系のノ ､ミル トニア ンを次 のよ うに とる｡ < < < H -a.+H' ∧ 〟 H . -c p " ,A , -∑V( 金一, W) " 6 1 ( n ) , T Z = 1 V( x-n a ) ニー V o O ( n a-a ) 0 ( a-( n-1 )a ) この系の相互作用表示での時間発展作用素 は : 1 ) 6 ( i ) 完 e x Pl -( i / i )p -1 2 : T ] , p --V ./ C,会 T -n g 1 9 1 ' n ' / N ( 5 ) の位相のp 7 依存性 と( 1 ) 式 での Zについての積分か ら波束の収縮 が導かれ る. もう少 しくわ しい内容 は次 の文献 1 ) にある｡ ( 4 ) ( 5 ) 参考文献 1 ) S .Ma c h i d aa n d M. Na mi k i , Ma c r o s c o p i cNa t u r eo fDe t e c t i n gAp p a r a t u sa n d Re d u c t i o n o fWa v ePa c k e t , P r o c .I n t .S y mp .O n t h eFo u n d a t i o n so fQu a n t u m Me c h a n i c s ( 丁 a p. P h y s .S o c . ) ,1 9 8 4年 3月刊行予定｡ 量子力学 の解釈 についての覚 え書 き 東大 ･ 物性研 豊 沢 豊 量子系の観測では,観測装置の中で起 る非可逆過程 とそれ に伴 な う量子系の ｢ 可干渉性 の喪 失｣がそ の決定的段階である, とい うH.S .Gr e e n以来の考 え方は次第 に多 くの人々の支持 を 得っっ あ り,実際 これ はv o n Ne u ma n n の逆説的な主張 -観測 され る系 ( S ) と観測装置 ( A) との境界 は任意 に ( a b s t r a c t e st t I c h " にまでも ) 移 し得 るとす るもの -よ りはるかに妥 当で 常識的 にも受 け入れやす い考 え方である｡私 もこの線上で,観測に伴な うエ ン トロピー変化, 観測の客観性 と再現性 などについて何度か話 したことはあるが, ここではさらに基本的 な所 ま で掘 りさげて考 えてみたい｡ A内の非可逆過程によ りSの可干渉性 が失 なわれ ても,合成系 ( S+A) の波動 関数 はや は り一次結合 のままで あ り,｢ 観測に よる波束 の収縮 は合成系の S c h r 6 d i n g e r 方程式 か らも出て ー2 6 8 -量子力学の解釈についての覚え書き こない｣とい う欲 求不満 は少 しも取 り除かれ ていないのである｡波動 関数 を実在 と信 じる限 り 行 きつ く境地 は ｢ 多世界理論｣で あ り, これ とv o n Ne u ma n nの考 え と何れが よ り逆説的 でな いかは,にわかに判断 しがたい｡ 私 は,｢ 系の状態 を記述す る最 も基本的 な量 は波動 関数 で な く統計 演算子 ( 密度行列 )βである｣と考 えたい｡以下それ を具体的に説明 してみ よ う｡ ( 1 )波動関数 は純粋状態 ( β 2 -〟 )とい う極 めて特殊 な状況 でだけ定義で きる, また βの行列 表現 の基底 として役立っ,補助的 な概念に過 ぎない｡ ( 2 ) 量子統計力学における統計性には,古典統計力学 とも共通 の統計性 (原理的には可知 だが 巨大 自由度 のため実際的には不可知 な要素 )と量子力学特有 の統計性 ( 原理的 な不可知 ) とが, 二重構造 として含 まれてい る, とするのが通説 のよ うだが,両者 は本来一体の もので ある｡実 際 この二つ の統計性 を分離 できるよ うな思考実験 は存 在 しない｡ ( 3 )Sに起 る変化 を我 々が外 ( A ) か ら観測 しよ うとす る とき,Sは合成系 ( S+A) の部分系に 過 ぎな くなる｡合成系が た とえ純粋状態 ( p s 2 .Ap s.A)で あって も部分系 ( p s… T r A( p s .A) ) は一般 に混合状態 ( p 呈≠ p s) であ り,従 って統計演算子 で記述す る しかない｡ あ る瞬 間 に p s が純粋状態で あって も, SとAの相互作用 がある限 りそれ は早晩混合状態に陥 る｡全宇宙 が純 粋状態か否 かを判断 し得 るのは,その外 にあってそれ と相互作用 しない神 のみで あ り, 内にあ って相互作用の
