Challenges
Datasets
Workspaces
Papers
Discussions
Leaderboard
Log inSign up
Challenges
Datasets
Workspaces
Papers
Discussions
Leaderboard
Blog
Job Board
Q3AS

© 2026 Aqora Quantum S.A.S.

TermsPrivacyLegal Notice

Konveksit rakenteet ja ääripisteet kvanttimekaniikassa

Erkka Haapasalo

Published Feb 8, 2011• 0 citations
OpenAlex

Abstract

Tässä tutkielmassa tarkastellaan joidenkin kvanttimekaniikan perusjoukkojen, tila-, efekti- ja etenkin suurejoukon, konveksia rakennetta ja ääripisteitä. Myös operaatioja instrumenttijoukkojen rakennetta käsitellään lyhyesti. Näiden konveksien rakenteiden ja niiden ääripisteiden fysikaalista merkitystä on pyritty valottamaan. Erityisesti tutkielma keskittyy kovarianttien suureiden problematiikkaan ja kovarianssirakenteiden ääripisteiden karakterisointiin. Keskeiset tulokset liittyvät lokaalisti kompaktien Abelin ryhmien määräämien kovarianssirakenteiden analyysiin ja ääripisteisiin. Tästä käsitellään esimerkkeinä kovariantteja paikka- ja vaihesuureita ja paikkaerosuureita. Tila- ja efektijoukkojen ääripisteet on tunnettu jo pitkään, mutta äärisuureiden problematiikka on yleisellä tasolla ollut vielä viime aikoihin asti hämärän peitossa. Äärioperaatioiden ja -instrumenttien tyhjentävää karakterisointia ei vielä ole, mutta tutkielmassa esitellään joitakin erityistuloksia tästäkin aiheesta.

Related papers

Kvanttisalaus : Turvaprotokollat ja käytännön sovellukset

Taisto Tammilehto

Tämän kandidaattitutkielman tavoitteena on antaa yleiskatsaus kvanttisalauksesta. Tutkielmasta tekee merkittävän suomenkielisen kirjallisuuden puute kvanttimekaniikan sovelluksista, kvanttilaskennasta ja etenkin kvanttisalauksesta. Kvanttilaskennan yleistyessä klassiset salausmenetelmät joutuvat kohtaamaan uudenlaisia hyökkäysriskejä. Tutkielma osoittaa lukijalle miksi klassiset kryptografiset menetelmät eivät ole tehokkaita kvanttilaskennallisia menetelmiä vastaan. Tutkielmassa korostuu kvanttisalauksen tärkeys yhteiskunnassa tulevaisuuden tietoturvan takaamiseksi. Tämä kirjallisuuskatsaus tutkii kvanttisalausta yleisestä näkökulmasta ja pyrkii antamaan lukijalle kattavan kuvauksen kvanttisalauksesta syventymättä aiheen matemaattiseen perustaan. Kvanttisalaus on kansainvälisesti laajasti tutkittu aihe, josta on olemassa runsas englanninkielinen kirjallisuus. Tässä tutkielmassa kootaan yhteen kvanttisalausta käsittelevää kirjallisuutta ja vertaillaan kahta eri turvaprotokollaa. Tutkielmassa osoitetaan, kuinka kvanttimekaniikka on kytköksissä kvanttilaskentaan ja kvanttisalaukseen. Kvanttisalaukseen syvennytään tarkastelemalla kvanttikanavien toteutusta kvanttisalausjärjestelmässä. Turvaprotokollia vertaillaan keskenään ja lopuksi tarkastellaan BB84-turvaprotokollan implementointia kvanttisalausjärjestelmässä. Kvanttisalauksen toteutusta tutkimalla tämä kirjallisuuskatsaus antaa selkeän kuvan kvantti-salausjärjestelmistä ja niiden käytännön sovelluksista. Kvanttilaskentaa on tutkittu pitkään ja useat läpimurrot kuten Shorin ja Groverin algoritmit julkaistiin jo 1900-luvun loppupuolella. Kirjallisuuskatsauksessa tutkitaan tämän vuoksi niin vanhoja kuin uusiakin julkaisuja. Tutkielman tulokset osoittavat kvanttisalauksen olevan lupaava teknologia, joka voi mullistaa kryptografian alan tulevaisuudessa. Kvanttitietokoneiden mahdollinen vaikutus nykyiseen kryptografiseen infrastruktuuriin on vakava huolenaihe, joka ansaitsee laajaa huomiota. Viimeaikaiset hyökkäykset kuten psykoterapiakeskus Vastaamoon ja Helsingin kaupunkiin kohdistuneet tietomurrot osoittavat, että vihamielisistä tekijöistä ei ole puutetta. Tutkielman tulokset ilmaisevat tarvetta luoda selkeä suunnitelma nykyisen yhteiskunnan tietoturvajärjestelmien vahvistamiseksi kvanttilaskennan mahdollistamia hyökkäyksiä vastaan

