Tässä tutkielmassa perehdytään magian rooliin universaalissa kvanttilaskennassa. Magialla tarkoitetaan tiettyjen kvanttitilojen antamaa laskennallista etua klassisiin tietokoneisiin verrattuna [1], ja tästä syystä sitä pidetään olennaisena resurssina universaalissa virhesietoisessa (eng. fault tolerant) kvanttilaskennassa [2]. Tässä tutkielmassa lähdetään liikkeelle tarvittavista perustiedoista: Hilbertin avaruus, kvanttiportit, kvanttipiirit ja mittaukset standardikannassa. Tämän jälkeen määritellään tarkasti tehokas klassinen laskenta. Kvanttialgoritmeista annetaan konkreettinen esimerkki, minkä jälkeen muotoillaan stabilisaattoriformalismi ja tehokkaasti klassisesti simuloitavat kvanttipiirit. Tutkielman toisessa osiossa tarkastellaan magian osuutta universaalissa kvanttilaskennassa. Ensin osoitetaan maagiset kvanttiportit ja niiden tarpeellisuus universaalissa kvanttilaskennassa. Seuraavaksi tarkastellaan kvanttiresurssiteorian perusteita, josta päästään magian resurssiteoriaan ja maagisten monotonien määrittelemiseen. Tutkielman kannalta tärkeimmäksi monotoniksi on valittu stabilisaattori 2-Rényi entropia, joka voidaan kokeellisesti mitata satunnaistetun Clifford-mittausprotokollan avulla. Toinen osio päättyy magian, eli stabilisaattori 2-Rényi entropian mittausmenetelmän esittelemiseen. Kolmas osio on osoitettu stabilisaattori 2-Rényi entropian mittaamiseen kvanttisysteemissä, jonka maagisten porttien määrää kasvatetaan. Mittausprotokolla toteutetaan ensin kokonaisuudessaan simuloidussa ympäristössä, jossa puhtaiden tilojen magian määrä kasvaa odotetusti suhteessa maagisten porttien määrään nähden. Simuloituja mittauksia seuraavat mittaukset AaltoQ20 -kvanttitietokoneella sekoitetuille tiloille. Mittaukset osoittavat stabilisaattori 2-Rényi entropian olevan monotoninen, mutta ei vahvasti monotoninen.
Tässä tutkielmassa perehdytään magian rooliin universaalissa kvanttilaskennassa. Magialla tarkoitetaan tiettyjen kvanttitilojen antamaa laskennallista etua klassisiin tietokoneisiin verrattuna [1], ja tästä syystä sitä pidetään olennaisena resurssina universaalissa virhesietoisessa (eng. fault tolerant) kvanttilaskennassa [2]. Tässä tutkielmassa lähdetään liikkeelle tarvittavista perustiedoista: Hilbertin avaruus, kvanttiportit, kvanttipiirit ja mittaukset standardikannassa. Tämän jälkeen määritellään tarkasti tehokas klassinen laskenta. Kvanttialgoritmeista annetaan konkreettinen esimerkki, minkä jälkeen muotoillaan stabilisaattoriformalismi ja tehokkaasti klassisesti simuloitavat kvanttipiirit. Tutkielman toisessa osiossa tarkastellaan magian osuutta universaalissa kvanttilaskennassa. Ensin osoitetaan maagiset kvanttiportit ja niiden tarpeellisuus universaalissa kvanttilaskennassa. Seuraavaksi tarkastellaan kvanttiresurssiteorian perusteita, josta päästään magian resurssiteoriaan ja maagisten monotonien määrittelemiseen. Tutkielman kannalta tärkeimmäksi monotoniksi on valittu stabilisaattori 2-Rényi entropia, joka voidaan kokeellisesti mitata satunnaistetun Clifford-mittausprotokollan avulla. Toinen osio päättyy magian, eli stabilisaattori 2-Rényi entropian mittausmenetelmän esittelemiseen. Kolmas osio on osoitettu stabilisaattori 2-Rényi entropian mittaamiseen kvanttisysteemissä, jonka maagisten porttien määrää kasvatetaan. Mittausprotokolla toteutetaan ensin kokonaisuudessaan simuloidussa ympäristössä, jossa puhtaiden tilojen magian määrä kasvaa odotetusti suhteessa maagisten porttien määrään nähden. Simuloituja mittauksia seuraavat mittaukset AaltoQ20 -kvanttitietokoneella sekoitetuille tiloille. Mittaukset osoittavat stabilisaattori 2-Rényi entropian olevan monotoninen, mutta ei vahvasti monotoninen.
