Kvantno računalništvo je temeljno nov pristop k simulaciji realnih pojavov z izkoriščanjem superpozicije, prepletenosti ter interference za kodiranje in obdelavo informacij na podlagi dinamike kvantnih stanj. Kvantni algoritmi za simulacijo problemov na osnovi parcialnih diferencialnih enačb (PDE) so že dosegli določen napredek, zlasti prek reševanja linearnih sistemov, vendar ostajajo drugi, potencialno obetavnejši pristopi razmeroma slabo raziskani. Namen prispevka je analizirati primernost izbranih PDE za neposredno preslikavo na Hamiltonov operator ter opredeliti, kdaj in kako je mogoče te enačbe naravno vključiti v kvantno dinamiko. Osrednji poudarek je na valovni enačbi zaradi njenega pomena za modeliranje razširjanja elektromagnetnih (EM) valov v komunikacijskih sistemih. Kodiranje hamiltoniana valovne enačbe razširimo tudi na toplotno in Poissonovo enačbo. Skupaj te enačbe modelirajo razširjanje valovanja, difuzijo in stacionarne pojave, ki so ključnega pomena v fiziki in inženirstvu. Identificiramo kvantno specifične omejitve, ki nastanejo pri preslikavi teh enačb v kvantne sisteme. Neohranjanje energije, realni robni pogoji in nehomogeni mediji so izzivi, ki jih v klasičnih numeričnih shemah, kot je Yeejeva metoda končnih razlik v časovni domeni (FDTD), ni. Razumevanje teh omejitev je ključno za določitev realnih področij uporabe in za oblikovanje pogojev, pod katerimi lahko kvantna simulacija prinese prednost.
Kvantno računalništvo je temeljno nov pristop k simulaciji realnih pojavov z izkoriščanjem superpozicije, prepletenosti ter interference za kodiranje in obdelavo informacij na podlagi dinamike kvantnih stanj. Kvantni algoritmi za simulacijo problemov na osnovi parcialnih diferencialnih enačb (PDE) so že dosegli določen napredek, zlasti prek reševanja linearnih sistemov, vendar ostajajo drugi, potencialno obetavnejši pristopi razmeroma slabo raziskani. Namen prispevka je analizirati primernost izbranih PDE za neposredno preslikavo na Hamiltonov operator ter opredeliti, kdaj in kako je mogoče te enačbe naravno vključiti v kvantno dinamiko. Osrednji poudarek je na valovni enačbi zaradi njenega pomena za modeliranje razširjanja elektromagnetnih (EM) valov v komunikacijskih sistemih. Kodiranje hamiltoniana valovne enačbe razširimo tudi na toplotno in Poissonovo enačbo. Skupaj te enačbe modelirajo razširjanje valovanja, difuzijo in stacionarne pojave, ki so ključnega pomena v fiziki in inženirstvu. Identificiramo kvantno specifične omejitve, ki nastanejo pri preslikavi teh enačb v kvantne sisteme. Neohranjanje energije, realni robni pogoji in nehomogeni mediji so izzivi, ki jih v klasičnih numeričnih shemah, kot je Yeejeva metoda končnih razlik v časovni domeni (FDTD), ni. Razumevanje teh omejitev je ključno za določitev realnih področij uporabe in za oblikovanje pogojev, pod katerimi lahko kvantna simulacija prinese prednost.
V nalogi obravnavam kvantne generatorje naključnih števil (QRNG) kot napredne vire naključnosti, ki presegajo omejitve klasičnih metod. Najprej predstavim teoretično ozadje in pomen naključnosti pri kriptografiji, simulacijah in znanstvenih raziskavah. Posebno pozornost namenim razlikam med psevdonaključnimi (PRNG), strojnimi (TRNG) in kvantnimi generatorji naključnih števil, pri čemer slednji temeljijo na nedeterminističnih kvantnih pojavih. V praktičnem delu analiziram delovanje naprave Qocka, ki temelji na delitvi posameznih fotonov, ter obravnavam pridobivanje podatkov. Podatke sem obdelal z von Neumannovim in Toeplitzovim ekstraktorjem ter jih ovrednotil s statističnimi testi (Dieharder, PractRand) in oceno min-entropije (NIST SP 800-90B). Rezultati kažejo, da obdelani nizi prestanejo zahtevne preizkuse, vendar to samo po sebi še ne zagotavlja resnične entropije, saj tudi deterministični generator dosega podobne statistične lastnosti. Sklepam, da je za zanesljivo vrednotenje QRNG nujna kombinacija statističnih testov, modeliranja vira in konservativne ocene entropije. Naloga tako prispeva k razumevanju pomena postprocesiranja in metod ocenjevanja pri razvoju varnih kvantnih generatorjev.
