Tutkielman aluksi kerrataan kvanttiteorian perusteet. Tämän jälkeen annetaan yksinkertaiset esimerkit diskreeteistä ja ääretönulotteisista systeemeistä ja niiden matematiikasta. Ääretönulotteisille systeemeille muodostetaan jatkuva faasiavaruusformalismi käyttäen Lien algebrojen ja ryhmien teoriaa. Määritellään gaussiset tilat ja tarkastellaan niiden vahvuuksia ja heikkouksia faasiavaruusformalismin sekä kvanttiinformaation sovelluksien kannalta. Johdetaan Wignerin funktio usealle esimerkille sekä käydään läpi Williamsonin ja Blochin-Messiahin matriisihajotelmat ja niiden merkitys gaussisiin tiloihin ja -operaatioihin liittyen. Määritellään ei-gaussiset tilat ja esitellään joitain niiden karakterisointiin käytettyjä mittoja ja tilojen kvanttiresursseja. Esimerkkien kautta tarkastellaan miten fotoneja lisäämällä tai poistamalla gaussisesta tilasta voidaan saavutaa Wignerin funktion negatiivisuutta omaava ei-gaussinen tila. Lisättyjen ja poistettujen fotonien tiloja tutkitaan tarkemmin käyttäen apuna Wickin todennäköisyyslausetta ja graa_teoriaa. Selvitetään miten näiden tilojen operaattorimomenttien laskeminen voidaan antaa graa_n hafnianin muodossa. Tunnistetaan yhteys hafnianin laskemiseen liittyvän uniikkien termien määrän osaongelman ja graa_en nimeämisiin liittyvien ongelmien välillä. Lopuksi tehdään yhteenveto käsitellyistä aiheista ja pohditaan miten esiin tulleet asiat ja käytetty matematiikka voisivat vaikuttaa jatkossa kvanttialgoritmien kehitykseen.
Tutkielman aluksi kerrataan kvanttiteorian perusteet. Tämän jälkeen annetaan yksinkertaiset esimerkit diskreeteistä ja ääretönulotteisista systeemeistä ja niiden matematiikasta. Ääretönulotteisille systeemeille muodostetaan jatkuva faasiavaruusformalismi käyttäen Lien algebrojen ja ryhmien teoriaa. Määritellään gaussiset tilat ja tarkastellaan niiden vahvuuksia ja heikkouksia faasiavaruusformalismin sekä kvanttiinformaation sovelluksien kannalta. Johdetaan Wignerin funktio usealle esimerkille sekä käydään läpi Williamsonin ja Blochin-Messiahin matriisihajotelmat ja niiden merkitys gaussisiin tiloihin ja -operaatioihin liittyen. Määritellään ei-gaussiset tilat ja esitellään joitain niiden karakterisointiin käytettyjä mittoja ja tilojen kvanttiresursseja. Esimerkkien kautta tarkastellaan miten fotoneja lisäämällä tai poistamalla gaussisesta tilasta voidaan saavutaa Wignerin funktion negatiivisuutta omaava ei-gaussinen tila. Lisättyjen ja poistettujen fotonien tiloja tutkitaan tarkemmin käyttäen apuna Wickin todennäköisyyslausetta ja graa_teoriaa. Selvitetään miten näiden tilojen operaattorimomenttien laskeminen voidaan antaa graa_n hafnianin muodossa. Tunnistetaan yhteys hafnianin laskemiseen liittyvän uniikkien termien määrän osaongelman ja graa_en nimeämisiin liittyvien ongelmien välillä. Lopuksi tehdään yhteenveto käsitellyistä aiheista ja pohditaan miten esiin tulleet asiat ja käytetty matematiikka voisivat vaikuttaa jatkossa kvanttialgoritmien kehitykseen.