系のノ ､ミル トニア ンを次 のよ うに とる｡ < < < H -a.+H' ∧ 〟 H . -c p " ,A , -∑V( 金一, W) " 6 1 ( n ) , T Z = 1 V( x-n a ) ニー V o O ( n a-a ) 0 ( a-( n-1 )a ) この系の相互作用表示での時間発展作用素 は : 1 ) 6 ( i ) 完 e x Pl -( i / i )p -1 2 : T ] , p --V ./ C,会 T -n g 1 9 1 ' n ' / N ( 5 ) の位相のp 7 依存性 と( 1 ) 式 での Zについての積分か ら波束の収縮 が導かれ る. もう少 しくわ しい内容 は次 の文献 1 ) にある｡ ( 4 ) ( 5 ) 参考文献 1 ) S .Ma c h i d aa n d M. Na mi k i , Ma c r o s c o p i cNa t u r eo fDe t e c t i n gAp p a r a t u sa n d Re d u c t i o n o fWa v ePa c k e t , P r o c .I n t .S y mp .O n t h eFo u n d a t i o n so fQu a n t u m Me c h a n i c s ( 丁 a p. P h y s .S o c . ) ,1 9 8 4年 3月刊行予定｡ 量子力学 の解釈 についての覚 え書 き 東大 ･ 物性研 豊 沢 豊 量子系の観測では,観測装置の中で起 る非可逆過程 とそれ に伴 な う量子系の ｢ 可干渉性 の喪 失｣がそ の決定的段階である, とい うH.S .Gr e e n以来の考 え方は次第 に多 くの人々の支持 を 得っっ あ り,実際 これ はv o n Ne u ma n n の逆説的な主張 -観測 され る系 ( S ) と観測装置 ( A) との境界 は任意 に ( a b s t r a c t e st t I c h " にまでも ) 移 し得 るとす るもの -よ りはるかに妥 当で 常識的 にも受 け入れやす い考 え方である｡私 もこの線上で,観測に伴な うエ ン トロピー変化, 観測の客観性 と再現性 などについて何度か話 したことはあるが, ここではさらに基本的 な所 ま で掘 りさげて考 えてみたい｡ A内の非可逆過程によ りSの可干渉性 が失 なわれ ても,合成系 ( S+A) の波動 関数 はや は り一次結合 のままで あ り,｢ 観測に よる波束 の収縮 は合成系の S c h r 6 d i n g e r 方程式 か らも出て ー2 6 8 -量子力学の解釈についての覚え書き こない｣とい う欲 求不満 は少 しも取 り除かれ ていないのである｡波動 関数 を実在 と信 じる限 り 行 きつ く境地 は ｢ 多世界理論｣で あ り, これ とv o n Ne u ma n nの考 え と何れが よ り逆説的 でな いかは,にわかに判断 しがたい｡ 私 は,｢ 系の状態 を記述す る最 も基本的 な量 は波動 関数 で な く統計 演算子 ( 密度行列 )βである｣と考 えたい｡以下それ を具体的に説明 してみ よ う｡ ( 1 )波動関数 は純粋状態 ( β 2 -〟 )とい う極 めて特殊 な状況 でだけ定義で きる, また βの行列 表現 の基底 として役立っ,補助的 な概念に過 ぎない｡ ( 2 ) 量子統計力学における統計性には,古典統計力学 とも共通 の統計性 (原理的には可知 だが 巨大 自由度 のため実際的には不可知 な要素 )と量子力学特有 の統計性 ( 原理的 な不可知 ) とが, 二重構造 として含 まれてい る, とするのが通説 のよ うだが,両者 は本来一体の もので ある｡実 際 この二つ の統計性 を分離 できるよ うな思考実験 は存 在 しない｡ ( 3 )Sに起 る変化 を我 々が外 ( A ) か ら観測 しよ うとす る とき,Sは合成系 ( S+A) の部分系に 過 ぎな くなる｡合成系が た とえ純粋状態 ( p s 2 .Ap s.A)で あって も部分系 ( p s… T r A( p s .A) ) は一般 に混合状態 ( p 呈≠ p s) であ り,従 って統計演算子 で記述す る しかない｡ あ る瞬 間 に p s が純粋状態で あって も, SとAの相互作用 がある限 りそれ は早晩混合状態に陥 る｡全宇宙 が純 粋状態か否 かを判断 し得 るのは,その外 にあってそれ と相互作用 しない神 のみで あ り, 内にあ って相互作用の
