｢ 第4 4 回 物性若手夏の学校｣ ( 1 9 9 9 年度 ) 量子 ゆ らぎが大 きな系での量子ダ イナ ミックス と緩和現象 東大･ 工･ 物工 宮下精二 最近 ､興味 を持たれているナ ノスケール系での動的現象 を紹介 し､それ らを解析する 量子力学 ､統計力学的方法 をいろいろ調べ ､それぞれの特徴 を議論する｡また､量子ゆ ら ぎが大 きな系での外場-の応答の新 しい特徴 を考察する｡ それぞれの解析 における数値計 算の具体的手法 について も触 れる｡ 1 I m t r o d u c t i o n 具体的な講義 は以下 に述べ る ような内容 を考 えてい る｡( 1 ) 非平衡統計力 学の基礎 ,つ ま り線形応答理論や確率過程 について触 れ,量子 ダイナ ミッ クスが重要な役割 をす る現象 に関する統計力学的手法 をの紹介 を行 う｡( 2 ) 量子効果がその緩和現象 に顕著 な役割 をす るナ ノスケール分子磁性の実験 の紹介 をす る｡( 3 ) 量子ダイナ ミクスの大 きな特徴である非断熱遷移 によっ て生 じる典型的な現象 とその機構の説明 し,上のナ ノスケール分子磁性 に おける現象の説明 を試みる｡ ( 4 ) 周期的変動 をす る外場 の もとでの興味深 い現象 として,系の固有振動や外場の高調波 な どではない非 自明な周期 を 持つ振動現象がある｡ それをいわゆるF l o q u e t 演算子の固有状態の として 解析 も紹介す る｡ 2 非平衡統計力学 オンサーガーの相反定理,揺動散逸定理 な ど線形応答理論の一般論 と久保 公式や森公式の導出｡その応用 として,最近我 々が行 っている電子 ス ピン 共鳴 ( E S R ) の直接数値解析の方法 【 1 】 を紹介す る｡ また,確率過程 につい てはマルコフ過程 の一般論 とWi e n e r 過程 ( wh i t e -g a u s s i a nn o i s e )によるラ ンジェバ ン方程式, さらにそれ とのフォツカープ ランク方程式の関係等 と の説明 をす る｡ 熟浴 と接 している量子系の運動 を記述する方法 として量子マスター方程 式 ( 資料参照)と量子 ランジェヴァン方程式 ( 文献 [ 3 】 参照)の方法 を紹介す る｡ ここでは mi c r oc a v i t yの中で原子系 と相互作用する光子系の非古典状 態の解析 [ 2
量子ホワイ トノイズの数学的基礎 名古屋大学大学院 多元数理科学研究科 尾 畑 伸 明 はじめに 圭子系の " 雑音" は, 量子光学や散逸量子系の研究 など理論物理か ら応用工学 にわたる分 野で盛 んに研究 されて きた ( 例 えば 【 2 日 5 日 2 1 1やそこに引用 されている文献) .一方で,この 1 0年来, Ac c a r d i達の一連の報告集 【 1 1 , Hu d s o n -P a r t h a S a r a t h yによる量子確率微分 方程式の基礎づけ 【 1 1 】 ,Me y e rl 1 2 1や P a r t h a s a r a t h yl 2 0 1による量子確率過程の教科書, Oh y a ･ -P e t zの量子エ ン トロピー理論 【 1 9 】などを通 して数学者の関心 も高 まって きている･ なかで も F o c k空間上の量子確率過程は, 減衰過程のノイズ項のモデルなどに現れ, 数学的 にも興味深い研究対象 となっている.量子確率論の起源は, 量子力学における波動関数の確 率解釈や位置 と運動量の不確定性 などにある.したがって,数学的定式化 として Hi l b e r t空 間上の作用素環論が広 く用い られ, 実際,それは強力 な手段 を提供 している.ただし, 物理 的に興味のある作用素はしば しば非有界作用素 となるので, 情況 に応 じて理希 を工夫す る 必要がある.