近年、組合せ最適化問題の高効率解法として期待されている量子アニーリングをはじめとしたイジングマシンが注目を集めている。イジングマシンで組合せ最適化問題を解く際には、組合せ最適化問題の目的関数ならび制約条件をイジングモデルのエネルギー関数で表現し、基底状態（エネルギー最小状態）を探索する。イジングマシンによって動作原理が異なり、その動作原理に基づくイジングモデルの設計やハイパーパラメータの調整を行うことによって、イジングマシンの性能を最大限引き出す計算処理が可能となる。 本研究課題では、大きく分けて以下の3つのトピックに関して研究を行った。（1）量子アニーリングの性能を引き出す量子ゆらぎの導入方法の検討、（2）イジングマシンにおけるハイパーパラメータ調整法の検討、（3）イジングマシンの応用探索 (1)では、ランダムな大きさの相互作用を持つ1次元イジングスピンモデルに対する量子アニーリングの性能を統計力学の知見に基づき検討した。相互作用のランダムネスに対応したランダムな横磁場を印加することで、量子アニーリングの性能が高まることが示された。この成果については現在論文投稿中である（プレプリント版は、arXiv:2007.07439に掲載）。(2)では、いくつかのイジングマシンにおいて必須の「埋め込みアルゴリズム」におけるハイパーパラメータの調整方法について統計力学シミュレーション（モンテカルロシミュレーション）に基づき解析を行った。この成果についてはIEEE Accessに掲載された。また、いくつかのイジングマシンにおいて必要なビット幅削減についてもまとめIEEE Transactions on Computersに掲載された。(3)では、部分グラフ検出ならびにスロット配置問題と呼ばれる具体的な組合せ最適化問題に対してイジングマシンを用いる方法を考案し、実際のイジングマシンで計算処理を行った結果をまとめた。ともに、IEICE Transactions on Information and Systemsに掲載された。 In recent years, Ising machines such as quantum annealing, which is expected to be a highly efficient solution method for combinatorial optimization problems, have attracted much attention. When solving a combinatorial optimization problem with an Ising machine, the combinatorial optimization problem's objective function and constraints are expressed by the energy function of the Ising model, and the ground state (minimum energy state) is searched. Each Ising machine has a different operating principle, and by designing an Ising model based on the operating principle and adjusting the hyperparameters, it is possible to perform computational processing that maximizes the Ising machine's performance. In this research project, we have studied the following three major topics. In this research project, we studied the following three topics: (1) how to introduce quantum fluctuations to maximize the performance of quantum annealing, (2) how to tune hyperparameters in Ising machines, and (3) how to explore applications of Ising machines. In (1), the performance of quantum annealing for a one-dimensional Ising spin model with randomly sized interactions was investigated based on the knowledge of statistical mechanics. It is shown that quantum annealing performance is enhanced by applying a random transverse magnetic field corresponding to the randomness of the interaction. This result is now under submission for publication (preprint version is available at arXiv:2007.07439). In (2), we analyzed how to tune the hyperparameters in the "embedding algorithm," which is essential for some Ising machines, based on statistical mechanics simulation (Monte Carlo simulation). This result was published in IEEE Access. We also summarized the bit-width reduction required for some Ising machines and published it in IEEE Transactions on Computers. In (3), we devised a method using an Ising machine for a specific combinatorial optimization problem called the subgraph detection and slot placement problem and summarized the computational processing results on an actual Ising machine. Both papers were published in IEICE Transactions on Information and Systems.