•Jan 1, 2024•0 citations

Tietoturva ja kvanttiturvalliset toteutukset ajoneuvoissa

Oiva Kupila

Kvanttilaskennan yleistyminen tuo ongelmia ajoneuvojen tietoturvallisuuteen, sillä kvanttilaskennalla on mahdollista murtaa ajoneuvojen nykyisin käyttämät salausprotokollat. Kvanttilaskentaa ei toistaiseksi ole tarjolla kaupallisilla markkinoilla, mutta kiihtyvän kehityksen takia on vain ajan kysymys milloin kvanttilaskentaa voidaan myydä kuluttajille ja alkaa hyödyntäämään myös laittomiin aikeisiin. Tutkielmassa käsitellään millaista vaaraa kvanttilaskennan yleistymisestä syntyy erilaisille ajoneuvoille ja mikä olisi toimiva keino paikata kvanttilaskennan tuomia tietoturva-aukkoja käyttäen kvanttiturvallisia protokollia. Tutkielmassa pohditaan myös kuinka ajoneuvovalmistajat ovat varautuneet kvanttilaskennan tuomiin uhkiin ja kuinka valmiita ne ovat siirtymään käyttämään kvanttiturvallisia menetelmiä. Tutkielma on toteutettu kirjallisuuskatsauksena. Tulokset näyttävät, että kvanttilaskennan yleistyminen vaarantaa koko tietyn ikäisen ajoneuvokannan. Kävi myös ilmi, että hilarakenteiseen kryptografiaan pohjautuvat ratkaisut ovat suosituimpia kehitteillä olevia salausprotokollia ja ajoneuvoteollisuus on valmis siirtymään kvanttiturvallisiin protokolliin standradoinnin valmistuessa.

•Sep 14, 2026•0 citations

Ionisoivan säteilyn vaikutuksia kvanttitietokoneiden elektroniikkaan

Inka Pajula

Tässä kirjallisuuskatsauksena toteutetussa tutkielmassa tarkastellaan ionisoivan säteilyn vaikutuksia kvanttitietokoneiden elektroniikkaan. Tutkielman tavoitteena on selvittää, miten ionisoiva säteily vaikuttaa suprajohtaviin kubitteihin ja millaisia virheitä se aiheuttaa kvanttilaskennassa. Lisäksi tutkielma käsittelee kvanttilaskennan kannalta olennaisia käsitteitä ja fysikaalisia ilmiöitä, jotka ovat välttämättömiä aiheen tieteellisemmän käsittelyn kannalta. Erityisesti perehdytään kosmisesta säteilystä peräisin olevien myonien ja ympäristön radioaktiivisten alkuaineiden hajoamistuotteina syntyvien γ-säteiden vaikutuksiin suprajohtavassa kubitissa. Tutkielmassa huomataan ionisoivan säteilyn aiheuttavan kvanttilaskennassa relaksaatio-, vaihe-ero- ja korreloituja virheitä, mutta erityisesti korreloitujen virheiden aiheuttavan haasteita virheenkorjausmenetelmissä. Tutkielmassa myös käsitellään virheenkorjausmenetelmiä ja ratkaisuja säteilysuojaukseen. Tutkielman perusteella voidaan todeta ionisoivan säteilyn vaikutusten ymmärtämisen olevan tärkeää vikasietoisen kvanttilaskennan kehittämiseksi. Tulokset osoittavat myös, että tarvitaan lisätutkimusta korreloitujen virheiden suojausmekanismien kehitykseen.