Kvanttilaskennan eräs ongelma on kvanttisysteemien herkkyys ulkopuolisille vaikutuksille, eli dekoherenssille. Tämä tekee systeemin koherenssista resurssin, jota voidaan käyttää suorittamaan haluttuja toimintoja. Tutkielma alkaa johdannolla lineaarialgebraan ja kvanttimekaniikan perusteisiin, jotta kvanttilaskentaa voidaan mallintaa. Tätä seuraava osuus käsittelee kvanttilaskentaa ja alkaa esittelemällä kubitit, korostaen näiden ja klassisten bittien eroavaisuuksia. Lisäksi esitellään intuitiivinen tapa ajatella yksittäisiä kubitteja, Blochin pallo. Osio jatkuu esittelemällä kvanttiportit jälleen korostaen näiden eroavaisuuksia klassisisiin portteihin. Tämän jälkeen käsitellään kvanttilaskennan erittäin oleellinen eroavaisuus klassisen laskennan välillä, nimittäin mittaus, joka muuttaa alla olevan kvanttisysteemin tilaa ja täten vaikuttaa kvanttilaskennan tulokseen, mikäli mittaus tehdään kesken laskennan. Osuus päätetään esittelemällä yleisesti käytetty tapa mallintaa kvanttilaskentaa, kvanttipiirit. Kolmannessa osiossa kehitellään kvanttilaskennalle universaalien kvanttiporttien käsite. Tarkastelu aloitetaan kaksitasoisilla matriiseilla, jotka myöhemmin samaistetaan kvanttiportteihin. Osiossa myös kehitellään Blochin pallosta intuitiota kvanttiportteja vastaaviin kiertoihin. Tämän jälkeen esitetään tapa luoda mikä tahansa yhden kubitin portti kahdella kierrolla. Seuraavaksi osoitetaan, että tällaisella porttijoukolla ja kontrolloidulla NOT-portilla voidaan luoda mikä tahansa kvanttiportti. Lopuksi muodostetaan universaali porttijoukko. Lopuksi käydään koherenssin resurssiteoriaa. Ensiksi käydään vaaditut valmistelut kvanttioperaattoreista ja kvanttisysteemin entropiasta, jota varten esitellään von Neumannin entropia. Tämän jälkeen erotellaan kvanttisysteemin epäkoherentit tilat ja operaatiot koherenteista tiloista ja operaatioista sekä osoitetaan, että epäkoherenteilla operaatioilla ja yhdellä maksimaalisesti koherentilla kubitilla voidaan luoda mikä tahansa kvanttiportti. Lopuksi todistetaan, että systeemin tiheysmatriisin ja tiheysmatriisin diagonaalin välinen suhteellinen entropia on koherenssimitta.
Tutkielman aluksi kerrataan kvanttiteorian perusteet. Tämän jälkeen annetaan yksinkertaiset esimerkit diskreeteistä ja ääretönulotteisista systeemeistä ja niiden matematiikasta. Ääretönulotteisille systeemeille muodostetaan jatkuva faasiavaruusformalismi käyttäen Lien algebrojen ja ryhmien teoriaa. Määritellään gaussiset tilat ja tarkastellaan niiden vahvuuksia ja heikkouksia faasiavaruusformalismin sekä kvanttiinformaation sovelluksien kannalta. Johdetaan Wignerin funktio usealle esimerkille sekä käydään läpi Williamsonin ja Blochin-Messiahin matriisihajotelmat ja niiden merkitys gaussisiin tiloihin ja -operaatioihin liittyen. Määritellään ei-gaussiset tilat ja esitellään joitain niiden karakterisointiin käytettyjä mittoja ja tilojen kvanttiresursseja. Esimerkkien kautta tarkastellaan miten fotoneja lisäämällä tai poistamalla gaussisesta tilasta voidaan saavutaa Wignerin funktion negatiivisuutta omaava ei-gaussinen tila. Lisättyjen ja poistettujen fotonien tiloja tutkitaan tarkemmin käyttäen apuna Wickin todennäköisyyslausetta ja graa_teoriaa. Selvitetään miten näiden tilojen operaattorimomenttien laskeminen voidaan antaa graa_n hafnianin muodossa. Tunnistetaan yhteys hafnianin laskemiseen liittyvän uniikkien termien määrän osaongelman ja graa_en nimeämisiin liittyvien ongelmien välillä. Lopuksi tehdään yhteenveto käsitellyistä aiheista ja pohditaan miten esiin tulleet asiat ja käytetty matematiikka voisivat vaikuttaa jatkossa kvanttialgoritmien kehitykseen.
