n g l e p a r t i c l ep h e n o me r l a 量子力学 における観測問題 早大 ･ 理工 並 木 美善雄 量子力学はその成功 に も拘 らず,生誕以来 5 0年以上 もの間, 原理的問題 につ いての疑 問や 対立 があ り,論争が続 け られて きた｡その中心 は観測問題 にある｡ くわ しい問題意識の説 明は 別の ところにゆず るが, 1 ) 測定によるく 波束の収縮 ' が量子力学 自身 によって解 明 され るか とい う 問題 であ り,量子力学 の理論的体 系の無矛盾性や 自己完結性 を問 うものである｡すでに,5 0 0 以上 の論文が公刊 されてお り, とて も紹介 し切れ ないが, とくに有名 な もの として,( i ) Ⅴ .Ne uma n n -Wi g n e r 理論,( i i )ェルゴー ド 増幅理論,( i i i )多世界理論 などがある｡ここでは, 問題点整 理 を目的 に, まず前二者 間の対立論争 について紹介 し,次に筆達者 の理論 を新 しい視点 か ら再 構成 してみたい｡ は じめに,観測理論の到達 目標 を設定 しよ うo状態 少Q -写 c i u i に あ る対 象系 Qの力学量 F (固有値 右,固有関数 u i ) の測定 を問題 にす るのであるが,観測理論 はこの測定 による く波束 の収縮 ' を表す統計演算子 の変化
n g l e p a r t i c l ep h e n o me r l a 量子力学 における観測問題 早大 ･ 理工 並 木 美善雄 量子力学はその成功 に も拘 らず,生誕以来 5 0年以上 もの間, 原理的問題 につ いての疑 問や 対立 があ り,論争が続 け られて きた｡その中心 は観測問題 にある｡ くわ しい問題意識の説 明は 別の ところにゆず るが, 1 ) 測定によるく 波束の収縮 ' が量子力学 自身 によって解 明 され るか とい う 問題 であ り,量子力学 の理論的体 系の無矛盾性や 自己完結性 を問 うものである｡すでに,5 0 0 以上 の論文が公刊 されてお り, とて も紹介 し切れ ないが, とくに有名 な もの として,( i ) Ⅴ .Ne uma n n -Wi g n e r 理論,( i i )ェルゴー ド 増幅理論,( i i i )多世界理論 などがある｡ここでは, 問題点整 理 を目的 に, まず前二者 間の対立論争 について紹介 し,次に筆達者 の理論 を新 しい視点 か ら再 構成 してみたい｡ は じめに,観測理論の到達 目標 を設定 しよ うo状態 少Q -写 c i u i に あ る対 象系 Qの力学量 F (固有値 右,固有関数 u i ) の測定 を問題 にす るのであるが,観測理論 はこの測定 による く波束 の収縮 ' を表す統計演算子 の変化
量子ホワイ トノイズの数学的基礎 名古屋大学大学院 多元数理科学研究科 尾 畑 伸 明 はじめに 圭子系の " 雑音" は, 量子光学や散逸量子系の研究 など理論物理か ら応用工学 にわたる分 野で盛 んに研究 されて きた ( 例 えば 【 2 日 5 日 2 1 1やそこに引用 されている文献) .一方で,この 1 0年来, Ac c a r d i達の一連の報告集 【 1 1 , Hu d s o n -P a r t h a S a r a t h yによる量子確率微分 方程式の基礎づけ 【 1 1 】 ,Me y e rl 1 2 1や P a r t h a s a r a t h yl 2 0 1による量子確率過程の教科書, Oh y a ･ -P e t zの量子エ ン トロピー理論 【 1 9 】などを通 して数学者の関心 も高 まって きている･ なかで も F o c k空間上の量子確率過程は, 減衰過程のノイズ項のモデルなどに現れ, 数学的 にも興味深い研究対象 となっている.量子確率論の起源は, 量子力学における波動関数の確 率解釈や位置 と運動量の不確定性 などにある.したがって,数学的定式化 として Hi l b e r t空 間上の作用素環論が広 く用い られ, 実際,それは強力 な手段 を提供 している.