•Jan 1, 2026•0 citations

Interferenssikuvion muodostuminen kaksoisrakokokeessa

Hanna Erkkilä

Tässä tutkielmassa käydään läpi, miten interferenssikuvio muodostuu kaksoisrakokokeessa ja miten kuvio muuttuu, kun määritetään hiukkasen kulkema reitti. Tutkielmassa esitellään kaksoisrakokokeen koeasetelma sekä johdetaan kvanttimekaniikan avulla interferenssikuviota vastaavan intensiteettijakauman yhtälö, mikä matemaattisesti selittää interferenssikuvion syntymisen. Interferenssikuvion muuttumiselle esitetään kaksi tapaa, jotka eivät kuitenkaan ole toisiaan poissulkevia. Kun hiukkaset kulkevat kohti kahta rakoa, niiden tilaa kuvaavat aaltofunktiot diffraktoituvat raoissa kahteen osaan. Osat interferoivat toistensa kanssa vahvistaen ja heikentäen toisiaan, mikä lopulta näkyy interferenssikuviona varjostimella. Mitattaessa ilmaisimella, kummasta raosta hiukkanen kulkee, ilmaisin ja hiukkanen lomittuvat, mikä estää hiukkasen aaltofunktioiden välisen interferenssin. Tällöin interferenssikuviota ei synny, vaan varjostimella näkyy kaksi juovaa rakojen kohdilla. Toisen tulkinnan mukaan lomittumisessa osa hiukkasista saa liikemääräpotkun, jolloin niiden hiukkasten interferenssikuvio on eri vaiheessa toisten hiukkasten kuvioon verrattuna. Tällöin kuviot kumoavat toisensa ja varjostimella nähdään kaksi juovaa.

•Jan 1, 2026•0 citations

Gaussiset- ja ei-gaussiset tilat kvanttimekaanisessa faasiavaruudessa

Sulin, Milo

Tutkielman aluksi kerrataan kvanttiteorian perusteet. Tämän jälkeen annetaan yksinkertaiset esimerkit diskreeteistä ja ääretönulotteisista systeemeistä ja niiden matematiikasta. Ääretönulotteisille systeemeille muodostetaan jatkuva faasiavaruusformalismi käyttäen Lien algebrojen ja ryhmien teoriaa. Määritellään gaussiset tilat ja tarkastellaan niiden vahvuuksia ja heikkouksia faasiavaruusformalismin sekä kvanttiinformaation sovelluksien kannalta. Johdetaan Wignerin funktio usealle esimerkille sekä käydään läpi Williamsonin ja Blochin-Messiahin matriisihajotelmat ja niiden merkitys gaussisiin tiloihin ja -operaatioihin liittyen. Määritellään ei-gaussiset tilat ja esitellään joitain niiden karakterisointiin käytettyjä mittoja ja tilojen kvanttiresursseja. Esimerkkien kautta tarkastellaan miten fotoneja lisäämällä tai poistamalla gaussisesta tilasta voidaan saavutaa Wignerin funktion negatiivisuutta omaava ei-gaussinen tila. Lisättyjen ja poistettujen fotonien tiloja tutkitaan tarkemmin käyttäen apuna Wickin todennäköisyyslausetta ja graa_teoriaa. Selvitetään miten näiden tilojen operaattorimomenttien laskeminen voidaan antaa graa_n hafnianin muodossa. Tunnistetaan yhteys hafnianin laskemiseen liittyvän uniikkien termien määrän osaongelman ja graa_en nimeämisiin liittyvien ongelmien välillä. Lopuksi tehdään yhteenveto käsitellyistä aiheista ja pohditaan miten esiin tulleet asiat ja käytetty matematiikka voisivat vaikuttaa jatkossa kvanttialgoritmien kehitykseen.