注 目す る系のハ ミル トニアンが Hs-u a † a + 芸 g a t a † a a , で与 えられ る非線形減衰振動子 を考えよ う｡α , α I は交換関係 [ α , α † 一 -1 , [ α , α ] -0 , ( 1) ( 2 ) を満 たすボゾン演算子である｡減衰理論 にお けるn o n -c o n v e n t i o n a l t j : 取 り扱 い [ 3 日7 ] では,注 目 す る系内の非線形性がその緩和 に与える影響が考慮 され る｡その結果系のダイナ ミクスは,注 目 す る系の密度行列p s ( i ) が正 しい終状態であるカノニカル平衡状態の密度行列 e-βHsに収束す るこ とを保証す る｡一方,減衰理論 における c o n v e n t i o n a l な取 り扱 いでは,系の非線形性 が緩和に及 ぼす影響は無視 され,p s ( i ) は調和振動子のカ ノニカル平衡状態 e -P ua † a に収束す る｡ このことか ら,系の非線形性が緩和に及ぼす影響 は,系の長時間の振 る舞いに重要 な役割 を果た しているこ とが分かる.Ha a k e 等 【 7 】 は減衰理論 にお けるn o n -c o n v e n t i o n a l な取 り扱いによ り,非線形減衰振 動子 に対す る量子マスター方程式を導出 した｡ 非平衡 Th e r moF i e l dDy n a mi c s( NE TF D) [ 8 日1 2 ] の枠組みにおいて,量子 L a n g e v i n方程式 と 量子確率 L i o u v i l l e 方程式 を含む量子確率微分方程式の系統的な正準演算子形式の体系が構成 され た 【 1 0 日2 3 ] ｡この体系において,前述の非線形減衰振動子に対す る量子確率微分方程式が構成 され た [ 2 0 ] ｡ Ac c a r d i 等 [ 2 4 日2 8 ] は,量子確率過程 に対 して微視的な基礎付 けを与えた｡彼 らは,ボゾン場の 熱浴 と相互作用す る量子系を考察 し,熱浴 のボゾン場 によ り構成 され る集団的ボゾン場 ( c o l l e c t i v e b o s o n丘 e l d )とよばれ る場が,弱結合極限 ( v a nHo v e 極限) 【 2 9 1 で量子 Wi e n e r 過程 に収束す ること ｢ 第 5回 『 非平衡系の統計物理』シンポジウム｣ を示 した｡また,相互作用表示における波動関数の時間発展方程式が,無限小時間発展演算子に 量子 Wi e n Q r 過程の増分を含む量子確率微分方程式に収束す ることを示 した｡ この論文では,このA c c a r d i 等の手続きをN E T F Dの枠組みで非線形減衰振動子に適用 し,系 の非線形性が緩和に及ぼす影響を考慮 した非線形減衰振動子に対す る量子確率微分方程式を微視 的なモデルか ら導出する｡
マ クロな系に量子力学 を適用す る際は量子化 された場 の理論 を用いると都合がよい｡系 を簡単の為 l o c a lな b o s o n場 q , ( x )(とその共役 量 7 C ( x ) )で記述す る｡ まず マ クロな系には示強変数 と示量変数 があるこ とに注意す るO体積 をⅤとして示強変数 を2つの クラスに分 けるO クラス I--平均操作 で表わ され るもの 例 :吉Jd 3xp( x) ･ 吉Jd 3xJd 3y?( x) C( x-y)" y ) クラス 丑 -l o c a lな情報 をもつ もの 例 : Q , ( x), 7 E ( x), Jd 3 yc ( x-y)や ( y ) さて, マ クロな系 を Ⅴ--で表現す ることにす ると, この l i mi tでは示量変数 は Hi l b e r ts p a c eの o p e r a t o rとしては存在 しない｡行列要素が -となるか らであるO-方, クラス 1の示強変数 は f l n c t ua t i o nを失 うことが知 られている｡ これは数学 で言 う大数 の法則, もっ と詳 しくは中心極 限定理 であ り, 物理では s t a t i o n a r y p h a s eで証明できる｡ このクラスの o p e r a t o rは C -n u mb e rとなるとい うことであ り, f l u c t u a t i o n を失 うとい うこ との証 明に もこの C -n u mbe rの時間発展 を決めるにも,素粒子 で使 われ る e f f e c t i o n a c t i o n I ,を用いるとよい.これは系の Ha mi l t o n i a n HM が与 えれば一般的な r u l eで計算 できる｡ そこで, クラス Iの任意 の o p e r a t o rA の e f f e ca t o r ではな くなるので,Hi l b e r t 空間はクラス Ⅱの示 強変数 で定義 され る｡ クラス Ⅰの C -n u mb e rの値 a( t )は Hi l b e r t空間 を指定するパ ラメー ター とな っ てお り, 1つ 1つの C -n u mb e r値に対 して各 々 Hi l b e r t空間が対応す る｡ この様な事情 は,素粒子 ･ 原 子核 ･ 物性 を通 じて多数 の実例 が存在す る｡このことは,クラス I の示強変数 の値 をシフ トで きる o p e r a t o r は示量 変数 であるが,示量変数 は, マ クロな l i mi t
交換関係 の拡張 とい う意味ではないことに注意 )で確定値 をもつ ものである｡ したがって,超選択則 を観測機械 の系に仮定す るのは,それが巨視的であるが故 に,古典的 な力学量 を持つ と仮定す ることに他 な らない｡町田 ･ 並木 の理論 でも,そのよ うな物理量が超 選択則 の具体例 として使われている｡ 文 献 1 )E･ P･Wi g n e r ,Am.∫ .P h y s .31( 1 9 6 3) ,6 . 2 )A.F i n e , P h y s ･Re v .D2( 1 9 7 0) ,2 7 8 3 .3 )S ･Ma c h i d a& M･Na mi k i ,P r o g .Th e o r .P h y s .6 3( 1 9 8 0) ,1 8 3 3 .4 ) G｡ C･Wi c k ,E･ P.Wi g n e r ,A.S .Wi g h t ma n ,P h y s .Re v .88( 1 9 5 2) ,1 0 1 .5 ) H･Ar a k i ,P r o g ･Th e o r .P h y s .6 4( 1 9 8 0) ,7 1 9 .
Q s ( a , i)-Tm e x p(4i q2t+ 主 oo)s e c h(2甲 ∬) が出て くる.但 し4 万 -l K l (n+1)とおいた.さらに, ￠をは さむ状 態 を ガ リレイ変換 す れ ば, mo v i n gソリ トンも得 られ る.即 ち,量子論 で束縛状 態 をっ くる粒子数 nを無限大にす ると そ の状 態 に関す る ￠( α)の形状 因子 が古典 ソリ トン解 にな る. これ は Go l d s t o n eとJ a c k i w の予 憩 l o ) の一端 と思 われ る. nが有 限 の時の波形 をグラフにす る と, n-5-6く らい です で に s e c hに近 く, n一 大 につれ,古典的波形 に近づ く様子 がわ か る. 参考文献 1 ) M. Wa d a t ie ta l .,J o u r n a lo rP h y s ･S o c .J p nt oa p p e a r ･ 2 ) V. E .Z a k h a r o ve ta l .,S o v .P h y s .J E T P3 4( 1 9 7 2 )6 2 .3 ) V. E .Z a k h a r o ve ta l .,S o v .P h y s .J E T P 3 7( 1 9 7 3 )8 2 3 ･ 4 ) Ⅰ .B .Mc G u l i e ,∫ .Ma t h .P h y s .6( 1 9 6 5 )4 3 2 .E .H. L i e fa n dW.L i n i g e r ,P h y s .Re v .1 3 0( 1 9 6 3 )1 6 0 5 .5 ) H. B .T h a c k e r ,Re v .Mo d .P h y s .5 3( 1 9 8 1 )2 5 3 .