ただし, 物理 的に興味のある作用素はしば しば非有界作用素 となるので, 情況 に応 じて理希 を工夫す る 必要がある.その意味で,確率解析 といわれている " 無限変数" の超関数論のアイデ アを導 入す ることは一つの研究方向ではなかろうか.この論文では, ホワイ トノイズ解析 ( 飛田解析)と呼ばれている確率解析の方法 を量子確 率過程の研究に導入 し, 理論 を再構成す るとい う最近の試みの一端 を紹介す る.ホワイトノ イズ解析は, その著 しい特徴 ( a ) 通常は確率超過程 として扱 われているホワイ トノイズを, 各時点毎にガウス空間上の 超関数が対応するような超関数空間内の連続 な ( 実際は C∞一 級) 流れ として定式化 し ていること; ( b ) 通常は作用素借超関数 として敵 われている生成 ･ 消滅作用素 を, 各点毎 に意味のある 連続作用素 として定式化 していること; を生か して, 古典的確率過程の問題 に応用 されて きた 【 1 0 1 .-万で,ホワイ トノイズ解析の 超関数論的側面か らの研究は F o c k空間上の作用素理革へ と進展 している ( 理論 の詳細 は 【 1 3 日 1 4 1 ; 概略は 【 1 5 1など) .したがって,これまで古典論に終始 して きたホワイ トノイズ解 析 を, 作用素 レベルに引 き上げ ることによって, 各点毎の生成 ･ 消滅作用素を基本的な量子 確率過程 とす る理論が構築で きるはずである.また,この観点は物理学に現れる量子確率微分方程式 ( 【 2 日5 1など)の基礎づけにも有効であると思われる.むろん, 量子確率過程 を議論す るにあたって, ホワイトノイズ解析 は唯一の選択肢ではな い し,この論文で提起す るアプ ローチ 自体 も発展途上 にある.ただ,これまでの ところ, 量 子確率論 の研究 に超関数論的なアイデ アはそれほ ど積極的には現れていないので, 本論 は ｢ 第 3回 『 非平衡系 の統計物理』 シンポジウム｣ ( その 1 ) 確率解析の非可換版 を構成す る上でたた き台 ともなるだろ う.まだ関連す る論文 も少 ない が, 【 1 5 日1 6 1 , 【 1 7 日1 8 】も参照 されたい. 1 ホワイ トノイズ解析 と f bc k空間上の作用素論 この報告では, .Ge l f a n dの三つ組 E-S ( R) ⊂H-L 2 ( A , d t ) ⊂F -S ' ( I R ) ( 1 . 1 ) に基礎 にして話 を進める.ここでR は, 後で議論す る量子確率 " 過程" の時間軸 に相当す る. ただ し,この章で述べ る主要 な結果のためには E として急減少関数の空間 S ( A)をとる必 然性 もなければ, R上の関数空間にこだわる必要 もない.実際,Rをかなり一般の位相空間 ( t o p o l o g i C a ls p a c e )にとりかえて理論 を構成す ることがで き, その方が応用上 も有利である [ 1 3 ] .このことについては,この論文の最後( § 3 .3 .5 ) で少 し触 れる.なお, ( 1 . 1 )に現れている 3つの空間はいずれも実空間である.H の実内積 と E'×E上 の標準双線形形式は, 整合 しているので同 じ記号 ( ･ , ･ )で表す.またH とその複素化 Hcの ノルムを同 じ記号 日 ｡で表す ( 添字 Oは後の都合 による) .さて,E昌×Ec上の標準複素双 線形形式は, H の実内積 を拡張 した
m Th e r moF i e l dDy n a m i c s( NE TF D)[ 1 ] -[ 4 】と名付け られ た,非平衡量子系 を扱 う正準理論を紹介する｡ これは,散逸量子系 を扱 う一貫 した ( 非平 衡系統計力学でのすべての基本的概念,すなわち,B o l t z ma nn方程式,F o k k e r -P l a n c k方 程式,L a n g e v i n方程式,確率 L i o u v i l l e方程式'で代表 される見方 を,一つの土俵で議論 で きるとい う意味で) , しかも,量子力学や場の量子論で学んだ,自然認識の基本である 演算子代数 と表現空間 とい う二重構造を供えた理論体系である｡ NE TF Dの表現空間 ( 熱空間,t h e r ma l s p a c e ,と名付け られた)は,2つの Hi l b e r t 空 間の直積で構成 されている.1つばn o n -t i l d e場,もう 1つは t i l d e場の H i l b e r t 空間で ある.NE TF Dでは,いかなる演算子 A にもその髄伴演算子 ( t i l d e演算子)A が伴 って いる｡t i l d e共役,-,は, ( AI A2 ) --AI A2 , ( c I Al + C 2 A2 ) --C ; il + C ; 12 , ( i) --A, ( AI ) --〟 , p h H 一 G i - ー n u p n u 1 2 3 4 l H I U ■ H t L Hi ヨ l H は ■ 川 U で定義 される｡ただ し, c l や C 2 は, c数である.S c h r 6 d i n g e r表現では,t i l d e演算子 と n o 凪 -t i l d e 演算子は,互いに可換である : l A, B ] -0 .( b 5 ) 散逸は,直積 H i l b e r t 空間全体での回転,すなわち,t i l d e 演算子 とn o n -t i l d e 演算子 を 交ぜ るような回転 として捕 らえられることが明 らかになった｡無限小時間発展演算子の中 の t i l d eとn o n -t i l d e 場が掛っている項が,散逸 ( すなわち,非可逆)現象 を司っているの である｡この点は,NE TF Dが建設 されて初めて認識 された 【 1 , 2 】 ｡ I ' 古典系での確率 L i o u v i l l e 方程式 は,久保 【 5 , 6 】 により初めて導入 された｡ I この認識 は, G i b b Sアンサ ンブルを定式化 した熱平衡系 の T F Dl 7 】にはなか った｡そこには,散逸は 現れない｡この点が, N B T F DとT F Dとの本質的な違いのひとつである｡Z u b a r e v が, N E T F Dの方法を 賞賛 し,非平衡量子現象の研究 に用 い始めたことに,ここで言及 させていただきたい 【 8 】 .-3 1 1 研究会報告 B o l t z ma n nは,微視的で可逆 な Ne wt o n力学か ら出発 して, 自然界 の非可逆性 を導出 しようとした.しか し,B o l t z ma n n方程式 を導 く際 に,分子混沌 と呼 ばれる確率操作 を, 知 らず に導入 していたことが判明 したのである ( その辺のか ら くりの簡単 な解説は,【 9 ] を 参照のこと) ｡我 々の新 しい方法が見通 しの良い ものである とい う技術的 な面 ばか りでな く,散逸量子場の理論 としてのその二重構造が,B o l t z ma nnの初め措 いた夢 を,何等かの 意味 で実現 させ るのではないか, とい う期待 が湧いて くる.B o l t z ma n nの時代 には, こ の二重構造 は認識 されていなか ったのである｡ 詳 しい NE TF D の解説 と参考 文献 は 【 4 ]を参照 して頂 くと して,s e m i -f re e時間発展 演算子 ( 量子 F o k k e r -P l a n c k方程式 と,定常的量子 Wi e n e r 過程 に従 う量子確率 L i o u v i l l e 方程式,それぞれに関する もの)が,い くつかの基本的要請の元 に,如何 に して創 られる かを示す.S e mi -f r e e時間発展演算子は,双線形で大域的ゲージ不変性 を満 たす ものであ る｡以下,散逸量子系 の正準理論が,前者の時間発展演算子 によって如何 に創 られるかを 紹介 し,量子系確率微分方程式の一貫 した体系が,如何 に して建設 されるか を示す ( 図 2 参照 ) ｡そ うす ると,量子散逸系の方程式 に纏 わる次の ような基本的 な疑問が,解決 され ることが見 えて くる ( 量子系 L a n g e v i n方程式 に対す る問題提起 に関 しては,【 1 0 】も参照 の こと) 0 ql .