•Oct 1, 2025•0 citations

Kvanttivarantolaskennan toimintaa jäljittelevän digitaalisen kaksosen muodostaminen ja suorituskyky

Jaan Isojärvi

Varantolaskenta kehitettiin yksinkertaistamaan muistia hyödyntävien takaisinkytkettyjen neuroverkkojen koulutusprosessia. Koko verkon kouluttamisen sijaan hyödynnetään systeemin eli varannon luonnollista dynamiikkaa ja lineaarisesti koulutettavaa tasoa lukemaan varannossa olevaa informaatiota. Ideaa on jatkettu kvanttikoneoppimiseen, jossa varantona toimivatkin kvanttisysteemit. Kvanttivarantolaskennan etuna on monipuolisempi varannon tila-avaruuden hyödyntäminen kvantti-ilmiöiden kuten superposition ja kietoutumisen kautta. Kvanttisysteemien käyttö mahdollistaa myös hyvin ilmaisukykyisen varannon rakentamisen, ilman että fyysisiä informaatioyksiköitä, esimerkiksi kubitteja, tarvitaan suuria määriä. Kvanttiteknologia on viime vuosina kehittynyt ja toimivien kvanttitietokoneiden määrä on lisääntynyt, mutta silti niiden hyötyjä hankaloittaa tarvittavien resurssien määrä, toteutus ja herkkyys. Ongelmat ovatkin läsnä myös käytännön kvanttivarantolaskennassa ja tässä tutkielmassa käsitellään uutta lähestymistapaa näihin ongelmiin niin sanotun digitaalisen kaksosen myötä. Kyseinen digitaalinen kaksonen on matemaattisesti varannosta muodostettu kopio, jonka tarkoituksena on jäljitellä oikean varannon toimintaa. Tutkielmassa käydään läpi digitaalisen kaksosen rakentaminen neljän kubitin kvanttipiiristä simuloidun varannon pohjalta. Tarkoituksena oli selvittää, onko lähestymistapa oikeasti mahdollinen ja onko kaksosen suorituskyky riittävä oikeaan varantoon verrattuna. Aihetta pohjustetaan tarkastelemalla varantolaskentaa yleisellä tasolla sekä klassisten neuroverkkojen pohjalta, että kvanttisysteemien kautta. Digitaalisen kaksosen muodostaminen onnistui käyttämällä alkuperäisen varannon funktioavaruuden kantaa ja sen suorituskyky oli hyvin lähellä kvanttivarantoa. Kvanttivarannon mittaustuloksista saadut havaintosuureet voitiin rakentaa uudelleen, siten että vähintään 96% jokaisen suureen alkuperäisestä varianssista voitiin selittää. Kaksonen jäljitteli varannon tuloksia hyvin läheisesti erilaisissa muistia ja yleistämistä vaativissa tehtävissä. Varannon ja kaksosen normalisoitu keskimääräinen neliövirhe tehtävissä erosi toisistaan noin 0.01 verran. Tämän lisäksi kaksoseen vaadittava laskennallinen raskaus oli huomattavasti pienempi kuin kvanttivarannon simuloimiseen vaadittava laskentateho. Kaksosen simulointi oli jopa satoja kertoja nopeampaa, mikä voi vaikuttaa siihen, milloin fyysisen kvanttitietokoneen käyttö on perusteltua.