Kvanttilaskennan eräs ongelma on kvanttisysteemien herkkyys ulkopuolisille vaikutuksille, eli dekoherenssille. Tämä tekee systeemin koherenssista resurssin, jota voidaan käyttää suorittamaan haluttuja toimintoja. Tutkielma alkaa johdannolla lineaarialgebraan ja kvanttimekaniikan perusteisiin, jotta kvanttilaskentaa voidaan mallintaa. Tätä seuraava osuus käsittelee kvanttilaskentaa ja alkaa esittelemällä kubitit, korostaen näiden ja klassisten bittien eroavaisuuksia. Lisäksi esitellään intuitiivinen tapa ajatella yksittäisiä kubitteja, Blochin pallo. Osio jatkuu esittelemällä kvanttiportit jälleen korostaen näiden eroavaisuuksia klassisisiin portteihin. Tämän jälkeen käsitellään kvanttilaskennan erittäin oleellinen eroavaisuus klassisen laskennan välillä, nimittäin mittaus, joka muuttaa alla olevan kvanttisysteemin tilaa ja täten vaikuttaa kvanttilaskennan tulokseen, mikäli mittaus tehdään kesken laskennan. Osuus päätetään esittelemällä yleisesti käytetty tapa mallintaa kvanttilaskentaa, kvanttipiirit. Kolmannessa osiossa kehitellään kvanttilaskennalle universaalien kvanttiporttien käsite. Tarkastelu aloitetaan kaksitasoisilla matriiseilla, jotka myöhemmin samaistetaan kvanttiportteihin. Osiossa myös kehitellään Blochin pallosta intuitiota kvanttiportteja vastaaviin kiertoihin. Tämän jälkeen esitetään tapa luoda mikä tahansa yhden kubitin portti kahdella kierrolla. Seuraavaksi osoitetaan, että tällaisella porttijoukolla ja kontrolloidulla NOT-portilla voidaan luoda mikä tahansa kvanttiportti. Lopuksi muodostetaan universaali porttijoukko. Lopuksi käydään koherenssin resurssiteoriaa. Ensiksi käydään vaaditut valmistelut kvanttioperaattoreista ja kvanttisysteemin entropiasta, jota varten esitellään von Neumannin entropia. Tämän jälkeen erotellaan kvanttisysteemin epäkoherentit tilat ja operaatiot koherenteista tiloista ja operaatioista sekä osoitetaan, että epäkoherenteilla operaatioilla ja yhdellä maksimaalisesti koherentilla kubitilla voidaan luoda mikä tahansa kvanttiportti. Lopuksi todistetaan, että systeemin tiheysmatriisin ja tiheysmatriisin diagonaalin välinen suhteellinen entropia on koherenssimitta.
Tämä diplomityö käsittelee optiikan motivoimaa operaattoriteoriaa. Optiikan kannalta tarkastellaan optisia järjestelmiä, jotka rakentuvat samalla optisella akselilla sijaitsevista linsseistä. Fysikaaliselta kannalta optiikkamme on pääsääntöisesti Fourier-optiikkaa, joka ottaa huomioon valon diffraktiivisen aaltoluonteen, mutta tarkastelemme myös sädeoptiikkaa, joka ei tähän kykene. Fourier-optiikan operaattoriteoriassa tarvitaan L2(Rn):n integraalioperaattoreita. Tarkastellaan siis integraalioperaattoreita funktioavaruuksissa. Esitellään Fockin funktioavaruus, ja käydään läpi integraalioperaattoreiden ominaisuuksia tällä funktioavaruudella. Sekä Fourier-optisten operaattorien että sädeoptiikassa esiintyvien matriisien joukot ovat ryhmiä. Täten työssä käydään läpi myös ryhmäteoriaa. Erityisen sijan saa symplektisten matriisien ryhmä Sp(2n,R). Tämän todetaan olevan sädeoptiikassa esiintyvien operaattoreiden ryhmä ja sitä tarkastellaan mm. Lien ryhmänä. Todistetaan lisäksi mille tahansa symplektiselle matriisille pätevä algebrallis-konstruktiivinen matriisihajotelma yksinkertaisiin generaattoreihin. Tällainen hajotelma ei sellaisenaan ole tekijän tietämyksen mukaan tunnettu. Vihdoin ryhmien yhteydessä tarkasteltua esitysteoriaa, integraalioperaattoreiden yhteydessä tarkasteltua Fockin funktioavaruutta ja sen teoriaa käytetään metaplektisen esityksen konstruoimiseen. Metaplektinen esitys on ryhmärakenteen säilyttävä yksi kahteen kuvaus sädeoptisen symplektisen matriisiryhmän ja Fourier-optisen integraalioperaattoreiden ryhmän välillä. Lisäksi lasketaan aiemmin todistetun algebrallis-konstruktiivisen hajotelman mukaisten generaattoreiden kuvat tässä esityksessä.