o b a t a @ m a t h･ n a g o y a -u･ a c ･ J p l は じめに 揺 らぎを含む物理現象の時間発展は確率微分方程式で記述 され る. 確率積分が厳密 に定式 化 され, 確率微分方程式の基礎付 けがな されたのは 1 9 4 0年代のことであ り, 伊藤理論 として 広 く知 られているが,半世紀 を経た今 日では,よ り無限次元解析 としての色彩が強ま りなが ら様 々に発展 している.それらは, 包括的に ｢ 確率解析｣ と呼ばれているが, そ こでは,ラン ダム性 を無限 自由度に言い換 え, 確率的な対象 を無限次元的な対象 に変換 して議論がな され る.この観点に立つことで, 超関数論な どの関数解析的手法が導入 され易 くな り, 理論が大き く発展す るのである.無限次元解析は,理論構成上の 自由度 も大きく, 何 を礎 とす るかによっ て様 々な流儀がある.なかでも Ma l l i aS c h wa r t zの超関数論によっ て, それまでは意味が暖味であった Di r a cのデル タ関数が正 当化 され, 計算ルールが厳密に 与えられたよ うに, ホワイ トノイズに厳密な定式化が与えられ, 文献に散見 され る ｢ 形式的｣ 計算 ( 通常の微積分 と同様な計算) が, ホワイ トノイズ解析の枠組みで理解 され るようになる･ 多 くの場合, 形式的計算 を結果的に正 しい と認めることになっても, ホワイ トノイズ解析が理 論 として意味を失 うものではない.' s c h wa r t z超関数論が, 結局は, デル タ関数な どの形式的 計算 を追認す ることになって も, S c h wa r t z超関数論が不要にはな らないの と同 じである, ホワイ トノイズ解析は,当初, 伊藤解析の拡張 としてスター トした 【 1 5 ]ため, 対象は ｢ 古 典｣確率論の範境 を出るものではなかった.一方,量子確率解析 は, その創始 t 2 1 ]の頃か ら, 量子物理の問題意識か らであろ うが,ヒルベル ト空間論か ら離れず に発展 してきた とい う経 緯がある.その両者のアイデアを融合して,さらなる展開を 目指す試みは,ホ ワイ トノイズ 作用素論 [ 3 3 ]の一応の完成 とともに, 1 9 9 2 年 ころか ら開始 したが,目下の状況は発展の好機 を思わせ る.本誌上において も,ホワイ トノイズ解析の基礎理論 とともに,ホワイ トノイズ による量子確率積分, 量子確率過程のホワイ トノイズによる表示, 量子確率微分方程式 とホ ワイ トノイズ方程式の関連な どについて報告 してきた [ 3 5 ] ,岡 ,【 3 9 ] ･本論文では,高次の ホワイ トノイズ ( ホワイ トノイズの非線形関数)をノイズ項 として含む量子確率微分方程式 を, ｢ 正規積 ホ ワイ トノイズ微分方程式｣ として定式化 し, 解の一意存在 を論 じる.その際, Co c h r a n -Ku o -S e n g u p t a[ 1 4 】による一般的な枠組みが有用である.実際,これまでに,空間を 拡張 して解の存在 を保証す るとい う形の定理 ( 超関数的な解の存在) については十分論 じてき た [ 4 0 ] , [ 4 1 日 4 3 日 4 4 ]ので, 本論文では, 解がいつ F o c k空間の ( 非有界) 作用素になるか ( 超 -｢ 第 6回 『 非平衡系の統計物理』 シンポジウム｣ の簡略形であ り,この積分は伊藤型量子確率積分を意味す る.さらに, 方程式 ( 2 .3 ) は, 指数ベ ク ト ル に関す る行列要素 ( これ を作用素 シンボル とい う) に対す る方程式に書 き直せ ば, 《 X擁 , 4 , 刀 ) ) -《 4 , i , 4 , り )+ / E t ( 《に等 しくなる･したがって, ( 2 .5 ) か ら作用素の部分だけを取 り出せ ば, X i -I + / -- とな り, さらに tで微分すれ ば, d Xl d t ( L l a : Xs a s +L 2 Xs a s +L 3 a s * Xs +L 4 Xs ) d s -L l a ; Xt at +L 2 Xt al +L3a ; Xl +L4Xl , X ( 2 .6 ) -I , ( 2 .7 ) となる･最後 に, 場 の理論で使 われ る正規積 ( Wi c k 積)を用いて書 き直す.Wi c k積 を ◇で表 せ ば, a s ◇at-a s a t , a s * ◇at-a s * a t , a s ◇a ;-a i * a s , a s * ◇a l * -a ; a i * ･ また, 一般 の作用素 X に対 しては, ( a ; 1 ･ ･ ･ a s * l a t l-･ a t m )◇ X-a ; 1 -･ a s * , Xa t l･ -ai m なる性質 を持つ.したがって, ( 2 .7 ) は Wi c k積 に関す る線形方程式 ( L l a l * at+ L 2 a t +L 3 a l * +L4)◇Xl , X-I, ( 2 .8 ) に帰着 され る･こ うして, 量子確率微分方程式 ( 2 . 1 ) は, 単純な線形方程式 ( 2 .8 )と同値 となる.