その意味で,確率解析 といわれている " 無限変数" の超関数論のアイデ アを導 入す ることは一つの研究方向ではなかろうか.この論文では, ホワイ トノイズ解析 ( 飛田解析)と呼ばれている確率解析の方法 を量子確 率過程の研究に導入 し, 理論 を再構成す るとい う最近の試みの一端 を紹介す る.ホワイトノ イズ解析は, その著 しい特徴 ( a ) 通常は確率超過程 として扱 われているホワイ トノイズを, 各時点毎にガウス空間上の 超関数が対応するような超関数空間内の連続 な ( 実際は C∞一 級) 流れ として定式化 し ていること; ( b ) 通常は作用素借超関数 として敵 われている生成 ･ 消滅作用素 を, 各点毎 に意味のある 連続作用素 として定式化 していること; を生か して, 古典的確率過程の問題 に応用 されて きた 【 1 0 1 .-万で,ホワイ トノイズ解析の 超関数論的側面か らの研究は F o c k空間上の作用素理革へ と進展 している ( 理論 の詳細 は 【 1 3 日 1 4 1 ; 概略は 【 1 5 1など) .したがって,これまで古典論に終始 して きたホワイ トノイズ解 析 を, 作用素 レベルに引 き上げ ることによって, 各点毎の生成 ･ 消滅作用素を基本的な量子 確率過程 とす る理論が構築で きるはずである.また,この観点は物理学に現れる量子確率微分方程式 ( 【 2 日5 1など)の基礎づけにも有効であると思われる.むろん, 量子確率過程 を議論す るにあたって, ホワイトノイズ解析 は唯一の選択肢ではな い し,この論文で提起す るアプ ローチ 自体 も発展途上 にある.ただ,これまでの ところ, 量 子確率論 の研究 に超関数論的なアイデ アはそれほ ど積極的には現れていないので, 本論 は ｢ 第 3回 『 非平衡系 の統計物理』 シンポジウム｣ ( その 1 ) 確率解析の非可換版 を構成す る上でたた き台 ともなるだろ う.まだ関連す る論文 も少 ない が, 【 1 5 日1 6 1 , 【 1 7 日1 8 】も参照 されたい. 1 ホワイ トノイズ解析 と f bc k空間上の作用素論 この報告では, .Ge l f a n dの三つ組 E-S ( R) ⊂H-L 2 ( A , d t ) ⊂F -S ' ( I R ) ( 1 . 1 ) に基礎 にして話 を進める.ここでR は, 後で議論す る量子確率 " 過程" の時間軸 に相当す る. ただ し,この章で述べ る主要 な結果のためには E として急減少関数の空間 S ( A)をとる必 然性 もなければ, R上の関数空間にこだわる必要 もない.実際,Rをかなり一般の位相空間 ( t o p o l o g i C a ls p a c e )にとりかえて理論 を構成す ることがで き, その方が応用上 も有利である [ 1 3 ] .このことについては,この論文の最後( § 3 .3 .5 ) で少 し触 れる.なお, ( 1 . 1 )に現れている 3つの空間はいずれも実空間である.H の実内積 と E'×E上 の標準双線形形式は, 整合 しているので同 じ記号 ( ･ , ･ )で表す.またH とその複素化 Hcの ノルムを同 じ記号 日 ｡で表す ( 添字 Oは後の都合 による) .さて,E昌×Ec上の標準複素双 線形形式は, H の実内積 を拡張 した