Magistrsko delo obravnava teoreticen pristop k razumevanju kvantnega racunalnistva in opisuje kvantni algoritem kot primer uporabnosti hitro se razvijajocega podrocja. Delo je razdeljeno na stiri dele. V prvem delu je podrobneje opisana matematicna podlaga, potrebna za razumevanje kvantnega racunanja, ki obsega kompleksna stevila, vektorske prostore in razsiritve ter linearne transformacije. Drugi del opisuje fizikalne osnove in temeljne definicije ter razlage kvantne mehanike, iz katere se razvija podrocje kvantnega racunalnistva. Kvantni mehaniki sledi poglavje kvantnega racunalnistva, v katerem so predstavljeni osnovni koncepti in elementi, s katerimi je možno graditi kvantne algoritme. Predstavljen je tudi model kvantnega racunanja, katerega se poslužujejo raziskovalci in razvijalci na podrocju odkrivanja novih kvantnih algoritmov. V zadnjem delu magistrske naloge je opisan Groverjev algoritem, eden izmed prvih kvantnih algoritmov, ki prikazuje uporabnost kvantnega racunalnistva v prihodnosti.
V delu studiramo transport v Landu-Lifshitzovem modelu na mreži v eni prostorski dimenziji, ki predstavlja klasicen analog kvantne spinske verige. Model motiviramo s kvantnomehansko obravnavo izmenjalne interakcije. Vpeljemo koncept integrabilnosti v klasicni mehaniki ter zapisemo enacbe gibanja modela z uporabo Laxovih operatorjev in pogoja nicelne ukrivljenosti. Integrabilnost modela sledi iz involutivne
lastnosti para matrik monodromij, ki jo dokažemo z uporabo R-matrike. Predstavimo Trotterjev razcep Liouvillove enacbe, ki nam omogoci ucinkovito simulacijo dinamike modela. Naiven razcep modela se izkaže za neintegrabilnega, kar potrdimo z izracunom Lyapunovega spektra. Uvedemo novo integrabilno posplositev Landau-Lifshitzovega modela na diskretno krajevno-casovno mrežo ter poiscemo dvodelcni hamiltonian, ki generira želeno dinamiko ter novo R-matriko modela. Pokažemo, da je taksen model sam svoj dual. V nemagnetiziranem stanju se model izkaže za superdifuzivnega, z analizo korelacijskih funkcij pokažemo, da spada v Kardar-Parisi-Zhangov univerzalnostni razred. V magnetiziranem stanju prevlada balisticno obnasanje, opazimo bogato odvisnost korelacijske funkcije magnetizacije od celotne
magnetizacije.
Kvantne tehnologije temeljijo na zakonih fizike, ki jih raziskuje znanstvena veda pod imenom kvantna mehanika. Za svoje delovanje izkoriščajo kvantne učinke za zbiranje, obdelavo in prenos informacij. Ne gre za nekaj novega, saj so se začele uporabljati že z jedrsko energijo in postavile temelje za polprevodnike, ki omogočajo delovanja današnjih pametnih telefonov. Na podlagi razumevanja delovanja posameznih delcev se v zadnjem obdobju na področju kvantnih tehnologij dogajajo prelomne novosti. Kvantne tehnologije so širši pojem, ki zajemajo ožja področja, kot so kvantna senzorika, kvantno računalništvo in kvantna komunikacija. V praksi se posamezne kvantne tehnologije pogosto zelo prepletajo. Ob omembi besede »kvantno« danes najprej pomislimo na kvantno računalništvo. Čeprav kvantno računalništvo res pritegne največ pozornosti in naložb, se pomembne raziskave izvajajo tudi na področju kvantne senzorike in kvantne komunikacije. Kvantna senzorika omogoča izredno natančne meritve z veliko občutljivostjo. Kvantna komunikacija omogoča varen prenos informacij. Kvantno računalništvo pa bo reševalo probleme, ki so prezahtevni za danes najboljše klasične računalnike in superračunalnike. Že na samem začetku ugotovimo, da gre pri kvantnih tehnologijah za popolnoma nov pogled. Kvantno računalništvo pa ni le hitrejša različica klasičnega računalništva, temveč gre za popolnoma drugačno napravo, ki zahteva drugačen pristop in ponudi drugačen način reševanja najbolj kompleksnih problemov. Kot da bi rekli, da je žarnica le zmogljivejša oblika sveče. Predstavili smo različne potenciale kvantnih tehnologij v različnih gospodarskih sektorjih s praktičnimi primeri ter orisali predvideno smer raziskav in razvoja kvantnih tehnologij. Dotaknili smo se zasebnih in javnih investicij ter geopolitičnega pomena kvantnih tehnologij.
kvantnoj mehanici, sustav je u prostoru i vremenu opisan valnom funkcijom Ψ (q,t). Za izracun svojstava sustava potrebno je rijesiti Schrodingerovu jednadžbu. Valna funkcija prema tome mora zadovoljavati tu jednadžbu, tj. mora biti njezino rjesenje. Buduci da su vrijeme i prostorne koordinate nezavisne varijable (možemo ih nezavisno mijenjati), Schrodingerova jednadžba se može rastaviti na dva faktora: vremenski neovisnu ili stacionarnu Schrodingerovu jednadžbu koja ovisi samo o položajnim koordinatama i vremenski faktor. Vremenski neovisna ili stacionarna Schrodingerova jednadžba predstavlja osnovnu jednadžbu za određivanje energetskih stanja sustava u stacionarnim stanjima (Ĥψ(q) = Eψ(q)).