Tämän kandidaattitutkielman tavoitteena on antaa yleiskatsaus kvanttisalauksesta. Tutkielmasta tekee merkittävän suomenkielisen kirjallisuuden puute kvanttimekaniikan sovelluksista, kvanttilaskennasta ja etenkin kvanttisalauksesta. Kvanttilaskennan yleistyessä klassiset salausmenetelmät joutuvat kohtaamaan uudenlaisia hyökkäysriskejä. Tutkielma osoittaa lukijalle miksi klassiset kryptografiset menetelmät eivät ole tehokkaita kvanttilaskennallisia menetelmiä vastaan. Tutkielmassa korostuu kvanttisalauksen tärkeys yhteiskunnassa tulevaisuuden tietoturvan takaamiseksi. Tämä kirjallisuuskatsaus tutkii kvanttisalausta yleisestä näkökulmasta ja pyrkii antamaan lukijalle kattavan kuvauksen kvanttisalauksesta syventymättä aiheen matemaattiseen perustaan. Kvanttisalaus on kansainvälisesti laajasti tutkittu aihe, josta on olemassa runsas englanninkielinen kirjallisuus. Tässä tutkielmassa kootaan yhteen kvanttisalausta käsittelevää kirjallisuutta ja vertaillaan kahta eri turvaprotokollaa. Tutkielmassa osoitetaan, kuinka kvanttimekaniikka on kytköksissä kvanttilaskentaan ja kvanttisalaukseen. Kvanttisalaukseen syvennytään tarkastelemalla kvanttikanavien toteutusta kvanttisalausjärjestelmässä. Turvaprotokollia vertaillaan keskenään ja lopuksi tarkastellaan BB84-turvaprotokollan implementointia kvanttisalausjärjestelmässä. Kvanttisalauksen toteutusta tutkimalla tämä kirjallisuuskatsaus antaa selkeän kuvan kvantti-salausjärjestelmistä ja niiden käytännön sovelluksista. Kvanttilaskentaa on tutkittu pitkään ja useat läpimurrot kuten Shorin ja Groverin algoritmit julkaistiin jo 1900-luvun loppupuolella. Kirjallisuuskatsauksessa tutkitaan tämän vuoksi niin vanhoja kuin uusiakin julkaisuja. Tutkielman tulokset osoittavat kvanttisalauksen olevan lupaava teknologia, joka voi mullistaa kryptografian alan tulevaisuudessa. Kvanttitietokoneiden mahdollinen vaikutus nykyiseen kryptografiseen infrastruktuuriin on vakava huolenaihe, joka ansaitsee laajaa huomiota. Viimeaikaiset hyökkäykset kuten psykoterapiakeskus Vastaamoon ja Helsingin kaupunkiin kohdistuneet tietomurrot osoittavat, että vihamielisistä tekijöistä ei ole puutetta. Tutkielman tulokset ilmaisevat tarvetta luoda selkeä suunnitelma nykyisen yhteiskunnan tietoturvajärjestelmien vahvistamiseksi kvanttilaskennan mahdollistamia hyökkäyksiä vastaan
Tässä kirjallisuuskatsauksena toteutetussa tutkielmassa tarkastellaan ionisoivan säteilyn vaikutuksia kvanttitietokoneiden elektroniikkaan. Tutkielman tavoitteena on selvittää, miten ionisoiva säteily vaikuttaa suprajohtaviin kubitteihin ja millaisia virheitä se aiheuttaa kvanttilaskennassa. Lisäksi tutkielma käsittelee kvanttilaskennan kannalta olennaisia käsitteitä ja fysikaalisia ilmiöitä, jotka ovat välttämättömiä aiheen tieteellisemmän käsittelyn kannalta. Erityisesti perehdytään kosmisesta säteilystä peräisin olevien myonien ja ympäristön radioaktiivisten alkuaineiden hajoamistuotteina syntyvien γ-säteiden vaikutuksiin suprajohtavassa kubitissa. Tutkielmassa huomataan ionisoivan säteilyn aiheuttavan kvanttilaskennassa relaksaatio-, vaihe-ero- ja korreloituja virheitä, mutta erityisesti korreloitujen virheiden aiheuttavan haasteita virheenkorjausmenetelmissä. Tutkielmassa myös käsitellään virheenkorjausmenetelmiä ja ratkaisuja säteilysuojaukseen. Tutkielman perusteella voidaan todeta ionisoivan säteilyn vaikutusten ymmärtämisen olevan tärkeää vikasietoisen kvanttilaskennan kehittämiseksi. Tulokset osoittavat myös, että tarvitaan lisätutkimusta korreloitujen virheiden suojausmekanismien kehitykseen.