n g l e p a r t i c l ep h e n o me r l a 量子力学 における観測問題 早大 ･ 理工 並 木 美善雄 量子力学はその成功 に も拘 らず,生誕以来 5 0年以上 もの間, 原理的問題 につ いての疑 問や 対立 があ り,論争が続 け られて きた｡その中心 は観測問題 にある｡ くわ しい問題意識の説 明は 別の ところにゆず るが, 1 ) 測定によるく 波束の収縮 ' が量子力学 自身 によって解 明 され るか とい う 問題 であ り,量子力学 の理論的体 系の無矛盾性や 自己完結性 を問 うものである｡すでに,5 0 0 以上 の論文が公刊 されてお り, とて も紹介 し切れ ないが, とくに有名 な もの として,( i ) Ⅴ .Ne uma n n -Wi g n e r 理論,( i i )ェルゴー ド 増幅理論,( i i i )多世界理論 などがある｡ここでは, 問題点整 理 を目的 に, まず前二者 間の対立論争 について紹介 し,次に筆達者 の理論 を新 しい視点 か ら再 構成 してみたい｡ は じめに,観測理論の到達 目標 を設定 しよ うo状態 少Q -写 c i u i に あ る対 象系 Qの力学量 F (固有値 右,固有関数 u i ) の測定 を問題 にす るのであるが,観測理論 はこの測定 による く波束 の収縮 ' を表す統計演算子 の変化
微視的な運動方程式か ら出発 してマスター方程式や確率微分方程式な どの巨視的な方程式を導 出す る際,時間 と空間の粗視化が重要である ( 以下では,時間の粗視化のみを扱 う) ｡ただ し,確 率微分方程式 とはランジュバ ン方程式 と確率 L i o u v i l l e 方程式を意味す るもの とす る｡量子系でも He i s e n b e r g 方程式か ら量子マスター方程式や量子確率微分方程式 ( QS DE) を導出す る際に,同様 の事情が存在す る｡ 量子マスター方程式は,通常,熱浴 と相互作用ハ ミル トニアンHl-∑ k ( a b と +aaとL e g g e t t 【 1 2 , 1 3 】によ り摩擦が速度 に比例す るオーム 的散逸の条件 として提出 されている.I-X型 のハ ミル トニアンは回転波近似 によ り線形散逸結合 の相互作用ハ ミル トニアンに帰着す る｡ QS DEをミクロな視点か ら導出す る試みが数多 くなされている｡その多 くは,He i s e n b e r g方程 式をL a n g e v i n方程式型 に書 き換 えるもので 【 1 4 , 1 5 ] ,通常の微分方程式が どのよ うに して確率微 分方程式に変化す るのかは明 らかではない｡ この論文では,確率的時間発展演算子 を得 る際に適切な時間の粗視化 を行 うことにより,量子 研 究会報告 Kr a me r s 方程式に対応す るQS DEを導出す る｡導出にあたっては,量子マスター方程式 とQS DE に対す る適切 な枠組み を提供す る [ 1 6 日2 6 】系統的な正準演算子形式である非平衡 Th e r moF i e l d Dy n a mi c s( NE TF D) [ 2 7 日3 1 ]を用いることにす る｡ 2 微視的モデル 熱浴 と相互作用す る調和振動子 を考 える｡系のハ ミル トニアンは Ht o t-Ho +入Hl , Ho -Hs+HR , ( 1 ) と与えられ る｡ただ し,Hs お よびHR はそれぞれ注 目す る振動子お よび熱浴の 自由ハ ミル トニア ンで,( 8 ) を満たす｡ NE TF Dでは,演算子 a , a I , b k, b tの他 にテ イル ド付き演算子丘 , a t , 5 k 湖 を考える.ただし, テイル ド 共役-は次のよ うに定義 され る｡ ( AI A2) --AI A2, -36 2-( 9 ) ｢ 第 6回 『 非平衡系の統計物理』 シンポジウム｣ ( c I Al +C 2 A2 ) --C ; Al +C 芸 Å 2 , ( A) --A, ( AI) --A t .Al , A 2お よび Aは演算子, c l お よびC2はC 一 数である.以下では,( a , a I , a , a I ) の表現空間を7 t sと 記 し,( b k , 舶 k , b i ) の表現空間を砧 と記す ことにす る.