量子散逸系 を扱 う正準理論 ( つ まり,時間発展が正準変換 で誘起 される)は,建 設可能 だろ うか ?考 え もな しに a ( i ) -a e ( i w+A ) i , a I ( i ) -a † e ( t ' U-A ) i ,の ようにエネルギー ･ スペ ク トルに虚数部 を導入するだけでは,同時刻交換関係 は, け っ して保存 されない : l a ( i ) , a I ( i ) ] -l a , a † 一 e 加 t ( 7 ) Q2 ･ 揺動力演算子 は KMS条件 [ 1 1 , 1 2 】を満 たせ ないので,量子系 では白色過程 は許 されない と言われている｡ た とえば,L a n g e v i n方程式 孟 a ( i ) -i d a ( i ) 一項 ･佃 ( 8 ) 孟 a ' ( i ) -i wa t ( i ) -n at ( i ) II-T ( i ) , ( 9 ) を考 えてみ よう｡ただ し,f C は,摩擦係数である.また,a( i )ta t ( i ) は,それぞれ Hi l b e r t 空間の消滅,生成確率演算子で,i -0に正準交換関係 を満たす もの とする :( 【 a ( i ) , a I ( i ) ] ) -1 .( 1 5 )S c h r 6 d i n g e r 表現でなされるべ きである｡それでは,La n g e v i n方程式に現 れる揺動 力の相関 と して,はた して,S c h r 6 d i n g e r表現 と同 じもの を採用 して長いのであろ うか ?q4 .如何 に して,確率過程の表現空間 を建設 した ら良いのであろ うか ?時間発展演算子の一般形 は,本質的 に L i o u v i l l e方程式 孟 p ( i ) --i L p ( i ) , に関る次の性質か ら導 きだ された｡ Dl .L i o u v me演算子のエル ミー ト性 : L f =L.
｢ 第4 4 回 物性若手夏の学校｣ ( 1 9 9 9 年度 ) 量子 ゆ らぎが大 きな系での量子ダ イナ ミックス と緩和現象 東大･ 工･ 物工 宮下精二 最近 ､興味 を持たれているナ ノスケール系での動的現象 を紹介 し､それ らを解析する 量子力学 ､統計力学的方法 をいろいろ調べ ､それぞれの特徴 を議論する｡また､量子ゆ ら ぎが大 きな系での外場-の応答の新 しい特徴 を考察する｡ それぞれの解析 における数値計 算の具体的手法 について も触 れる｡ 1 I m t r o d u c t i o n 具体的な講義 は以下 に述べ る ような内容 を考 えてい る｡( 1 ) 非平衡統計力 学の基礎 ,つ ま り線形応答理論や確率過程 について触 れ,量子 ダイナ ミッ クスが重要な役割 をす る現象 に関する統計力学的手法 をの紹介 を行 う｡( 2 ) 量子効果がその緩和現象 に顕著 な役割 をす るナ ノスケール分子磁性の実験 の紹介 をす る｡( 3 ) 量子ダイナ ミクスの大 きな特徴である非断熱遷移 によっ て生 じる典型的な現象 とその機構の説明 し,上のナ ノスケール分子磁性 に おける現象の説明 を試みる｡ ( 4 ) 周期的変動 をす る外場 の もとでの興味深 い現象 として,系の固有振動や外場の高調波 な どではない非 自明な周期 を 持つ振動現象がある｡ それをいわゆるF l o q u e t 演算子の固有状態の として 解析 も紹介す る｡ 2 非平衡統計力学 オンサーガーの相反定理,揺動散逸定理 な ど線形応答理論の一般論 と久保 公式や森公式の導出｡その応用 として,最近我 々が行 っている電子 ス ピン 共鳴 ( E S R ) の直接数値解析の方法 【 1 】 を紹介す る｡ また,確率過程 につい てはマルコフ過程 の一般論 とWi e n e r 過程 ( wh i t e -g a u s s i a nn o i s e )によるラ ンジェバ ン方程式, さらにそれ とのフォツカープ ランク方程式の関係等 と の説明 をす る｡ 熟浴 と接 している量子系の運動 を記述する方法 として量子マスター方程 式 ( 資料参照)と量子 ランジェヴァン方程式 ( 文献 [ 3 】 参照)の方法 を紹介す る｡ ここでは mi c r oc a v i t yの中で原子系 と相互作用する光子系の非古典状 態の解析 [ 2