Tässä tutkielmassa käydään läpi, miten interferenssikuvio muodostuu kaksoisrakokokeessa ja miten kuvio muuttuu, kun määritetään hiukkasen kulkema reitti. Tutkielmassa esitellään kaksoisrakokokeen koeasetelma sekä johdetaan kvanttimekaniikan avulla interferenssikuviota vastaavan intensiteettijakauman yhtälö, mikä matemaattisesti selittää interferenssikuvion syntymisen. Interferenssikuvion muuttumiselle esitetään kaksi tapaa, jotka eivät kuitenkaan ole toisiaan poissulkevia. Kun hiukkaset kulkevat kohti kahta rakoa, niiden tilaa kuvaavat aaltofunktiot diffraktoituvat raoissa kahteen osaan. Osat interferoivat toistensa kanssa vahvistaen ja heikentäen toisiaan, mikä lopulta näkyy interferenssikuviona varjostimella. Mitattaessa ilmaisimella, kummasta raosta hiukkanen kulkee, ilmaisin ja hiukkanen lomittuvat, mikä estää hiukkasen aaltofunktioiden välisen interferenssin. Tällöin interferenssikuviota ei synny, vaan varjostimella näkyy kaksi juovaa rakojen kohdilla. Toisen tulkinnan mukaan lomittumisessa osa hiukkasista saa liikemääräpotkun, jolloin niiden hiukkasten interferenssikuvio on eri vaiheessa toisten hiukkasten kuvioon verrattuna. Tällöin kuviot kumoavat toisensa ja varjostimella nähdään kaksi juovaa.
Tässä tutkielmassa tarkastellaan joidenkin kvanttimekaniikan perusjoukkojen, tila-, efekti- ja etenkin suurejoukon, konveksia rakennetta ja ääripisteitä. Myös operaatioja instrumenttijoukkojen rakennetta käsitellään lyhyesti. Näiden konveksien rakenteiden ja niiden ääripisteiden fysikaalista merkitystä on pyritty valottamaan. Erityisesti tutkielma keskittyy kovarianttien suureiden problematiikkaan ja kovarianssirakenteiden ääripisteiden karakterisointiin. Keskeiset tulokset liittyvät lokaalisti kompaktien Abelin ryhmien määräämien kovarianssirakenteiden analyysiin ja ääripisteisiin. Tästä käsitellään esimerkkeinä kovariantteja paikka- ja vaihesuureita ja paikkaerosuureita. Tila- ja efektijoukkojen ääripisteet on tunnettu jo pitkään, mutta äärisuureiden problematiikka on yleisellä tasolla ollut vielä viime aikoihin asti hämärän peitossa. Äärioperaatioiden ja -instrumenttien tyhjentävää karakterisointia ei vielä ole, mutta tutkielmassa esitellään joitakin erityistuloksia tästäkin aiheesta.