｢ 第9回 『 非平衡系の統計物理』 シンポジウム｣ • • Ra p i d l yd e c a y l n gS p l nS y s t e m b a s e do nt h es t o c h a s t i cl i mi ta p p r o a c h 早稲 田大学 理工学研究科 木村 元, * 1湯浅 一哉* 2 ローマ第二 ヴ オルテラ研 究所 今福 健太郎* 3 散逸現象 な どの不可逆過程 を, 時間反転対称性 をもつ量子論 に基いて記述で きるか否か とい う問題 は, 非平衡統計力学の基礎 のほか量子論 における観測問題 とも係 わ り興味深 く重要なテーマである.この問題 に対す る標準的 なアプローチ としては, 対象系 と相互作用す る環境系 を考慮 に入れる方法 があ る.つ ま り,仝体系一一 " 対 象系" +" 環境系" -を閉 じた系 として量子論 を展 開 し, 改 めて対象系 の ダイナ ミクス ( R e d u c e dD y n a mi c s ) を抽 出す る.この とき環境系の 自由度が無限大であ ることを想 定する と, 対象系の不可逆 な振舞 いが導かれ るのである 川. 量子光学では, 例 えば電磁場 の環境下 にある原子の振舞 いに興味がある.そこで扱 う仝体系ハ ミル トニア ンは Ht .t-Hs+ A V+HB (1) である.ただ し, Hs , HB はそれぞれ原子系, 電磁場のハ ミル トニア ンであ り, 両者 間の相互作用 入 V は電磁相互作用 であるため了トさい結合定数 ( 入≪ 1 ) が想定 される.一方で, 全体系ハ ミル トニア ン が式 ( 1 )とは異 なるスケー リングを持つ Ht .t-' 2 Hs+ A V+HB ( 2 ) とい う系 も興味深 い.ただ し,入 2 Hs , J I B, 入 V はそれぞれ対象系,環境系, 相互作用のハ ミル トニア ンであ り, 入≪ 1 .この系で は,弱相互作用系 である式 ( 1 )のハ ミル トニ ア ンか ら導 かれ る遅 い緩和 に比べ て " 速い緩和 ( R a p i dDe c a y ) "が導かれ ることになる.本稿で着目す るのは この スケー リング の系である.具体的 にス ピン ･ボ ソン系 [ 2 ] を例 にと り,ハ ミル トニ ア ン ( 2 ) の系 に見 られ る興味深 い構造 を紹介 しよう.式 ( 1 ) の系か ら散逸過程 を導 く有力 な手法 としては v a nH o v e 極 限 ( A-0 , T-入 2 t ' 固定)[ 3 ] が 有名である.弱結合極限と時 間の スケール変換 とを同時 に行 な うことで, 指数関数的散逸 を導 くこと がで きる.また,この方法 に基礎 を置 く確率極 限 ( S t o c h a S t i cL i mi t )[ 4 1とい う強力 な手法があるが, 最近我 々は,ハ ミル トニ ア ン ( 2 ) の系 に対す る確率極 限の枠組み を新 たに構築 した 【 5 ト 本稿では,
m Th e r moF i e l dDy n a m i c s( NE TF D)[ 1 ] -[ 4 】と名付け られ た,非平衡量子系 を扱 う正準理論を紹介する｡ これは,散逸量子系 を扱 う一貫 した ( 非平 衡系統計力学でのすべての基本的概念,すなわち,B o l t z ma nn方程式,F o k k e r -P l a n c k方 程式,L a n g e v i n方程式,確率 L i o u v i l l e方程式'で代表 される見方 を,一つの土俵で議論 で きるとい う意味で) , しかも,量子力学や場の量子論で学んだ,自然認識の基本である 演算子代数 と表現空間 とい う二重構造を供えた理論体系である｡ NE TF Dの表現空間 ( 熱空間,t h e r ma l s p a c e ,と名付け られた)は,2つの Hi l b e r t 空 間の直積で構成 されている.1つばn o n -t i l d e場,もう 1つは t i l d e場の H i l b e r t 空間で ある.NE TF Dでは,いかなる演算子 A にもその髄伴演算子 ( t i l d e演算子)A が伴 って いる｡t i l d e共役,-,は, ( AI A2 ) --AI A2 , ( c I Al + C 2 A2 ) --C ; il + C ; 12 , ( i) --A, ( AI ) --〟 , p h H 一 G i - ー n u p n u 1 2 3 4 l H I U ■ H t L Hi ヨ l H は ■ 川 U で定義 される｡ただ し, c l や C 2 は, c数である.S c h r 6 d i n g e r表現では,t i l d e演算子 と n o 凪 -t i l d e 演算子は,互いに可換である : l A, B ] -0 .