量子多成分系 にお ける時間領域の半古典論1 東京都立大学 大学院理学研 究科 物理学専攻 田中篤司 量子論 では, 一般 に,複合的 な系 の時間発展 によって,仝系 を構成す る部分同志が ( 量子 的に) 絡 み 合 ってい きます.本講演 は,この絡み合いの過程の半古典論 を通 じた解析 の報告です.特に,複合系 と して,内部 自由度 と " 外部 " 自由度か ら成 る量子多成分率 ( 例 えば, s p i nを担 う粒子や, 電子状態 の励 起 を伴 なう核 の運動の模型です)を考察 します.ここでは,内部 自由度の c o h e r e n tな量子振動が外部 自由度の伏見 関数の干渉 を誘発す る一因であ ることを報告 します.講演 では,この量子干渉の破壊 と古 典 的な c h a o s動力学の関係 に言及 しま したが, 紙幅の都合 によりこの点 は割愛 します. 1 動機付 け いわゆる Co p e n h a g e n解釈の枠内においては, 量子系の,意味のある, 一貫 した考察のためには,問 題 の量子系 を測定す る古典系が必要です.このことは, 古典論が量子論 の特別 な極限 として位置付 け ら れていることと矛盾 を畢 み ます･この矛盾 を ( 何 らかの意味 で) 解決す ることが,いわゆる ( 量子系 の) 観測 の問題 です.この間題 に対 して,その測定系 をもまた量子系 として記述す る a p p r o a c hがあ りま す ( 例 えば,町田 一 並木理論,環境理論 [ 1 ] ) ･そこでは,量子 -" 古典"結合系の u n i t a r y時間発展 を解 析す ることにな ります.これのみの考察だけでは, 観測問題 の最終的な解 を直接提供 しませ んが, 重要 な洞察 を与 えるこ とは確 かです.それは,測定系 ( その " 環境"を含 めて)の ( 何 らかの意味での) " 複雑 さ"が,被測定系 の " 波束の収縮"を もた らすために重要であ る. とい うことです.ここで言及 され る 複雑 さとは,例 えば,町田 一 並木理論 における系の熱力学的な素性 であ った り,環境理論 にお ける系 の 自由度の高 さ ( --動力学 に関与す る Hi l b e r t空間の " 次元"の大 きさ ( の対数) )です･特 に,これ らの 議論 で着 目されているのは, 測定系の構成の複雑 さで した.これに対 して,測定系の動力学の複雑 さに 焦点 を当てた議論 を展 開す ることは可能で しょうか?これが, 本研 究の ひとつの動機付 けです2 . 1 . 1 量子 一 ㍍ 古典乃結合系 と しての量子多成分系 量子多成分系 は, 二つの部分系か らな ります.便宜上 これ らを I n t e r n a l De g r e e s o f 凸･ e e d o m ( I DF: 内部 自由度) とE x t e r n a lDe g r e e so f於e e d o m ( E DF: 外部 自由度) 3と呼ぶ ことに します.例 えば, s p i nを持つ電子や,断熱 ( 透熱) 基底 で記述 される分子がその代表例 です.後者は,I DF と E DF の時 1京大基研短期研究会 ｢ 量子力学 とカオス:基礎的間蓮か らナノサ イエ ンスまで｣ ( 2 0 0 3年 1 1月 1 2日-1 4恥 2 0 0 3年 1 1月 1 3日の口演発表 As e m ic l a s s i c a l a p p r o a c ht ot i mee y o l u t i o n s o f mu l t i c o mp o n e n t s y s t e msより.2もちろん, 系が熱力学的な素性 を獲得するため に,系の動力学の複雑 さを利用 している場合 もあ ります.