Nametanje uvjeta na valnu funkciju da mora biti kontinuirana na cijelom svom definicijskom prostoru (cestica u kutiji) i jednoznacna (cestica na prstenu i cestica na kugli), dovodi nas do izbora samo malog broja mogucih rjesenja Schrodingerove jednadžbe za te sustave. To su sustavi u kojima je kretanje cestice prostorno ograniceno. Tzv. rubni uvjeti dovode do pojave kvantnih brojeva koji jednoznacno određuju valne funkcije i pripadne energije. Kvantni brojevi ogranicavaju observable na diskretne vrijednosti. To jest, kvantizacija je posljedica rubnih uvjeta. Najcesce govorimo o kvantizaciji energijskih razina, ali postoji i kvantizacija kutne kolicine gibanja oko jedne osi (koja se uobicajeno oznacava z). To možemo vidjeti na primjeru cestice u prstenu. Kod cestice u sferi se pojavljuju dva kružna rubna uvjeta koja se trebaju zadovoljiti. To dovodi do pojave zvane prostorna kvantizacija, koja ukazuje na to da rotirajuce tijelo ne može zauzeti proizvoljnu orijentaciju s obzirom na neku specificnu os.
U sustavima koji imaju visok stupanj simetrije se pojavljuje degeneracija energijskih razina. Ona ukazuje na to da se isto energijsko stanje može opisati sa vise razlicitih valnih funkcija. To je posljedica toga sto je pojedina energijska razina proporcionalna ili zbroju kvadrata pojedinih kvantnih brojeva n (cestica u 2D- i 3D- kutiji), pa se razliciti kvantni brojevi mogu kombinirati na razlicite nacine da im zbroj kvadrata ostane isti, ili kvadratu kvantnog broja ml (primjer cestice na prstenu). Kvantni broj cestice u 1D-kutiji ima vrijednosti n=1,2,.... Degeneracija energijskih razina kod cestice u prstenu (za ml ≠ 0) je posljedica toga sto cestica može putovati oko prstena s jednakom kinetickom energijom u oba smjera (kvantni broj ml = 0,±1,±2,...). Energijske razine kod cestice u sferi su proporcionalne umnosku l(l+1) pa je svaka energijska razina (2l + 1)-struko degenerirana. To jest, za svaku vrijednost orbitalnog kvantnog broja kutne kolicine gibanja, l, postoji 2l + 1vrijednosti kvantnog broja ml (ml = l, l-1,...,-l) ). Kod cestice u prstenu i cestice u sferi ne postoji nulta tocka energije, dok cestica u 1D-kutiji ima najnižu neuklonjivu energiju E1=h2/8mL2.
Gustoca vjerojatnosti za koordinate položaja, tj. |ψ|2, nam govori o najvjerojatnijoj raspodjeli cestice u prostoru. Kod cestice u 1D-kutiji se cini kao da cestica izbjegava zidove pri nižim kvantnim brojevima, dok je pri visim kvantnim brojevima raspodjela vise jednolika po cijelom prostoru. To je primjer nacela korespondencije u kojem se stanja klasicne mehanike pojavljuju iz kvantne mehanike pri visim kvantnim brojevima. Kod cestice u prstenu i cestice u sferi je azimutalna raspodjela jednolika: određenost u vrijednosti kutne kolicine gibanja podrazumijeva totalnu neodređenost u lokaciji cestice. Klasicni opis za ta dva sustava se dobije kada se cestica postavi da se vrti s neprecizno definiranom energijom. U tom slucaju, njezina valna funkcija je valni paket oblikovan iz superpozicije ili svojstvenih valnih funkcija kutne kolicine gibanja (cestica u prstenu), ili sfernih harmonika (cestica u sferi). Kod cestice u prstenu valni se paket krece po prstenu kao lokacija klasicne cestice. Međutim, siri se s vremenom. Kod cestice u sferi valni se paket krece u slaganju s predviđanjima klasicne fizike i putuje kroz sve kutove, ali se također siri s vremenom.
V magistrskem delu smo primerjali učinkovitost in uporabniško izkušnjo treh kvantnih programskih ogrodij Cirq, Qiskit in PennyLane pri simulaciji izbranih kvantnih algoritmov. Za Shorov, Groverjev in Simonov algoritem, kvantni približni optimizacijski algoritem in algoritem Deutsch-Jozsa smo uporabili obstoječe implementacije. Za Deutschev algoritem, Bernstein-Vaziranijev algoritem in generator naključnih števil smo uporabili lastne implementacije. Simulacijo smo izvajali na namiznem računalniku s procesorjem i5-13600KF in 32 GB pomnilnika. Algoritme smo testirali nad naraščajočim številom kvantnih bitov. Analiza je pokazala, da je Qiskit najbolj učinkovit na CPE pri večini algoritmov, medtem ko PennyLane izstopa na GPE zaradi boljše podpore paralelizaciji. Cirq pa je pri večini algoritmov najbolj učinkovit na GPE in konkurenčen na CPE.