Folge beizubehalten. Dies ist genau genommen von allen aus der relativistischen Quantenmechanik herrührenden Tatsachen die einzige, die man zu berücksichtigen hat.
Aus dem Korrespondenzprinzip folgt, daß es in Analogie zur relativistischen Mechanik auch eine relativistische Quantenmechanik geben muß. Interessanterweise hat E. Schrödinger noch vor der Schrödinger-Gleichung als erstes eine relativistische “Wellengleichung“ aufgestellt. Er publizierte diese jedoch nicht, weil sie nicht die richtige Feinstruktur der Energieniveaus des Wasserstoffatoms lieferte. Erst, nachdem er bemerkt hatte, daß sie einen brauchbaren nicht-relativistischen Limes liefert, wollte er das nachholen, doch da waren ihm bereits O. Klein und W. Gordon zuvorgekommen. Aus diesem Grund wird die auch von ihm entdeckte Gleichung heute meist als Klein-Gordon-Gleichung bezeichnet. Sie hat sich als korrekte relativistische Gleichung für Spin-0-Teilchen erwiesen und wird daher ausführlich in Kapitel 4 untersucht. Dabei soll der frühere Usus, sie als Klein-Gordon-Schrödinger-Gleichung zu bezeichnen, wieder aufleben. Anders als die Schrödinger-Gleichung enthält die Klein-Gordon-Schrödinger-Gleichung Zeitableitungen zweiter Ordnung. Sie paßt daher zunächst nicht nicht in das in Kapitel Q6 entwickelte allgemeine Schema der Quantenmechanik, kann jedoch durch eine geeignete Umformulierung in dieses eingepaßt werden.
So wie man das Verhalten von elektromagnetischen Wellen -und Feldern aus den Maxwellschen Gleichungen berechnen kann, läßt sich analog das Verhalten eines Elektrons aus der Schrödinger-gleichung ermitteln. Die Maxwellschen Gleichungen muß man letzten Endes als Erfahrungsgesetz auffassen, welches die Experimente richtig beschreibt; dasselbe gilt auch für die Schrödin-gergleichung: man kann diese zwar nicht ableiten, wohl aber aufgrund der vorliegenden Experimente plausibel machen. Das soll in diesem Abschnitt geschehen.
Bekanntlich gelangt man von der elektromagnetischen Maxwellschen Wellentheorie des Lichtes zur Existenz der Lichtkorpuskeln durch eine Quantelung des elektromagnetischen Feldes, indem man die elektrische und magnetische Feldstärke E und H als Matrizen auffaßt. Ausgehend von dieser Erkenntnis erhebt sich die Frage, ob sich nicht eine Theorie entwickeln läßt, die das Mehrteilchenproblem mit dreidimensionalen Wellenvorgängen in der Weise in Verbindung bringt, daß aus den dreidimensionalen Wellen die Korpuskeln in ähnlicher Weise durch eine Quantelung entstehen wie die Lichtteilchen durch eine Quantelung des elektromagnetischen Feldes. Dies ist tatsächlich möglich, und den Bemühungen von Jordan, Pauli, Klein, Wigner, Dirac und Heisenberg gelang es, auf dieser Grundlage eine konsequente Mehrteilchentheorie zu entwickeln1). Der Gedanke ist der, daß man die der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung genügende Wellenfunktion Ψ ganz analog den Feldstärken der elektromagnetischen Wellentheorie als Matrix einführt. Man türmt also zwei Quantelungen aufeinander: erstens indem man beim Einkörperproblem von der klassischen Hamilton-Jacobischen Gleichung zur Schrödinger-Gleichung übergeht und zweitens indem man dann die Schrödinger-Gleichung ihrerseits als klassische Gleichung auffaßt, aus der man erst durch eine weitere Quante-lung, d. h. Einführung von Matrizen, zur endgültigen Mehrteilchentheorie gelangt. Dem entspricht die Bezeichnung Wellenquantelung, zweite Quantelung oder Supraquantelung.
Kurzlich hat Louis de Broglie, ein Mitbegrunder der modernen Physik, die durch gewisse neuere Arbeiten von Bohr u. A. hervorgerufene Lage in der Beurteilung des Komplementaritatsbegriffes einer enneuten Priifung unterzogen und sieht sich dadurch auf Moglichkeiten gefuhrt, die im Gegensatz zur bisherigen Entwicklung, insbesondere auch zur Einstellung des Schopfers des Komplementaritatsbegriffes, Niels Bohr, stehen, den er gelegentlich den ,,Rembrandt der Physik" nennt, weil ihm das ,,clair-obscur" seiner Entwicklungen bedenklich erscheintalles selbstredend, ohne die grandiose Leistung des danischen Forschers zu verkennenl).Vielleicht sind zwei Grunde hieran beteiligt: Einmal ist der franzosische wisscnschaftliche Geist, zu dessen groBen Vertretern de Broglie zu rechnen ist, von jeher an begrifflich klarem Denken orientiert, wie schon die klassischen franzosischen Physiker: Lagrange, Laplace, Arago, Amp&e, Fresnel u.A,, beweisen; ferner ist aber die Problematik der Komplementaritat, wie die vieler anderer Begriffe von hochster Allgemeinheit, von der Art, daB auch die Philosophie daran ein berechtigtes Interesse nimmt.Die Einstellung Einsteins, auf den de Broglie Bezug nimmt, hat ja in der Tat gezeigt, daR die heutige Physik in zwei nach ihren Intentionen getrennte Lager zerfallt, deren eines sich an der allgemeinen Relativitatstheorie orientiert, wahrend das andere die quantenmechanische Einstellung bevorzugt.Das erste, dessen Fuhrer bis zu seinem Tode Einstein selbst gewesen ist, hat die strenge Logik der Grundeinstel- lung fur sich; es darf aber nicht verkannt werden, daR auch ihr ein grundsatzlich philosophischer Zug anhaftet.Bei Einsteins gegensatzlicher Einstellung zu Niels Bohrs Physik geht es geradezu um den Relativitatsbegriff der Physik, wie v .Weizsacker in seiner Arbeit ,,Einstein und Bohr" in klarster Formulierung herausgearbeitet hat2).Jenen philosophischen Grundzug der Relativitatstheorie hat Einstein selbst bekannt.An der Spitze der a11cenieinen Theorie steht ein Satz von philosophischer Allgeneinheit: In der Tat, wenn Bewegung etwas Reelles ist, wenn nur von Bewegung der Korper zueinander gesprochen werden kann, ist die Folgerung, daB Naturgesetze invariant gegenuber allen Koordinatentransformationen sein mussen, eine denknotwendige.Andererseits hat sich gezeigt, daR die philosophische Einstellung der fuhrenden Physiker im allgemeinen weitgehend ,,ihre eigene Erfindung" ist.Das muR zur Folge haben, daB sich der Philosophie gegenuber ein gewisses MiBtrauen einstellt.Die Komplementaritat in der von Bohr und Heisenberg vertretenen Form laBt eine Abhangigkeit vom beobachtenden Subjekt erkennen, insofern es vom Experiment abhangt, ob ein Elementarteilchen einen bestimmten Ort oder einen bestimmten Impuls hat.Dieses in den Unbestimmtheitsrelationen begrundete Verhaltnis ist die Grundlage der Quantenmechanik, wird aber von Einstein bekanntlich abgelehnt.Einstein erwartete eine kunftige Physik, die den Begriff einer an 1 ) 2)