( b 5 ) 散逸は,直積 H i l b e r t 空間全体での回転,すなわち,t i l d e 演算子 とn o n -t i l d e 演算子 を 交ぜ るような回転 として捕 らえられることが明 らかになった｡無限小時間発展演算子の中 の t i l d eとn o n -t i l d e 場が掛っている項が,散逸 ( すなわち,非可逆)現象 を司っているの である｡この点は,NE TF Dが建設 されて初めて認識 された 【 1 , 2 】 ｡ I ' 古典系での確率 L i o u v i l l e 方程式 は,久保 【 5 , 6 】 により初めて導入 された｡ I この認識 は, G i b b Sアンサ ンブルを定式化 した熱平衡系 の T F Dl 7 】にはなか った｡そこには,散逸は 現れない｡この点が, N B T F DとT F Dとの本質的な違いのひとつである｡Z u b a r e v が, N E T F Dの方法を 賞賛 し,非平衡量子現象の研究 に用 い始めたことに,ここで言及 させていただきたい 【 8 】 .-3 1 1 研究会報告 B o l t z ma n nは,微視的で可逆 な Ne wt o n力学か ら出発 して, 自然界 の非可逆性 を導出 しようとした.しか し,B o l t z ma n n方程式 を導 く際 に,分子混沌 と呼 ばれる確率操作 を, 知 らず に導入 していたことが判明 したのである ( その辺のか ら くりの簡単 な解説は,【 9 ] を 参照のこと) ｡我 々の新 しい方法が見通 しの良い ものである とい う技術的 な面 ばか りでな く,散逸量子場の理論 としてのその二重構造が,B o l t z ma nnの初め措 いた夢 を,何等かの 意味 で実現 させ るのではないか, とい う期待 が湧いて くる.B o l t z ma n nの時代 には, こ の二重構造 は認識 されていなか ったのである｡ 詳 しい NE TF D の解説 と参考 文献 は 【 4 ]を参照 して頂 くと して,s e m i -f re e時間発展 演算子 ( 量子 F o k k e r -P l a n c k方程式 と,定常的量子 Wi e n e r 過程 に従 う量子確率 L i o u v i l l e 方程式,それぞれに関する もの)が,い くつかの基本的要請の元 に,如何 に して創 られる かを示す.S e mi -f r e e時間発展演算子は,双線形で大域的ゲージ不変性 を満 たす ものであ る｡以下,散逸量子系 の正準理論が,前者の時間発展演算子 によって如何 に創 られるかを 紹介 し,量子系確率微分方程式の一貫 した体系が,如何 に して建設 されるか を示す ( 図 2 参照 ) ｡そ うす ると,量子散逸系の方程式 に纏 わる次の ような基本的 な疑問が,解決 され ることが見 えて くる ( 量子系 L a n g e v i n方程式 に対す る問題提起 に関 しては,【 1 0 】も参照 の こと) 0 ql .量子散逸系 を扱 う正準理論 ( つ まり,時間発展が正準変換 で誘起 される)は,建 設可能 だろ うか ?考 え もな しに a ( i ) -a e ( i w+A ) i , a I ( i ) -a † e ( t ' U-A ) i ,の ようにエネルギー ･ スペ ク トルに虚数部 を導入するだけでは,同時刻交換関係 は, け っ して保存 されない : l a ( i ) , a I ( i ) ] -l a , a † 一 e 加 t ( 7 ) Q2 ･ 揺動力演算子 は KMS条件 [ 1 1 , 1 2 】を満 たせ ないので,量子系 では白色過程 は許 されない と言われている｡ た とえば,L a n g e v i n方程式 孟 a ( i ) -i d a ( i ) 一項 ･佃 ( 8 ) 孟 a ' ( i ) -i wa t ( i ) -n at ( i ) II-T ( i ) , ( 9 ) を考 えてみ よう｡ただ し,f C は,摩擦係数である.また,a( i )ta t ( i ) は,それぞれ Hi l b e r t 空間の消滅,生成確率演算子で,i -0に正準交換関係 を満たす もの とする :( 【 a ( i ) , a I ( i ) ] ) -1 .( 1 5 )S c h r 6 d i n g e r 表現でなされるべ きである｡それでは,La n g e v i n方程式に現 れる揺動 力の相関 と して,はた して,S c h r 6 d i n g e r表現 と同 じもの を採用 して長いのであろ うか ?q4 .如何 に して,確率過程の表現空間 を建設 した ら良いのであろ うか ?時間発展演算子の一般形 は,本質的 に L i o u v i l l e方程式 孟 p ( i ) --i L p ( i ) , に関る次の性質か ら導 きだ された｡ Dl .L i o u v me演算子のエル ミー ト性 : L f =L.