Kvanttimekaaniseen laskentaan perustuvalla uudenlaisella tietokoneella, kvanttitietokoneella, on potentiaalia kyetä ratkaisemaan tiettyjä monimutkaisia ongelmia, joihin parhaiden supertietokoneidenkaan laskentateho ei riitä. Tästä syystä toimivaa kvanttitietokonetta ja sen laskentayksikköä, kubittia, kehitetään nykyään lukuisissa yliopistoissa ja yrityksissä ympäri maailmaa. Yksi lupaavimmiksi osoittautuneista menetelmistä on käyttää kubittina suprajohtavaa virtapiiriä, josta voidaan muodostaa makroskooppinen kvanttimekaaninen kaksitilasysteemi. Nopean laskennan mahdollistamiseksi yhden kubitin operaatiot eli kvanttiportit on toteutettava nopeilla pulsseilla. Riittävän tarkan operaation saavuttamiseksi suprajohtaville kubiteille käytetään usein heikkoa kapasitiivista kytkentää ulkoiseen resonaattoriin, jolloin tavoiteltu nopeus saavutetaan pulssin tehoa kasvattamalla. Suuri teho voi kuitenkin aiheuttaa kubitin lämpenemistä, mikä heikentää sen koherenssia sekä operaation tarkkuutta. Tässä työssä ongelman ratkaisuksi esitetään kubitin ajamista tyypillisen resonanssialueen sijaan epäresonanssissa, jolloin pulssin kesto on mahdollista saada lyhenemään hyvin nopeasti ajotehon kasvaessa. Lisäksi epäresonanssiajossa kubitin ja ulkoisen resonaattorin väliin voidaan lisätä kubitin taajuuden estävä suodatin, mikä parantaa kubitin elinaikaa merkittävästi. Työssä tutkitaan numeerisesti simuloiden kahden epäresonanssimenetelmän, aliharmonisen ajon sekä kahta ajotaajuutta hyödyntävän nk. kahden taajuuden ajon, toimivuutta unimon-kubitilla, joka on Aalto-yliopistossa kehitetty lupaava suprajohtava kubitti. Tuloksia verrataan unimonin resonanssiajoon. Tulokset osoittavat, että tutkituissa epäresonanteissa ajoalueissa kvanttiportin nopeutta voidaan kasvattaa vain pienellä lisäyksellä ajojännitteeseen, mikä vahvistaa epäresonanssiajon potentiaalia resonanssiajoon nähden. Unimonille lupaavimmalta ajomenetelmältä vaikuttaa kahden taajuuden ajo, sillä tällä menetelmällä saavutetaan lähes resonanssiajoa vastaava porttien tarkkuus. Tarkkuutta voidaan yhä parantaa optimoimalla käytettäviä ajotaajuuksia, jolloin kahden taajuuden ajo nousee vahvuuksiensa ansiosta erittäin varteenotettavaksi menetelmäksi unimonin ajamiseen.