•Aug 4, 2026•0 citations
Tässä tutkielmassa tarkastellaan joidenkin kvanttimekaniikan perusjoukkojen, tila-, efekti- ja etenkin suurejoukon, konveksia rakennetta ja ääripisteitä. Myös operaatioja instrumenttijoukkojen rakennetta käsitellään lyhyesti. Näiden konveksien rakenteiden ja niiden ääripisteiden fysikaalista merkitystä on pyritty valottamaan. Erityisesti tutkielma keskittyy kovarianttien suureiden problematiikkaan ja kovarianssirakenteiden ääripisteiden karakterisointiin. Keskeiset tulokset liittyvät lokaalisti kompaktien Abelin ryhmien määräämien kovarianssirakenteiden analyysiin ja ääripisteisiin. Tästä käsitellään esimerkkeinä kovariantteja paikka- ja vaihesuureita ja paikkaerosuureita. Tila- ja efektijoukkojen ääripisteet on tunnettu jo pitkään, mutta äärisuureiden problematiikka on yleisellä tasolla ollut vielä viime aikoihin asti hämärän peitossa. Äärioperaatioiden ja -instrumenttien tyhjentävää karakterisointia ei vielä ole, mutta tutkielmassa esitellään joitakin erityistuloksia tästäkin aiheesta.
Tämän kandidaattitutkielman tavoitteena on antaa yleiskatsaus kvanttisalauksesta. Tutkielmasta tekee merkittävän suomenkielisen kirjallisuuden puute kvanttimekaniikan sovelluksista, kvanttilaskennasta ja etenkin kvanttisalauksesta. Kvanttilaskennan yleistyessä klassiset salausmenetelmät joutuvat kohtaamaan uudenlaisia hyökkäysriskejä. Tutkielma osoittaa lukijalle miksi klassiset kryptografiset menetelmät eivät ole tehokkaita kvanttilaskennallisia menetelmiä vastaan. Tutkielmassa korostuu kvanttisalauksen tärkeys yhteiskunnassa tulevaisuuden tietoturvan takaamiseksi. Tämä kirjallisuuskatsaus tutkii kvanttisalausta yleisestä näkökulmasta ja pyrkii antamaan lukijalle kattavan kuvauksen kvanttisalauksesta syventymättä aiheen matemaattiseen perustaan. Kvanttisalaus on kansainvälisesti laajasti tutkittu aihe, josta on olemassa runsas englanninkielinen kirjallisuus. Tässä tutkielmassa kootaan yhteen kvanttisalausta käsittelevää kirjallisuutta ja vertaillaan kahta eri turvaprotokollaa. Tutkielmassa osoitetaan, kuinka kvanttimekaniikka on kytköksissä kvanttilaskentaan ja kvanttisalaukseen. Kvanttisalaukseen syvennytään tarkastelemalla kvanttikanavien toteutusta kvanttisalausjärjestelmässä. Turvaprotokollia vertaillaan keskenään ja lopuksi tarkastellaan BB84-turvaprotokollan implementointia kvanttisalausjärjestelmässä. Kvanttisalauksen toteutusta tutkimalla tämä kirjallisuuskatsaus antaa selkeän kuvan kvantti-salausjärjestelmistä ja niiden käytännön sovelluksista. Kvanttilaskentaa on tutkittu pitkään ja useat läpimurrot kuten Shorin ja Groverin algoritmit julkaistiin jo 1900-luvun loppupuolella. Kirjallisuuskatsauksessa tutkitaan tämän vuoksi niin vanhoja kuin uusiakin julkaisuja. Tutkielman tulokset osoittavat kvanttisalauksen olevan lupaava teknologia, joka voi mullistaa kryptografian alan tulevaisuudessa. Kvanttitietokoneiden mahdollinen vaikutus nykyiseen kryptografiseen infrastruktuuriin on vakava huolenaihe, joka ansaitsee laajaa huomiota. Viimeaikaiset hyökkäykset kuten psykoterapiakeskus Vastaamoon ja Helsingin kaupunkiin kohdistuneet tietomurrot osoittavat, että vihamielisistä tekijöistä ei ole puutetta. Tutkielman tulokset ilmaisevat tarvetta luoda selkeä suunnitelma nykyisen yhteiskunnan tietoturvajärjestelmien vahvistamiseksi kvanttilaskennan mahdollistamia hyökkäyksiä vastaan