時間反転対称性を持つミクロな力学法則からどのように熱平衡状態への緩和のような不可逆な現象が生じるかを説明することは理論物理学の大きな問題の一つである。近年、外界から孤立した量子系が熱平衡状態に緩和するための条件について理解が進んできたが、実際の物理系が熱平衡状態に緩和するまでにどの程度の時間がかかるかについては依然として難しい問題である。孤立量子系の熱平衡化の時間スケールの問題について理解を深めるため、孤立系に人工的に弱い散逸を加えた開放量子系の解析を行ない、その散逸ダイナミクスを記述するリンドブラディアンのスペクトルギャップの解析を行なった。理論的な予想によれば、スペクトルギャップは熱力学的極限において不連続性を示し、熱力学的極限の後に散逸を弱くする極限をとることによって、孤立量子系の熱平衡化に必要な緩和時間が定量的にわかるというものである。特に、着目系に粒子数一定などの保存量がある場合に、この予想が正しいことを確認した。さらに、このようなスペクトルギャップの不連続性を数学的にうまく利用することによって、開放量子系のダイナミクスを記述するリンドブラッド方程式の微視的導出が可能となることを明らかにし、プレプリントを公開した。 また、以上の理論的進展について、日本物理学会年次大会のシンポジウムで招待講演を行なった。 It is one of the most challenging problems in theoretical physics to elucidate how irreversible phenomena like the relaxation to thermal equilibrium arises from reversible microscopic law. In recent years, some progress has been made on our understanding of the condition under which a quantum system that is isolated from the surrounding environment relaxes towards thermal equilibrium. However, it is still a hard problem to evaluate how long time it takes for the system to thermalize. To get insights on the problem of timescale of thermalization in isolated quantum systems, we investigate an open quantum system, where artificial weak dissipation is introduced to the given isolated system. In particular, I focus on the spectral gap of the Lindbladian, which is the generator of the dissipative dynamics of such a system. According to the theoretical conjecture, the spectral gap shows discontinuity in the thermodynamic limit, and one can obtain the relaxation time by considering the double limit where the weak-dissipation limit is taken after the thermodynamic limit. I have confirmed that this conjecture is true when there are some conserved quantities like the number of particles. Moreover, I have shown that the discontinuity of the spectral gap allows us to microscopically derive the Lindblad equation, which is a fundamental equation describing the dynamics of open quantum systems, and this result is reported in the preprint. I also gave an invited talk on the above theoretical progress in the JPS annual meeting.
電子が互いに強く相互作用する強相関電子系を対象に、有限温度の計算手法の開発と具体的問題への適用を目的とする研究を行った。有限温度においてはフェルミオン対がボーズ凝縮するよりも高温でプリフォームド対が出現したり、幾何学的フラストレーションを有する系において金属・絶縁体転移が生じたりするなどの興味深い物理現象が実験において多数観測されており、理論的に有限温度の計算手法を確立させることは極めて重要である。 従来から有限温度計算によく使用されている量子モンテカルロ法では、電子のようなフェルミオン系において「負符号問題」により特殊な例を除いて計算が実行できなくなることが知られており、その普遍的解決策は見つかっていない。そこで、本研究では有限サイズのクラスターの状態を求め、その結果を無限系へと接続する変分クラスター法(VCA)に注目した。またこの手法の特徴として、平均場を導入することにより有限温度の相転移を議論することも可能である。クラスター内の状態を求める際、素朴には厳密対角化(ED)によって得られた固有状態を使ってカノニカル平均をとることで有限温度での性質を調べることができるが、クラスターのサイズが著しく制限されてしまう。これを解決するため、熱的純粋量子(TPQ)状態を用いた有限温度計算を提案した。この手法はEDに比べて比較的大きなサイズのクラスターを扱うことができ、EDで顕著に現れる有限サイズ効果の抑制につながる。 VCAとTPQ状態を組み合わせた手法の妥当性を調べるために、2次元正方格子上のハバード模型に適用した。有限温度における平均場秩序変数、熱力学量、励起スペクトルの温度依存性の計算に成功し、その有用性を示すことができた、今後はこの手法を元にして、励起子絶縁体の有限温度におけるプリフォームド励起子対生成に伴う物理現象の解明を目指す。 I developed a numerical method to investigate finite-temperature properties of strongly correlated electron systems, and applied it to some problems. At finite temperatures, many intriguing physical phenomena have been observed in experiments, such as the appearance of preformed pairs above the transition temperature of the Bose-Einstein condensation and the metal-insulator transition in geometrically frustrated systems. Therefore, it is quite important to establish a theoretical method to calculate the physical properties at finite temperatures. In quantum Monte Carlo methods, which are often used for finite-temperature calculations, it is well known that a "negative sign problem" disrupts calculations of fermionic systems, except for several special cases. In this study, I focus on the variational-cluster approach (VCA), which an infinite-system state is constructed from the state of a small-size cluster. In addition, we are also able to discuss a finite-temperature phase transition by introducing a mean-field term. Although we can in principle obtain the physical quantities of the cluster at finite temperatures by taking the canonical-ensemble average with the eigenstates obtained from the exact-diagonalization (ED) method, the size of the cluster is severely restricted. To solve this problem, we make use of the method based on thermal-pure-quantum (TPQ) state. This method can treat a relatively large cluster compared to the ED method, and thus it can suppress the finite-size effect that often appears in ED method. I investigated the validity of the method combining VCA and TPQ states. I succeeded in calculating the temperature dependence of the mean-field order parameters, the thermodynamic quantities, and the single-particle excitation spectra of the Hubbard model on a two-dimensional square lattice with this method. The result clearly shows the usefulness of this method. I am going to investigate the physical properties of the excitonic preformed pairs above the transition temperature of the excitonic-insulator phase in the future.