Tutkielmassa käsitellään tapoja tutkia kvanttimekaanisia systeemejä ilman tilan romahdusta. Tarkoituksena on tutustua heikkoihin kvanttimittauksiin, josta voidaan johtaa kvanttimekaaniset heikot arvot. Perehdytään tarkemmin heikkojen arvojen erikoisiin ominaisuuksiin ja käydään läpi erilaisia tapoja mitata heikkoja arvoja. Lopuksi tutustutaan kirjallisuuden pohjalta erilaisiin heikkojen arvojen tulkintoihin. Kvanttimittaukset kuvataan systeemin ja mittalaitteen välisenä vuorovaikutuksena. Pienentämällä vuorovaikutuksen voimakkuutta voidaan mitata systeemin suureita häiritsemällä systeemin tilaa minimaalisesti. Vuorovaikutuksen heikentäminen johtaa kuitenkin siihen, että yksittäisen mittauksen epätarkkuus on niin suuri, ettei mittaus anna yhtään informaatiota systeemin tilasta. Suorittamalla monta identtistä mittausta voidaan mittausjoukon tarkkuus saadaan mielivaltaisen suureksi. Heikot arvot ovat heikkojen mittausten lopputuloksia. Nämä ovat erikoisia systeemiä kuvaavia suureita, koska ne voivat saada kompleksiarvoisia lopputuloksia, sekä ne voivat olla paljon ominaisarvoja suurempia. Tilan minimaalisen häiriön sekä heikkojen arvojen kompleksisen luonteen ansiosta heikoilla mittauksilla on mahdollista mitata systeemin ei-kommutoivia suureita. Voidaan siis suorittaa useampi heikko mittaus peräkkäin samalle systeemille. Näillä mittauksilla voidaan suorittaa kvanttisysteemin tilaa kuvaavan aaltofunktion tomografia tai mitata yksittäisen fotonin ei-kommutoivien polarisaatio-observaabelien arvoja. Erikoisen luonteensa ansiosta heikoille arvoille ei ole yksikäsitteistä tulkintaa. Tutkielmassa tutustutaan erilaisiin tulkintoihin. Odotusarvotulkinnan mukaan heikot arvot kuvaavat tietynlaista idealisoitua odotusarvoa systeemin suureille. Tilastollisessa tulkinnassa ehdotetaan heikkojen arvojen syntyvän mittausdatan ulkoisesta häiriöstä ja tilastollisesta manipuloinnista, jolloin sen kvanttimekaaninen luonne katoaa. Heikkojen arvojen voidaan myös niiden käyttäytymisen mukaan ajatella kuvaavan kahden amplitudin välistä suhdetta.
Tässä kirjallisuuskatsauksena toteutetussa tutkielmassa tarkastellaan ionisoivan säteilyn vaikutuksia kvanttitietokoneiden elektroniikkaan. Tutkielman tavoitteena on selvittää, miten ionisoiva säteily vaikuttaa suprajohtaviin kubitteihin ja millaisia virheitä se aiheuttaa kvanttilaskennassa. Lisäksi tutkielma käsittelee kvanttilaskennan kannalta olennaisia käsitteitä ja fysikaalisia ilmiöitä, jotka ovat välttämättömiä aiheen tieteellisemmän käsittelyn kannalta. Erityisesti perehdytään kosmisesta säteilystä peräisin olevien myonien ja ympäristön radioaktiivisten alkuaineiden hajoamistuotteina syntyvien γ-säteiden vaikutuksiin suprajohtavassa kubitissa. Tutkielmassa huomataan ionisoivan säteilyn aiheuttavan kvanttilaskennassa relaksaatio-, vaihe-ero- ja korreloituja virheitä, mutta erityisesti korreloitujen virheiden aiheuttavan haasteita virheenkorjausmenetelmissä. Tutkielmassa myös käsitellään virheenkorjausmenetelmiä ja ratkaisuja säteilysuojaukseen. Tutkielman perusteella voidaan todeta ionisoivan säteilyn vaikutusten ymmärtämisen olevan tärkeää vikasietoisen kvanttilaskennan kehittämiseksi. Tulokset osoittavat myös, että tarvitaan lisätutkimusta korreloitujen virheiden suojausmekanismien kehitykseen.