Kvanttilaskennan yleistyminen tuo ongelmia ajoneuvojen tietoturvallisuuteen, sillä kvanttilaskennalla on mahdollista murtaa ajoneuvojen nykyisin käyttämät salausprotokollat. Kvanttilaskentaa ei toistaiseksi ole tarjolla kaupallisilla markkinoilla, mutta kiihtyvän kehityksen takia on vain ajan kysymys milloin kvanttilaskentaa voidaan myydä kuluttajille ja alkaa hyödyntäämään myös laittomiin aikeisiin. Tutkielmassa käsitellään millaista vaaraa kvanttilaskennan yleistymisestä syntyy erilaisille ajoneuvoille ja mikä olisi toimiva keino paikata kvanttilaskennan tuomia tietoturva-aukkoja käyttäen kvanttiturvallisia protokollia. Tutkielmassa pohditaan myös kuinka ajoneuvovalmistajat ovat varautuneet kvanttilaskennan tuomiin uhkiin ja kuinka valmiita ne ovat siirtymään käyttämään kvanttiturvallisia menetelmiä. Tutkielma on toteutettu kirjallisuuskatsauksena. Tulokset näyttävät, että kvanttilaskennan yleistyminen vaarantaa koko tietyn ikäisen ajoneuvokannan. Kävi myös ilmi, että hilarakenteiseen kryptografiaan pohjautuvat ratkaisut ovat suosituimpia kehitteillä olevia salausprotokollia ja ajoneuvoteollisuus on valmis siirtymään kvanttiturvallisiin protokolliin standradoinnin valmistuessa.
Tässä kirjallisuuskatsauksena toteutetussa tutkielmassa tarkastellaan ionisoivan säteilyn vaikutuksia kvanttitietokoneiden elektroniikkaan. Tutkielman tavoitteena on selvittää, miten ionisoiva säteily vaikuttaa suprajohtaviin kubitteihin ja millaisia virheitä se aiheuttaa kvanttilaskennassa. Lisäksi tutkielma käsittelee kvanttilaskennan kannalta olennaisia käsitteitä ja fysikaalisia ilmiöitä, jotka ovat välttämättömiä aiheen tieteellisemmän käsittelyn kannalta. Erityisesti perehdytään kosmisesta säteilystä peräisin olevien myonien ja ympäristön radioaktiivisten alkuaineiden hajoamistuotteina syntyvien γ-säteiden vaikutuksiin suprajohtavassa kubitissa. Tutkielmassa huomataan ionisoivan säteilyn aiheuttavan kvanttilaskennassa relaksaatio-, vaihe-ero- ja korreloituja virheitä, mutta erityisesti korreloitujen virheiden aiheuttavan haasteita virheenkorjausmenetelmissä. Tutkielmassa myös käsitellään virheenkorjausmenetelmiä ja ratkaisuja säteilysuojaukseen. Tutkielman perusteella voidaan todeta ionisoivan säteilyn vaikutusten ymmärtämisen olevan tärkeää vikasietoisen kvanttilaskennan kehittämiseksi. Tulokset osoittavat myös, että tarvitaan lisätutkimusta korreloitujen virheiden suojausmekanismien kehitykseen.
Tässä tutkielmassa käydään läpi, miten interferenssikuvio muodostuu kaksoisrakokokeessa ja miten kuvio muuttuu, kun määritetään hiukkasen kulkema reitti. Tutkielmassa esitellään kaksoisrakokokeen koeasetelma sekä johdetaan kvanttimekaniikan avulla interferenssikuviota vastaavan intensiteettijakauman yhtälö, mikä matemaattisesti selittää interferenssikuvion syntymisen. Interferenssikuvion muuttumiselle esitetään kaksi tapaa, jotka eivät kuitenkaan ole toisiaan poissulkevia. Kun hiukkaset kulkevat kohti kahta rakoa, niiden tilaa kuvaavat aaltofunktiot diffraktoituvat raoissa kahteen osaan. Osat interferoivat toistensa kanssa vahvistaen ja heikentäen toisiaan, mikä lopulta näkyy interferenssikuviona varjostimella. Mitattaessa ilmaisimella, kummasta raosta hiukkanen kulkee, ilmaisin ja hiukkanen lomittuvat, mikä estää hiukkasen aaltofunktioiden välisen interferenssin. Tällöin interferenssikuviota ei synny, vaan varjostimella näkyy kaksi juovaa rakojen kohdilla. Toisen tulkinnan mukaan lomittumisessa osa hiukkasista saa liikemääräpotkun, jolloin niiden hiukkasten interferenssikuvio on eri vaiheessa toisten hiukkasten kuvioon verrattuna. Tällöin kuviot kumoavat toisensa ja varjostimella nähdään kaksi juovaa.