TiivistelmäTutkimuksen avulla selvitettiin, mitä malleja opettajat ja opettajaopiskelijat käyttävät selittäessään kvantti-ilmiöitä ja -olioita Joensuun fysiikan ja matematiikan laitoksen fysiikan opettajalinjan syventäviin opintoihin kuuluvan Modernia fysiikkaa opettajille -kurssin aikana.Käsiteltyjä kvantti-ilmiöitä ovat mustan kappaleen säteily sekä valosähköinen ja Comptonin ilmiö; kvanttiolioista tarkastellaan elektronia ja fotonia.Lisäksi tutkittiin, miten osallistujat kokevat kurssin ja käytetyn tavanomaisista yliopistofysiikan opetusmenetelmistä poikkeavan, osallistujien ennakkotietoa hyödyntäville tehtäville rakentuvan opetuksen lähestymistavan.Modernia fysiikka opettajille -kurssi toteutettiin tutkimuksen aikana kahdesti.Ensimmäiselle kurssille osallistuneista kahdeksasta opiskelijasta seitsemän opiskeli fysiikkaa ja yksi matematiikkaa pääaineenaan.Kurssi toteutettiin kontaktiopetuksena, jossa luentoja ja harjoituksia oli kuusi viikkotuntia yhdeksän viikon ajan.Toisen kurssin osallistujat olivat fysiikan pätevöittämiskoulutuksessa opiskelevia työssä olevia aineenopettajia.Opetus järjestettiin monimuoto-opetuksena, joka koostui kuukausittaisesta neljän tunnin lähiopetuksesta sekä etäopiskelusta.Kaikkineen kurssi kesti yhdeksän kuukautta.Tutkija toimi molempien kurssien opettajana.Tutkimustehtävän vastaukset muodostettiin tapaustutkimuksen tutkimustraditiota hyödyntävästi.Olihan tutkimuksen tavoitteena aineenopettajien ja opettajaopiskelijoiden kvanttifysiikan oppimisprosessien syvällinen ymmärtäminen.Tutkimuksessa raportoidaan kahden tapausopiskelijan ja kahden tapausopettajan oppimisprosessit.Näitä lähtökohdiltaan erilaisia tapausoppijoita haastateltiin 4-5 kertaa kurssin aikana, minkä lisäksi he osallistuivat esi-ja lopputesteihin.Aineiston analysointia varten audio-ja videonauhoitetut haastattelut digitoitiin ja litteroitiin.Oppijoiden esille tuomien käsitysten ja mallien analysointi suoritettiin fysiikan näkökulmasta käsin.Muodostetut tulokset osoittavat, että tutkimuksen kohteena olleet henkilöt eivät käyttäneet jäsentyneesti ja johdonmukaisesti tieteellisiä malleja.Usein oppijoiden kvantti-ilmiöiden ja -olioiden kuvaamiseen käyttämät mallit muodostuivat useiden erillisten mallien ominaisuuksista: mallit olivat niin sanottuja hybridimalleja.Erityisesti ongelmana vaikutti olevan klassisten ja kvanttimallien sekoittuminen, joten oppijoiden esittämien mallien voidaan sanoa olevan eriytymättömiä.Mallin soveltamisen vaikeudet saattoivat johtua mallin ja todellisuuden välisen suhteen ymmärtämisen ongelmista, ja myös mallista kohteeseen siirtyvien ominaisuuksien hahmottaminen osoittautui erääksi kvanttifysiikan oppimisen ongelmakohdaksi.Lisäksi oppijan aiemman klassisen ja kvanttifysiikan tiedon epäkoherenssi vaikeutti uuden tiedon omaksumista.Toimimattomista malleista tai periaatteista luopuminen näyttää olevan oppijalle vaativa prosessi, joka vaatii oppijalta omien mallien metatason tarkastelua.Aineenopettajien ja opettajaopiskelijoiden suhtautuminen kurssiin ja sen menetelmiin oli pääosin myönteistä.Opettajilta tehtävien varaan rakentuva opetus sai sekä kiitosta että moitetta: opetusmenetelmän koettiin positiivisessa mielessä pakottavan perehtymään opiskeltaviin aiheisiin, mutta se koettiin myös työlääksi.Sekä opettajat että opiskelijat korostivat omakohtaisen pohtimisen tärkeyttä kurssin aiheiden oppimisessa.Opettajaopiskelijat arvostivat myös opetuksen vaihtelevuutta.Tulokset osoittavat, että fysiikan opettajaopinnoissa ja täydennyskoulutuksessa on todellinen kvanttifysiikan erikoiskurssin tarve.Tutkimukseen osallistuneiden opettajaopiskelijoiden ja aineenopettajien kvantti-ilmiöiden ja -käsitteiden hallinta oli vaatimatonta tasoa aiempien, perinteisten kvanttifysiikan kurssien jälkeen, mutta se parani selvästi kurssilla.Tutkimuksen tulokset myös muistuttavat oppijoiden ennakkotiedon huomioimisen tärkeydestä opetuksessa.Fysiikan opintojensa loppuvaiheessa olevilla opiskelijoilla kuten myös kokeneilla opettajilla voi esiintyä tieteellisen näkemyksen vastaisia käsityksiä.Myös heidän aiempi sisältöä koskeva tietonsa voi olla puutteellista.Tutkimuksen mukaan myös vaikeana pidetyn kvanttifysiikan opetuksessa on mahdollista päästä hyviin oppimistuloksiin lähtemällä liikkeelle oppijoiden ennakkotiedoista, tukemalla oppijoiden metakognitiivisten taitojen kehittymistä ja huomioimalla fysiikan malliluonne.Mainittuja tekijöitä voidaan pitää myös yleisinä laadukkaan fysiikan opetuksen kulmakivinä.