マ クロな系に量子力学 を適用す る際は量子化 された場 の理論 を用いると都合がよい｡系 を簡単の為 l o c a lな b o s o n場 q , ( x )(とその共役 量 7 C ( x ) )で記述す る｡ まず マ クロな系には示強変数 と示量変数 があるこ とに注意す るO体積 をⅤとして示強変数 を2つの クラスに分 けるO クラス I--平均操作 で表わ され るもの 例 :吉Jd 3xp( x) ･ 吉Jd 3xJd 3y?( x) C( x-y)" y ) クラス 丑 -l o c a lな情報 をもつ もの 例 : Q , ( x), 7 E ( x), Jd 3 yc ( x-y)や ( y ) さて, マ クロな系 を Ⅴ--で表現す ることにす ると, この l i mi tでは示量変数 は Hi l b e r ts p a c eの o p e r a t o rとしては存在 しない｡行列要素が -となるか らであるO-方, クラス 1の示強変数 は f l n c t ua t i o nを失 うことが知 られている｡ これは数学 で言 う大数 の法則, もっ と詳 しくは中心極 限定理 であ り, 物理では s t a t i o n a r y p h a s eで証明できる｡ このクラスの o p e r a t o rは C -n u mb e rとなるとい うことであ り, f l u c t u a t i o n を失 うとい うこ との証 明に もこの C -n u mbe rの時間発展 を決めるにも,素粒子 で使 われ る e f f e c t i o n a c t i o n I ,を用いるとよい.これは系の Ha mi l t o n i a n HM が与 えれば一般的な r u l eで計算 できる｡ そこで, クラス Iの任意 の o p e r a t o rA の e f f e ca t o r ではな くなるので,Hi l b e r t 空間はクラス Ⅱの示 強変数 で定義 され る｡ クラス Ⅰの C -n u mb e rの値 a( t )は Hi l b e r t空間 を指定するパ ラメー ター とな っ てお り, 1つ 1つの C -n u mb e r値に対 して各 々 Hi l b e r t空間が対応す る｡ この様な事情 は,素粒子 ･ 原 子核 ･ 物性 を通 じて多数 の実例 が存在す る｡このことは,クラス I の示強変数 の値 をシフ トで きる o p e r a t o r は示量 変数 であるが,示量変数 は, マ クロな l i mi t
一次元量子 スピン系におけるフラス トレーション誘起相転移 大阪大学大学院工学研究科 古賀 昌久, 川上則雄 最近､低次元量子系において フラス トレー ションに関す る研究が盛んになされている｡典型的 な物質 と して知 られてい る銅酸化物 s r c u 2 ( B OB ) 2 [ 1 】 おいては､幾何学的な直交 ダイマー構造 に 起因するフラス トレーシ ョンによ り､分散のない励起や磁化プラ トーな どの興味深い現象が見出 されてお り､その磁気的性質を記述す る S h a s t r y -S u t h e r l a n d模型 【 2 , 3 ] が注 目されている｡ さら に最近､T N-2 .4 K において反強磁性相転移を起 こす直交ダイマー系 N d 2 B a Z n 05 ( J-9 / 2 ) [ 4 ] が合成 され､フラス トレー ト 系 における 量子スピン( S≧1 / 2 ) の効果が注 目されているo しか し なが ら､任意ス ピンを もつ直交ダイマー系の量子相転移に関 しては､理論的な取 り扱いが難 しく な ってお り､今なお問題が残 されたままとな っている｡ 図 1 : 直交ダイマー模型:太線､実線､破線はそれぞれ交換相互作用の大きさの違いを表 している｡ われわれは以前､任意ス ピンβを持つ直交 ダイマー鎖を取 り扱い､交換相互作用の大