Tutkielman aluksi kerrataan kvanttiteorian perusteet. Tämän jälkeen annetaan yksinkertaiset esimerkit diskreeteistä ja ääretönulotteisista systeemeistä ja niiden matematiikasta. Ääretönulotteisille systeemeille muodostetaan jatkuva faasiavaruusformalismi käyttäen Lien algebrojen ja ryhmien teoriaa. Määritellään gaussiset tilat ja tarkastellaan niiden vahvuuksia ja heikkouksia faasiavaruusformalismin sekä kvanttiinformaation sovelluksien kannalta. Johdetaan Wignerin funktio usealle esimerkille sekä käydään läpi Williamsonin ja Blochin-Messiahin matriisihajotelmat ja niiden merkitys gaussisiin tiloihin ja -operaatioihin liittyen. Määritellään ei-gaussiset tilat ja esitellään joitain niiden karakterisointiin käytettyjä mittoja ja tilojen kvanttiresursseja. Esimerkkien kautta tarkastellaan miten fotoneja lisäämällä tai poistamalla gaussisesta tilasta voidaan saavutaa Wignerin funktion negatiivisuutta omaava ei-gaussinen tila. Lisättyjen ja poistettujen fotonien tiloja tutkitaan tarkemmin käyttäen apuna Wickin todennäköisyyslausetta ja graa_teoriaa. Selvitetään miten näiden tilojen operaattorimomenttien laskeminen voidaan antaa graa_n hafnianin muodossa. Tunnistetaan yhteys hafnianin laskemiseen liittyvän uniikkien termien määrän osaongelman ja graa_en nimeämisiin liittyvien ongelmien välillä. Lopuksi tehdään yhteenveto käsitellyistä aiheista ja pohditaan miten esiin tulleet asiat ja käytetty matematiikka voisivat vaikuttaa jatkossa kvanttialgoritmien kehitykseen.
Varantolaskenta kehitettiin yksinkertaistamaan muistia hyödyntävien takaisinkytkettyjen neuroverkkojen koulutusprosessia. Koko verkon kouluttamisen sijaan hyödynnetään systeemin eli varannon luonnollista dynamiikkaa ja lineaarisesti koulutettavaa tasoa lukemaan varannossa olevaa informaatiota. Ideaa on jatkettu kvanttikoneoppimiseen, jossa varantona toimivatkin kvanttisysteemit. Kvanttivarantolaskennan etuna on monipuolisempi varannon tila-avaruuden hyödyntäminen kvantti-ilmiöiden kuten superposition ja kietoutumisen kautta. Kvanttisysteemien käyttö mahdollistaa myös hyvin ilmaisukykyisen varannon rakentamisen, ilman että fyysisiä informaatioyksiköitä, esimerkiksi kubitteja, tarvitaan suuria määriä. Kvanttiteknologia on viime vuosina kehittynyt ja toimivien kvanttitietokoneiden määrä on lisääntynyt, mutta silti niiden hyötyjä hankaloittaa tarvittavien resurssien määrä, toteutus ja herkkyys. Ongelmat ovatkin läsnä myös käytännön kvanttivarantolaskennassa ja tässä tutkielmassa käsitellään uutta lähestymistapaa näihin ongelmiin niin sanotun digitaalisen kaksosen myötä. Kyseinen digitaalinen kaksonen on matemaattisesti varannosta muodostettu kopio, jonka tarkoituksena on jäljitellä oikean varannon toimintaa. Tutkielmassa käydään läpi digitaalisen kaksosen rakentaminen neljän kubitin kvanttipiiristä simuloidun varannon pohjalta. Tarkoituksena oli selvittää, onko lähestymistapa oikeasti mahdollinen ja onko kaksosen suorituskyky riittävä oikeaan varantoon verrattuna. Aihetta pohjustetaan tarkastelemalla varantolaskentaa yleisellä tasolla sekä klassisten neuroverkkojen pohjalta, että kvanttisysteemien kautta. Digitaalisen kaksosen muodostaminen onnistui käyttämällä alkuperäisen varannon funktioavaruuden kantaa ja sen suorituskyky oli hyvin lähellä kvanttivarantoa. Kvanttivarannon mittaustuloksista saadut havaintosuureet voitiin rakentaa uudelleen, siten että vähintään 96% jokaisen suureen alkuperäisestä varianssista voitiin selittää. Kaksonen jäljitteli varannon tuloksia hyvin läheisesti erilaisissa muistia ja yleistämistä vaativissa tehtävissä. Varannon ja kaksosen normalisoitu keskimääräinen neliövirhe tehtävissä erosi toisistaan noin 0.01 verran. Tämän lisäksi kaksoseen vaadittava laskennallinen raskaus oli huomattavasti pienempi kuin kvanttivarannon simuloimiseen vaadittava laskentateho. Kaksosen simulointi oli jopa satoja kertoja nopeampaa, mikä voi vaikuttaa siihen, milloin fyysisen kvanttitietokoneen käyttö on perusteltua.